中国气象学会主办。
文章信息
- 李超, 陈德辉, 李兴良, 胡江林. 2021.
- LI Chao, CHEN Dehui, LI Xingliang, HU Jianglin. 2021.
- 逐层平滑地形的平缓地形追随坐标在高分辨率GRAPES模式中的应用研究
- Application of a smooth terrain-following coordinate with layer-by-layer smoothed terrain on the high resolution GRAPES model
- 气象学报, 79(2): 300-308.
- Acta Meteorologica Sinica, 79(2): 300-308.
- http://dx.doi.org/10.11676/qxxb2021.015
文章历史
-
2019-10-17 收稿
2020-11-25 改回
地形对大气运动具有重要的动力和热力作用。为了提高预报准确率,数值预报模式需要正确地描述地形对天气系统的影响。模式的垂直坐标与地形直接相关:恰当的垂直坐标可以使复杂的控制方程组转化为较简单的形式,下边界条件简单易给,便于使用精度和效率较高的计算技术,有效地减小气压梯度力(Pressure Gradient Force,简称PGF)以及其他与模式面水平差分计算有关项的计算误差,从而正确描述模式中地形对大气的作用。
为了提高数值预报模式的模拟与预报能力,提高模式水平分辨率是非常必要的。然而,随着数值预报模式水平分辨率的不断提高,模式地形越来越精细,模式能分辨的地形越来越陡峭,垂直坐标面的坡度越来越大。采用传统的地形追随垂直坐标(Gal-Chen,et al,1975;以下简写为Gal.C.S坐标)引起的气压梯度力计算误差会相应增大,模拟的地形重力波形状也被严重扭曲(Schär,et al,2002),对高分辨率数值模拟带来不利影响。
中国气象局自主研发的GRAPES模式目前采用传统的高度地形追随坐标:
Schär等(2002)提出平缓坐标(smoothed-level coordinate,简称SLEVE坐标)的概念,在不改变高度地形追随坐标定义的前提下,对坐标形式做变形,通过随高度变化的地形衰减系数控制各个模式面上的地形影响作用的大小,并设计试验比较了单尺度SLEVE1坐标和双尺度SLEVE2坐标,发现两种坐标有效地减小了地形引起的各种模拟偏差,SLEVE2坐标对缓解小尺度的模拟噪音效果更佳。李超等(2012a)选取不同的地形衰减函数,进行了一系列理论分析和理想试验,试验结果展示了平缓-混合坐标在减小气压梯度力计算误差、平流耗散等方面的模拟优势。李超等(2012b)基于GRAPES模式选取Gal.C.S坐标和平缓-混合SLEVE1坐标进行了初步的模式设计并进行了简单的个例模拟检验分析,SLEVE1坐标对预报量的小尺度噪音有所衰减,各个预报量的检验误差也有所减小。Li等(2015)基于GRAPES模式选取Gal.C.S坐标、SLEVE1坐标、SLEVE2坐标和一种以余弦函数为衰减基函数的COS坐标进行了理想试验和实际批量模拟试验。各种形式平缓-混合坐标相比较发现,SLEVE2坐标对计算误差衰减最大,较好地提高了预报能力。张旭等(2015)将Klemp(2011)提出的一种随高度逐层平滑地形作用的平缓-混合坐标形式(下文简称Klemp坐标)应用于GRAPES区域模式,通过理想试验和简单个例模拟试验对这种坐标的优势进行了初步的探讨。李超等(2019)设计了一种新的COS坐标,有效解决了Li等(2015)中COS坐标理想试验结果最优而实际模拟结果较差的问题,新的COS坐标在底层设计也更加灵活。李超等(2020)比较了几种平缓-混合地形追随坐标对典型个例模拟的影响,发现平缓-混合坐标可以有效缓解GRAPES模式南风偏大、虚假降水和虚假天气系统等问题。
随着GRAPES模式分辨率进一步提高,GRAPES-3km模式中地形可识别的最大高度接近7 km,而上述基于GRAPES-10km和GRAPES-15km的模式研究工作最大识别地形均在6 km以下,更高分辨率下的平滑-混合坐标模拟试验还需要进行重新设计并检验结果。另外,张旭等(2015)对Klemp(2011)坐标的研究工作显示,在较低分辨率的GRAPES模式中,该坐标的个例模拟试验有较好的预报改进效果,而在分辨率较高的GRAPES-3km模式中,该坐标的批量预报试验效果还需要进一步的研究。本研究选取前期研究效果较好的SLEVE1坐标与Klemp坐标基于GRAPES-3km模式进行一系列的比较研究工作,为高分辨率GRAPES模式动力框架垂直坐标的选择提供一定的参考。
2 坐标介绍李超等(2012a)给出通用坐标形式
$z = \hat z + \sum\limits_{i = 1}^L {{b_{h_i^*}}} {\text •} {Z_{{S_i}}}(x,y)$ | (1) |
式中,L为地形尺度谱的数目,
对于GRAPES-3km模式目前采用的Gal.C.S坐标有
Klemp (2011)提出在COS坐标(李超等,2012a)基础上,对地形进行逐层平滑,得到坐标形式(简称Klemp坐标)。
$z = \hat z + {b_{{h^*}}} {\text •} {Z_{{{{S}}_k}}}$ | (2) |
