干旱作为一种几乎在全球各个气候区都会发生的极端自然现象(Mishra et al，2010)，对水资源、农业生产和经济活动都会产生深远的影响，因此，引起了人们的高度重视(Li et al，2011;Ding et al，2011)。IPCC第5次评估报告指出，1880—2012年全球地表温度上升了0.85℃(0.65—1.06℃)(IPCC，2013)。伴随着全球地表温度的持续升高，全球许多地区的干旱风险会增大(Dai，2012)。即使在中国气候相对湿润、人口密集、经济发达的南方地区，近年来干旱事件也频繁发生，造成了巨大的社会经济损失。如2006年四川省和重庆市遭遇了百年一遇特大伏旱，其中，四川省有700多万人出现临时饮水困难，农作物受旱面积206.7×10⁴ hm²，成灾面积116.6×10⁴ hm²，绝收面积31.1×10⁴ hm²，直接经济损失125.7亿元；重庆市直接经济损失达90.7亿元。2009年9月—2010年3月中旬，位于中国西南的云南、贵州、广西、四川和重庆五省(市)遭遇了历史上罕见的特大干旱，因干旱导致6900多万人受灾、农作物受灾面积超过660×10⁴ hm²，直接经济损失超过400亿元(兰州干旱气象研究所干旱监测预测研究室，2009；中国气象局，2007，2012)。值得关注的是，随着人口的增长，工业、农业以及能源规模不断扩大，用水需求急剧增大，进一步加剧了干旱的影响。为了有效地预防和缓解干旱带来的灾害，近几年，干旱风险管理已引起了政府和学者的重视(Mishra et al，2010;IPCC，2014)。干旱风险分析是干旱风险管理的一个重要组成部分，准确认识和分析与旱灾致灾因子危险性相关的干旱的发生频率、严重程度和持续时间是干旱风险分析的一项基础性工作。

事实上，干旱频率、干旱严重程度以及干旱持续时间等均属于干旱事件的特征变量，然而在以往的干旱事件研究中，为了使问题简化，通常假定这些随机变量是相互独立的，但Córdova等(1985)就证实了这种假定是不合理的。随后的研究中即使在多变量分布模型中考虑了随机变量的相关，但必须假定单变量边际分布函数属于同一类型，诸多限制因素使得这种模型在干旱事件分析应用中受到客观因素的制约。而Copula函数能够将服从任意边际分布的多个变量“连结”起来得到其联合分布函数，并可以很好地描述变量间的相关性结构，从而克服了上述多变量模型的不足(Zhang et al，2006)。鉴于Copula函数的这种灵活性，目前已经在水文过程频率分析中得到了广泛应用(Zhang et al，2006;Fu et al，2014)。Shiau(2006)首次将Copula函数应用于气象干旱事件频率分析中。此后，Copula函数对干旱事件的表征在以下几个方面取得了进展：一是干旱严重程度-干旱历时-干旱频率(SDF)三者的关系曲线的建立(Shiau et al，2009;Reddy et al，2014)，如Shiau等(2009)建立了伊朗两个台站的干旱严重程度-干旱历时-干旱频率关系曲线，发现在给定干旱历时和干旱频率时，伊朗北部的湿润区Anazali比伊朗西南部半干旱区的Abadan具有更严重的干旱，并从湿润区降水量波动大对这一现象给予了解释。二是更加重视干旱特征变量的尾部相关，例如陆桂华等(2010)和Mirabbasi等(2012)在考虑干旱特征变量上尾相关的前提下，分别选取极值Copula中的Galambos和Gumbel函数建立了干旱特征二维变量的联合相关结构，快速捕捉到了上尾相关的变化。三是在利用Copula函数进行干旱事件频率研究中，已经将干旱特征变量的维数由二维扩展到了三维甚至四维(Wong et al，2010;Chen et al，2011)，但相应的计算和分析更复杂。除以上针对干旱事件本身的多变量统计模型外，还可以利用Copula函数建立气候要素和干旱事件的变量模型，认识二者的联系和相关结构(夏军等，2012)。可见，Copula函数在干旱事件分析方面具有很大的发展空间和应用前景。

