1 引　言

随着模式分辨率的提高，区域同化系统需要具有更精细的中小尺度分析能力，既需要使用包含更丰富的局地小尺度信息的高时、空分辨率的观测资料，例如雷达观测，又需要分析框架的背景误差协方差能含有中小尺度特征。变分分析框架的中小尺度分析能力和背景误差协方差的空间相关有关。观测信息在格点空间的传播是通过背景误差空间相关关系传递的，也就是说背景误差空间相关决定着不同尺度上的分析增量分布。

在变分同化系统中使用的背景场误差协方差是高度模型化的，这不仅使同化方案易于实施，也是为了保持背景场误差协方差矩阵的正定性，使极小化过程易收敛。在实际运用中，背景误差水平相关常用高斯（Gauss）和二阶自回归（soar）函数来近似，通过递归滤波来实现相关矩阵和向量的乘积（Vandenberghe，et al，1999；薛纪善等，2008）。Purser等（2003a）介绍了三维变分同化系统（3DVar）中应用不同阶的递归滤波技术实现高斯相关模型对背景误差水平相关的描述。在区域GRAPES（Global/Regional Assimilation and Predic-tion System）的三维变分同化系统（GRAPES-3DVar）中也采用高斯相关（薛纪善等，2008；庄照荣等，2006，2019）。研究（王金成等，2014）表明，高斯相关模型应用于3DVar会造成不符合实际的较大风场负相关，导致不合理的风场分析增量。二阶自回归型相关函数是Thiebaux（1976）为气候背景场构造的相关模型，在全球GRAPES-3DVar中也主要采用二阶自回归函数描述背景误差水平相关（王金成等，2014）。

相关研究（Vandenberghe，et al，1999）指出，高斯相关函数在小尺度上的功率谱不足，对小尺度作用不大。比较区域GRAPES-3DVar的分析增量与同样背景场下的T639模式的分析增量，在高斯相关模型下GRAPES风场分析增量的谱密度在中小尺度段下降较快，说明在动力场上中小尺度部分的GRAPES分析还不够精细（庄照荣等，2018）。Purser等（2003b）构造出不同尺度叠加的高斯函数来代表背景误差水平相关模型，这种模型比单一高斯模型能构建更有益、多样化的协方差形状，而且这种模型也更有利于控制相关模型拉普拉斯算子的旁瓣峰值。

何光鑫等（2011）在GRAPES-3DVar中采用尺度叠加高斯相关模型，通过四阶递归滤波方式在保持大尺度信息的基础上获得一些中小尺度的信息。吴洋等（2018）也采用多特征尺度的递归滤波器在分析和预报中获得了更多的α中尺度信息。虽然他们的研究在个例试验中增加了分析增量的中小尺度信息，但是对于不同相关模型如何影响分析增量的不同尺度信息，以及控制变量的相关模型结构如何影响分析风场都没有明确结论。因而文中针对背景误差水平相关模型进行研究，通过改进尺度叠加高斯相关模型来增加分析的中小尺度信息和减小风场分析的偏差，同时提高区域分析和预报的质量。

2 背景误差水平相关结构

背景误差水平相关描述背景误差在水平空间两点的相关程度，背景误差水平相关决定着观测信息传播到格点后的分析增量结构，以及观测信息在格点空间传播的远近。在区域GRAPES-3DVar中背景误差水平相关采用高斯模型来描述，并用递归滤波方案来实现观测信息在格点空间的传播。通过美国国家气象中心（NMC，National Meteorologi-cal Center）方法统计背景误差水平相关的结构，分析不同相关模型的性质和在3DVar中应用时不同动力场变量间的相关关系。

2.1 统计的水平相关结构

统计数据来自GRAPES区域中尺度数值模式的预报产品，模式水平分辨率为3 km，垂直分为51层，区域为（17º—50ºN，102º—135ºE）。采用2018年6月2日—8月31日180个预报样本（同一时刻24 h与12 h的预报场差别）来统计背景误差水平相关结构。区域中心点（33.5 ºN，118.5 ºE）与其他格点的背景误差水平相关系数分布如图1所示。

