0 引言
定向射孔技术就是控制射孔孔眼的方向，使射孔弹沿着择优裂缝面发射[1-2]。目前，常用的定向射孔起裂压力计算模型基本基于M.M.HOSSAIN[3-4]的模型发展而来，该模型以裸眼井井周应力模型为前提条件，这与实际套管射孔井并不相符。朱海燕等[5]考虑套管对定向射孔水力压裂起裂压力的影响，但未考虑套管外水泥环的影响。笔者同时考虑套管和水泥环对射孔孔眼处井周应力的影响，并利用罗天雨等[6]提出的定向射孔孔周应力模型对起裂压力进行计算与分析，以期为现场套管井定向射孔水力压裂起裂压力计算提供指导。
1 “套管+水泥环+地层”组合体井周应力模型井筒在三向原位地应力和液体压力的共同作用下，任意井眼处的地应力可以由原地应力表示为：
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(1) |
如图 1所示，σH、σh、σv分别为水平最大地应力、水平最小地应力、上覆岩层压力，MPa；x1、y1、z1为井眼轴线坐标系；α为井斜角，(°)；β为井眼方位角，(°)；σxx、σyy、σxy、σxz、σyz和σzz为笛卡尔坐标中的地应力分量，MPa。
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| 图 1 定向井套管-水泥环-地层系统受力模型 Fig.1 Mechanical model for casing-cement sheath-formation system of directional well |
套管内、外壁半径分别为R1和R2，水泥环外径为R3，套管受内压为pw，套管、水泥环、地层弹性模量和泊松比分别为E1和μ1、E2和μ2、E3和μ3。为便于分析，假设岩体是均匀各向同性、处于线弹性状态的多孔材料，并认为井眼周围的岩石处于平面应变状态。
套管-水泥环-地层的应力重布问题，可由式(1)中应力分量分别作用在该系统远场问题来求解，井周应力分布求解可参考笔者关于定向井水泥环力学完整性研究的结果[7]，将各项应力分量pw、σxx、σyy、σxy、σxz、σyz和σzz引起的井周应力叠加，即建立了同时考虑套管和水泥环时井周的总应力新模型：
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(2) |
M.M.HOSSAIN等[8]在研究中将钻井井眼与射孔孔眼相交处的问题简化成平面问题，基于平面理论得到了2孔相交处岩石的受力状态。但是S.H.FALLAHZADEH等[9-10]及罗天雨等[6]认为该模型存在一定缺陷，因此建立适用于定向射孔的孔周应力新模型，并经过试验验证新模型误差更小。假设井筒展开平面无限大，射孔孔眼相对较小，此时射孔孔周的受力接近平面问题，相对于井筒与射孔的应力集中程度而言，如此简化处理更有意义，因此笔者仍采用如下模型：
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(3) |
式中：σ′r、σ′θ′、σ′z、σ′rθ′、σ′zr、σ′θ′z为射孔孔眼对应的应力分布，MPa；θ′为射孔周向角，(°)。
3 定向射孔水力压裂起裂压力新模型规律分析计算任意θ′下的3个主应力，使最小有效应力与抗拉强度相等，即可求出定向射孔套管井的破裂压力，即有：
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(4) |
式中：σ′3为射孔孔眼中的最小有效主应力，MPa；σ3为射孔孔眼中的最小主应力，MPa；St为抗拉强度，MPa；α为有效应力系数；pp为孔隙压力，MPa。其中，σ3可以由式(5)计算。
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(5) |
令
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(6) |
则可求得孔壁上发生拉伸破坏的位置角θ′。
具体计算步骤为：
(1) 首先由式(2)计算出套管-水泥环-地层系统应力分布；
(2) 把计算出来的应力代入式(3)，得到射孔孔眼孔周应力分布；
(3) 把孔周应力分布代入式(4)得到孔眼最小有效主应力；
(4) 通过起裂判别式(6)即可求出定向井水力压裂起裂压力。
以渤海垦利区块KL6-4油田A井3 355 m处基本参数为例进行计算分析。上覆岩层压力为68.2 MPa，水平最大和最小地应力分别为64.6和52.5 MPa。ø177.8 mm套管壁厚为20.7 mm，水泥环厚度为19.05 mm。套管弹性模量为210 GPa，泊松比为0.21；水泥环弹性模量为6.4 GPa，泊松比为0.19；地层弹性模量为20 GPa，泊松比为0.25。从以下几方面进行分析。
3.1 射孔孔眼水泥环外壁井周应力随圆周角变化图 2反映了套管内部液柱压力为40 MPa、沿最大水平地应力方位射孔时，射孔孔眼水泥环外壁井周应力随圆周角的变化规律。从图可见，随着射孔圆周角的变化，周向应力和轴向应力均按正弦曲线规律变化，径向应力因与井眼内液柱压力相同，因此保持定值；当射孔孔眼圆周角在0°和180°时周向应力最小，若液柱压力再增加，则周向应力可能变为拉伸应力并超过岩石抗拉强度，地层开始起裂。
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| 图 2 射孔孔眼水泥环外壁井周应力随圆周角变化曲线 Fig.2 Change of the perforation hole circumferential stress of the outer wall of the cement sheath with the circumferential angle |
3.2 起裂压力随射孔方位变化
起裂压力随射孔方位与最小水平地应力夹角的变化曲线如图 3所示。从图可见，沿着最大水平主应力方向射孔时，靠近套管处的孔眼上下两侧起裂压力最小，这意味着裂缝将首先沿着套管水泥环边缘处孔眼的上下两侧起裂，这与文献[5, 11]所得结论一致；当沿着最小水平主应力方向射孔时，地层不容易起裂。
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| 图 3 起裂压力随射孔方位与最小水平地应力夹角变化的曲线 Fig.3 The effect of the angle between the perforation direction and the minimum horizontal stress direction on the fracture initiation pressure |
3.3 “套管+地层”模型、“套管+水泥环+地层”模型起裂压力对比
