0 引 言

有杆抽油系统动态仿真是采油工况预测及诊断的重要手段，广泛应用于抽油杆载荷预测、井下泵功图诊断、抽油杆柱偏磨分析及井下效率分析等^[1-3]。抽油杆柱的模型为带粘性阻尼项的波动方程^[1]。波动方程中有一个重要参数，即粘性阻尼系数，不同的粘性阻尼系数将影响抽油杆受力状态及井下泵功图的形状^[4]。

不少学者开展了利用实测油井数据求解阻尼系数的研究。S.G.GIBBS等^[2]利用光杆功率和水功率得到功率损耗，由此得到抽油杆简谐运动时的阻尼系数。J.W.JENNINGS等^[5]利用粘性阻尼影响泵功图形状，迭代求解阻尼系数，由泵功图计算的泵功率收敛于水功率。VALEEV和REPIN试验研究归纳了液体经过抽油杆及接箍时摩擦力的经验公式，从而可推导阻尼系数^[6-7]。余国安等^[4]对波动方程积分，推导了阻尼系数与悬点载荷及泵载荷的关系。

在油井设计分析阶段尚不能实测油井数据，或者在其他不方便测量的情况时，则需要根据流体力学及抽油杆运动状态预估粘性阻尼系数。皮尔维尔江推导了层流下的同心圆环流速及等效阻尼系数，但其流速推导仅考虑了抽油杆运动的剪切流^[3]。现广泛采用的张琪阻尼公式^[8]通过计算下冲程过程中符合流量约束条件的流速及相应的水力阻力损失，根据等摩擦功原理求解了等效阻尼系数，但推导过程中未计算上冲程的阻尼能耗，而是直接将上冲程能耗等效为下冲程能耗。刘巨保等^[9]采用CFD计算分析了管杆偏心时的粘性阻尼系数。冯虎等^[10]通过流体两端总压差计算井下的摩擦阻尼损失。侯维前等^[11]建立了井液为幂律流体时抽油杆的摩擦力计算模型。王洁琳^[12]考虑温度对井液黏度的影响，在张琪阻尼公式基础上建立了稠油变阻尼系数计算公式。

以上研究均未能全面考虑抽油杆运动时能量的粘性耗散。张琪阻尼公式未指出上冲程时的能量损失，且未考虑接箍引起的阻尼效应。笔者在张琪阻尼公式的基础上，建立了同心管杆环空中不可压缩牛顿流体层流运动方程，求解了上、下冲程不同的流速分布及流体粘性耗散。

同时根据VALEEV和REPIN的接箍摩擦力公式计算了接箍的局部能量损失。由波动方程中粘性阻尼力项消耗的摩擦功等于1周期内流体的能耗，推导了等效粘性阻尼系数，为准确预测抽油杆粘性阻尼提供了理论依据。

1 等摩擦功原理

抽油杆柱的一维波动方程为：

式中：u为抽油杆节点位移，x为井深，t为时间，a为抽油杆声速，c为粘性阻尼系数。

在1个抽油杆运动周期内，若波动方程中粘性阻尼项所做的功等于实际抽油井中的能量损耗，则此时的粘性阻尼系数称之为基于等摩擦功原理的等效粘性阻尼系数。通过实测光杆功率和水功率从而得到功率损失，进而求得阻尼系数^[3]，其依据就是等摩擦功原理。

粘性阻尼项在1个周期内整根抽油杆长度上做的摩擦功可表示为：

式中：L为抽油杆长，T为抽油杆运动周期，ρ_r为抽油杆密度，A_r为抽油杆截面积，v为抽油杆各质点速度。

笔者仅考虑单级杆的情况，多级杆可分级计算阻尼系数。在直井中，忽略抽油杆与油管的库仑摩擦时，1个周期内的阻尼能耗主要由4部分组成：上冲程抽油杆引起的粘性耗散N₁、下冲程抽油杆引起的粘性耗散N₂、上冲程接箍引起的局部能量损失N₃以及下冲程接箍引起的局部能量损失N₄。由等摩擦功原理得：

故等效粘性阻尼系数为：

2 抽油杆引起的能耗 2.1 环空流动

假定抽油杆与油管同心，垂直井内的井液流动为抽油杆与油管之间的轴对称环空流动，其流速沿垂直方向，如图 1所示。

流体运动方程为：

式中：w为流速，p为井液压力，ρ为井液密度，μ为井液黏度，g为重力加速度，r为距轴线距离。

令A= dp dx -ρg，则A表征了由于除重力外流体流动产生的压力梯度。二次积分式(5)，解得管柱横截面内的流速分布为：

边界条件为：r=r₀时w=v，r=r₁时w=0，于是有：

式中：r₀和r₁分别为抽油杆外径和油管内径。

由此得到环空流量为：

其中

环空流量的前一项为抽油杆运动引起的剪切流，后一项为管路压差引起的压差流。

对不包含接箍的抽油杆运动引起的能量损耗，张琪阻尼公式分成2部分：一部分为抽油杆表面粘性剪切力所做的功；另一部分为井液流动引起的沿程水力损失。这2部分能耗均是由于流体内部粘性力做功造成的能量耗散，2部分之和为流体的粘性耗散。在笔者的流场条件下，不可压牛顿流体的粘性耗散函数为^[13]：

