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2.北京理工大学自动化学院, 北京 100081
2.School of Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China
地球是人类的摇篮, 但人类不能永远躺在摇篮里--伟大的航天之父齐奥尔科夫斯基早在一个多世纪前, 就预言了人类科技的前沿.经过不懈的努力, 人类终于在20世纪50年代冲破了地球引力的束缚, 开启了航天探测的伟大时代.自1957年第一颗人造卫星上天至1977年“旅行者号”探测器成功发射, 人类在短短的20年间便已开展了对太阳系内各大行星、月球以及太阳的探测任务, 激发了一代人航天探索的热潮.上述任务的成功实施, 增进了人们对太阳系以及宇宙的认识, 带动了多个学科领域的发展并极大地促进了科技的创新, 改善了人类的生活, 推动了人类文明的进步.
小行星, 是指那些围绕太阳运行, 且质量比行星质量小得多的天体, 其运行轨道距离地球要比月球远得多, 但在天文望远镜中也只是针尖大小的光点.在人类真正进入航天时代以前, 人们只能通过地面观测获取小行星的数据.由于小行星个头太小, 起初并未受到重视(李俊峰等2016).1991年, 美国发射的木星探测器“伽利略号”飞越主带小行星951 Gaspra①并拍照, 两年后飞越243 Ida小行星, 首次确认太阳系内双小行星系统的存在(Chapman et al.1995).图 1展示了人类已经飞越或近距离探测过的部分小天体, 按照它们实际尺寸的比例关系绘制.图中最大的小行星253 Mathilde长轴仅有66 km, 而日本“隼鸟号”(Hayabusa) 的探测目标25143 Itokawa只是一个不起眼的小点.实际上, 近地小行星Itokawa有着丰富的地表特性, 并展示了碎石堆结构的诸多特性(Harris 1996), 为行星起源等研究提供了重要线索.
①首次提到小行星时以“数字+名称”表示, 如951 Gaspra, 再次出现时略去数字
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| 图 1 人类航天器探测过的小天体等比缩放排列图 |
在世界第二轮深空探测热潮中(李俊峰和宝音贺西2007), 小行星逐渐成为科学探测的重点目标.随着探测任务的开展和研究的深入, 人们已经意识到太空中这些奇形怪状的“石块”蕴含着丰富的太阳系早期物质, 对它们的研究, 有助于揭示太阳系起源、行星演化以及生命起源等谜题.部分近地小行星对地球的潜在撞击威胁和近来媒体的报道, 使得小行星防御开始进入普通大众的视野.2013年2月, 一颗直径约15 m左右的小行星坠毁在俄罗斯乌拉尔地区上空, 导致多人受伤和建筑物受损.为保护人类安全和地球免于撞击, 有必要对小行星开展近距离探测, 提前获取目标参数并制定防御策略等.
随着天文观测技术的进步, 已发现的小行星数量不断增加.1801年意大利天文学家Piazzi发现了太阳系内第一颗小行星1 Ceres (已被重新归类为矮行星).截至目前, 人类观测到的太阳系内小天体已超过110万颗, 但它们的质量总和还没有月球大, 可见这些散落的太空石块单颗质量之小.面对如此庞大的数量, 研究人员不得不进行分类研究.例如, 依据它们的轨道分布大致分为近地小行星、主带小行星、特洛伊小行星、半人马小行星、以及柯伊伯带小天体等.天文学家则倾向于按照光谱特性分类, 根据所观测小行星的反照率和亮度来粗略估计它们的大小(Fornasier et al.2011).
20世纪90年代以来, 世界各航天大国和空间机构纷纷提出各自的深空探测计划, 包括美国国家航空航天局(NASA) 的“新太空计划”、欧洲航天局(ESA) 的“曙光女神计划”以及日本的“月球和小行星探测计划”等.2004年, 中国探月工程正式立项, 拉开了我们深空探测的序幕(郑永春和欧阳自远2014).在上述深空探测计划的支持下, 以小天体为直接目标的任务已有6项, 包括美国的“尼尔-舒梅克号”(NEAR Shoemaker)、“黎明号”(Dawn) 以及2016年9月刚发射的OSIRIS-Rex探测器、日本的“隼鸟号”和“隼鸟二号”(Hayabusa-2)、ESA的“罗塞塔号”(Rosetta) 等.2012年底, 中国“嫦娥二号”探测器在拓展任务中近距离飞越“战神”小行星4179 Toutatis, 实现了我国小行星探测零的突破, 增进了人们对Toutatis的认识, 为我国未来深空探测积累了宝贵经验.
2 小行星探测的挑战纵观过去30年小行星探测的历史, 可以清晰地看到, 小行星探测已从最初的简单飞越向近距离绕飞、着陆以及采样返回等复杂任务发展.以一次完整的采样返回任务为例, 轨道设计大致分为7个阶段:地心逃逸段、日心转移段、目标小行星俘获段、近距离绕飞探测段、小行星逃逸段、日心返回段、地球再入段.每一阶段对于任务的成功实施都很关键, 限于篇幅, 下文将重点关注近距离绕飞探测段, 包括可能的绕飞、悬停、着陆及采样等操作(Scheeres 2014).
