树冠是森林与外界环境进行物质交换、能量转换等的重要场所，其叶面积是评价森林生产力的重要指标。准确预测单木叶面积，对开展林木培育、评估植株健康状况及生产力等具有重要意义^[1-2]。叶面积估测模型主要研究有叶片尺度，但叶片尺度获得叶面积数据很难转换到单木尺度。因此，建立高精度的单木叶面积估测模型对提高郁闭度、叶面积指数(leaf area index，LAI)等林分参数自动化检测具有重要作用。林木叶面积的间接调查主要有光学仪器测定法和叶面积模型估计法^[3-4]。前者通过仪器设备在不破坏林木的前提下，基于测定光辐射在冠层中的传递^[3]，可简便、迅速地获取一些易测参数来模拟估算叶面积^[5-6]，但该法获取的辐射透射率通常包含树干、枝条等木质对光截获，其估计结果将会高估树冠的穿透率，需要对实测参数进行校正^[7-8]。后者通过破环性调查样木，建立单木叶面积与胸径、树高等测树因子间的函数关系，具有很强的实用性，可以用来校正仪器的测量值^[9]。

由于树冠叶面积受林分状况、林木大小、叶片形态等因素影响，使单木叶面积估测模型呈现非线性、不确定性等特点^[10-11]。组合预测模型(combination forecasting model)具有很强的实用性，能对不同模型的预测结果进行组合获得更多信息，把不同模型的预测误差分散化，提高预测精确度^[12]。组合预测模型在气象预报、经济、电力等行业中较早应用^[13-15]，但在林业数表建模中应用组合预测法的研究较少，李际平等^[16]提出采用组合模型应用于林分材积的估算，张雄清等^[17]采用组合模型应用于林分断面积生长模型的研究。如何优化组合预测模型中各单项模型的权重系数以提高预测精度是组合模型研究热点问题。戴钰^[18]研究表明最优权重组合预测模型具有很高预测精度，基于最优权重组合预测模型在医疗诊断指标、交通运输、林业生长模型等领域已有应用研究报道^{[12, 19-20]}。但在植物叶面积预测模型研究中，未见报道采用最优权重算法构建单木叶面积组合预测模型。本文以实测的长白落叶松(Larix olgensis Henry)单木叶面积为例，筛选单木叶面积单项模型为基础，采用最优权重法确定组合预测模型中各单项模型的最优权重系数，以期提高单木叶面积估测精度。

1 材料与方法 1.1 数据采集

试验区位于我国东北小兴安岭南部东折棱河林场。在试验区设置落叶松人工林标准地，调查胸径(diameter at breast height，D_1.3)、树高等因子；伐倒标准木进行解析木生物量综合调查。用游标卡尺和钢卷尺测定枝条基径(d)和着枝高度等，边材面积(A_{S, 1.3})是采用万深年轮分析工具实测胸高处解析木圆盘中浅颜色的面积^[21]。采用分龄组的枝条水平的叶生物量异速生长模型^[21] (中龄林W_l=0.236d^1.786；近熟林W_l=0.411d^1.676；成熟林W_l =0.705d^1.548)估测枝条叶生物量，汇总得到冠层叶生物量。按龄组分别选2株平均木，依据树冠长度将枝条分为上、中、下3个冠层，分别采集叶片样本。将叶片样本扫描后置于105 ℃烘干至恒重进行比叶面积(specific leaf area，SLA)计算，得到上、中、下冠层的SLA值，分别为101.1、117.4、129.9 m² · kg^-1，再利用SLA参数乘以叶生物量得到各冠层叶面积，最后汇总各冠层叶面积得到单木叶面积。试验所获得的55株样木数据来源于国家林业局“948”项目“森林碳储量监测关键技术引进”，样本胸径7.5~42.5 cm、年龄18~50 a、单木叶面积5.49~274.90 m²，样木基础信息见表 1。

1.2 单项基础模型 1.2.1 叶面积异速生长模型

采用Pearson相关分析筛选基础模型的最佳自变量为胸径，并采用线性、二次多项式、幂函数、指数函数、Growth生长曲线、S生长曲线等模型^[21]分析筛选基础模型的结构形式，结果表明幂函数式异速生长模型的拟合最佳(表 2)，再引入高径比(height to diameter ratio, R_HD)、树冠率(crown ratio, R_C)因子对基础模型进行改进。