将“套管+地层”模型、“套管+水泥环+地层”模型计算得到的起裂压力进行对比，结果如图 4所示。从图可见，随着射孔方位角的变化，“套管+水泥环+地层”模型得到的起裂压力均高于“套管+地层”模型，即在考虑水泥环情况下，所需的起裂压力更高。为探究2种模型起裂压力差异的原因，计算“套管+地层”模型下射孔孔眼水泥环外壁井周应力随圆周角变化，并与“套管+水泥环+地层”的井周应力进行对比，结果如图 5所示。从图可见，“套管+地层”模型在0°和180°圆周角下的周向应力远小于“套管+水泥环+地层”模型，即当存在水泥环时，由于水泥环的力学参数区别于地层，导致其应力状态发生变化，且应力状态趋势与起裂压力趋势一致。水泥环的存在对起裂压力的影响很大，因此考虑“套管+水泥环+地层”下的起裂压力很有必要。
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| 图 4 2种模型下起裂压力随射孔方位与最小水平地应力夹角变化对比 Fig.4 Comparison of the effects of the angle between the perforation direction and the minimum horizontal stress direction the fracture initiation pressure under the two models |
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| 图 5 2种模型下射孔孔眼水泥环外壁井周应力随圆周角变化 Fig.5 Change of the perforation hole circumferential stress of the outer wall of the cement sheath with the circumferential angle under the two models |
3.4 起裂压力对弹性模量和泊松比的敏感性分析
弹性模量对起裂压力的敏感性如图 6所示。
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| 图 6 弹性模量对起裂压力的敏感性 Fig.6 The effect of the elastic modulus on the fracture initiation pressure |
从图 6可见，随着地层弹性模量的增大，起裂压力逐渐增大。将沿最大水平主应力方向射孔时，起裂压力随地层弹性模量的变化规律绘制成一条曲线，结果如图 7所示。从图可见，曲线斜率呈降低趋势，即当弹性模量越大时，相同增量引起的起裂压力增量越小。
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| 图 7 起裂压力随弹性模量变化的曲线(射孔方位90°) Fig.7 Change of fracture initiation pressure with elasticity modulus(under the perforation azimuth of 90°) |
随着泊松比的增大，起裂压力逐渐增大，如图 8所示。将沿最大水平主应力方向射孔时，起裂压力随地层泊松比的变化单独列出，如图 9所示。从图可见，曲线斜率基本不变，即相同泊松比增量引起的起裂压力增量基本相同。
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| 图 8 泊松比对起裂压力的敏感性 Fig.8 The effect of the Poisson's ratio on the fracture initiation pressure |
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| 图 9 起裂压力随泊松比变化的曲线(射孔方位90°) Fig.9 Change of fracture initiation pressure with Poisson's ratio (under the perforation azimuth of 90°) |
4 应用实例
以渤海垦利6-4油田A井现场压裂施工为例来验证考虑套管和水泥环影响时起裂压力的准确性。该井ø177.8 mm(7in)尾管下入深度2 585~3 530 m，在3 355 m处进行压裂施工，射孔方位为60°/120°。具体施工情况如下：①前置液阶段，排量0.5、2.7、3.4和3.8 m3/min，压力37.7~61.2 MPa，期间注入砂比为3.9%和4.9% 2个支撑剂段塞，该阶段注入混砂液178.8 m3；②携砂液阶段，排量3.8~3.9 m3/min，压力56.2~59.0 MPa，砂比由8.5%→13.8%→19.3%→23.1%→29.5%依次提高，该阶段注入混砂液167.3 m3，加砂25.1 m3；③顶替液阶段，排量2.9~3.8 m3/min，压力50.9~61.9 MPa，该阶段注入顶替液30.6 m3；④测压降，停泵压力34.2 MPa，1 h后压力21.8 MPa，压降12.4 MPa。具体压裂施工曲线如图 10所示。
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| 图 10 KL6-4-A井压裂施工曲线 Fig.10 Fracturing operation curve of Well KL6-4-A |
利用平方根曲线方法对现场试验数据进行分析，得到井底闭合压力为52.94 MPa，如图 11所示。根据该井压裂点基本数据和“套管+水泥环+地层”模型计算求得60°/120°处起裂压力为56 MPa，计算误差为5.7%。模型计算起裂压力与实际井底压力对比如图 12所示。
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| 图 11 KL6-4-A井井底闭合压力分析 Fig.11 Analysis of the bottomhole closure pressure of Well KL6-4-A |
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| 图 12 KL6-4-A井模型与实际井底压力对比 Fig.12 Comparison of the simulated results and the actual bottomhole pressure of Well KL6-4-A |
5 结论
(1) 基于现场实际情况，同时考虑套管和水泥环对井周应力的影响，提出定向射孔井周应力分布预测新模型，为现场定向射孔水力压裂设计提供了新思路。
(2) 利用定向射孔孔周应力模型对起裂压力进行计算与分析，研究结果表明：沿着最大水平主应力方向射孔时，起裂压力最低；随着地层弹性模量和泊松比的增大，起裂压力逐渐升高。
(3) 将“套管+地层”、“套管+水泥环+地层”2种模型下的起裂压力进行对比可知：随着射孔方位角的变化，在考虑水泥环的情况下，所需的起裂压力更高，这与套管、水泥环和地层之间的强度配伍性相关。
(4) 结合渤海垦利6-4油田A井，将定向射孔井周应力分布预测新模型计算得到的起裂压力与现场实际压裂施工的井底闭合压力进行对比，计算误差为5.7%，因此新模型符合现场实际。
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