小行星不规则的引力场极为复杂且差别较大, 探测器在小行星附近的运动控制仍是亟待解决的技术难点, 也是开展小行星探测活动必须面对的挑战.准确把握小行星附近的轨道动力学特性, 将是任务成功实施的前提和基础.目前的地面观测还无法提供小行星的准确信息(包括运动状态、外形及引力场数据等), 探测器只能在接近目标的同时进行测量和校准.无论是日本的隼鸟号探测器, 还是ESA的罗塞塔号探测器, 为了能够顺利执行采样或子探测器着陆任务, 航天器需要不断调整和降低轨道高度, 获取满足任务要求的高精度引力场数据.实际上, 每次接近操作都存在着因参数估计不准确而导致任务失败的巨大风险, 即撞向小行星表面或飞离目标引力场等.
上述困难会直接反映在探测器的实际飞行中.例如, 日本的“隼鸟号”是人类第一颗近地小行星采样返回探测器, 历经7年之久成功返回地球.在采样操作之前, “隼鸟号”探测器释放了一个小型着陆器MINERVA, 为其提供更精确的Itokawa地表数据.该着陆器于2005年11月12日投放, 但未能成功着陆且未被Itokawa俘获, 最终进入了日心轨道, 成为一颗绕太阳运行的小卫星(Yoshimitsu et al.2006).事后查明其实际投放高度距离小行星表面约200 m, 而原定投放高度为60~70 m, 即投放着陆器的指令错过了最佳投放时机.失败的直接原因推测是对隼鸟号探测器飞行轨迹估计不足造成的, 而更深层次的原因或是对Itokawa不规则弱引力场的认识不够充分.另一个遗憾来自罗塞塔任务的着陆器“菲莱”, 它虽然成功降落至67P彗星表面, 但并未将自己固定在预定着陆区域, 而是落地反弹后掉入一个几乎没有光照的悬崖底部①.这使得“菲莱”在耗尽了自身能源后进入“沉睡”状态, 之后基本没再提供新的科学数据.实际上, ESA的项目人员在罗塞塔号探测器绕飞一段时间后为“菲莱”挑选了几个可能着陆区域, 综合论证后才选定了一块较为平坦的地方作为最终着陆地点.即便如此, “菲莱”依然未能着陆在计划区域, 可见小天体近距离探测面临巨大挑战.
① http://www.esa.int/OurActivities/SpaceScience/Rosetta/Philaefound.
作为罗塞塔任务的探测目标, 67P彗星丘留莫夫-格拉西缅科的尺寸为4.1 km×3.2 km×1.3 km, 平均密度约0.4 g/cm3, 自转周期12.4 h, 总质量(1.0±0.1)×1013 kg, 由此估算其逃逸速度约1 m/s.据ESA官方消息, “菲莱”着陆时用于固定的鱼叉系统出了故障, 只能依靠三条腿来把自己固定在彗星表面.对彗核地表地质特征了解不够准确、加之固定依附系统故障, “菲莱”落地反弹在所难免.对于彗核1 m/s的低逃逸速度, “菲莱”经过反弹后能最终降落至彗核表面已属不易.若67P的尺寸小到与Itokawa一个量级, 那“菲莱”的命运很有可能和MINERVA一样, 成为太空里又一个飘荡的小卫星.因此, 深入研究小行星地貌地质特性和了解小行星引力场分布, 对于近距离航天探测及着陆采样等活动格外重要.另外, 研究小行星附近的大范围周期轨道及其分布特性, 对于揭示小行星系统演化具有重要作用, 包括自然卫星的形成及分布等.
除上述自然轨道外, 对于尺寸较小的小行星, 探测器仅需消耗较少的燃料便能够与小行星保持空间相对位置不变, 这称为“悬停探测”, 分为惯性系悬停(heliostationary flight) 和本体系悬停(body-fixed hovering).惯性系悬停是指将航天器发送至太阳-小行星系统的共线平动点L1或L2点处, 实现对小行星的远距离测绘及引力场模型修正等.国内对于日地系统拉格朗日点的研究较多, 感兴趣的读者可参见刘林和侯锡云(2012)和徐明(2009)的文献, 文中不再赘述.在小行星近距离探测中, 环绕轨道的搜寻和设计是任务规划的重要一步, 本体悬停轨道通常是着陆采样任务的前提, 本文将围绕这两类轨道展开论述.作为轨道动力学研究的前提, 下面将首先介绍不规则引力场的建模方法.
3 不规则引力场建模在小行星动力学特性研究初期, 不规则引力场的有效势、平衡点以及周期轨道等通常是研究问题的突破口.而有效势的类型、平衡点的个数与稳定性、周期轨道的类型等则是动力学关注的焦点.将绕飞小行星的航天器或物体视为质点, 假设小行星以角速度ω自旋, 质点至小行星质心距离为r, 在小行星随体系(body-fixed frame, 又称“体固坐标系”, 原点位于质心, 三坐标轴与惯量主轴重合) 中的轨道动力学方程(Scheeres 2012) 可表示为
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(1) |
式中右端项U(r) 为目标小行星引力势, aPi为第i个天体的引力摄动, aSRP是太阳光压摄动加速度项.在质量较大的小行星附近, 不规则引力起主导作用, 常忽略各摄动项的微弱影响, 同时认为小行星均匀自旋, 即方程中角加速度项和摄动项均为零.方程(1) 简化为一般旋转坐标系下质点动力学方程(2), 其主要难度便在于如何描述小行星的不规则引力势
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(2) |
常用的小行星引力场建模方法目前大致分为四大类, 分别为级数展开法、质点群法、多面体法和简单特殊体法.下面将简要介绍各方法及其优缺点, 方便小行星研究人员选择合适的模型.