从图1可以看出，流函数与非平衡势函数的背景误差水平相关更接近各向同性，并且水平相关尺度更大，其中非平衡势函数的背景误差水平相关在东西方向比南北方向传播得更远（图1a、b）。由于流函数和非平衡势函数统计数据为风场的诊断导出量，区域边界的计算不准确造成在区域边界处的相关系数基本为负。非平衡地面气压的水平相关系数和地形有关，呈现非各向同性，水平相关尺度明显小于流函数与非平衡势函数（图1c）。非平衡温度、比湿和风场的背景误差水平相关尺度较小，其中比湿更接近各向同性分布（图1g），非平衡温度和u风场在东西方向的相关明显高于南北方向（图1d、e），同时也可以看出u风场在远离中心点南北两侧都存在明显负相关。对于高层v风场在远离中心点东西两侧也存在负相关（图1f）。从第1层u风场的相关可以看出（图1h），最大相关尺度的轴线为东南—西北向，在轴线两侧远处有明显的负相关；而第1层v风场的最大相关尺度的轴线为西南—东北向（图1i），在轴线两侧远处也有明显的负相关。风场的背景误差水平相关结构与风压场关系有关，例如北半球西风观测会造成西风以北气旋，以南反气旋，因而观测西风较远处两侧会有反向的东风（背景误差水平相关就为负相关）。由于近地层的地面摩擦力的作用，北半球西风观测会向右偏，因而低层u风场的背景误差水平相关尺度在东南—西北向最大，负相关也在最大相关尺度轴线的两侧，对于v风场也是如此，低层大气风场统计相关结构结果与Gustafsson等（2001，图9）给出的风场相关结构相似。

为了研究各变量的水平相关随高度的变化，统计区域（30°—40°N，115°—125°E）内所有格点与其他格点的平均水平相关系数随距离和高度的变化（图2）。

从统计的u风场相关（图2a）可以看出，不同高度u风场在X方向的相关尺度都比在Y方向的大，观测在X方向会传播的更远，同时u风场在X方向没有负相关，而在Y方向的中层存在小于0.1的负相关。不同高度的v风场在X和Y方向的水平相关尺度也略有不同（图2b），其中v风场从低层到中高层X方向存在小于0.1的负相关，在Y方向没有负相关。与图1结论一致，在自由大气风压场以地转平衡关系为主，因而造成风场在X和Y方向的水平相关结构不同。从图2c、d可以看出，比湿和非平衡温度的相关系数在X方向的相关尺度都略比Y方向大，而且这两个变量在X和Y方向基本没有负相关。从图2也可以看出湿度场在平流层水平相关尺度明显大于模式的中低层，这是由于在平流层水汽很少，湿度接近于0，对于稳定少变的变量相关尺度较大，与冬季干冷天气状态下湿度的水平相关尺度比夏季大很多的结论相似（庄照荣等，2019）。

从图1和图2也可以看出，流函数、非平衡势函数和地面气压的水平相关尺度较大，为大尺度变量，而非平衡温度、比湿和u/v风场的水平尺度较小，为较小尺度变量，它们的背景误差水平相关系数分布决定着观测资料对分析增量结构的影响。

2.2 相关模型的性质

从2.1节可知，变量中心点和其他格点的相关系数虽然基本为各向异性，但区域平均下各变量X和Y方向相关系数基本是对称的。在3DVar分析中背景误差协方差为静止、模型化的结构，其中背景误差水平相关关系假定为各向同性的，可用相关模型来描述。在GRAPES-3DVar区域分析中，用高斯函数 ${G_{}}(r)$ 描述水平相关关系。

${G_{}}(r) = {{\rm e}^{ - {r^2}/(2{L^2})}}$

(1)

式中，r为两点间的距离， $L$ 为水平相关尺度。由于高斯相关模型会造成分析的中小尺度信息不足，如果采用多种尺度叠加的高斯相关模型会增加中小尺度信息，尺度叠加的高斯函数为

${R_{}}(r) = \frac{1}{N}\sum\limits_{l_1}^{l_N} {G(r,\;L)} = \frac{1}{N}\sum\limits_{l_1}^{l_N} {{{\rm e}^{ - {r^2}/(2{L^2})}}} $

(2)

式中， ${R_{}}(r)$ 为水平相关尺度（ $L$ ）从 $l_1$ 到 $l_N$ 的N种不同尺度的高斯函数叠加。高斯函数与尺度叠加高斯函数的拉普拉斯算子为

