气象学报  2019, Vol. 77 Issue (6): 1041-1052   PDF    
http://dx.doi.org/10.11676/qxxb2019.068
中国气象学会主办。
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文章信息

李超, 陈德辉, 李兴良, 胡江林. 2019.
LI Chao, CHEN Dehui, LI Xingliang, HU Jianglin. 2019.
一种改进的平缓-混合地形追随坐标在GRAPES中尺度模式中的应用研究
A study on application of an improved terrain-following vertical coordinate in the GRAPES model
气象学报, 77(6): 1041-1052.
Acta Meteorologica Sinica, 77(6): 1041-1052.
http://dx.doi.org/10.11676/qxxb2019.068

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2018-03-15 收稿
2019-07-12 改回
一种改进的平缓-混合地形追随坐标在GRAPES中尺度模式中的应用研究
李超 , 陈德辉 , 李兴良 , 胡江林     
国家气象中心, 北京, 100081
摘要: 平缓-混合地形追随坐标(T-F坐标)可以减小坐标面上的地形影响带来的各种计算误差。以余弦三角函数为基函数的平缓-混合坐标(COS坐标)高层坐标面水平,计算误差较小,但是低层坐标面之间的厚度较薄,增大了计算误差,给模式稳定性及模拟效果带来较大的影响。设计一种改进的COS坐标,使低层坐标面垂直分布更加均匀,应用于GRAPES-Meso模式进行理想试验和实际模拟试验。结果表明,改进的COS坐标相对COS坐标,中高层计算误差相当,低层地形作用衰减的垂直变化更加均匀,减小了计算误差,提高了计算稳定性;地形重力波试验结果显示,改进的COS坐标重力波破碎相对COS坐标有一定缓解,更接近解析值;批量模拟试验结果显示,改进的COS坐标各个层次上的月平均模拟偏差比单尺度双曲函数平缓-混合坐标(简称SLEVE1坐标)更小,均方根误差减小,距平相关系数增大。改进的COS坐标有效地解决了COS坐标的计算问题,提高了模式预报效果。
关键词: GRAPES模式    平缓-混合坐标    动力框架    数值模式    
A study on application of an improved terrain-following vertical coordinate in the GRAPES model
LI Chao , CHEN Dehui , LI Xingliang , HU Jianglin     
National Meteorological Center, Beijing 100081, China
Abstract: Errors caused by topographic features on the coordinate planes can be reduced using the smoothed-level terrain-following coordinate (T-F coordinate). In upper levels, the coordinate planes of the T-F coordinate, which is based on trigonometric function of cosine (COS coordinate), are horizontal with little error. However, in lower levels, the thickness between two adjacent planes is too small to keep the model numerically stable. At the same time, it also brings in larger calculating errors that result in bad performance of the model. Considering all the above factors, an improved COS coordinate is designed to average the thickness between COS coordinate planes. Ideal and real cases tests are conducted with the GRAPES-Meso model using the improved COS coordinate. The results of the tests indicate that compared with the COS coordinate, the improved COS coordinate can on one hand keep the planes horizontal on higher levels. On the other hand, it leads to a more uniformity distribution of the coordinate planes and greatly reduces errors in lower levels. The model with the original coordinate can reproduce the mountain induced gravity waves that are consistent with the analytic solution. However, the shape, vertical structure and intensity of the waves are better simulated by the model with the improved COS coordinate, especially in lower levels where the COS coordinate doesn't work as expected. One-month real case tests indicate that the improved COS coordinate yields better results in terms of forecast bias, root mean square error and anomaly correlation coefficient. In conclusion, the improved COS coordinate solves the calculation problems of the COS coordinate, and improves the prediction ability.
Key words: GRAPES model    Terrain-following coordinate    Dynamic core    Numerical modelling    
1 引言

自数值天气预报被提出以来,数值预报模式的垂直坐标经历了自然高度坐标(Richardson,2007)、气压坐标(Eliassen,1949)、位温坐标(Bleck,1978)、地形追随坐标(Phillips,1957)等发展历程。前三种坐标最底层坐标面并不是地表面,下边界条件的给出有一定困难。而地形追随坐标最底层坐标面为地表面,地表面上垂直风消失,简化了下边界条件,此外,地形追随坐标计算区域为矩形,垂直方向非均匀分层,动力过程更容易与边界层和地表参数化耦合,其无内部边界条件,地形分辨率与模式同步,优点很多,但问题也不可忽视。第一是高层平流计算的问题。由于地形追随坐标的性质,高层坐标面随地形起伏,这样高层陡峭的坐标面上的物质平流和水平扩散的误差均比较大,对平流层的模拟影响较大。第二是该种坐标下气压梯度力(PGF)的计算由一项变成了两大项的小差,增加了计算误差。