式中,
${b_{{h^*}}} = \left(1 - \frac{{\hat z}}{{{Z_{\rm T}}}}\right)\left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\cos \left({\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\dfrac{{\pi \hat z}}{{{Z_{\rm c}}}}} \right)} \right]^n}&\hat z {\text{≤}}{Z_{\rm c}} \\ 0& \hat z {\text{>}} {Z_{\rm c}} \end{array} \right.$ |
式中,
$\begin{aligned} {Z_{{{\rm{S}}_k}}}(i,j,k) =& {\beta _k} {\text •} {d^2}{\nabla ^2}{Z_{S(i,j,k)}^{m - 1}} \\=& {\beta _k} {\text •} ({Z_{S(i + 1,j,k)}^{m - 1}} - 2{Z_{S(i,j,k)}^{m - 1}} + {Z_{S(i - 1,j,k)}^{m - 1}}) \end{aligned}$ |
式中,i和j为水平格点数。滤波系数
Klemp坐标与其他平缓-混合地形追随坐标差别在于地形补偿项中的
李超等(2019)选用一种改进的地形衰减系数形式:
在底层能够根据坐标面厚度来调整地形衰减程度得到恰当的分层结构,坐标形式更加灵活。其中,
高分辨率模式中可识别的地形更加精细。例如,GRAPES-15km模式可识别的地形最大高度是5800 m左右,而GRAPES-3km模式可识别的最大高度达到6800 m(图2)。3 km分辨率模式垂直分为51层,比15 km模式的31分层更细,如果使用GRAPES-15km模式中平缓-混合坐标的地形临界衰减高度(Li,et al,2015),GRAPES-3km模式中地形较高点上空的模式面厚度就会过薄,导致计算不稳定。GRAPES-3km模式中平缓-混合坐标的设计应用面临新的问题,Klemp坐标对坐标面的进一步平滑会使这种计算不稳定更容易出现。下面的实际模拟试验对坐标的参数设计做了试验分析。
3 基于Klemp坐标的动力框架方程推导高度地形追随坐标中地形作用对模式动力框架的影响主要体现在气压梯度力、垂直速度、散度等物理量的计算上。下面就基于Klemp坐标对垂直速度、散度等物理量做进一步推导。
(1)垂直速度
$\begin{aligned} \hat w =& \frac{{{\rm d}\hat z}}{{{\rm d}t}} = \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}[z - {b_{{h^*}}} {\text •} {Z_{{S_k}}}(x,y,z)]= \\ & w - \frac{{{\rm d}{b_{{h^*}}}}}{{{\rm d}t}} {\text •} {Z_{{S_k}}}(x,y,z) - {b_{{h^*}}} {\text •} \frac{{{\rm d}{Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{{\rm d}t}} =\\ & w - \frac{{{\rm d}{b_{{h^*}}}}}{{{\rm d}t}} {\text •} {Z_{{S_k}}}(x,y,z) - {b_{{h^*}}}{\text •}{w_{{S_k}}}(x,y,z) = \\ & w - \frac{{\partial {b_{{h^*}}}}}{{\partial \hat z}}\frac{{\partial \hat z}}{{\partial t}} {\text •} {Z_{{S_k}}}(x,y,z) - {b_{{h^*}}} {\text •} {w_{{S_k}}}(x,y,z) = \\ & w - \frac{{\partial {b_{{h^*}}}}}{{\partial \hat z}} {\text •} {Z_{{S_k}}}(x,y,z)\hat w - {b_{{h^*}}} {\text •} {w_{{S_k}}}(x,y,z) \end{aligned} $ |
则:
$w = {\alpha _{w3}} {\text •} \hat w + {b_{{h^*}}} {\text •}{w_{S_k}}(x,y,z)$ |
又,
