0 引言

近年来，随着页岩气和致密砂岩气等非常规储层勘探开发力度的增大，体积压裂技术已成为该类储层增产改造的有效技术之一^[1-10]。裂缝导流能力是影响产能的重要参数，准确计算裂缝导流能力可以指导压裂施工参数的优化设计。体积压裂技术采用大液量、低黏度的滑溜水进行压裂，能够在储层中形成纵横交错的裂缝网络，这在提高储层采收率的同时也对裂缝导流能力的计算提出了挑战。裂缝网络由大量主裂缝与次生裂缝相互交错构成，具有裂缝条数多和形态复杂等特点，使裂缝网络导流能力数值模型的建立极为困难。目前，国内外专家建立了考虑嵌入、压溶压实和成岩作用等因素的裂缝导流能力数值模型^[11-16]，但其研究对象均为单一裂缝，关于裂缝网络导流能力数值模型的研究几乎处于空白状态。

为此，笔者在单一裂缝导流能力数值模型的基础上，根据水电相似原理，借助串并联电路的求解思路，建立了缝网导流能力数值模型，并研究了闭合压力、铺砂质量浓度、支撑剂粒径、支撑剂密度和次生裂缝数量等参数对缝网导流能力的影响，以期为非常规储层压裂施工参数的优选提供依据。

1 缝网导流能力数值模型

缝网导流能力由充填支撑剂的主裂缝和次生裂缝提供。缝网导流能力数值模型的建立需先获得单一主裂缝和次生裂缝的导流能力，再通过水电相似原理获得缝网导流能力。单一裂缝导流能力数值模型的假设条件如下：①支撑剂为刚性球体，不破碎、不变形；②支撑剂铺置方式为菱形排列；③储层不发生嵌入伤害；④基于Carman-Kozeny模型，可将支撑剂铺砂层看成毛细管模型。缝网导流能力数值模型的假设条件如下：①缝网形态为鱼骨状；②气体流动为达西渗流；③忽略节点处气体碰撞造成的能量损失；④页岩岩石不发生渗流。

1.1 单一裂缝导流能力数值模型

由单一裂缝导流能力数值模型假设条件，根据毛细管模型和Carman-Kozeny公式^[17-20]建立导流能力计算公式：

(1)

式中：K_w为单一裂缝的导流能力，μm²·cm；L为缝长，m；H为缝高，m；W为裂缝缝宽，m；N为支撑剂铺置的总数目；r_p为支撑剂半径，m；r为支撑裂缝的孔隙半径，m；τ表示迂曲度，取1.154 7。

假设条件中忽略支撑剂破碎和支撑剂嵌入等因素，这与实际情况不符。在地层高闭合压力条件下，支撑剂颗粒变形甚至发生破碎，部分支撑剂嵌入地层，导致裂缝缝宽变小，孔隙度降低，导流能力大幅减弱。因此，利用自主设计的新型导流室进行室内裂缝导流能力试验，考虑支撑剂破碎和支撑剂嵌入等因素，对理论模型进行修正。导流室内腔可放置由不同形状大理石岩板模拟的不同结构缝网，在按照试验方案构造缝网结构并完成支撑剂铺置后，运用FCES-100型裂缝导流仪注入测试流体并控制闭合压力。导流室结构与构造的单一裂缝分别如图 1和图 2所示。

分别采用3种不同粒径 (20/40目，R=0.299 3 mm；40/70目，R=0.159 mm；80/100目，R=0.082 mm) 的陶粒测试裂缝导流能力。陶粒密度2.03 g/cm³，抗压强度60 MPa；裂缝缝长160 mm，砂堤高度50 mm，铺砂质量浓度4 kg/m²，闭合压力在10~60 MPa之间变化。以试验测得的裂缝导流能力与模型计算结果的比值为z，闭合压力与支撑剂抗压强度的比值为x，20/40目支撑剂半径与试验支撑剂半径的比值为y进行回归。

回归公式为：

(2)

修正后的单一裂缝导流能力计算公式为：

(3)

式中：f为修正系数；p_c为闭合压力，MPa；σ_p为支撑剂抗压强度，MPa；r_20/40为20/40目支撑剂半径，m；(K_w)_f为考虑闭合压力、支撑剂破碎和嵌入的单缝导流能力，μm²·cm。

1.2 缝网导流能力数值模型

依据水电相似原理建立缝网导流能力数值模型。水电相似原理^[21-25]是指不可压缩的地下流体通过多孔介质流动的微分方程与电荷通过导体材料流动的微分方程之间具有相似性。

下面将论述运用水电相似原理计算缝网导流能力的可行性。

1.2.1 基本方程相似

在低流速条件下，流体流动符合达西定理，流体渗流方程如下：

(4)

电荷流动方程，即欧姆定律如下：

(5)

式中：μ为标况下空气的黏度，取0.017 89 mPa·s。

对比公式 (4) 和 (5) 可知，两者具有相似性：流体渗流的流量Q与电流I相似；压力差是流体流动的动力，电势差是电荷流动的动力，压力差与电势差相似；渗流阻力与电阻相似。