3.1 级数展开法级数展开法(series expansion method) 目前应包含球谐函数与椭球谐函数展开两类.人们起初尝试将球谐函数法应用于不规则引力场建模, 因为该方法是描述任意天体引力场的经典方法, 即在中心引力项的基础上叠加一系列球面调和函数, 来描述中心天体引力场的非球形摄动(Hobson 1955).图 2(a)所示为Itokawa小行星的参考球, 由于表达式为各个球谐系数的线性组合, 探测器即使在环绕陌生天体飞行时也很容易辨识出各阶球谐系数的值, 这也是球谐函数法在航天工程中得到广泛应用的重要原因.基于上述模型, Hu (2002)在其博士论文中分析了二阶二次引力场中的周期轨道与共振轨道, Wang和Xu (2013)则在此模型下讨论了引力梯度力矩对绕飞探测器姿态的影响.
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| 图 2 小行星Itokawa不同引力场建模方法.(a) 级数展开法参考球, (b) 级数展开法参考椭球, (c) 质点群法示意图, (d) Itokawa多面体模型 |
由于小天体的形状不规则, 使得其表面附近的Legendre级数收敛非常缓慢或难以收敛, 甚至在一些点或区域上出现级数发散的情形, 致使该方法完全失效.为了改进球谐函数法的不足, 部分学者(Hobson 1955, MacMillan 1930) 提出了椭球谐函数法, 用一个三轴椭球去包络中心天体, 再根据椭球的三个轴长参数求解谐函数的各阶系数, 进而将收敛范围拓展至中心天体附近.图 2(b)所示为Itokawa的参考椭球, 其近似效果较球谐函数法有了很大改进.上述方法能够给出不规则小天体的近似模型, 但无法精确刻画其真实外形的引力场分布, 也就无法研究质点在小天体表面的运动.
3.2 质点群法质点群法(mass concentrations, Mascons) 的核心思想比较简单和直观, 即利用小行星外形信息, 用一定数量的质点填充实体所覆盖的几何空间, 计算所有质点产生的引力之和, 来近似求解小行星整体的引力.该方法可追溯到1995年, 由Geissler等(1996)提出, 并成功应用于双小行星系统中地表物质衍化和交换机制的研究.显然, 质点群法优点在于简单且易于实现, 对不规则引力场的近似精度可以通过增加有效质点的分布来提高, 且该方法适用于描述质量分布不均匀的引力场, 图 2(c)所示为应用质点群法给出的Itokawa引力场一种近似模型示意图.
最近, Llanos等(2014)在ESA的一个小行星任务概念论证中, 采用质点群法建立了目标小行星(341843)2008 EV5的引力场模型, 其采用14000个质点近似直径约400m的小行星.其中, 在小行星外形已知的前提下, 如何用尽可能少的质点得到满足精度要求的引力场近似模型, 是该方法目前的一个重要研究方向.例如, 在小行星均质分布假设下, Colagrossi等(2015)采用优化方法来计算给定数量质点的空间分布, 以此来寻求引力场描述精度与计算效率间的平衡.来自巴西的Chanut等(2015)给出了另外一种求解质点空间分布规律的方法, 他们基于小行星的多面体模型, 采用与多面体面数一致的质点数量, 将质点分布于各四面体的质心并保证与对应小四面体质量一致, 得到一类近似模型.为进一步提高近似精度, 他们将每个小四面体划分为三小块, 求解每块的质量和质心位置, 用三个质点来近似一个四面体, 最后求和得到总的引力场分布.
在实际应用中, 质点群法亦有不足(Werner & Scheeres 1996).第一, 该方法不能提供直接的判据检验探测器是否位于小天体内部, 在轨道设计中难以进行碰撞检测; 第二, 随着质点数的增多, 计算量急剧增加, 而计算精度提高得相对缓慢.同时, 由于引力计算公式中求和项数极多, 各项计算误差的积累作用非常显著.该方法目前多用于模拟小行星外形演化及表面颗粒运动等, 在不规则引力场的轨道动力学研究中应用较少.
3.3 多面体法多面体法(polyhedron method) 是不规则小天体引力场建模的主要方法之一, 目前理论分析中多以该方法所得结果为精确值.多面体法的概念可以追溯到19世纪末, 而直到近20年, 随着计算机技术的发展, 该方法在小天体引力场描述中才被真正使用.1993年, Werner独立推导了均质多面体引力场建模方法, 主要思想是利用高斯公式和格林公式将引力势中的体积分最终化为多面体棱边的线积分(Werner 1994).1996年, Werner和Scheeres (1996)合作改进了上述方法, 通过引入空间角的概念以及并矢等数学技巧, 推导出了具有闭合形式的引力势、引力和引力梯度矩阵的表达式, 并成功应用于小行星Castalia的引力场建模.