为了更好地应用地形追随坐标,目前解决这两个问题的方向主要有:第一,研究气压梯度力的计算方法,减小其计算误差。研究成果很丰富,如回插等压面法、递推算法(杨晓娟等,2003)、扣除法(钱永甫等, 1994, 1995)、特殊差分格式法、差微差算法(钱永甫等,1991)、基于静力方程订正的气压回插法(胡江林等,2007)等。第二,特别处理地形,典型例子就是η阶梯坐标(Mesinger,1984)的提出,η坐标将模式地形处理为“台阶地形”,简化了下边界条件。第三,发展性能良好的混合坐标或者平缓坐标,减小高层模式面的坐标面隆起,减少坐标面上地形坡度的识别(Schär, et al,2002李超等, 2012a, 2012bLi, et al,2015),这也是本研究的出发点。

地形追随坐标目前有高度地形追随坐标和气压地形追随坐标两种形式,这里主要研究高度地形追随坐标(李超等,2012a)

(1)

式中,bh*()为地形衰减系数,Zs(x, y)为地形高度,为坐标面相对高度。选取不同的地形衰减函数,应用于中国气象局自主研发的GRAPES模式(表 1)。

表 1  目前国际上主要的平缓-混合坐标形式 Table 1  Major smoothed-level coordinates used at present
坐标名称 地形衰减系数 坐标出处 备注
Gal.C.S坐标 Gal-Chen, et al, 1975 ZT为模式层顶高度,为坐标面相对高度
单尺度双曲函数平缓坐标SLEVE1 Schär, et al, 2002 h*为地形临界衰减高度,ZT为模式层顶高度,为坐标面相对高度
双尺度双曲函数平缓坐标SLEVE2 Schär, et al, 2002 h1*为大尺度地形临界衰减高度,h2*为小尺度地形临界衰减高度,ZT为模式层顶高度,为坐标面相对高度
余弦三角函数平缓坐标COS Klemp,2011 Ze是地形作用衰减为0的高度,ZT为模式层顶高度,为坐标面相对高度

Li等(2015)表 1中坐标应用到GRAPES模式动力框架中进行了理想试验和批量模拟试验。各种形式平缓-混合坐标比较,单尺度双曲函数平缓-混合坐标(SLEVE1坐标)对计算误差衰减最大,较好地提高了预报能力。余弦三角函数平缓坐标(COS坐标)高层坐标面水平,应该是较理想的坐标形式。但是其坐标面上的地形衰减更多地集中在中下层,导致地形较高的位置上方坐标面厚度较薄,影响计算精度和稳定性,从而影响预报效果。本研究将设计并首次提出一种形式更加灵活可调的COS坐标来解决这个问题,既保持高层计算误差较小又解决中低层预报偏差大的问题。

2 改进的COS坐标 2.1 COS坐标的问题

对于不同形式的平缓-混合坐标,地形衰减系数的垂直变化率dbh*/表示坐标面上的地形作用随高度的衰减速率,能够较好地反映坐标面上地形平滑的特点。李超等(2012a)对COS坐标进行理论分析时发现,在低层,COS坐标对坐标面上地形作用的衰减速率是逐渐增大的,到一定高度(拐点)之后,这一速率开始减小,直至为0。其最大衰减率的高度可以通过临界衰减高度(Zc)和参数(n)进行调节。n不变,临界衰减高度(Zc)增大,最大衰减率的高度增高;Zc不变,n减小,最大衰减率的高度增高(图 1)。此外,理论分析发现,n≤1时,bh*一阶不可导,dbh*/Zc处不连续,1≤n≤2时,bh*一阶可导而二阶不可导,d2bh*/Zc处不连续。

图 1  COS坐标n取值0.5、1.5、2、3时d(bh*)/的高度变化 Fig. 1  Vertical derivatives of the decay function bh* for COS coordinate with different values of n