1.2.2 流动状态相似

进行室内缝网导流能力试验时，先用岩板与支撑剂构造缝网，并放置在导流室密闭腔内，如图 3所示。岩板周围用玻璃胶进行密封，测试气体可从主裂缝R₁与次生裂缝R₂、R₃、R₅、R₆、R₈、R₉同时进入缝网，各进口压力均相等，裂缝内的流量与渗流阻力呈反相关关系。主裂缝R₁与次生裂缝R₂、R₃流入的气体在节点汇合，流入到主裂缝R₄，再与次生裂缝R₅、R₆的流体汇合流入到主裂缝R₇，后与次生裂缝R₈、R₉汇合掺混在一起，流入到主裂缝R₁₀，最终流出导流室。这种流动方式与电流的串并联电流相似：并联电路中，电势相等，电流的大小与电阻呈反相关关系；串联电路中，电流相等，电势相加。因此，绘制“丰”形缝网结构的等效电路图，如图 4所示。

1.2.3 边界条件相似

导流室进、出口流量相等，与串并联电路两端电流相等相似；出口压力受缝网结构和渗流阻力影响，与电路中负极电势受电路与电阻影响相似；渗流阻力受渗透率、裂缝长度和宽度等影响，电阻受电阻率、电阻长度和电阻截面积大小等影响，两者相似。

由于流体在裂缝网络中的渗流过程与电荷通过导体材料的流动过程在基本方程、流动状态和边界条件等3个方面均具有相似性，下面依据水电相似原理建立缝网导流能力数值模型。

缝网导流能力数值模型建立在单一裂缝导流能力数值模型基础上，首先根据上文修正的单一裂缝导流能力数值模型，获得主裂缝与次生裂缝的导流能力，再由公式 (6) 计算主裂缝与次生裂缝的渗流阻力R₁~R_3j+1。

(6)

式中：R_k表示各裂缝的渗流阻力，mPa·s/(μm²·cm)。

根据等效电路图计算缝网的渗流阻力R_FN。若次生裂缝闭合，则认为裂缝的缝宽为0，由公式 (6) 可知该条裂缝的渗流阻力为无穷大。

图 5所示的鱼骨状缝网结构有2j条次生裂缝。

缝网渗流阻力的计算公式如下：

(7)

当j=3时，即为试验中构造的“丰”形缝网，其渗流阻力计算公式如下：

(8)

得到缝网渗流阻力后，即可以计算出缝网的导流能力。相关计算公式如下：

(9)

(10)

式中：K_FN为缝网渗透率，μm²；W_FN为缝网等效缝宽，m；F_FN表示缝网导流能力，μm²·cm。

缝网导流能力数值模型综合考虑了铺砂质量浓度、闭合压力、支撑剂粒径、支撑剂强度、支撑剂破碎、支撑剂嵌入和缝网结构等因素对导流能力的影响。模型应用时，先根据公式 (3) 计算主裂缝与次生裂缝的导流能力，后根据公式 (6) 计算各裂缝的渗流阻力，再由公式 (7) 和式 (8) 获得缝网的渗流阻力，最后根据公式 (9) 和式 (10) 计算缝网导流能力。

2 缝网导流能力数值模型精度分析

根据建立的缝网导流能力数值模型编制软件，计算不同闭合压力、铺砂质量浓度和缝网结构等条件下的渗流阻力及缝网导流能力。对照试验结果以均方根误差值为目标函数分析模型的精度。

以T形缝网 (见图 6) 为例进行精度分析，计算不同铺砂质量浓度下的缝网导流能力，并与试验结果进行对比，结果如图 7所示。

由图 7可知，缝网导流能力数值模型计算结果与试验结果很接近，变化趋势基本相同，均随着闭合压力增大而降低，随铺砂质量浓度增大，导流能力几乎呈线性增加。但理论结果与试验结果间存在一定的误差：当闭合压力低于45 MPa时，理论结果略大于试验结果，这是因为缝网导流能力数值模型没有考虑裂缝交叉点处气体分子碰撞造成的能量损失，导致计算出的导流能力略微偏高；当闭合压力高于55 MPa时，试验结果略大于理论结果，这是因为在高闭合压力下，导流能力数值过小，从而影响试验结果的准确性。不同闭合压力下的误差率如表 1所示。表中，p_c1~p_c6分别表示闭合压力为10、20、30、40、50和60 MPa。

从表 1可知，T形缝网不同铺砂质量浓度、不同闭合压力下的均方根误差为13.03%。当闭合压力小于50 MPa时，均方根误差为5.82%；高闭合压力下误差较大，但数值相差较小，误差在合理范围之内。因此，缝网导流能力数值模型精度满足工程应用要求。

3 缝网导流能力影响因素分析

根据建立的缝网导流能力数值模型，分析不同施工参数对缝网导流能力的影响。分析过程以F-1型缝网 (图 8) 为例。根据现场压裂施工数据，取裂缝缝高50 m，主裂缝缝长200 m，次生裂缝缝长50 m；铺砂质量浓度4 kg/m²；陶粒支撑剂的粒径20/40目，密度2 100 kg/m³，强度60 MPa。

