木质地板是一种美观且具有蓄热能力的室内装修材料，对房间内热环境的舒适程度和能源使用效率都会产生影响。目前，对木质地板导热性等方面的研究成果已有报道，但对其蓄热性能的研究尚未展开，也没有成熟的技术手段可以借鉴。为此，本课题组自行开发了地采暖地板蓄热性能检测仪器，将受热后的木质地板样本推送至封闭的绝热环境，让样本中储存的热量与封闭环境内的空间自由换热，通过研究封闭空间内温度场随时间和空间的变化规律间接反映木质地板的蓄热特性。在试验条件下，由于设备上温度测点数量是有限的，要对每个时间和空间点上的温度值进行采集，不仅费时费力，而且还将增加研发的时间和物质成本，因此有必要对封闭绝热环境下的动态温度值进行建模，通过模型来估计任意时间和空间维度下的温度值。

支持向量机(support vector machine，SVM)是Cortes等(1995)提出的机器学习算法，在解决小样本、非线性及高维模式识别问题中具有明显优势(郭明玮等，2014)，并被广泛应用于人脸识别(谢赛琴等，2009)、时间序列预测(高伟等，2008)和基因分类(李颖新等，2005)等领域。近年来，众多研究者采用支持向量机对封闭环境内对流换热产生的温度场和流场进行建模，取得了良好效果。Varol等(2008；2009)在方形多孔封闭腔内对垂直于左侧腔壁的恒温加热器进行离散加热，通过求解Darcy流模型控制方程获取所需数据库，并利用支持向量机对其内部自然对流产生的温度场和流场分布情况进行估计，验证了支持向量机估计热流场参数的可行性。Cai(2012)结合传统BP神经网络模型，采用支持向量机对开放式同心管的临界热流进行建模和预测，结果发现支持向量机能够取得比BP神经网格模型更好的精度和泛化能力，对开放式同心管临界热流的预测具有有效性。经典支持向量机算法可以解决神经网格中出现的局部极值问题，但对于样本输入的个数过于依赖，计算量大，当数据样本变大时，二次规划的求解问题会变得更加复杂，因此并不适用于对过程控制进行建模(宋海鹰等，2008)。孪生支持向量机(twin support vector machine, TWSVM)是在经典支持向量机基础上发展起来的一种针对二分类问题的新型机器学习算法(丁世飞等，2018)，不仅具有经典支持向量机在处理数据时表现出的诸多优点，而且训练速度相比经典支持向量机快得多(Ding et al., 2014)。但尽管如此，当训练的数据样本较大时，二次规划问题仍使TWSVM的计算具有较高的复杂性，笔者在提取木质地板蓄热后生成的温度场数据时发现，由于整个温度平衡过程中对空间和时间维度下的取值数量较多，直接采用TWSVM处理数据较为困难。为解决此问题，本研究在TWSVM模型外引入模糊方法，由于模糊方法本质上以事物本身的模糊性为研究对象，且在处理数据时以模糊集合和模糊隶属度函数为基础，可以对信息的不确定性进行定量描述，使建立的系统更符合工程实际(Lendek et al., 2010)，因此当系统处理的数据维数较高时，可以通过模糊方法将该高维数据集划分成多个低维数据集进行处理，以减少数据维数对预测模型的限制。基于此，本研究围绕木质地板蓄热特性，针对木质地板蓄热后生成的温度场分布建立基于TWSVRM和模糊算法的温度组合预测模型，以期为后续研究地采暖地板的蓄热规律提供有效分析手段。

1 材料与方法 1.1 地采暖地板蓄热性能检测仪器

本研究主要借助课题组自行开发的地采暖地板蓄热性能检测仪器来完成对蓄热后木质地板放热过程中在封闭绝热空间内生成温度值的动态提取和保存。图 1a所示为检测仪器检测腔部分的外观设计，其中1为封闭绝热空间温度检测腔(上腔)，检测腔壁已通过保温棉作绝热处理，以尽可能减少腔内与腔外的热量交换；2为蓄热后的木块样本；3为上下腔封口压板；4为样本推送入口；5为温度控制腔(下腔)，内部通过电加热管或制冷管对上腔的初始化温度进行控制。图 1b所示为封闭绝热空间温度检测腔的物理模型，在检测腔内布置DS18B20温度传感器阵列(一个三角号表示一个DS18B20温度传感器)，阵列共分为6层，上下各3层，每层30个温度传感器；在180个温度传感器中，150个用于测量空间内的动态温度值，另外30个用于测量封闭腔侧壁和上下壁的动态温度值，在上下层中间为受热后的木质地板样本。

木质地板样本为橡木径切板，其中径、弦和横向长度分别为100、60和15 mm，初始温度T₀=65 ℃，气干密度为700 kg·m^-3，导热系数为0.17 W·m^-1K^-1，比热容为2 510 J·kg^-1K^-1。封闭腔内导热介质为空气，上壁、下壁和侧壁的初始温度为20 ℃，空气初始温度为20 ℃。