在实际应用中,为了更好地减小高层地形追随带来的计算误差,Zc越小,高层误差减小效果越好。对于COS坐标来讲,Zc保持不变,n越大,地形随高度衰减得越快(图 1)。但是,n越大,最下面几层的地形衰减速率随高度差别越大,导致坐标面之间的厚度过薄,会引起计算不稳定。要实现高层坐标面水平,低层坐标面之间的厚度不至于太薄,仅仅通过简单的参数Zcn调整较难实现。针对这个问题,考虑重新设计COS坐标的地形衰减系数。

2.2 改进的COS坐标

李超等(2012b)对SLEVE1坐标进行理想和实际模拟试验,该种坐标对GRAPES模式改进效果较好。参考SLEVE1坐标的地形衰减速率廓线,COS坐标最低几层的地形衰减速率与SLEVE1保持相当便能有效地解决计算不稳定和误差较大的问题,同时还能实现高层的计算误差比SLEVE1坐标小。鉴于此,基于COS坐标地形衰减速率廓线,将横坐标面抬升一定的高度(z方向平移),一方面保持COS坐标高层坐标面水平,另一方面减小低层各层之间地形高度衰减率的差别,解决低层坐标面之间厚度太小的问题。

改进的COS坐标的地形衰减系数为

(2)

式中,为坐标面相对高度,n取值决定dbh*/分布图低层波形的宽窄,Zc为地形作用衰减为0的高度,其取值决定dbh*/分布图低层波长的长短。Z0为第一层坐标面抬升高度,其极值即为dbh*/分布的垂向拐点,可以通过数学方法通过求极值取得,但是在实际应用中要根据模式分层而定,第4节将详细分析。坐标转换的,可以直观地描述坐标面的形变。对比理想地形和均匀垂直分层下几种坐标的Jb垂直剖面可以看出,改进的COS坐标比COS坐标将地形衰减更均匀地分布在临界衰减高度以内,在低层也与改进效果较好的SLEVE1坐标的Jb更接近。

图 2  理想地形下几种坐标的坐标面和相对应的Jb分布 (a.Gal.C.S坐标,b.SLEVE1坐标,c.COS坐标,d.改进的COS坐标) Fig. 2  Cross sections of Jb in four coordinates (a. Gal C.S., b.SLEVE1, c. COS, d. improved COS)
3 地形重力波理想试验

低层大气中不同尺度的山脉会激发出形状尺度不同、传播方向各异的重力波。山脉重力波在大气低层的结构十分复杂,这也是引发天气状况的重要原因。下面为层结稳定的干空气穿过二维地形激发出山脉重力波的理想试验。

将改进的COS坐标应用到GRAPES中尺度(GRAPES-Meso)模式。上游大气廓线设置为:布朗特数N为0.01,x方向水平速度U为10 m/s,上游地表面参考位温为280 K。地形采用理想多峰地形

(3)

式中, a=5 km,λ为小尺度地形的波长,a为地形跨度,也是大尺度地形的半宽度,这样半波余弦形的大尺度地形的波长即为2πa。这种地形强迫出的重力波有两个主导的谱段,大尺度的准静力波动垂向深度传播,而余弦形状的小尺度波动则由于非静力作用随着高度迅速衰减(Anthes,et al, 1978)。假设a/λ为定值,绝热无摩擦大气下模拟出的重力波受制于两个无量纲数Nh0/UNa/U。这样N/U固定的情况下,模拟结果只和地形尺度有关。重力波的线性解析值(图 3a)通过傅里叶转换求出(Smith, 1979, 1980)。

图 3  稳定气流过山积分10 h不同坐标的垂直速度分布与解析值比较 (a.解析值,b.COS坐标,c.改进的COS坐标;等值线间隔为0.05 m/s,时间步长为0.3 s) Fig. 3  Cross-sections of vertical velocity after 10 h simulations under a steady-state flow over the belle-shaped mountain (a. for the analytic solution, b.COS, c. improved COS; the contour interval is 0.05 m/s, the time step is 0.3 s)

试验计算区域水平计算范围为(-25000 m, 25000 m),垂直计算范围为(0, 21000 m),Δx=250 m,Δξ=210 m,下边界为无通量的边界条件,上边界为9 km的隐式吸收边界,侧边界为开放边界。无物理过程和扩散的条件下积分10 h,比较各坐标垂直风速的分布。