值得一提的是，对于建立好的Copula函数而言，边际函数概率分布值的不同组合可能产生相同的累积概率，将累积概率作为一种指标，即相同的累积概率值可能造成相同的影响，而超过累积概率事件的重现期对风险分析具有重大意义，第2重现期的概念便应运而生(Salvadori et al，2004)。目前来看，第2重现期主要被应用于水利工程基础设施建设阈值的设定方面(Requena et al，2013;Salvadori et al，2011)，而在气象干旱风险评估中应用较少(肖名忠等，2012)。本研究以干旱历时和干旱严重程度为干旱特征变量，基于Copula函数建立中国南方干旱历时及严重程度的联合分布统计模型，分析干旱特征变量的条件概率、第1及第2重现期。通过对该区域干旱事件统计规律的分析，以期为抗旱减灾及区域水资源规划管理提供科学依据。

传统意义上将秦岭—淮河一线作为划分中国北方和南方地区的界线，而文中所指的中国南方区域包括西南的云南、贵州、四川和重庆以及华南地区的广西、广东。所用数据为基于中国国家气象信息中心整编的753站逐日降水资料，筛选并整理出1961—2012年资料完整的中国南方98个站点的逐月降水资料。利用最新发布的RHtest软件包(RHtestV4)中的惩罚最大F检验(PMFT)均一性检验技术(Wang et al，2013；Wang，2008a，2008b)对这98个台站的月降水序列进行均一性检验，结果显示：在所检验的98个台站中仅有2个站(四川的盐源站和云南的景东站)的月降水序列存在非均一性，被剔除，对剩余的96个台站的月降水序列做进一步的分析，图 1给出了96个站的分布，而相应的站点名称在表 4中给出。此区域属于亚热带季风湿润气候区，52 a年平均降水量(表略)空间差异大，其中，川西高原的道孚站降水量最小(602.3 mm)，广西东兴的降水量最大(2729.2 mm)。

图 1 研究区域范围和气象站分布Fig. 1 Study area map and meteorological stations in southern China

图选项

由于不同时间、不同地区降水量变幅很大，难以直接用降水量对其进行不同时空尺度比较。McKee等(1993)在评估美国科罗拉多州干旱状况时提出了标准化降水指数(St and ardized Precipitation Index，I_SP)。因标准化降水指数所具有的概率属性，可以对不同地区的干旱状况进行比较；此外，标准化降水指数最主要的一个特点是可以用来监测不同时间尺度的干旱，一般研究的时间尺度可为3、6、9和12个月。鉴于中国南方干湿季分明，大部分区域的雨季集中在5—10月，而干季集中在11月—次年4月，文中研究6个月时间尺度的I_SP6，I_SP6的计算可参见Abramowitz等(1965)和Edwards等(1997)给出的详细步骤。

一般用干旱历时(D)和干旱严重程度(S)来表征一次干旱事件的特征。为了得到这两个特征变量，需要借助于游程理论(Yevjevich，1967)。游程理论的基本问题是截断水平的确定，文中参照Lloyd-Hughes等(2002)对干旱等级的划分(表 1)，取0作为截断水平，因为即使强度较弱的干旱事件，如果持续时间足够长，也会导致严重的干旱灾害发生(Shiau，2006)；因此，将标准化降水指数连续小于0的这一时段定义为干旱历时(图 2中的d₁、d₂)；连续两个干旱事件的间隔时间用l表示(图 2中的l₁)。将干旱历时累积标准化降水指数值的绝对值定义为干旱严重程度S(图 2中的s₁、s₂)

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式中，D为干旱历时。

图 2 干旱事件的游程Fig. 2 Definition of the drought event using the run theory

图选项

肯德尔相关系数(τ)为用来测量两个随机变量相关程度的统计值

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式中，

以往在对干旱特征变量的研究中，一般直接采用指数分布来拟合干旱历时，用γ分布来拟合干旱严重程度(Shiau，2006；Mirabbasi et al，2012)。为了使结果更加可靠，文中选择了中外目前在干旱事件特征研究中应用比较广泛的γ分布、对数正态分布、威布尔分布以及指数分布4种常用的分布函数来拟合干旱历时和干旱严重程度(Gangguli et al，2012; AbuduRauf et al，2014)。上述4种分布函数的概率密度函数见表 2。各分布函数的参数估计采用极大似然估计，并使用Kolmogorov-Smirnov(K-S)方法对各分布函数进行拟合优度检验，以检验经验分布函数是否符合选定理论分布。