$\begin{aligned} {w_S} =& \frac{{{\rm d}{Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{{\rm d}t}} = \frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial t}} +\\& u\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial x}} + v\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial y}} + \hat w\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial \hat z}} = \\ & u\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial x}} + v\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial y}} + \hat w\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial \hat z}} = \\ & u{\phi _{{S_{kx}}}}(x,y,z) + v{\phi _{{S_{ky}}}}(x,y,z) + \hat w\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial \hat z}} \end{aligned} $ |
式中,
得出:
$w = {\alpha _{w1}}u + {\alpha _{w2}}v + {\alpha _{w3}}\hat w$ | (3) |
式中,
$ \begin{aligned}{}\\ {\alpha _{w1}} = {b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{kx}}}}(x,y,z)\end{aligned}$ |
${\alpha _{w2}} = {b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{ky}}}}(x,y,z)$ |
${\alpha _{w3}} = 1 + \frac{{\partial \left({{b_{{h^*}}} {\text •} {Z_{{S_k}}}(x,y,z)} \right)}}{{\partial \hat z}}$ |
${\phi _{{S_{kx}}}}(x,y,z) = \frac{{{\mu _\phi }}}{{a\cos \varphi }}\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial \lambda }}$ |
${\phi _{{S_{ky}}}}(x,y,z) = \frac{{{\mu _\phi }}}{a}\frac{{\partial {Z_{{S_k}}}(x,y,z)}}{{\partial \varphi }}$ |
又,
${J_{\rm b}}^{ - 1} = \frac{{\partial z}}{{\partial \hat z}} = 1 + \frac{{\partial \left({{b_{{h^*}}} {\text •} {Z_{{S_k}}}(x,y,z)} \right)}}{{\partial \hat z}} = {\alpha _{w3}}$ |
(2)水平气压梯度力
$ - \alpha {\nabla _z}P = - \alpha {\nabla _{\hat z}}P + \frac{\alpha }{g} {\text •} {J_{\rm b}} {\text •} {b_{{h^*}}}\frac{{\partial P}}{{\partial \hat z}} {\text •} {\nabla _{\hat z}}{\phi _{{S_k}}}(x,y,z)$ | (4) |
式中,
(3)球面坐标下的水平散度
$ \begin{aligned} &{\left({\frac{1}{{a\cos \varphi }}\frac{{\partial u}}{{\partial \lambda }}} \right)_z} + {\left({\frac{1}{a}\frac{{\partial (\cos \varphi v)}}{{\partial \varphi }}} \right)_z} =\\&\quad {\left({\frac{{{\mu _\varphi }}}{{a\cos \varphi }}\frac{{\partial u}}{{\partial \lambda }} + \frac{{{\mu _\varphi }}}{{a\cos \varphi }}\frac{{\partial (\cos \varphi v)}}{{\partial \varphi }}} \right)_{\hat z}} -\\&\quad {J_{\rm b}} {\text •} {b_{{h^*}}} {\text •} {\left({\frac{{\partial u}}{{\partial \hat z}} {\text •} {\phi _{{S_{kx}}}}(x,y,z) + \frac{{\partial v}}{{\partial \hat z}} {\text •}{\phi _{{S_{ky}}}}(x,y,z)} \right)_{\hat z}} \end{aligned} $ |