$G''(r) = \frac{1}{{L^2}}(\frac{{r^2}}{{L^2} }- 1)G(r)$

(3)

$\begin{split} R''(r) &= \frac{1}{N}\sum\limits_{l_1}^{l_N} {G''(r,\;L)} \\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_{l_1}^{l_N} \frac{1}{{L^2}}(\frac{{r^2}}{{L^2}}{ - 1)G(r)} \end{split}$

(4)

高斯函数与尺度叠加高斯函数进行傅里叶变换，同时利用傅里叶变换的线性性质，它们的谱响应函数分别为

${{{F}}}\left[ {G(r)} \right] = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(t){{\rm e}^{ - ikt}}{\rm d}t = } \sqrt {2{\text{π}} } L{{\rm{e}}^{ - {k^2}{L^2}/2}}$

(5)

$ {{{F}}}\left[ {R(r)} \right] = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {R(t){{\rm e}^{ - ikt}}{\rm d}t = } \frac{\sqrt {2{\text{π}} } }{N}{\sum\limits_{l_1}^{l_N}} {L{{\rm{e}}^{ - {k^2}{L^2}/2}}} $

(6)

式中， $k$ 为频率。从式（5）、（6）可知，高斯函数和尺度叠加高斯函数的谱响应函数随 $kL$ （频率和相关尺度的乘积）而变化。再利用傅里叶变换的微分性质， ${{{F}}}\left[ {{f^{\left(n \right)}}(r)} \right] = {\left({ik} \right)^n}{{{F}}}\left[ {f(r)} \right]$ ，则高斯函数与尺度叠加高斯函数拉普拉斯算子的谱响应函数分别为

${{F}}\left[ {G''(r)} \right] = - {k^2}\sqrt {2{\text{π}} } L{{\rm{e}}^{ - {k^2}{L^2}/2}}$

(7)

$ {{F}}\left[ {R''(r)} \right] = \frac{- {k^2}\sqrt {2{\text{π}} } }{N}\sum\limits_{l_1}^{l_N} {L{{\rm{e}}^{ - {k^2}{L^2}/2}}} $

(8)

若高斯模型的水平相关尺度为280 km，尺度叠加的高斯函数分别采用180、280、380 km三种尺度叠加而成，280 km为尺度叠加高斯函数的平均尺度，则从这两种相关函数的空间分布及其归一化的负拉普拉斯算子以及它们的谱响应函数（图3）可以看出，当进行不同尺度叠加后，尺度叠加的高斯相关函数可以基本保持单一相关尺度280 km的高斯函数分布（图3a），而且尺度叠加高斯函数归一化的负拉普拉斯算子在近距离也与单一高斯函数归一化的负拉普拉斯相当，但尺度叠加的高斯函数负拉普拉斯的旁瓣峰值（−0.298）明显低于高斯函数的值（−0.446）（图3b）。如果采用更多的高斯函数组合，叠加效应的优势更能体现。从图3c谱响应函数可以看出，尺度叠加的高斯谱响应函数在长波大尺度部分能与单一的高斯函数功率谱相当，在中小尺度上功率谱比单一高斯函数的功率谱增加很多。对于尺度叠加高斯函数的拉普拉斯算子的谱响应函数也是同样的结论（图3d）。

2.3 相关模型在3DVar中的应用

在GRAPES-RAFS系统中采用三维变分进行同化分析，以求控制变量的目标函数达到极小时的分析场（薛纪善等，2008，2012）

$J = \frac{\,1\,}{\,2\,}{{{w}}^{\rm{T}}}{{w}} + \frac{\,1\,}{\,2\,}{({{HP}}{\varSigma _{\rm{u}}}{{Uw}} + {{d}})^{\rm{T}}}{{{R}}^{ - 1}}({{HP}}{\varSigma _{\rm{u}}}{{Uw}} + {{d}})$

(9)