表 2 4种概率密度函数的表达式及其对应的参数Table 2 The mathematical expression for the probability density function and the corresponding parameters for the different probability distributions

边际分布	概率密度函数	参数
γ	式中:	α:形状参数(α＞0) β:尺度参数(β＞0)
对数正态		μ：lnX的均值(-∞＜μ＜∞) σ: lnX的标准差(σ＞0)
威布尔		α:形状参数(α＞0) β:尺度参数(β＞0)
指数		λ:比率参数 (λ＞0)

表选项

Sklar定理(Sklar，1959)是Copula函数的理论基础，Copula函数可以将多个随机变量的边际分布连接起来并得到其联合分布。对于二元情况而言，由Copula函数定义的随机变量X和Y的联合分布函数为

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式中，F_X，Y(x，y)为两随机变量X和Y的联合分布函数，F_X(x)和F_Y(y)分别为随机变量X和Y的边际分布函数。文中选取了Arhimedean Copula簇中的Clayton、Frank Copula函数，极值簇中的Galambos、Gumbel Copula以及Plackett Copula函数。表 3给出了上述5个Copula的密度函数及其参数的取值范围，并采用分步估计法估计Copula函数的参数。分步估计法是由Joe等(1996)提出的，它包括两个独立的步骤：首先用极大似然估计出边际分布函数的参数，然后估计Copula函数的参数。具体如下：

表 3 5个Copula函数及其相应的属性Table 3 A description of the five selected Copula functions and their associated properties

Copula函数	Copula分布函数C(u,v)	参数范围	生成元φ(t)
Clayton Frank Galambos Gumbel-Hougaard Plackett
		θ≥0 θ≠0 θ≥0 θ≥1 θ≥0

表选项

根据图 1定义的干旱事件，用D代表干旱历时，它的边际分布函数表示为F_D(d;λ₁，λ₂，…，λ_r)，边际密度函数为f_D(d;λ₁，λ₂，…，λ_r)，r个待确定参数为λ₁，λ₂，…，λ_r。同理，用S代表干旱严重程度，它的边际分布函数为F_S(s;α₁，α₂，…，α_p)，边际密度函数为f_S(s;α₁，α₂，…，α_p)，p个待确定参数α₁，α₂，…，α_p。设选取的Copula分布函数为C(u，v;θ)，Copula密度函数为

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利用极大似然估计分别求出两个边际分布函数的参数估计λ₁，λ₂，…λ_r，α₁，α₂，…αp并代入

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估计出Copula函数中未知参数θ的估计θ。文中根据Akaike提出的AIC(Akaike information criterion)法，检验各种Copula分布的拟合程度，其值越小，说明函数拟合程度越高。

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式中，k为独立可调参数的个数，其中，lnL为

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基于Copula函数的二元干旱分布函数一旦确定，就很容易得到干旱的条件概率分布。在实际应用中，则主要考虑两种情况：一种为给定干旱历时超过某一阈值d′时，估计干旱严重程度的概率分布(Shiau，2006)

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另一种为给定干旱严重程度超过某一阈值s′时，估计干旱历时的概率分布(Shiau，2006)

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重现期概念被广泛地应用在地球物理和环境科学中，便于用来识别危险的事件，对于理性的分析和决策是具有重要意义的。重现期表示对于一给定事件，每出现一次平均所需的时间间隔。当给定干旱历时不小于某一阈值d时，估计干旱严重程度的条件重现期的表达式为(Shiau，2006)

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类似地，当给定干旱严重程度不小于某一阈值s时，估计干旱历时的条件重现期的表达式为(Shiau，2006)