鉴于多面体方法能够较为精确地刻画不规则小天体引力场分布, 其不仅在理论分析中得到广泛应用, 在一些工程设计中同样被采用, 如日本隼鸟号任务中对小行星Itokawa的建模(Scheeres et al.2004).清华大学的于洋和宝音贺西基于该方法对Kleopatra小行星引力场内的轨道动力学做了大量研究(于洋2014).图 2(d)是依据隼鸟号探测器探测数据得到的Itokawa高精度模型, 共包含25 350个顶点和49 152个三角形侧面.与航天探测前的地面观测模型(Scheeres et al.2004) 相比, 描述精度大幅提高(Scheeres et al.2006).特别说明一点, 在应用多面体法求解小行星的引力势时, 可以将小行星表面离散为任意的平面多边形, 如四边形、六边形、甚至三角形和四边形的混合划分等.目前的多面体离散数据基本将小行星表面离散为三角形, 一是因为各平面多边形通过细分均可化成若干三角形, 二是三角形的三个顶点一定构成一个平面, 三是数值求解中对三角形的统一处理降低了计算复杂度.
多面体方法的不足之处首先在于均匀密度假设, 较真实小天体存在一定偏差(Lowry et al.2014).第二, 该方法本身存在奇异性, 那些位于多面体棱边上的点在引力计算过程中会出现数值奇异, 所以该方法在研究多面体表面运动时会存在困难(Yu & Baoyin 2015).第三, 对于精细的小行星表面模型, 该方法计算量很大.特别是在距离小行星较远的位置, 与级数展开法相比, 多面体方法效率较低.
3.4 简单特殊体法简单特殊体法包含若干简化模型, 如偶极子模型(Chermnykh 1987)、立方体(Liu et al.2011) 和哑铃体(Li et al.2013) 等.这些简化模型的核心思想是一致的, 通过提取不规则小行星的典型特征建立简化模型, 再利用简化模型的动力学特性研究来帮助人们理解或认识实际不规则目标的特性.简单特殊体一般具有高度抽象的外形和简洁的引力表达式, 但过分的简化必然会带来研究对象大量原始信息的丢失, 而这些被“刻意忽略”的信息很有可能对问题产生本质的影响.为此, 简单特殊体法适合于前期的定性分析, 用于研究一些非线性动力学现象等.
在简单特殊体模型中, 巨型细直棒(massive straight segment) 以其直观的应用背景和简洁的引力表达式而广受关注.细直棒模型的提出可追溯到1959年(Duboshin1959), 之后Riaguas等(1999)研究了其附近的周期轨道, 波兰的Bartczak和Breiter (2003)改进了模型, 提出相互垂直的双直棒模型.西班牙学者Elipe和Lara (2003)于2003年首次尝试建立细直棒与实际小行星引力场间的关系, 给出了近似Eros小行星引力场的细直棒参数, 并据此讨论了Eros附近的周期轨道及其稳定性等问题.Najid等(2011)进一步分析了密度与位置坐标成二次方关系的细直棒动力学, 丰富了细直棒的力学特性.
作者近几年在小行星的研究中, 对另外一类简单特殊体模型非常感兴趣--旋转偶极子(rotating mass dipole).偶极子模型最早由前苏联学者Chermnykh (1987)于1987年提出, 是一个由双质点组成的旋转系统, 其中两质点由一根长度固定的无质量细杆相连, 国际上常称“Chermnykh Problem”.Chermnykh最初研究了平面偶极子模型中三角平动点及其稳定性问题, 之后Kokoriev和Kirpichnikov应用该模型近似一个旋转对称哑铃体, 研究了一个哑铃体和一个球体组成系统的平衡点及其稳定性问题(Kokoriev & Kirpichnikov 1988, Kirpichnikov & Kokoriev 1988).波兰的Goźiewski和Maciejewski (1998)进一步讨论了上述问题的可能应用及共振情形等, 并将该问题推广至一个球体和一个椭球体组成的动力学系统(Goźiewski Maciejewski 1999).
1994年, Prieto-Llanos和Gómez-Tierno (1994)将偶极子模型拓展至三维, 较为详尽地研究了系统的平衡点分布及稳定性, 并应用于Mars-Phobos系统.之后陆续有研究对偶极子模型进行改进, 如系统某一质点具有光压力时的光引力偶极子模型(generalized photo-gravitational Chermnykh’s problem)(Kushvah 2008)、某个质点替换为椭球体(Zeng et al. 2016a, 2016b) 等.在文献(Prieto-Llanos & Gómez-Tierno 1994) 的基础上, Hirabayashi等(2010)进一步研究了偶极子在特定参数范围内其内部共线平动点的稳定性问题, 并据此尝试分析快速自旋小行星2000 EB14内部平衡点的稳定性.上述研究虽未给出偶极子模型与小天体引力场之间的直接联系, 但为建立二者之间的近似关系奠定了基础.
作者通过观察不规则小行星平衡点个数及分布特性(Wang et al.2014), 提出了一种应用偶极子模型近似细长小天体引力场的方法, 通过逼近系统外部平衡点的位置来求取偶极子模型参数(Zeng et al.2015a).Zeng等(2015a)选取多颗细长小天体, 将偶极子模型与相应多面体模型进行对比分析, 发现存在一定的误差, 但二者所得平衡点的稳定性一致, 具有相同的空间拓扑结构.上述结果为应用偶极子模型研究细长小行星共有特性奠定了基础, 图 3(a)给出了Itokawa小行星的近似偶极子模型所得外部平衡点及其零速度曲面在赤道面内的分布.图 3(b)所示为改进偶极子模型, 将偶极子的一个质点替换为细长球, 得到了新的平衡点分布特性(Zeng et al.2016a).