$ {A_L} = {b_0}D_{1.3}^{{b_1} + {b_2}{X_j}} $

(1)

式中：A_L为叶面积(m²)；D_1.3为胸径(cm)；b为模型参数；X_j为高径比或树冠率自变量。

1.2.2 叶面积管道模型

以管道理论为基础的叶面积估测模型，管道模型理论(pipe model theory, PMT)认为边材与叶面积(或叶生物量)通过木质管道连接运输水分，两者间有显著的线性关系^[22]，以边材面积准确估测树冠叶面积的管道模型见公式(2) ^[23]。

$ {A_L} = {b_0}D_{{\rm{S, }}1.3}^{{b_1} + {b_2}{X_j}} $

(2)

式中：A_{S, 1.3}为胸高处边材断面积。

1.2.3 多元线性回归模型

采用逐步回归拟合单木叶面积估测模型，模型输入的自变量包括胸径、树高、冠长、高径比、树冠率、边材断面积、林分密度等因子，模型一般形式见公式(3)。

$ {A_L} = {b_0} + {b_1}{x_1} + {b_2}{x_2} + \cdots + {b_n}{x_n} $

(3)

式中：x₁、x₂、x_n为自变量因子。

综合考虑方程多重共线性和变量数，采用方差膨胀因子(variance inflation factor，VIF)判断多重共线性，VIF值小于15具有统计学意义(P < 0.1)，自变量进入最终模型。

1.3 组合预测模型

对同一预测问题用N种不同的模型分别进行估测，则由这N种模型构成的组合预测模型为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\hat y}_c} = \sum\limits_{j = 1}^N {{w_j}} {{\hat y}_j}\\ \sum\limits_{j = 1}^N {{w_j} = 1} \end{array} \right. $

(4)

式中：$ {{\hat y}_c}$为组合预测值，$ {{\hat y}_j}$为第j个单项模型的预测值，j=1, 2, …, N (N≥2)，w_j为第j个单项模型的权重系数。

1.3.1 平均值组合法

将各单项模型的预测值减去其系统误差后再平均^[13]，公式(5)、(6)。

$ {A_L} = \frac{1}{N}\sum\limits_{j = 1}^N {\left( {{{\hat Y}_j}-{b_j}} \right)} $

(5)

$ {b_j} = \left( {{Q_1} + 2{Q_2} + {Q_3}} \right)/4 $

(6)

式中：A_LC为平均组合预测值，N为参与组合的模型个数，$ {{{\hat Y}_j}}$为单项模型的预测值，b_j为第j个单项模型的系统误差；Q₁、Q₂、Q₃分为第j个单项预测模型残差分布的1/4、1/2、3/4分位数值。

1.3.2 最优权重组合法

最优权重法的实质是依据某种最优准则(如最小二乘准则)构造目标函数J，通常采用误差形式，以使得误差最小，在约束条件下(权重系数加和为1)使J最小，从而求得组合模型的加权系数，该预测方法的精度最高，预测结果更接近于真实值^[13]。组合预测的目标函数选择预测误差平方和，将其转换为矩阵形式，构建的最优权重组合模型为：

$\min {\rm{J}} = {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}E\mathit{\boldsymbol{W}}\\ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{s}}{\rm{.}}\;\;{\rm{t}}{\rm{.}}\;\;R_n^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{W = }}1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{W}} \ge {\rm{0}} \end{array} \right. $

(7)

式中：W为组合权重向量(w₁, w₂, …, w_n) ^T，R_n为n维列向量(1, 1, 1, …, 1) ^T, E为预测误差矩阵信息。

最优权重参数采用Lagrange乘数法求解，构造对称正定矩阵E。

$ \mathit{\boldsymbol{E}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {e_{1x}^2} }&{\sum\limits_{i = 1}^n {{e_{1x}}{e_{2x}}} }& \cdots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{e_{1x}}{e_{kx}}} }\\ {\sum\limits_{i = 1}^n {{e_{2x}}{e_{1x}}} }&{\sum\limits_{i = 1}^n {e_{2x}^2} }& \cdots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{e_{1x}}{e_{kx}}} }\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {{e_{kx}}{e_{1x}}} }&{\sum\limits_{i = 1}^n {{e_{kx}}{2_{2x}}} }& \cdots &{\sum\limits_{i = 1}^n {e_{kx}^2} } \end{array}} \right| $