式中，w为控制变量，H是把大气状态投影到观测空间的线性观测算子，P是变量间不相关的分析变量（ $\delta \psi\text{、}{\delta} {\chi }_{\rm{u}}\text{、}{\delta} (T,{p}_{\rm{s}}{)}_{\rm{u}}\text{、}{\delta} q$ ）到模式变量（ ${\delta} {u_{\rm{a}}}^{}\text{、}{\delta} {v_{\rm{a}}}^{}\text{、} {\delta }{\pi _{\rm{a}}}^{}\text{、} {\delta} q$ ）的平衡变换。 ${{d}} = {{H}}({{{x}}_{\rm{b}}}) - {{y}}$ 为新息向量， ${{{x}}_{\rm{b}}}$ 为背景场， ${{y}}$ 为观测。 ${\varSigma _{\rm{u}}}$ 是由格点上均方根误差构成的对角矩阵，矩阵 ${{U}}$ 是相关系数矩阵的平方根矩阵，有

${{{B}}_{\rm{u}}} = {{U}}{{{U}}^{\rm{T}}} = {{VSR}}{{{S}}^{\rm{T}}}{{{V}}^{\rm{T}}}$

(10)

式中， ${{V}}$ 为正交垂直模， ${{S}}$ 为垂直模的方差向量， ${{R}}$ 为背景误差水平相关矩阵。背景误差水平相关矩阵与某个向量的乘积可用递归滤波来逼近（薛纪善等，2008）

${{R}} = \underbrace {{{{R}}_{\rm{F}}}{{{R}}_{\rm{F}}} \cdots {{{R}}_{\rm{F}}}}_{N/2}\underbrace {{{R}}_{\rm{F}}^{\rm{T}}{{R}}_{\rm{F}}^{\rm{T}} \cdots {{R}}_{\rm{F}}^{\rm{T}}}_{N/2}$

(11)

式中， ${{{R}}_{\rm{F}}}$ 为一次向前一次向后的递归滤波， ${{R}}$ 可以通过 $N$ 次向前/向后的递归滤波来逼近。在GRAPES-3DVar系统中，分析变量（ $\delta \psi$ 、 $\delta {\chi }_{\rm{u}}$ 、 $\delta(T,{p}_{\rm{s}}{)}_{\rm{u}} $ 、 $\delta q $ ）的背景误差协方差采用NMC方法统计，其中分析变量的水平相关模型采用高斯函数来描述，背景误差协方差水平变化部分采用一阶递归滤波算法，滤波迭代次数为10。

对于尺度叠加的高斯相关模型，利用傅里叶变换线性性质，可采用多次不同尺度的递归滤波运算叠加来实现。

目前GRAPES-3DVar中分析变量 $ \psi$ 、 ${\chi }_{\rm{u}} $ 、 $(T,{p}_{\rm{s}}{)}_{\rm{u}}$ 、 $q $ 背景误差水平相关模型为高斯函数，则分析变量的背景误差协方差可描述为

$\left\langle {{X_i},{X_j}} \right\rangle = E_{{{ X}}}^2G(r,{L_{ X}})$

(12)

式中，变量 $X$ 可为 $ \psi$ 、 ${\chi }_{\rm{u}} $ 、 $(T,{p}_{\rm{s}}{)}_{\rm{u}}$ 、 $q $ ， $E_{ X}^2$ 表示背景误差方差， $G(r,{L_{X}})$ 和 ${L_{ X}}$ 分别为变量 ${ X}$ 的相关函数和水平相关尺度， $r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $ 为两点 $i,j$ 之间的距离， $\psi$ 、 ${\chi _u} $ 控制变量之间的协方差为

$ \left\langle {{\psi _i},{\chi _{\rm{u}}}_j} \right\rangle = E_{\rm{\psi }}^{}E_{{{\rm{\chi }}_{\rm{u}}}}^{}H(r,L) $

(13)

式中， $H(r,L)$ 描述 $\psi $ 和 ${\chi _{\rm{u}}}$ 变量的水平相关系数。对于模式变量 $u$ 、 $v$ 和分析变量有以下关系

$ u = - \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \chi }}{{\partial x}},\quad v = \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \chi }}{{\partial y}} $

(14)