与COS坐标(图 3b)相比,改进的COS坐标(图 3c)对重力波的模拟效果更接近解析值(图 3a),波形上的地形作用有所减弱,波形破碎得到缓解。这也说明改进的COS坐标与COS坐标相比,在最低几层对地形作用的衰减更强,不仅仅集中在中间某几层,理想试验证实了这种坐标的可行性。

4 实际模拟试验 4.1 参数设置

针对实际模拟试验的要求给定改进的COS坐标的参数nZcZ0图 4Zc取值15 km、n取值不同时的坐标面分布。图 4a显示n取值0.5时坐标面在15 km的高度突变水平。假如坐标面可以连续变化,则在这个高度附近会出现坐标面交叉现象,所以n必须大于1以保证单调性。图 4bn=2,坐标面看似较均匀地变化,实际计算时d2bh*/的不连续性会对积分模拟带来影响。图 4c在青藏高原上空有明显的坐标面厚度过薄的现象。

图 4  不同参数下COS坐标面分布 (a. n=0.5, Zc=15 km; b. n=1.5, Zc=15 km; c. n=3, Zc=15 km) Fig. 4  Coordinate surfaces for COS coordinate with different coefficients (a. n=0.5, Zc=15 km; b. n=1.5, Zc=15 km; c. n=3, Zc=15 km)

图 5对比了SLEVE1、COS与改进的COS坐标的dbh*/分布。可以看出,COS坐标几乎将所有的衰减都集中在拐点(约5 km)附近,拐点以下衰减相对较少,而SLEVE1从0 km开始就已经快速衰减,所以在约5—10 km以下SLEVE1的误差相比COS坐标要小。改进的COS坐标Z0从0 km(即COS坐标)至3 km及10 km变化时,拐点位置随之降低,在10 km时拐点已经到达x轴。从理论上讲,对于改进的COS坐标,平移高度为10 km是较好的取值。但是,当Z0取10 km时,低层的dbh*/取值已经远大于SLEVE1,低层地形作用急剧衰减,坐标面剖面如图 6b,低层坐标面变薄,会导致计算不稳定,这在实际试验中也得到了证实。Z0取3 km时(图 5),低层的dbh*/与SLEVE1非常接近,略大一点,但10 km以下均大于SLEVE1,这种参数取值从理论上讲可以在SLEVE1坐标的基础上做进一步的改进。以此类推,0 < Z0≤3 km时可以适当增大COS坐标低层的衰减速率,减小与SLEVE1坐标的差别甚至优于SLEVE1坐标,同时增加低层附近几层的地形衰减,这样在低层加密的模式中可以提高运算的稳定性。改进的COS坐标这种低层衰减速率的可调性为模式低层加密提供了很大的调试空间,可以根据实际模式的加密情况给出最佳的参数取值方案。此外,从Z0取3 km的dbh*/和坐标面剖面图也可以看出,dbh*/在低层随高度的变化不明显时,坐标面厚度的垂直分布也比较均匀,这个结论可以作为衰减系数设计的重要参考。

图 5  SLEVE1、COS、改进的COS坐标(Z0取值3和10 km)的dbh*/的垂直分布 Fig. 5  Vertical derivatives of the decay function bh* for SLEVE1, COS, and improved COS coordinates with Z0 =3 km or Z0=10 km
图 6  8 km以下的坐标面剖面 (a.COS坐标,b.改进的COS坐标,Z0=10 km,c.改进的COS坐标,Z0=3 km) Fig. 6  Coordinate surfaces for COS coordinate and improved COS coordinate with Z0=10 km and Z0=3 km
4.2 批量模拟试验

为了比较改进的COS坐标的预报模拟效果,基于GRAPES中尺度模式进行1个月的实际模拟试验,并与COS坐标及SLEVE1坐标进行比较。

采用GRAPES-Meso模式的非静力框架选项;微物理过程采用NCEP 6-class方案,长波辐射物理过程采用RRTM方案,短波积云辐射物理过程采用SWRAD方案,地表层物理方案采用SFC方案,陆面过程采用NOAH方案,边界层参数化方案采用MRF方案,积云参数化方案采用Betts-Miller-Janjic方案。模式分辨率为15 km,垂直分32层。模式初始资料和边界资料采用美国NCEP再分析资料,水平分辨率为1°×1°,垂直分26层,时间步长取90 s。模拟时间范围为2013年9月1日08时—30日08时(北京时,下同),逐日进行48 h的滚动预报。参数设置参考4.1节,比较几种坐标在预报区域内不同高度上的位势高度、温度和风场的模拟结果。