则单位时间单位长度环空管内流体的粘性能耗计算式为：

其中

2.2 上冲程的能耗

一般认为上冲程中井内液体随抽油杆运动，抽油杆和井液无摩擦力，不存在能耗^{[9, 14]}。张琪则不加说明地采用抽油杆下冲程能耗替代上冲程能耗。笔者不同于以上做法，而是根据上冲程时的边界条件及前述粘性能耗公式推导上冲程时的能耗。

上冲程时偏心环空内的流量大小等于单位时间内抽油泵排出的液体体积，即有：

式中：r_p为抽油泵径。

于是有：

上冲程t₁时间内的总能耗为:

2.3 下冲程的能耗

下冲程时偏心环空内的流量大小等于单位时间内抽油杆进入油管的体积，即有：

由式(8)得到:

则下冲程过程中的总能耗为:

3 接箍的能耗 3.1 接箍流阻^[15]

接箍对应着环空流道的突然收缩和突然扩大，进而产生局部阻力损失。其长度较小，产生的沿程损失相对局部阻力损失可以忽略。VALEEV和REPIN给出了井液作用在接箍上的阻尼力的经验公式，

式中符号在流速和接箍速度相反时取正号，相同时取负号。

式中：A_c为接箍截面积，v_f为接箍前后流道截面处平均流速，无量纲系数λ的计算式为

其中

式中：v_r为接箍处抽油杆的速度;r_c为接箍半径。

忽略接箍沿程损失，可得到局部阻力损失的压降为：

3.2 上冲程的能耗

上冲程时，忽略波动效应并根据流量平衡，接箍处抽油杆速v_r和接箍前、后流道平均流速v_f近似满足：

则压损为：

其中

则上冲程时抽油杆上共n_c个接箍的能耗为：

3.3 下冲程的能耗

下冲程时，接箍处抽油杆速v_r和接箍前、后流道平均流速v_f近似满足:

则压损为：

其中

则下冲程时抽油杆上共n_c个接箍的能耗为：

4 等效粘性阻尼系数

能耗N₁~N₄中均涉及抽油杆速度平方的积分项。抽油杆任意点速度可表示为悬点速度与波动速度的叠加，用傅里叶级数展开后的抽油杆速度为：

式中：v₀为悬点速度，a_nx和b_nx为x位置处本地波动速度的傅里叶系数。

由三角函数的正交性以及v₀幅值远大于a_nx和b_nx，可得：

同时认为抽油杆上、下冲程速度相等，则有：

接箍中的速度积分项可近似为：

式中：L_r为单根抽油杆杆长度。

将式(18)、(21)、(30)、(34)、(36)、(37)和(38)带入式(4)，得到：

算例：已知抽油杆径22 mm，油管内径62 mm，接箍外径46 mm，泵径56 mm，井液黏度20 mPa·s ，抽油杆密度7 850 kg/m³，单根抽油杆长度8 m。

按式(39)计算，c=0.1906。若忽略式(39)中与接箍能耗相关的第3项，则c=0.154 4。由此可见，接箍产生的阻尼能耗约占抽油杆运行时总阻尼能耗的19.0%。

按照张琪阻尼公式^[8]计算，c=0.1621。与考虑接箍阻尼效应的c=0.190 6相比，偏差为15.0%，这表明不可忽略接箍阻尼效应。与不考虑接箍效应时的c=0.154 4相差的原因在于，笔者的方法单独考虑了上冲程时的流体粘性耗散，而张琪阻尼公式认为上冲程阻尼能耗等于下冲程能耗。

5 结 论

(1) 基于等摩擦功原理推导了抽油杆波动方程的等效粘性阻尼系数，推导中考虑了上、下冲程流体粘性能耗及接箍局部阻尼。算例下张琪阻尼公式计算得阻尼系数与之偏差为15.0%。

(2) 根据环空流场及其粘性耗散推导了上、下冲程中抽油杆运动引起的粘性能耗计算公式，结果表明上冲程过程中抽油杆及井液同样存在摩擦力的作用，并且上冲程粘性损失不同于下冲程粘性损失。

(3) 根据VALEEV和REPIN接箍阻尼力的经验公式，推导了接箍阻尼效应和等效粘性阻尼系数的关系。计算算例下接箍效应部分占等效阻尼系数的19.0%。