根据Daley（1985）以及Hollingsworth等（1986），则 $u$ 风场的协方差为

$\begin{split} \left\langle {{u_i},{u_j}} \right\rangle =& \left\langle { - \frac{{\partial \psi }}{{\partial {y_i}}} + \frac{{\partial \chi }}{{\partial {x_i}}},- \frac{{\partial \psi }}{{\partial {y_j}}} + \frac{{\partial \chi }}{{\partial {x_j}}}} \right\rangle \\ = & - \left[ E_{\rm{\psi }}^2\frac{\partial }{{\partial {y^2}}}G(r,{L_{\rm{\psi }}}) + E_\chi ^2\frac{\partial }{{\partial {x^2}}}G(r,{L_{\rm{\chi }}}) \right.- \\&\left.2E_{\rm{\psi }}^{}E_{\rm{\chi }}^{}\frac{\partial }{{\partial x\partial y}}H(r,{L_{{\rm{\psi \chi }}}}) \right]\\ =& E_{\rm{\psi }}^{\rm{2}}\varGamma \left[ {G(r,{L_{\rm{\psi }}})} \right] + E_{\rm{\chi }}^2\varDelta \left[ {G(r,{L_{\rm{\chi }}})} \right] +\\& 2E_{\rm{\psi }}^{}E_{\rm{\chi }}^{}\varPhi \left[ {H(r,{L_{{\rm{\psi \chi }}}})} \right] \\ \end{split} $

(15)

同样， $v$ 风场和 $u$ 、 $v$ 之间的协方差可表示为

$\begin{split} \left\langle {{v_i},{v_j}} \right\rangle =& E_{\rm{\psi }}^{\rm{2}}\varDelta \left[ {G(r,{L_{\rm{\psi }}})} \right] + E_{\rm{\chi }}^{\rm{2}}\varGamma \left[ {G(r,{L_{\rm{\chi }}})} \right] - \\&2E_{\rm{\psi }}^{}E_{\rm{\chi }}^{}\varPhi \left[ {H(r,{L_{{\rm{\psi \chi }}}})} \right] \end{split} $

(16)

$\begin{split} \left\langle {{u_i},{v_j}} \right\rangle =& E_{\rm{\psi }}^{\rm{2}}\varPhi \left[ {G(r,{L_{\rm{\psi }}})} \right] - E_{\rm{\chi }}^{\rm{2}}\varPhi \left[ {G(r,{L_{\rm{\chi }}})} \right] +\\& E_{\rm{\psi }}^{}E_{\rm{\chi }}^{}\varLambda \left[ {H(r,{L_{{\rm{\psi \chi }}}})} \right] \end{split} $

(17)

其中

$\left\{ \begin{split}\varGamma =& - \left[ {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}} + {{({y_i} - {y_j})}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}} \right] \\ \varDelta = & - \left[ {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}} + {{({x_i} - {x_j})}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}} \right] \\ \varPhi =& \left[ {({y_i} - {y_j})({x_i} - {x_j})\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}} \right] \\ \varLambda =& \big[{({y_i} - {y_j})^2} - {({x_i} - {x_j})^2}\big]\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}} \end{split}\right.$

(18)

从式（15）—（17）可知，风场的背景误差协方差由流函数、势函数及它们间的相关系数函数决定。因而用相关函数描述分析变量背景误差的水平相关关系时，不仅要求相关函数本身能匹配实际分析变量的水平相关，相关函数的拉普拉斯算子也应该有合理的结构来描述风场之间的相关关系。

当采用高斯函数描述流函数与非平衡势函数的背景误差的水平相关时，推导出风场背景误差相关关系与高斯函数的负拉普拉斯算子的结构有关（见式（15）、（16）、（17）），而高斯函数负拉普拉斯算子的旁瓣值可超过−0.4（图3b），造成风场负相关较大，因而单点风观测的负增量也比较大（见张华等（2004）的图4b与图5c以及庄世宇等（2005）图6）。而采用尺度叠加高斯函数描述背景误差水平相关时，推导出风场背景误差负相关可大幅度变弱（图3b），并可通过调节不同尺度参数使描述的风场背景误差水平相关结构更符合图1和图2统计的结果，因而会缓解风场较大负相关造成的不合理分析增量问题。