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| 图 3 旋转偶极子近似细长小行星及其改进模型.(a) 偶极子近似Itokawa引力场, (b) 考虑二阶项的改进偶极子模型 |
综上所述, 各类引力场建模方法均有优缺点, 在后续研究中仍待改进.传统的级数展开法适用于一些基础的理论分析和远距离轨道设计等.对于工程任务中小行星附近轨道设计而言, 无论从数值计算的精度、还是对问题的适用性, 多面体方法均应是首选.为了探求某一类小行星的引力场特性, 简单特殊体法较为理想, 既可以讨论共有的特性, 又具有易于推导的引力表达式.在研究小天体自身结构演化中, 质点群法较为常见, 能够模拟小天体受到撞击之后的外形演化等.此外, 多面体法和质点群法在小行星研究中已有20多年的应用, 但方法本身的改进却进展缓慢, 如何提出具有较高计算效率和描述精度的引力场建模方法, 应是动力学建模领域的一个基础问题.
4 引力平衡点与局部流形引力平衡点是指力学系统中离心力和中心引力相等的空间位置, 对小行星而言分为拉格朗日点和引力场内平衡点.拉格朗日点是指小行星和太阳组成系统中的引力平衡点, 通常包括三个共线平动点和两个三角平动点(Szebehely 1967), 但理论研究中考虑太阳光压力后有可能产生新的平衡点(Kushvah 2008).引力场内平衡点特指小行星引力与自转离心力相平衡的位置, 类似于地球静止轨道.若将地球视作完美的球体, 则其引力场内有无数个平衡点, 即组成静止轨道所有点的集合.对于不规则小行星而言, 引力平衡点一般是有限个孤立点, 如图 3(a)中Itokawa小行星有4个外部平衡点, 实际上它还有一个在图中未标出的内部平衡点.说明一点, 图 3中平衡点是由近似偶极子模型得到的, 故恰好位于赤道面内, 而实际平衡点的位置受不规则外形和非均质分布的影响, 相对于赤道面会有一定偏离.
4.1 小行星引力场内平衡点太阳-小行星系统的拉格朗日点与日地系统拉格朗日点的区别主要是质量比不同, 在此不再讨论, 本文重点关注小行星引力场内的平衡点.这些小行星随体系下孤立的平衡点, 为小行星有效势函数梯度的零点, 是小行星引力场拓扑结构变化的临界点.对于给定的小行星, 首先关注平衡点的个数与稳定性, 以此来确定小行星周围空间的拓扑结构.之后再分析系统参数对平衡点存在性及个数的影响, 包括小行星自旋速率、系统质量、外形结构等多种因素.文献(Wang et al.2014) 计算了23个不规则小天体的平衡点分布特性并分析了它们的稳定性, 得到了一些很有意思的结果.例如, 自旋周期约0.178 4 h的近球形小行星1998 KY26(直径约30 m) 没有外部引力平衡点, 个头稍大些(平均直径约250 m) 以周期4.288 h自旋的小行星Bennu则有8个外部平衡点, 而自旋周期约6.138 h的小行星1580 Betulia (平均直径4.57 km) 则有6个外部引力平衡点(Scheeres 2012).从拓扑学的角度考虑, 随着小行星物理参量的变化, 小行星外部引力平衡点个数发生了变化, 即视为拓扑类型发生了改变.
另外, 并非不同外形小行星的平衡点个数就一定不同.恰恰相反, 从已知的部分小行星平衡点分布情况来看, 虽然小行星的形状、自旋速率等不尽相同, 但它们大部分都有4个外部引力平衡点和1个内部平衡点(Wang et al.2014), 如Vesta, Ida, Eros, Castalia, Golevka等.实际上, 将地球的非球形摄动考虑在内, 地球静止轨道处真正的有效势梯度零点也只有4个.另一个特例是Kleopatra, 除4个外部平衡点外, 还有3个内部平衡点.在上述研究基础上, Wang等(2016)讨论了小行星Bennu自旋速率取不同值时平衡点的变化与消失情况.上述研究可以看作小行星平衡点拓扑动力学分析的初步尝试, 自旋速率只是小行星平衡点变化的影响因素之一.能否找到影响小行星平衡点特性的物理量之间关系, 确定平衡点个数变化的临界值, 为小行星附近空间拓扑结构的变化提供明确的指导, 将是小行星研究中重要的一步.
小行星平衡点的稳定性表征平衡点附近的空间拓扑结构, 直接决定平衡点附近局部周期轨道的稳定性.平衡点的稳定性一般由扰动方程的线性化矩阵特征根来判别, 即线性稳定性.由式(2) 可知特征方程为关于特征根的六次方程, 所得6个特征根为以下三类的不同组合, 包括一对相反实根、一对相反纯虚根、一对相反共轭复根.当且仅当所有特征根为负时平衡点线性稳定, 若有任一特征根为正(复数时实部为正) 则平衡点不稳定.基于上述原理, 文献(Jiang et al.2014) 对方程(2) 可能的平衡点类型进行了拓扑分类, 讨论了三类特征根的不同组合情况.
对于细长小行星的4个外部平衡点, 两个共线平动点(参见图 3(b)中E2和E3) 一般不稳定, 对应一对相反实根和两对纯虚根; 两个非共线平动点在一定条件下线性稳定, 对应三对纯虚根(Jiang et al.2014).上述情况可从文献(Prieto-Llanos & GómezTierno 1994) 中得到部分解释, 偶极子模型的两个外部共线平动点在任意系统参数下均不稳定, 而非共线平动点则为条件线性稳定.即当模型的自旋速率、总质量、两质点间距离和质量比在合适的范围内时, 非共线平动点的特征根为三对纯虚根.不过, 将偶极子模型的结论推广至实际的小行星, 即便是得到细长小行星4个外部平衡点稳定性的一般结论, 仍然是一项艰难的挑战.