对于三维散度中的垂直速度的垂直变化,有:
$\begin{aligned}\frac{{\partial w}}{{\partial z}} = \frac{{\partial w}}{{\partial \hat z}}\frac{{\partial \hat z}}{{\partial z}} = {J_{\rm b}}\frac{{\partial w}}{{\partial \hat z}} = {J_{\rm b}}\frac{\partial }{{\partial \hat z}}\left({{\alpha _{w1}}u + {\alpha _{w2}}v + {\alpha _{w3}}\hat w} \right)\end{aligned}$ |
整理得
$\begin{aligned}\frac{{\partial w}}{{\partial z}} =& {J_{\rm b}}\Bigg[\left(\frac{{\partial {\alpha _{w1}}}}{{\partial \hat z}}u + {\alpha _{w1}}\frac{{\partial u}}{{\partial \hat z}}\right) + \left(\frac{{\partial {\alpha _{w2}}}}{{\partial \hat z}}v + {\alpha _{w2}}\frac{{\partial v}}{{\partial \hat z}}\right) +\\& \left(\frac{{\partial {\alpha _{w3}}}}{{\partial \hat z}}\hat w + {\alpha _{w3}}\frac{{\partial \hat w}}{{\partial \hat z}}\right)\Bigg]\end{aligned}$ |
式中,
$\frac{{\partial {\alpha _{w1}}}}{{\partial \hat z}} = \frac{{{\rm d}({b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{kx}}}}(x,y,z))}}{{{\rm d}\hat z}}$ |
$\frac{{\partial {\alpha _{w2}}}}{{\partial \hat z}} = \frac{{{\rm d}({b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{ky}}}}(x,y,z))}}{{{\rm d}\hat z}}$ |
$\frac{{\partial {\alpha _{w3}}}}{{\partial \hat z}} = \frac{{\partial J_{\rm b}^{ - 1}}}{{\partial \hat z}}\quad\quad\quad\quad\;\;$ |
则
$\begin{aligned} \frac{{\partial w}}{{\partial z}} =& {J_{\rm b}}\Bigg(\frac{{{\rm d}({b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{kx}}}}(x,y,z))}}{{{\rm d}\hat z}} u + \frac{{{\rm d}({b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{ky}}}}(x,y,z))}}{{{\rm d}\hat z}}v + \\&\frac{{\partial J_{\rm b}^{ - 1}}}{{\partial \hat z}}\hat w\Bigg) + {J_b} {\text •} {b_{{h^*}}} {\text •}\left(\frac{{\partial u}}{{\partial \hat z}} {\text •} {\phi _{{S_{kx}}}} + \frac{{\partial v}}{{\partial \hat z}} {\text •} {\phi _{{S_{ky}}}}\right) + \frac{{\partial \hat w}}{{\partial \hat z}} \end{aligned} $ |
于是,三维散度(
$\begin{aligned}{D_3} =& { {{D_3}} \Big|_{\hat z}} + {J_{\rm b}}\Bigg(\frac{{{\rm d}({b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{kx}}}}(x,y,z))}}{{{\rm d}\hat z}} u +\\& \frac{{{\rm d}({b_{{h^*}}} {\text •} {\phi _{{S_{ky}}}}(x,y,z))}}{{{\rm d}\hat z}} v + \frac{{\partial J_{\rm b}^{ - 1}}}{{\partial \hat z}}\hat w \Bigg)\end{aligned}$ | (5) |