3 GRAPES-RAFS系统及试验设置 3.1 GRAPES-RAFS系统

GRAPES区域快速分析预报循环系统（GRAPES-RAFS）是基于区域GRAPES模式面三维变分分析（GRAPES-3DVar）（马旭林等，2009；薛纪善等，2008，2012）和区域中尺度数值预报模式（陈德辉等，2006；Chen，et al，2008；Zhang，et al，2008）建立的间歇快速分析预报循环系统（徐枝芳等，2013；庄照荣等，2020）。其中GRAPES-3DVar中控制变量为流函数、非平衡势函数、非平衡地面气压、非平衡温度和比湿，背景误差协方差采用美国国家气象中心方法（NMC）统计得到，风压场的平衡关系依赖线性统计回归关系（王瑞春等，2012），误差方差为随高度和纬度变化的二维场，垂直相关采用NMC方法统计的垂直相关系数，水平相关关系用高斯函数来描述，水平相关尺度为随高度变化的统计廓线（庄照荣等，2019）。

3.2 试验设置

采用GRAPES-RAFS进行间歇分析预报循环试验，试验时段为2018年6月11日00时—28日12时（世界时，下同），分别在00和12时开始每隔3 h进行一次分析的12 h循环，即到12/00时终止。在起始00/12时的冷启动采用NCEP全球模式6 h预报的降尺度场作为背景场，NCEP模式产品分辨率为50 km，垂直分层从1000 hPa到10 hPa共26层。与业务设置一样，为了同化更多的观测资料，冷启动分析时间窗为6 h，正负3 h的观测资料都作为冷启动时刻的观测资料使用，随后每3 h分析采用的背景场为上一时刻区域模式的3 h预报；热启动分析时间窗为3 h，正负1.5 h的观测资料进入分析系统，分析后长时间预报时效为24 h。三维变分同化的观测资料包括探空、地面报、船舶报、飞机报、云导风、雷达反演VAD风场和GPS反演的可降水量。云分析使用了风云2G的亮温和云总量，以及雷达反射率资料。试验范围为中国东部区域（17º—50ºN，102º—135ºE），模式水平分辨率为3 km，垂直为51层，模式顶达33 km。试验中采用非绝热数字滤波方案来滤除多次循环中初始场累积的虚假重力波噪音，只在热启动时采用数字滤波，并且数字滤波周期为2 h，即绝热向后积分1 h，然后进行向前非绝热积分2 h，对向前积分的2 h内的预报场进行时间上的滤波获得初始场。

对照试验（Ctrl）在以上设置的基础上采用单一的高斯相关函数进行分析，其中采用随高度变化的水平相关尺度L如图4所示。改进试验（SupG）在以上设置的基础上采用3种尺度叠加的高斯相关函数，即N=3，3种水平相关尺度分别为 $(L - 100\;{\rm{km}})$ 、 $L{\text{、}}L + 100\;{\rm{km}}$ 。

两组试验采用同样的GRAPES区域模式设置，时间步长30 s，辐射方案采用RRTM 长波方案和Dudhia 短波方案，没有采用积云对流参数化方案，微物理过程采用WSM6，陆面过程采用NOAH，近地面层采用Monin-Obukhov 方案，边界层采用MRF方案。

4 个例分析

为了更细致分析尺度叠加高斯相关模型对分析预报的影响，在批量试验中选取2018年6月15日00时的实际观测资料分析和预报场，分别从分析目标函数、分析增量结构、分析增量功率谱及预报的动能谱研究相关模型的影响。

4.1 目标函数影响

三维变分系统中目标函数直接反映分析靠近观测资料的程度和收敛情况。从目标函数随收敛步长的变化（图5a）可以看出，采用SupG方案后，目标函数（J）和观测目标函数比对照试验下降收敛更快。收敛后SupG试验的目标函数比对照试验下降15.83%，观测目标函数比对照试验下降23%，背景场目标函数比对照试验上升72%。以上结果说明改进的尺度叠加高斯相关模型对分析系统的收敛性及分析场影响很大，分析场更靠近观测。

从背景场各控制变量的目标函数变化（图5b）可以诊断不同变量观测对分析的修正程度，可以看出，湿度背景目标函数随收敛步数上升缓慢，收敛后湿度目标函数远小于温度场和风场，这与目前湿度观测资料较少，并且为单变量分析有关。采用尺度叠加高斯相关模型后，收敛后湿度目标函数有明显提高，提高幅度达39%。对于流函数和非平衡势函数，SupG试验的背景目标函数随收敛步数上升程度远大于对照试验，收敛后流函数目标函数提高幅度达113%，非平衡势函数达98%。SupG试验的温度场目标函数也增幅明显，收敛后比对照试验提高44%。