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根据建立好的Copula函数，8种组合的联合重现期(Salvadori et al，2004)被用来分析干旱事件频率。事实上，除了上述讨论的条件重现期外，“或”联合重现期和“且”联合重现期是人们最感兴趣的两种组合。“或”联合重现期，其中干旱事件的随机变量中有一个超过给定的阈值；“且”联合重现期，其中干旱事件的两个随机变量均必须超过给定的阈值。在实际的应用中，这两种组合下的干旱事件往往被认为是危险的。为了与下述的第2联合重现期区分，用T_D，S代表第1“或”联合重现期，计算公式为(Salvadori et al，2011)

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用T_Ď，S代表第1“且”联合重现期，计算公式为(Salvadori et al，2011)

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式中，μ_T表示连续两个干旱事件的平均间隔时间，可以根据I_SP6获得。F_D(d)和F_S(s)分别是干旱历时和干旱严重程度的累积分布函数。

对于建立好的Copula函数而言，边际函数概率分布值的不同组合可能产生相同的累积概率q，即有C(u_x，v_x)=q，也有可能存在C(u_y，v_y)=q。假设累积概率q被作为一种指标，即累积概率为q时可能造成相同的影响，在干旱风险评估中，可能对随机事件(U，V)的C(u，v)＞q这种超临界状况更感兴趣。根据这种需求，第2重现期的概念就被提出来了，相应的Salvadori等(2010)将肯德尔分布函数(K_C)用于定义第2重现期。K_C的表达式为

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其主要特点是能将多元变量投影到一元变量上。Archimedean Copula的K_C具有解析式为

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式中，φ′(q⁺)为生成元φ的右微分，φ在表 3中已经给出。

对于第2“或”联合重现期(ρ^∨q)表示为

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通过计算中国南方96站干旱历时与干旱严重程度的肯德尔相关系数(表略)发现，中国南方96站干旱历时与干旱严重程度存在很强的相关，相关系数为0.71—0.86，其中，临沧的相关度最高，相关系数达到了0.86，重庆站的相关度最低，相关系数为0.71，图 3给出了重庆站干旱历时与干旱严重程度的散点分布。鉴于中国南方干旱历时与干旱严重程度的这种高相关性，可以用Copula函数构造干旱变量的联合分布，文中将构建基于Copula函数的中国南方96站干旱特征变量联合分布模型。

图 3 重庆站干旱历时与干旱严重程度散点分布Fig. 3 Scatter plots of drought duration against drought severity for the Chongqing station

图选项

通过计算干旱历时的4种分布检验统计量，即经验累积分布与理论分布的最大差值(表略)。当两者的差距很小时，推断该样本取已知的理论分布函数。中国南方96站中50个站点最小的检验统计量所对应的分布函数为威布尔分布，占站点总数的52.1%。因此，选用威布尔分布函数为干旱历时的分布函数。此外，假设干旱严重程度符合对数正态分布，在0.1显著性水平条件下，在96个站点中有95个站点接受原假设，因此可以认为，干旱严重程度的最适合的分布函数为对数正态分布。限于篇幅，不再一一赘述96个站点的K-S检验统计量，而仅以重庆站为例做说明。重庆站干旱事件的样本量为70，在0.1显著性水平下，K-S检验统计量的临界值为 0.144，经验累积分布与对数正态理论分布的最大差值为0.10，小于临界值0.144，故0.1的显著性水平接受原假设。

由于不同的Copula函数代表不同相关结构，而Copula函数的选择将直接影响到分析和统计推断的结果(Embrechts et al，2003)，因此，选择最优的Copula函数显得十分重要。表 4显示，96个站点中有75个站点最小AIC值所对应的Copula函数为Frank Copula函数。因此，选取Frank Copula函数为最优的拟合函数。结合上述分析可知，用Frank Copula函数连接威布尔分布和对数正态分布两个边际分布函数，能够有效描述中国南方干旱历时与干旱严重程度的相关联合分布，为进一步得到干旱条件概率分布及干旱频率奠定了基础。