青藏高原大地形带来的计算误差会随气流传递到下游地区,不同层次上流场的分布形式不同,误差传递轨迹和累计位置也不同。下面分别比较高(100 hPa)、中(500 hPa)、低(850 hPa)三层位势高度的预报场与再分析资料的平均偏差。100 hPa位势高度平均偏差如图 7所示,100 hPa上西风比较平,槽脊分布不如低层明显,这一层上误差堆积位置在高原东北侧,几种坐标在这一地区上空的偏差差别较明显。改进的COS坐标在这一层次上的偏差远小于COS坐标,与SLEVE1坐标预报效果持平。500 hPa偏差场(图 8)的大值区范围涵盖青藏高原的东部以及东侧,主要位于青藏高原下游,四川、青海、甘肃交界处。这一高度基本与青藏高原高度相当,西风槽比100 hPa深入,流场也更深入中国南部地区,误差主要集中在青藏高原及其附近下游。通过地形重力波理想试验的结果可以看出,蒙古国境内的误差大值区应该是地形激发的波列传递的结果,还需要进一步研究。改进的COS坐标在蒙古国境内预报偏差比其余几种坐标都要小。850 hPa高度大约在1500 gpm,偏差场分布(图 9)沿青藏高原侧边最明显,大值区分布在四川盆地,这一地区处于青藏高原的东侧,也是西南涡的多发地。改进的COS坐标偏差小于SLEVE1坐标,与实况结果最接近。

图 7  几种坐标批量试验48 h预报100 hPa位势高度平均偏差场(单位:gpm) (a.Gal.C.S坐标,b.SLEVE1坐标,c.COS坐标,d.改进的COS坐标) Fig. 7  Monthly average 48 h forecast bias of geopotential height (unit: gpm) at 100 hPa against the analysis (a) Gal C.S., (b) SLEVE1, (c) COS, and (d) improved COS
图 8  几种坐标批量试验48 h预报500 hPa位势高度平均偏差场(单位:gpm) (a.Gal.C.S坐标,b.SLEVE1坐标,c.COS坐标,d.改进的COS坐标) Fig. 8  Same as Fig. 7 but for 500 hPa
图 9  几种坐标批量试验48 h预报850 hPa位势高度平均偏差场(单位:gpm) (a.Gal.C.S坐标,b.SLEVE1坐标,c.COS坐标,d.改进的COS坐标) Fig. 9  Same as Fig. 7 but for 850 hPa

对物理量场的空间和时间的统计数据更能体现预报的水平。下面分别对48 h位势高度和温度的预报场相对于再分析场计算均方根误差(RMSE)和距平相关系数(ACC),均方根误差越小、距平相关系数越大,预报能力越高;反之,越低。位势高度场的批量试验统计结果(表 2)显示:各个层次上改进的COS坐标的高度场均方根误差基本均比其他几种坐标小。温度场的批量试验统计结果(表 3)与高度场类似,改进的COS坐标在几种坐标中改进效果最好。