(8)

式中:e为残差。

1.4 模型参数估计及模型评价

采用SPSS 20.0拟合线性、非线性回归模型，基于Matlab2010b软件中优化工具箱的最优权重算法确定组合预测模型中各单项模型的最优权重系数。模型的拟合优度(R²)不能完全反映模型的预测能力，为了评价模型的预测能力，模型检验必不可少。有研究认为，分割数据使样本信息量损失，分割部分样本数据的模型检验法并不能对模型评价提供额外的信息，为了更充分地利用样本信息，提高模型估测的代表性，用^[24-25]。模型检验采用4个指标：决定系数${R^2} = 1-\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i}-{{\hat y}_i}} \right)}^2}/} \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i}-\bar{\hat{y}}_i} \right)}^2}} $、均方根误差${E_{{\rm{RMS}}}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i}-{{\hat y}_i}} \right)}^2}} } $、平均绝对误差$ {E_{{\rm{MA}}}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i}-{{\hat y}_i}} \right|} $、平均绝对相对误差$ {E_{{\rm{MAP}}}}\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\frac{{{y_i}-{{\hat y}_i}}}{{{{\rm{y}}_{\rm{i}}}}}} \right|} \times 100\% $等指标^{[18, 20-21]}，n为样本个数，p为模型参数估计的个数。

2 结果与分析 2.1 单项模型

通过单木叶面积与林木、林分因子间的相关分析表明：单木叶面积与胸径、树高、冠长及边材面积呈显著正相关(P < 0.01)，单木叶面积与高径比、林分密度成显著负相关(P < 0.01)，单木叶面积与胸径的相关系数最高达0.941，胸径是单项模型最佳预测自变量。曲线回归模型表明(表 2)，以胸径为自变量所拟合的单木叶面积估测模型均达极显著水平(P < 0.01)，R²均大于0.81，其中幂函数(R²=0.892)和二次多项式(R²=0.912)拟合精度高。但从模型参数检验来看，二次多项式的参数a、c均未通过参数t检验，且变动系数也大于50%，而幂函数的的参数变动系数均小于30%，模型比较稳定。从模型结构形式来看，二次多项式拟合现象较严重，有拐点且存在负值，不符合林木生长状况，而幂函数的精度高、参数稳定性好。以幂函数为单木叶面积估测的基础模型，引入林木竞争指标(高径比或树冠率)改进异速生长模型，拟合结果见表 2中M7和M8。改进的模型能提高叶面积估测精度，其中, 引入树冠率改进模型M8最优(R²=0.927)，且参数变动系数均小于30%，二元模型M8的R²值与单变量模型(M2)相比提高了0.015。

依据管道模型理论，边材断面积与叶面积之间存在异速生长关系，拟合的叶面积管道模型见表 3 (M9、M10)，以边材面积为单变量的异速生长模型拟合精度R²为0.864，增加高径比变量，R²提高到0.894。采用逐步回归模型拟合的多元线性回归模型结果见表 4：所拟合最佳模型(M11~M13)的F检验均达极显著水平，决定系数达R²值达0.88以上，最高值达0.925；当预测变量小于4个时，方差膨胀因子(VIF)值均小于5，不存在共线性容差问题，但当预测自变量≥4个时，多元回归模型的VIF值为11.2，存在较严重的多重共线性问题。从林学角度分析，模型解释变量中高径比(R_HD)与树冠率(R_C)很可能有重叠，这两个变量均反映林木的活力指标，可表达林木的竞争大小，另外树冠率与活枝下高(height at crown base, H_CB)也存在密切联系，H_CB越大则R_C越小。

采用模型评价指标对拟合较好的8个单项模型进行比较(表 5)，从指标R²、均方根误差(root mean square error, E_RMS)来看，M7、M8、M13均较优，而M2、M13的平均绝对误差(mean absolute error, E_MA)均小于9.2，预测系统的稳定较好；平均绝对相对误差(mean absolute percentage error，E_MAP)表现优异的模型为M2、M3和M7，E_MAP最稳定的是以胸径为预测变量的异速生长模型；赤池信息准则(Akaike information criterion, AIC)是评价拟合模型一个指标，指标值越小越优，表现较好的模型依次为M8、M7和M13。综合而言，最佳的单木叶面积单项模型为M8，包含胸径、树高、活枝下高，其次是模型M7，包含胸径、树高两个指标。