另外一个关于平衡点有意思的现象来自于文献(Wang et al. 2016, Liu et al.2011) 中两个算例的对比.作者注意到, Bennu小行星外部8个平衡点均不稳定, 但特征根类型间隔分布; 立方体模型周围平衡点有4个线性稳定和4个不稳定的间隔分布.若二者自旋速率和系统质量均相同的情况下, Bennu可看成是规则的立方体通过连续变形所得, 此时Bennu平衡点个数与变形前立方体的个数是否一致?所得平衡点的稳定性又是否会发生变化？通过类似的研究, 若能建立起一般特殊体与实际小行星间的某种映射关系, 无疑将为形态各异的小行星研究开启新的篇章.
4.2 平衡点局部流形均匀自旋小天体引力场内轨道动力学方程(2) 在数学形式上与圆形限制性三体问题(circular restricted three-body problem, CR3BP或CRTBP, 下文简称为‘限制性三体问题’) 的方程完全一致, 二者只在引力势的表达式上有所区别, 这为小天体附近轨道动力学研究提供了极大的帮助.自1772年Euler和Lagrange研究限制性三体问题以来, 旋转坐标系的提出、引力平衡点的发现、雅克比积分的获得、零速度曲面的确定、庞加莱截面(Poincaré section surface) 的引入等一系列成果使得人们对于限制性三体问题有了较为深刻的理解和认识(Szebehely 1967).这些经典的方法可以被借鉴来研究小天体附近的轨道动力学问题, 在解决新问题的同时推动自身的发展.
不变流形是非线性系统研究中一个重要的思想工具, 给出了动力系统空间几何结构的数学解释.1990年以来, 以Koon (2011), Lo (1998), Gomez (2000)等为代表的一批学者对限制性三体问题中的不变流形开展了大量研究, 分析了共线平动点间异宿连接轨道, 同时也对地月低能转移轨道(Belbruno & Miller 1993) 给出了更本质的动力学解释.不变流形的另一个重要应用是寻找平衡点附近的局部周期轨道, 通过去除不稳定和稳定流形, 在中心流形的基础上求解(拟) 周期轨道(Barden & Howell 1998).
近年来, 部分学者尝试将上述思想应用于小行星平衡点特性的研究中.中心流形定理保证了平衡点局部不变流形与其线性化方程的不变子空间在平衡点处相切, 且局部稳定和不稳定流形唯一, 局部中心流形不唯一.据此, Liu等(2011)研究了均质立方体部分平衡点附近的不变流形及其异宿连接, Yu等(2012a)基于多面体模型分析了Kleopatra小行星4个外部平衡点局部流形并给出了基于中心流形的周期轨道.英国萨瑞大学的Herrera-Sucarrat等(2014)基于不变流形设计了细长小行星引力场内的转移轨道与着陆轨道等.但他们采用的二阶二次引力场具有良好的对称性, 而这恰好是真实小行星不具备的性质.对于一颗真实的小行星, 平衡点局部流形及中心流形对应的周期轨道等比较容易求解, 但由于平衡点不再位于赤道面内, 如何选取合适的庞加莱截面构造异宿连接轨道则成为新的挑战.同时, 由于小行星引力场较弱, 航天探测一般采用连续小推力系统(高扬2011) 完成轨道机动, 即方程(2) 右端需要增加连续小推力控制项, 会使得自然流形缓慢的演化, 目前该方面问题尚未见到公开研究.综上, 小行星引力场内局部流形的研究才刚刚开始, 但其对理解和认识小行星引力场内的拓扑结构有着不可替代的重要意义, 值得深入研究.
5 近距离绕飞轨道 5.1 大范围自然轨道小行星不规则引力场分布与其快速自旋的耦合作用, 导致绕飞质点动力学行为相当复杂, 与传统大行星的自然轨道有极大的不同.按照几何形状或能量分类, 理想二体问题中大行星绕飞轨道分为圆轨道、椭圆轨道和双曲轨道, 根据6个轨道根数即可完全确定轨道形状以及探测器所在空间位置.小行星附近的自然轨道无法直接沿用轨道根数来描述, 并且在其引力场内还有一些特殊的动力学现象, 例如绕飞轨道的能量和角动量可能在小行星一个自旋周期内发生剧烈的变化(Scheeres 1996), 导致探测器轨道不稳定而逃离引力场或撞向小行星.特别地, 一些尺寸很小的小行星(如平均直径10 m量级) 引力场会很弱, 不具备俘获探测器的能力, 但可能有星际尘埃等围绕其运动.因此, 从非线性动力学的角度出发, 无论是探测器还是星际尘埃, 本质是都是不规则引力场内的质点运动, 此处不再区分.