4.2 分析增量结构

比较对照试验（图6）与SupG试验（图7）的分析增量可以看出，对照试验的分析增量存在明显的几个大值中心，分析增量分布比SupG试验更平滑，基本为大尺度分析增量。而SupG试验的分析增量存在更多的大值中心和更精细的增量结构，尤其是纬向风和经向风分析增量，与对照试验相差很大。

4.3 分析增量功率谱

从相关模型的性质可知，尺度叠加高斯模型比单一高斯模型在中小尺度部分上有更多的信息，从两组试验分析增量的功率谱差值（图8）可以看出，SupG试验的无量纲气压和风场分析增量功率谱在2000 km以上的大尺度部分功率谱小于对照试验，在2000 km以下尺度，SupG试验的功率谱在各高度层上都显著大于对照试验。同样，在2000 km以上SupG试验的湿度分析增量大尺度部分功率谱也小于对照试验；在中小尺度部分，湿度分析增量在模式中低层的功率谱也明显高于对照试验。

4.4 预报的动能谱

从不同预报时效的动能谱变化（图9）也可以看出，在100 km以下尺度部分，SupG试验的分析动能谱明显高于对照试验。随后1—2 h预报过程中，模式产生更多中小尺度信息，两组试验的预报动能谱向观测谱线靠近，但二者相差不大。在3—6 h预报过程中，模式预报的动能谱在高频部分进一步靠近观测谱线，模式动力、热力调整也趋于稳定，同时也可以看出中小尺度部分SupG试验的动能谱略微高于对照试验。

综上所述，尺度叠加高斯相关模型加速了目标函数的收敛程度，收敛后的各变量背景目标函数都有明显增大，特别是动力场背景目标函数；而且显著增加了分析增量的中小尺度信息，在100 km以内，分析动能谱明显增大，前6 h预报动能谱也略有增大。

5 批量试验分析

对17天35组的循环试验结果进行检验，比较快速分析预报循环中热启动00与12时起报的分析预报与探空观测的偏差与标准差及热启动00时起报的24 h预报内各时段各量级降水ETS评分和偏差评分。尺度叠加高斯相关模型对地面2 m气温和10 m风的分析场和预报影响不大（图略）。

5.1 高空要素预报检验

对比热启动的分析预报与00/12时探空观测的偏差与标准差（图10）可以看出，对于u/v风场，在150 hPa以下SupG试验的分析标准差比对照试验下降幅度达0.5 m/s，对风场的改进非常明显；但是对风场分析偏差两组试验差别不是很明显。同样，对于温度和湿度分析，SupG试验在150 hPa以下模式中低层改进也很明显，分析标准差都比对照试验小，但SupG试验的温度分析偏差与对照试验相差不大，对照试验的湿度分析偏差在200 hPa附近反而比SupG试验更靠近“0”线。

对于3 h预报场，SupG试验的风场标准差在150 hPa以下略低于对照试验，两组试验温度标准差相差不大，SupG试验湿度标准差在300 hPa附近略有减少。

经过12 h预报后，尺度叠加相关模型对风场预报还有一定的正贡献，SupG试验的风场预报标准差在100 hPa以下都略小于对照试验。而温度和湿度场12 h预报在两组试验中的差别不明显。

5.2 降水预报检验

从2018年6月12—28日热启动00时起报的对照试验和改进试验平均每6 h降水预报的ETS评分（图11）可以看出，SupG试验的0—6 h降水预报ETS评分在各个降水量级都比对照试验显著提高，SupG试验的6—12 h降水预报ETS评分在中雨和大雨量级都明显高于对照试验。12—18 h预报时段，SupG试验在小雨、中雨和暴雨量级的ETS评分明显比对照试验高；18—24 h预报时段，SupG试验的降水预报ETS评分在小雨、中雨和大雨量级显著高于对照试验。