3.1 铺砂质量浓度对缝网导流能力的影响

铺砂质量浓度分别取1.5、2.0、2.5、3.0、3.5和4.0 kg/m²，导流能力计算结果如图 9所示。

从图 9可以看出，缝网导流能力随着闭合压力增大而减小，当闭合压力小于20 MPa时，缝网导流能力缓慢减小，当闭合压力大于30 MPa时，缝网导流能力大幅减小。这是因为低闭合压力下，支撑剂压缩变形，粒间孔隙减小，导致裂缝缝宽和渗透率减小，导流能力下降；随着闭合压力继续增加，部分支撑剂破碎，支撑剂颗粒变小，粒间孔隙堵塞，裂缝导流能力大幅减小。因此，对于闭合压力较高的储层，应选取抗压强度高的颗粒支撑剂，以保证充填的裂缝具有足够的导流能力。

缝网导流能力随着铺砂质量浓度增加而增加。当闭合压力为20 MPa时，铺砂质量浓度从1.5 kg/m²增加到4.0 kg/m²，导流能力增加116.76%。可见铺砂质量浓度对缝网导流能力影响很大，施工时应尽可能提高缝内铺砂质量浓度。

3.2 支撑剂粒径对缝网导流能力的影响

支撑剂粒径分别取20~40、30~50、40~70、50~80和80~100目，导流能力计算结果如图 10所示。

由图 10可知，支撑剂粒径越大，缝网导流能力越大。当闭合压力为20 MPa时，导流能力的增幅分别为21.15%、18.16%、13.13%和6.59%，可见导流能力增幅逐渐减小，大粒径支撑剂承压能力较差，缝网导流能力随着闭合压力增加大幅减小，且非常规储层人工裂缝缝宽较小，大粒径支撑剂易发生砂堵。综合考虑，非常规储层压裂施工时建议使用30~50目或40~70目中等粒径的支撑剂。

3.3 支撑剂密度对缝网导流能力的影响

支撑剂密度分别为1 500、1 700、1 900、2 100和2 300 kg/m³时，导流能力计算结果如图 11所示。

从图 11可知，随着支撑剂密度的增大，缝网导流能力减小。这是因为非常规储层压裂施工时多采用滑溜水或线性胶，压裂液黏度较低，携砂性能较差。若支撑剂密度增大，则沉降速度快，不易被携带到远井裂缝区域，造成有效支撑缝长减小，导流能力降低。因此，在保证支撑剂强度的前提下，压裂施工时应尽量选择轻质支撑剂，以增加有效支撑缝长。

3.4 次生裂缝数量对缝网导流能力的影响

设定次生裂缝数量m为1~6条，主裂缝为1条。当m=1时，次生裂缝为图 3中的R₂，2条为R₂、R₃，3条为R₂、R₃、R₅，依次类推。导流能力计算结果如图 12所示。

从图 12可知，次生裂缝数量越多，缝网导流能力越大。这是因为随着次生裂缝数量增加，储层改造体积增大，进入缝网的储层流体增多，缝网导流能力增大。次生裂缝数量增加引起的导流能力增加幅度不同，增幅分别为5.00%、29.63%、8.79%、49.89%和15.45%。结合缝网结构进行分析，m从2增加到3时，新增次生裂缝离井筒距离变小，增幅达到29.63%；m从4增加到5时，新增次生裂缝离井筒距离更小，增幅高达49.89%；新增次生裂缝与井筒距离不变时，增幅分别为5.00%、8.79%和15.45%，随距离减小增幅变大。这是因为油气通过靠近井筒的次生裂缝进入井筒时，流动距离短，渗流阻力小，使导流能力增幅更大。因此，压裂施工时应增加近井筒区域的裂缝密度，以获得较高的导流能力，这可以通过改进射孔方式或燃爆压裂来实现。

4 结论

(1) 基于Carman-Kozeny公式，建立了主裂缝、次生裂缝和单一裂缝导流能力数值模型。考虑支撑剂嵌入、破碎和变形等因素，依据试验数据对理论模型进行修正。

(2) 流体在裂缝网络中的渗流过程与电荷通过导体材料的流动过程具有相似性。因此，根据水电相似原理建立缝网导流能力数值模型。

(3) 以均方根误差为目标函数分析模型的精度，分析结果表明：缝网导流能力数值模型计算结果与试验结果很接近，均方根误差小于14%；在低闭合压力条件下，均方根误差小于6%。因此，模型精度高，满足工程应用要求。

(4) 缝网导流能力随闭合压力增加快速下降，对于闭合压力较高的储层，应选取抗压强度高的支撑剂。缝网导流能力随着铺砂质量浓度增加而增加，施工时应尽可能提高缝内铺砂质量浓度。支撑剂粒径越强，缝网导流能力越强，但综合考虑承压能力及储层特性等因素，非常规储层压裂施工时建议使用30~50目或40~70目中等粒径的支撑剂。支撑剂密度增加，缝网导流能力减小，施工时应尽量选择轻质支撑剂，增加有效支撑缝长。缝网导流能力随次生裂缝数量增加而增加，且次生裂缝距井筒越近，增幅越大。