表 2  四种坐标批量试验中48 h预报高度场100、250、500和850 hPa的均方根误差和距平相关系数 Table 2  Monthly average RMSEs and ACCs of 48 h forecast of geopotential height at 100, 250, 500 and 850 hPa with four coordinates
高度(hPa) 坐标 48 h高度场RMSE(gpm) 48 h高度场ACC
100 GAL.C.S 37 0.87
SLEVE1 31 0.89
COS 36 0.88
改进的COS 30 0.90
250 GAL.C.S 61 0.90
SLEVE1 55 0.91
COS 64 0.89
改进的COS 54 0.92
500 GAL.C.S 18.9 0.93
SLEVE1 18.7 0.93
COS 19.5 0.93
改进的COS 18.8 0.93
850 GAL.C.S 27 0.82
SLEVE1 25 0.84
COS 26 0.83
改进的COS 25 0.84
表 3  四种坐标批量试验中温度场100、250、500和850 hPa的均方根误差和距平相关系数 Table 3  Monthly average RMSEs and ACCs of 48 h forecast of temperature at 100, 250, 500 and 850 hPa with four coordinates
高度(hPa) 坐标 温度场RMSE(K) 温度场ACC
100 GAL.C.S 1.7 0.82
SLEVE1 1.6 0.84
COS 1.5 0.84
改进的COS 1.6 0.85
250 GAL.C.S 1.7 0.74
SLEVE1 1.6 0.76
COS 1.8 0.75
改进的COS 1.6 0.77
500 GAL.C.S 1.9 0.87
SLEVE1 1.7 0.88
COS 1.8 0.87
改进的COS 1.6 0.89
850 GAL.C.S 2.7 0.94
SLEVE1 2.5 0.93
COS 2.5 0.93
改进的COS 2.5 0.92

850 hPa经向风场平均偏差分布(图 10)显示,青藏高原下游地区4种坐标的风速偏差有较明显的差异。特别是四川东部、重庆大部分地区,改进的COS坐标也很大程度上减小了COS坐标的偏差,与SLEVE1坐标相当。

图 10  几种坐标批量试验48 h预报850 hPa经向风场平均偏差场(单位:m/s) (a.Gal.C.S坐标,b.SLEVE1坐标,c.COS坐标,d.改进的COS坐标) Fig. 10  Monthly average biases of 48 h forecast of meridional wind at 850 hPa (unit: m/s) against the analysis (a) Gal C.S., (b) SLEVE1, (c) COS, (d) improved COS

从上述统计结果可以看出,改进的COS坐标有效地减小了COS坐标在中低层的模拟误差,以更加灵活可调的坐标形式解决了COS坐标在实际模拟应用中的问题,相比SLEVE1坐标有了进一步的改进。

从高度场等预报量的统计结果可以看出,改进垂直坐标,气压梯度力计算变得相对准确,一定程度上缓解了GRAPES中尺度模式的系统性偏差,改进了风场预报。风场预报的改进、高层坐标面的平直使得平流计算更加准确,水汽平流输送也更加准确。GRAPES中尺度模式中平缓-混合坐标可以有效减小青藏高原上空的气压梯度力计算误差以及平流计算误差,进而影响下游地区的预报精度。图 11给出了几种坐标48 h预报降水平均评分(TS评分),可以看出,中国范围内改进的COS坐标对暴雨、特大暴雨的降水评分有所提高。在青藏高原影响比较大的华南地区,改进的COS坐标对中雨以上量级的降水评分均有显著的改进。

图 11  几种坐标批量试验48 h预报降水TS评分 (a.全中国,b.华南) Fig. 11  Monthly average TS of 48 h forecast (a. entire China, b. southern China)
5 结论

为了进一步研究平缓-混合地形追随坐标,减小GRAPES模式垂直坐标带来的计算误差,对COS坐标在理论上和实际应用中的问题进行分析,并设计了实用性更强、形式更加灵活的改进的COS坐标。通过理论分析和各种模拟试验得到以下初步结论:

(1) 改进的COS坐标在COS坐标基础上进行设计,针对实际模拟应用需要进行参数设置,有效地解决了COS坐标中低层的地形作用衰减不均衡导致的坐标面厚度分布不均匀的问题,坐标形式更加灵活,适应不同的低层分层方法。

(2) 改进的COS坐标对重力波的模拟试验结果显示,相比COS坐标,该种坐标对低层重力波破碎有进一步的缓解。实际资料月平均模拟试验结果表明,改进的COS坐标相比COS坐标模拟结果更合理,总体上也比效果良好的SLEVE1坐标有提高。相比其他几种坐标,改进的COS坐标模拟的各个层次上的高度场、温度场的均方根误差有所降低,距平相关系数增大。改进的COS坐标对降水预报水平也有一定程度的提高。

Klemp(2011)提出一种类似于COS坐标的平缓-混合地形追随坐标,在COS坐标基础上逐层对模式坐标面上的地形作用进行滤波衰减。下一步可以考虑将文中设计的改进的COS坐标形式与Klemp坐标形式相结合,进一步研究改进GRAPES模式预报水平。

参考文献
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