目前, 小行星周围自然轨道的搜寻仍是一项充满挑战的工作, 主要依靠庞加莱截面和数值迭代方法, 在小行星随体系下求解闭合(满足误差要求) 的空间曲线.在限制性三体问题中搜索周期轨道时大多考虑了模型的对称性来降低搜索的维度(Hénon1997), 实际小行星一般不具备对称性, 需要在三维空间内直接搜索.Werner和Scheeres (1996)通过选取小行星随体系某一坐标平面为庞加莱截面, 迭代求取了Castalia多面体模型下比较简单的三族周期轨道, 包括赤道面附近的顺行和逆行轨道、以及一组非共线平动点附近的halo轨道.在此基础上, 他们进一步研究了非均匀自旋的Toutatis小行星附近的周期轨道(Scheeres et al.1998).Riaguas等(1999)针对细长小天体, 研究了均质细直棒的环绕周期轨道, 采用柱坐标求解了不同角动量时的庞加莱截面, 得到了多族周期轨道及其分岔特性.作者将最优控制模型引入偶极子附近周期轨道的搜索问题, 采用间接法求解两点边值问题来获得周期解(Zeng & Liu 2017).上述针对实际小行星和简化模型的研究只得到了几类简单的周期轨道族, 为了对引力场内的周期轨道进行全局搜索, Tsirogiannis等(2009)针对二阶保守系统提出了一类改进的网格搜索算法, 并成功应用于希尔方程下各类轨道的搜索.
2012年, Yu等(2012b)研究了Kleopatra多面体模型下的周期轨道, 选用球坐标给出了一种改进的分层网格搜索算法.按照轨道在随体系中的空间位置和形状, 他们将所得结果整理为29族周期轨道.应用该方法, 他们继续求解了小行星Ida附近的周期轨道, 并按照周期轨道单值矩阵的特征根类型归类, 同时研究了周期轨道随着雅克比积分延拓时拓扑类型的变化情况(Yu & Baoyin 2015), 更多关于小行星环绕周期轨道拓扑分类可参见文献(Jiang et al.2015).图 4为采用上述方法所得Geographos小行星引力场内的四族示例周期轨道, 均为复杂的空间曲线.图 4(a)轨道虽空间尺寸较大, 但其本质依然是共线平动点附近的局部周期轨道.图 4(b)为非共线平动点处的局部周期轨道, 类似于限制性三体问题中的halo轨道.图 4(c)和图 4(d)两类均为大范围周期轨道, 但其有可能通过轨道延拓的方法与局部周期轨道联系起来.基于自然周期轨道族的概念(Deprit 1967), 通过多种轨道延拓方式(Lara & Pelaez 2002) 将各类不同族的周期轨道联系起来的研究颇有意思.上述研究既可以帮助我们理解周期轨道族的分岔特性, 又为寻找不规则引力场内新型周期轨道提供了可能.
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| 图 4 小行星Geographos引力场内周期轨道示例.(a) 共线平动点局部周期轨道, (b) 非共线平动点局部周期轨道, (c) 草帽轨道, (d) 类8字形轨道 |
文献(Elipe & Lara 2003) 中周期轨道的求解与限制性三体问题中方法(Hénon 1997) 类似, 首先给出一个距离足够远处(如中心天体特征长度4~8倍距离处) 的圆轨道, 把中心天体(此处为细直棒) 视为质点.之后考虑中心天体自旋, 将上述参数转化至旋转坐标系中, 采用微分修正获得实际引力场中远距离近圆周期轨道.以该轨道为初值, 采用数值延拓方法(Lara & Pelaez 2002) 不断减小轨道半径, 最终求得近距离周期轨道.上述研究中的延拓方法决定着周期轨道“生长”的方向, 可以将不同轨道族联系在一起, 该问题曾在限制性三体问题中得到关注(Hénon 1997), 但近期研究较少.鉴于相空间中轨道的稠密性尚未给出数学结论, 小行星引力场中轨道延拓的方向性和分岔特性等值得深入探究, 以期为三体问题和轨道稠密性等研究提供借鉴.
5.2 本体系悬停轨道本体系悬停轨道是指航天器与小行星表面特定区域保持相对静止, 能够对小行星表面某一特定区域开展高精度测绘及采样探测等.据估算, 探测器在等效半径100 m、密度2 g/cm3的小行星表面附近悬停一天约需4.8 m/s的速度增量, 而在相对半径10 km的小行星悬停一天则需要480 m/s的速度增量(Scheeres 2014).由此可见, 在尺寸较小的小行星附近悬停探测较为实际.例如, Itokawa的等效半径约为160 m, 隼鸟号探测器便采用悬停飞行来完成采样任务.小行星Eros的等效半径约为8.4 km, 每天约102 m/s量级的速度增量消耗超出了航天器的承受能力, 因而NEAR任务中并未采用悬停方式.
本体悬停轨道本质上是一类人工引力平衡点, 通过在方程(2) 的右端项加入控制加速度而获得新的有效势零点.目前已知的绝大多数小行星平衡点都是位于赤道面附近的几个孤立点, 若想航天器在非平衡点位置对小行星进行长时间的固定观测, 就需要提供额外加速度, 来抵消引力和离心力间的差值.美国科罗拉多大学Scheeres (1999)最早提出本体悬停轨道概念, 发现开环控制下轨道并不稳定.为此, 其博士生Broschart (2006)以及来自JAXA的访问学者Sawai等(2002)引入了反馈控制律以保持轨道稳定.亚利桑那大学的Butcher (原新墨西哥州立大学) 等(Lee et al.2015) 和Furfaro (2015)近年来针对悬停轨道的稳定控制问题开展了一系列研究, 包括引入高阶滑模控制、采用航天器刚体模型(Lee & Vukovich 2015) 以及考虑小天体的非均匀自旋等(Nazari et al.2014).另有部分学者研究了小行星引力梯度力矩对航天器姿态稳定性的影响(Wang & Xu 2013)、航天器飞往平衡点(Guelman 2015)、以及悬停探测时转移轨道的闭环控制问题等(Deaconu et al.2015).