分别计算了给定干旱历时超过某一阈值d′时的干旱严重程度的概率分布及给定干旱严重程度超过某一阈值s′时的干旱历时的概率分布。结果表明，干旱严重程度(干旱历时)的条件概率分布随着干旱历时阈值d′(干旱严重程度阈值s′)的增大而减小。以图 4a的重庆站为例，当给定干旱历时不少于6个月，干旱严重程度不大于9的概率为51%；给定干旱历时不少于9个月，干旱严重程度不大于9的概率为39%。以图 4b重庆站为例，当给定干旱严重程度不大于6时，干旱历时不大于6个月的概率为20%；给定干旱严重程度不小于9时，干旱历时不大于6个月的概率为15%。

图 4 重庆站干旱严重程度的概率分布(给定干旱历时D≥d′条件下)(a)；干旱历时的概率分布(给定干旱严重程度S≥s′条件下)(b)Fig. 4 Conditional distribution of the drought severity with the drought duration exceeding d′ (a); and conditional distribution of the drought duration with the drought severity exceeding s′ (b) for the Chongqing station

图选项

分别计算了给定干旱历时超过某一阈值d′时的干旱严重程度的重现期、给定干旱严重程度超过某一阈值s′时的干旱历时的重现期。结果表明，干旱严重程度的条件重现期与干旱历时d′的值成正比；干旱历时的条件重现期与干旱严重程度的s′值成正比。以图 5a重庆站为例，当干旱持续时间不少于6个月时，干旱严重程度不低于9的干旱事件重现期为28.10 a；干旱持续时间不少于9个月时，干旱严重程度不低于9的干旱事件重现期为133.56 a。以图 5b重庆站为例，当干旱严重程度不低于6，而干旱持续时间不少于6个月的干旱事件的重现期为28.32 a；当干旱严重程度不低于9，而干旱持续时间不少于6个月的干旱事件的重现期为55.25 a。

图 5 重庆站干旱严重程度重现期(给定干旱历时D≥d′条件下)(a),干旱历时重现期(给定干旱严重程度S≥s′条件下)(b)Fig. 5 Conditional return period of the drought severity with the duration exceeding d′ (a)， and conditional return period of the drought duration with the severity exceeding s′ (b) for the Chongqing station

图选项

由上述定义的第1联合重现期及第2联合重现期计算中国南方96个站点联合重现期的值，对其进行克里金插值处理后，得到中国南方区域联合重现期的空间分布特征。文中主要考虑两种干旱情景：(1)干旱历时阈值为6个月、干旱严重程度阈值为6的第1、第2联合重现期(图 6)；(2)干旱历时阈值为9个月、干旱严重程度阈值为13.5的第1、第2联合重现期(图 7)。

图 6 中国南方干旱事件联合重现期 (单位：a;a、b和c分别为(D＞d∧S＞s)、 (D＞d∨S＞s)和第2联合重现期 (D＞d∨S＞s);其中d=6,s=6)Fig. 6 Spatial distribution of joint return periods in southern China (unit:a; a. (D＞d∧S＞s), b. (D＞d∨S＞s), c. the secondary return periods (D＞d∨S＞s); where d=6, s=6)

图选项

图 7 中国南方干旱事件联合重现期 (单位：a; a、b和c分别为(D＞d∧S＞s)、 (D＞d∨S＞s)和第2联合重现期 (D＞d∨S＞s);其中d=9,s=13.5)Fig. 7 Spatial distribution of joint return periods in southern China (unit:a; a. (D＞d∧S＞s), b. (D＞d∨S＞s), c. the secondary return periods (D＞d∨S＞s); where d=9, s=13.5)