2.2 组合预测模型

基于较优单项基础模型构建3种组合模型，采用改进平均值组合预测法(mean weight combination forecasting method，MW)和最优权重组合预测法(optimal weight combination forecasting method，OW)确定组合模型中各单项基础模型的权重(表 6)。对于单项模型相同，最优权重组合算法的拟合精度(R²)均比改进平均组合算法高，从均方根误差(E_RMS)指标来看，最优权重算法比改进平均值算法均有不同程度的减少，说明最优权重组合算法更好，如OW-M8M10M13组合的R²值从0.927提高到0.930，E_RMS值从13.17减少到12.92；最优权重组合模型OW-M3M8M12的R²值，从0.925提高到0.928。最优权重组合预测模型中M8的权重占62.8%~88.5%，且其权重系数均大于0.62，说明M8模型对落叶松单木叶面积具有很强的解析能力，也体现了改进异速生长模型的重要性。

2.3 模型比较

为了比较最优权重组合预测模型的预测能力，采用单项模型(表 5)和平均权重组合预测法(表 6)对落叶松单木叶面积进行比较，结果表明：最优权重组合预测模型OW-M8M3M12的平均绝对误差值(E_MA=8.94)比单项模型M3 (E_MA=9.67)减少了0.73 m²，也比单项模型M12减少了1.22 m²；最优权重组合预测模型OW-M8M10M13的决定系数(R²=0.930)比单项模型M8的值略高0.03，OW-M8M10M13的E_MAP比单项模型M8降低了0.9%；OW-M8M10M13的E_MAP、R²等评价指标也优于平均权重组合预测模型MW-M8M10M13，说明最优权重组合预测模型提高了单木叶面积估测精度及可靠性。

3 讨论与结论 3.1 讨论

叶面积与生产力间有密切联系，叶面积的准确估测可以更深地了解树冠生产力结构，对生产经营提供更多信息，如间伐、修枝等森林培育措施实质上是对叶的数量和分布进行调整^[9]。异速生长模型是估测林木叶面积常用模型结构形式，胸径是单木叶面积异速生长模型的最佳解释变量(表 2、表 3)，这与其它研究结论一致^[2]，如赵东等^[10]采用异速生长模型拟合了杨树单木叶面积估测模型，这与也其它针叶树种构建的单木叶面积异速生长模型研究相似，具有很高预测精度^[26]，近年研究表明异速生长模型也适用于非顶端优势的阔叶树种构建单木叶面积^[11]。以胸径为基础变量再引入树冠率林木竞争因子显著提高了异速生长模型的预测精度(R²达0.927)。许多学者研究表明，林分密度对叶面积有显著影响，树冠率、高径比等林木竞争指标在一定程度上体现林分密度^[27]，如林木树冠率越小受到竞争压力就越大，而表现为枯枝退化等现象。组合预测模型比单项模型的预测精度更高(表 5、表 6)，这与其他研究结果相似^{[12, 28]}。最优权重法是确定组合预测模型一种较好算法，这与张雄清等^[20]研究林分断面积组合预测模型的研究结论一致。组合预测模型中各单项模型权重系数的确定方法是研究的关键(表 6)，平均值组合预测法仅对不同单项模型的误差进行平差，并未提高预测精度，R²值为0.923~0.927，但最优权重组合预测法不仅提高预测精度，同时也降低组合模型的系统误差，如OW-M8M3M12的平均绝对误差值E_MA比单项最优模型M3的降低0.73 m²，最优权重组合模型与M3相比平均绝对误差降低了7.5%。

3.2 结论

通过测定胸径、树高、活枝下高等林木易测参数可以准确估测落叶松单木叶面积，通过最优权重优化组合算法确定各组合单项模型的最优权重，可以提高模型预测的稳定性。(1)异速生长模型可以较好拟合落叶松叶面积估测模型，胸径是长白落叶松单木叶面积估测模型的最佳单变量，以胸径和树冠率组合变量的改进异速生长模型拟合效果最优，模型R²达0.927、均方根误差为12.695 m²。(2)落叶松单木叶面积最优权重组合预测模型的预测能力较好，优于单项模型，最优权重组合预测模型的R²值可达0.927~0.930，最优权重组合模型(OW-M3M8M12)平均绝对相对误差为23.3%，模型稳定性更好。