这些研究主要关注悬停轨道对控制力的需求以及轨道的稳定条件, 并未考虑控制力的来源.目前深空探测中航天器轨道机动以电离子推进等连续小推力发动机为主, 任务时长决定于星载燃料的多少.在未来的探测任务中, 若想航天器对小行星进行长时间的悬停探测、或在一次发射任务中探测多颗小行星(李九天等2015) 等, 太阳帆航天器(McInnes 1999) 或是较为理想的选择.太阳帆是一种大型空间薄膜推进系统, 不需要星载燃料, 通过帆膜与太阳光子间动量交换时产生的太阳光压力给航天器提供推力, 是未来深空探测中极具潜力的推进方式(龚胜平2008).太阳帆的概念最早由齐奥尔科夫斯基等提出(曾祥远2013), 经过近100年的发展研究, 日本于2010年成功发射并在轨展开了世界上首颗太阳帆航天器“伊卡洛斯号”(IKAROS), 标志着太阳帆自理论研究迈向工程试验的新阶段.
早在2000年, Morrow等(2001)便分析了小行星附近的太阳帆绕飞轨道, 之后讨论了非理想太阳帆模型和小行星非球形摄动对环绕轨道的影响(Morrow et al.2002).2009年, Williams和Abate (2009)拓展了Morrow的研究, 分析了小行星附近太阳帆轨道机动、太阳与小行星系统限制性三体问题中平动点L2处的太阳帆伴飞问题, 并首次给出了球形小行星假设下太阳帆本体悬停轨道.2012年, Farrés和Jorbá(2012)基于太阳-小行星椭圆形限制性三体模型, 讨论了太阳帆在共线平动点L1和L2处的伴飞轨道, 并分析了太阳帆不同姿态角对任务轨道的影响.在上述工作基础上, 作者(Zeng et al.2015b) 分析了非理想太阳帆模型对悬停轨道的影响, 求解了球形小行星假设下本体悬停轨道的可行域, 如图 5(a)所示.相同系统参数下, 图中四类太阳帆模型中光子推力器SPT帆的可行域最大, 理想太阳帆可行域居中, 参数模型与光学模型可行域接近.在此基础上, 我们一方面研究了连续小推力下的可行悬停区域问题(Yang et al.2015), 另一方面分析了小行星不规则引力分布对悬停轨道的影响(Zeng et al.2016c).Zeng等(2016c)用偶极子模型近似细长小行星, 讨论了Gaspra小行星的悬停探测问题, 图 5(b)所示为xoz平面内不同推力太阳帆形成的可行悬停区域.
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| 图 5 小行星引力场内太阳帆航天器本体悬停轨道.(a) 球形小行星附近悬停轨道, (b) 细长小行星本体悬停轨道 |
上述研究打开了悬停探测的大门, 但仍徘徊在质点引力、二阶二次引力场或三轴椭球体等简单模型假设下, 并未考虑小行星实际的不规则形状摄动及光压摄动等(忽略摄动有可能改变问题的本质(Scheeres 2014)).显然, 本体系悬停与目标天体密切相关且受控制力的直接影响, 上述因素导致了该问题的复杂性和多样性.寻找优化控制策略使得悬停飞行满足任务要求的同时, 兼具良好的稳定性和鲁棒性, 将是该类轨道工程应用的前提和未来理论研究的重要方向(崔平远和乔栋2013).同时, 小行星快速自旋对悬停轨道稳定控制中航天器姿态调整提出了更高的要求, 如何设计出满足任务要求的稳定悬停区域实现对固定区域的持续观测, 尽量降低航天器姿态机动的幅值和频率, 则是工程设计中面临的又一个难题.
6 结束语小行星探测活动方兴未艾, 受到天文学与航天探测等领域的极大关注.不规则引力场内的动力学与控制问题是小行星近距离探测的基础和关键技术之一, 其中涉及的大量复杂非线性问题亟待解决.本文以隼鸟号探测器等实际探测任务为例, 分析了小行星探测中面临的挑战, 给出了不规则引力场建模的主要方法以及未来可能的研究方向.讨论了小行星引力场内平衡点及其附近局部流形的动力学特性, 重点论述了大范围自然周期轨道和连续受控的本体悬停轨道, 分析了轨道特性和研究中面临的困难.
不积跬步无以至千里, 不积小流无以成江海.一项伟大的科研工作如同一座辉煌的大厦, 需要一砖一瓦堆砌而成, 需要经历一个从平凡到伟大、随着认识的深入再次归于平凡的过程.小行星探测和研究工作刚刚起步, 其中蕴含的丰富信息和复杂的力学特性等已经改变了人们在自然科学领域的一些基本认识.随着小行星研究的深入, 相信未来会带给我们更多的惊喜.小行星数量庞大且形态各异, 复杂的动力学环境使得近距离的探测器控制问题面临诸多挑战.因此, 在我国正式开展小行星近距离绕飞等探测任务之前, 有必要对不规则引力场特性分析与轨道动力学等问题开展系统深入的研究, 提炼原始创新思想和关键技术问题, 促进力学等学科领域的发展同时, 为国家的深空探测事业奠定理论技术储备.
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