图选项

图 6为中国南方地区发生第1种干旱情景时的联合重现期分布特征。根据统计结果，中国南方整体上第1“且”(干旱历时和干旱严重程度均超过给定的阈值)联合重现期平均为4.8 a(图 6a)，第1“或”(干旱历时和干旱严重程度中有一个超过给定的阈值)联合重现期平均为2.6 a(图 6b)，第2“或”联合重现期平均为3.5 a(图 6c)，表明中国南方干旱风险较大。对比图 6a与c可以发现，第1“且”与第2“或”具有相似的联合重现期低值区(干旱高风险区)，分别位于四川盆地、贵州东北部、广西北部、广东西部以及云南大部分地区；第1“且”与第2“或”具有相似的联合重现期高值区(干旱低风险区)，其中，最为一致的是四川、云南、贵州三省交汇区并呈“∞”形分布的区域，而位于四川西北部的干旱低风险区在第2“或”上较第1“且”的范围有所扩大。图 6b与c具有类似的高、低风险中心，但第1“或”较第2“或”低风险区范围扩大，高风险区范围缩小。V and enberghe等(2011)认为，第2“或”联合重现期相对于第1“或”联合重现期能更加真实的描述干旱危险事件。因此，以第2“或”联合重现期结果为准。

图 7为中国南方地区发生第2种干旱情景时的联合重现期分布特征。根据统计结果，中国南方地区第1“且”联合重现期平均为12.6 a(图 7a)，第1“或”联合重现期平均为4.7 a(图 7b)，第2“或”联合重现期平均为7.7 a(图 7c)。对比图 7a与c可以发现，第1“且”联合重现期和第2“或”联合重现期的分布具有两个相似的高风险区，其中一个位于贵州东北部、广西北部及广东西部，另一个位于云南大部分区域；不同的是前者的第3个高风险区主要位于四川盆地东北部，而后者的第3个高风险区则主要位于四川盆地西部。第1“且”联合重现期和第2“或”联合重现期的分布图上的低风险区主要位于四川西北部，四川、云南、贵州三省交汇区以及广东中部。依据V and enberghe等(2011)的观点，第2“或”联合重现期相对于第1“或”联合重现期能更加真实的描述干旱危险事件。不再对第1“或”联合重现期进行赘述。

全球变暖背景下，气候相对湿润的中国南方地区近年来干旱事件也频繁发生。利用中国南方96个气象站点1961—2012年逐月降水资料，计算了6个月时间尺度的标准化降水指数值(I_SP6)，通过游程理论从I_SP6中提取了干旱历时和干旱严重程度两个特征变量，计算了该地区干旱条件概率、条件重现期以及该区域干旱发生频率的空间特征，对比研究了该区域的干旱风险。主要结论如下：

(1)干旱历时和干旱严重程度选取γ分布、对数正态分布、威布尔分布以及指数分布进行拟合，使用Kolmogorov-Smirnov(K-S)方法对各分布函数进行了拟合优度检验，表明中国南方干旱历时最优分布函数为威布尔分布，干旱严重程度最优分布为对数正态分布。

(2)利用Clayton、Frank、Galambos、Gumbel以及Plackett Copula 5个函数，建立了干旱历时和干旱严重程度的二元相关统计模型，依据Akaike information Criteria(AIC)准则对上述5个模型的拟合优度检验表明，Frank Copula函数表示的中国南方干旱持续时间和干旱严重程度的相关结构最优。总体来看，中国南方干旱严重程度(干旱历时)的条件概率分布随着干旱历时(干旱严重程度)阈值的增大而减小。干旱严重程度(干旱历时)的条件重现期与干旱历时(干旱严重程度)的阈值成正比。

(3)在干旱历时阈值为6个月、干旱严重程度阈值为6的第1种干旱情景下，中国南方整体第1“且”(干旱历时和干旱严重程度均超过给定的阈值)联合重现期平均为4.8 a，第1“或”(干旱历时和干旱严重程度中有一个超过给定的阈值)联合重现期平均为2.6 a，第2“或”联合重现期平均为3.5 a。在干旱历时阈值为9个月、干旱严重程度阈值为13.5的第2种干旱情景下，中国南方地区第1“且”联合重现期平均为12.6 a，第1“或”联合重现期平均为4.7 a，第2“或”联合重现期平均为7.7 a。

(4)通过对比两种干旱情景下第1“且”，第1“或”及第2“或”联合重现期空间分布特征发现中国南方的干旱高风险的区域主要位于四川盆地、贵州东北部、广西北部、广东西部以及云南大部分地区；低风险的区域主要位于四川西北部，四川、云南、贵州三省交汇区以及广东中部地区。