从降水预报偏差评分（图12）可以看出，0—6 h预报时段，对于大雨、暴雨和特大暴雨量级降水，对照试验虚警严重，SupG试验虚警现象明显改善，降水偏差显著降低。6—12 h预报时段，两组试验对暴雨以下量级的降水预报都存在漏报，对特大暴雨都存在虚警，虚警现象SupG试验有明显改善，降水预报偏差评分从2.3下降到1.9。12—18 h预报时段，除去暴雨量级SugG试验降水虚警略严重，其他量级降水虚警现象比对照试验均有缓解，SupG试验的降水偏差更接近于1.0。18—24 h预报时段，SupG试验小雨、中雨和暴雨量级的降水预报偏差评分都比对照试验更接近于1.0，虚警略有改善，但对特大暴雨量级降水，对照试验存在漏报，而SupG试验存在虚警。

6 结论和讨论

采用NMC方法统计背景误差水平相关结构，并且研究高斯模型和尺度叠加高斯模型的特征，依据统计的水平相关结构特征来改进水平相关模型。并且通过多次递归滤波方案把尺度叠加高斯模型应用于GRAPES-RAFS系统，进行观测资料同化和预报循环试验，主要得到以下结论：

（1）在一维空间尺度，叠加高斯模型与单一高斯模型结构相似，但其负拉普拉斯算子的旁瓣峰值有明显减小，并且尺度叠加高斯模型及其拉普拉斯算子的谱响应函数在高频部分的振幅比单一高斯模型的值有明显提高。

（2）通过3个月东部区域预报数据NMC方法统计，风场背景误差负相关不到−0.1。在GRAPES-3DVar中，当控制变量为流函数与非平衡势函数时，风场相关关系的描述直接与相关模型的负拉普拉斯算子有关，而单一高斯模型负拉普拉斯算子旁瓣峰值较大会造成不合理的风场负相关。尺度叠加高斯相关模型负拉普拉斯算子的旁瓣峰值可以通过不同特征尺度组合进行调节，因而比单一高斯模型更适合描述风场的相关关系。

（3）尺度叠加高斯模型在3DVar中的应用加强了观测资料对分析的影响，特别是风场观测，因而加速了目标函数的收敛，动力场的背景目标函数增加100%左右，分析增量的中小尺度信息大幅度增加，中小尺度段分析的动能谱明显增大，前6 h预报的动能谱也略有增大。

（4）批量循环试验的分析预报结果表明，尺度叠加高斯相关模型的应用大幅度降低了热启动分析的标准差，尤其风场分析质量提高明显，同时3 h和12 h风场预报质量也略有提高，也显著提高了前24 h各量级降水的ETS评分，SupG试验明显缓解了对照试验的虚警现象。

文中依据统计的背景误差水平相关结构，改进了3DVar中的水平相关模型。在高分辨率模式系统中，不仅是背景误差水平相关，背景误差均方差、垂直相关，以及变量之间的相关关系都需要重新考虑。背景误差协方差中变量之间的相互关系在以往多有研究，例如区域GRAPES-3DVar中最初只考虑了最主要的地转平衡关系（张华等，2004；马旭林等，2009），后来又引入了非线性平衡方案描述强涡旋系统中的风压场平衡关系（Zhuang，et al，2006）。在全球GRAPES-3DVar中通过统计回归系数来描述流函数和势函数的关系，初步补充了原方案中没有旋转风和散度风之间的平衡关系（王瑞春等，2012）。而在高分辨率系统中，变量之间的平衡关系需要更关注中小尺度的平衡关系。从文中统计的风场水平相关结构也可以看出，由于受地面摩擦力影响，大气边界层风场水平相关结构是倾斜的，变量之间的平衡关系要考虑摩擦力作用，同时也要更细致考虑动力场之间的旋转风和散度风的关系。

文中对地面要素预报的检验结果表明，尺度叠加高斯相关模型改进对地面要素分析和预报影响不大。这也说明大气边界层受复杂下垫面影响，在动力和热力的共同作用下，大气边界层的地面要素尺度小，变化大，比自由大气中的高空要素场更难准确分析和预报。只改进背景误差相关模型很难对近地面要素分析起作用，还需要改进大气边界层的同化框架，以及改进地面观测资料的同化算法。

致　谢：感谢数值预报中心王瑞春博士提供的区域模式预报统计样本；感谢数值预报中心王皓博士提供的高空要素预报场偏差和标准差检验程序。