综合上述公式推导可以看出,与Li等(2015)中动力框架方程推导相比,基于Klemp坐标的模式动力框架中地形以及地形偏导数有关的项有所改变,动力框架中涉及到垂直速度、散度等的线性项、非线性项以及亥姆赫兹方程中相关的系数也要做相应的改变(薛纪善等,2008),这里不再做详细介绍。
4 理想试验和实际试验下面选择GRAPES-3km模式目前采用的Gal.C.S坐标、前期研究模拟结果较好的SLEVE1坐标以及改进的Klemp坐标进行一系列模拟试验,对比分析改进的Klemp坐标在GRAPES-3km模式中的模拟性能。
4.1 地形重力波理想试验低层大气中不同尺度的山脉会激发出形状尺度不同、传播方向各异的重力波。山脉重力波在大气底层的结构十分复杂,这也是引发天气状况的重要原因。下面是层结稳定的干空气穿过二维地形激发出山脉重力波的理想试验。上游大气廓线设置为:布朗特数
钟形地形叠加上小尺度的波动形成理想地形,其函数形式满足
${Z_S} = {\cos ^2}\left({\frac{{\pi \cdot x}}{\lambda }} \right) \cdot {Z^ * }$ |
式中,
试验计算区域设置为:(−25000,25000)m×(0,21000)m,
从积分模拟结果(图3)可见,平缓坐标可以有效缓解地形追随坐标带来的重力波变形破碎的问题。Klemp坐标模拟的重力波(图3d)形状更接近解析解(图3a),重力波变形的情况在中高层基本消失。
4.2 月连续试验理论分析和理想试验中改进的Klemp坐标可以有效减小坐标面地形影响,模拟出更接近解析值的重力波,而在实际应用中地形更加复杂,物理和动力耦合起来后,坐标参数设置考虑的因素也更加复杂。下面选用GRAPES-3km模式对2018年9月1—30日进行24 h滚动预报,检验Klemp坐标在长期的批量预报试验中的改进效果。该试验水平分辨率为0.03°×0.03°,垂直方向分为51层;积分时间步长为30 s;试验初始场和边界场由分辨率为1°×1°的NCEP再分析资料提供,不做资料同化;模拟范围为(10°—60°N,70°—145°E),选用一维大气参考廓线。微物理过程采用WMS6方案,长波辐射过程采用RRTM方案,短波积云辐射过程采用SWRAD方案,地表层物理方案采用SFC方案,陆面过程采用NOAH方案,边界层参数化采用NMRF方案,无积云参数化方案。
GRAPES-3km模式可识别的地形最大高度接近7 km,较小的临界衰减高度(
批量试验结果显示,与FNL再分析资料相比,SLEVE1和Klemp坐标的高层温度场24 h预报平均偏差有较明显减小。100和250 hPa温度场偏差(图5)相比GRAPES-3km模式中目前的Gal.C.S坐标在青藏高原和蒙古国上空有两个较集中的减小区域。沿28°N剖面的V风场平均偏差(图6)显示平缓坐标在高层的偏差有较明显的减小,特别是平滑地形的Klemp坐标在100 hPa以上几个偏差大值中心均消失。为分区域检验降水预报结果,将中国划分为8个区域(图7)分别检验24 h降水累加ETS评分(图8),结果显示:从中国区域来看,Klemp坐标对中雨、大雨、暴雨的评分较Gal C.S坐标有一定程度提高,也整体优于SLEVE1坐标。对受青藏高原大地形影响较明显的长江中下游、华南、西南东部地区,Klemp坐标小雨评分较高,可能与其对小尺度地形的平滑作用有关。其他降水量级的评分没有特别显著的规律。但是在西南东部地区,平缓混合坐标的评分几乎全部优于Gal.C.S坐标,特别是Klemp坐标的降水评分有较大程度地提高。这也说明平缓混合坐标带来的计算误差对西南东部地区即青藏高原下游的云贵高原和四川盆地等地的降水有较大影响。
5 结 论平缓地形追随坐标可以通过调整地形衰减系数来约束坐标面上的地形作用,在这个基础上进一步对逐层坐标面进行平滑又可以将小尺度的地形影响剔除,得到更加平滑的坐标面,进一步减小各种计算误差。
文中将逐层平滑地形的平缓地形追随坐标应用到高分辨率的GRAPES-3km模式中进行理想试验和批量模拟试验,得到如下的初步结论:
(1)相对于其他平缓地形追随坐标,逐层平滑地形的平缓地形追随坐标地形重力波模拟更接近解析值,波形变形和破碎问题进一步缓解。
(2)月连续模拟试验中逐层平滑地形的平缓地形追随坐标对高层月平均的温度场、风场模拟误差有一定程度减小,中国范围内月平均的降水评分也有所提高,西南地区东部的评分提高更加明显。
(3)无论是普通的平缓地形追随坐标还是平滑地形的平缓地形追随坐标,参数的设置都至关重要。高分辨率的GRAPES-3km模式对中国范围的模拟对坐标参数的设置更加敏感。保证计算稳定、追求坐标面平滑、得到较好的模拟结果三者同时达到需要对参数反复试验调整。
平滑地形的平缓地形追随坐标是目前国际上最先进的平缓地形追随坐标形式,也在高分辨率的GRAPES模式中得到了较好的应用结果。该坐标对模式分辨率、模式分层等有较高的依赖,所以在对业务模式进行改进升级时,也需要同步地调整该坐标的参数设置。
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