1.2 在线建模理论与分析 1.2.1 孪生支持向量机

孪生支持向量机(TWSVM)形式类似于经典支持向量机(SVM)，不同点在于TWSVM是针对2个规模较小的样本，求解2个二次规划问题，从而得到2个非平行的最优分类面。TWSVM训练时将与目标函数相对的另一个样本点也作为约束条件的一部分，使得TWSVM的训练速度和预测精度相比SVM得到极大提高(储茂祥等，2014)。

TWSVM的求解通过以下2个二次规划问题得到：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{{w_1},{b_1},{\xi _2}} \frac{1}{2}{{\left( {A{w_1} + {e_1}{b_1}} \right)}^{\rm{{\rm T}}}}\left( {A{w_1} + {e_1}{b_1}} \right) + {c_1}e_2^{\rm{T}}{\xi _2},}\\ {{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\; - \left( {B{w_1} + {e_2}{b_1}} \right) + {\xi _2} \ge {e_2},{\xi _2} \ge 0;} \end{array} $

(1)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{{w_2},{b_2},{\xi _1}} \frac{1}{2}{{\left( {B{w_2} + {e_2}{b_2}} \right)}^{\rm{{\rm T}}}}\left( {B{w_2} + {e_2}{b_2}} \right) + {c_2}e_1^{\rm{T}}{\xi _1},}\\ {{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\; - \left( {A{w_2} + {e_1}{b_2}} \right) + {\xi _1} \ge {e_1},{\xi _1} \ge 0。} \end{array} $

(2)

式中：c₁、c₂为惩罚参数，且c₁ > 0, c₂ > 0；ξ₁、ξ₂为松弛变量，且ξ₁ > 0, ξ₂ > 0；e₁、e₂为与w对应维数的单位列向量。

令G=[B, e₂]，H=[A, e₁]，引入拉格朗日乘子α、β、正标量ε和单位向量I后，得到以下2个非平行分类超平面：

$ \begin{array}{l} {\left[ {w_1^{\rm{T}},{b_1}} \right]^{\rm{T}}} = - {\left( {{H^{\rm{T}}}H + \varepsilon I} \right)^{ - 1}}{G^{\rm{T}}}\alpha ;\\ {\left[ {w_2^{\rm{T}},{b_2}} \right]^{\rm{T}}} = - {\left( {{H^{\rm{T}}}H + \varepsilon I} \right)^{ - 1}}{H^{\rm{T}}}\beta 。\end{array} $

(3)

引入几何间隔$ {\rm{Margin}} = {\rm{arg}}\mathop {{\rm{min}}}\limits_{k = 1, 2} \left| {w_k^Tx + {b_k}} \right|/{w_k} $，新输入的样本将根据Margin来判断是属于正类还是负类。对于非线性的分类问题，引入核函数K(x^T, X^T)代替x，将输入空间从低维度映射到高纬度，使其线性可分。经二次规划和对偶变换后同样可以得到上述分类超平面方程，此时，G=[K(B, X^T), e₂]，H= [K(A, X^T), e₁]。几何间隔表示为：

$ {\rm{Margin}} = \arg \mathop {\min }\limits_{k = 1,2} \frac{{\left| {w_k^{\rm{T}}K\left( {{x^{\rm{T}}},{X^{\rm{T}}}} \right) + {b_k}} \right|}}{{\sqrt {w_k^{\rm{T}}K\left( {X,{X^{\rm{T}}}} \right){w_k}} }}。$

(4)

1.2.2 模糊理论

模糊理论是一种基于隶属度函数或模糊集合概念发展起来的理论，在模糊控制等领域有着广泛应用。要实现对系统的模糊控制，首先需要选择合适的隶属度函数对输入数据进行模糊化处理，将确定的系统输入量转换为对应的模糊语言变量值。隶属度函数的确定本身是客观的，当前还没有统一的有效方法，经多次试验，本研究在时间和空间维度下变量的隶属度函数均采用高斯函数：

$ \mu _i^j = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\left( {1 + {e^{\frac{{T - {T_0}\left( i \right)}}{{\sigma \left( i \right)}}}}} \right)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1;\\ {e^{ - {{\left( {\frac{{T - {T_0}\left( i \right)}}{{\sigma \left( i \right)}}} \right)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 2,3, \cdots ,k - 1;\\ 1 - \frac{1}{{\left( {1 + {e^{\frac{{T - {T_0}\left( i \right)}}{{\sigma \left( i \right)}}}}} \right)}}\;\;\;\;\;\;\;i = k。\end{array} \right. $

(5)

式中：k为模糊子集个数；T为输入样本；T₀(i)和σ分别为第i个隶属度函数的对称轴和方差；μ_i^j为第i个样本第j个输入值的模糊隶属度。

1.3 数据采集与预处理

试验时，首先将上下腔封口压板打开，利用温度控制腔对检测腔空间温度进行初始化调节，使检测腔内温度控制在20 ℃；初始化完成后，关闭上下腔封口压板，打开推送样本入口，将加热到设定温度的木质地板样本推送至检测腔的中央位置，并关闭推送样本入口，让样本中储存的热量与检测腔内的空间自由换热，当温度达到平衡后，结束当前试验。在整个过程中，通过温度传感器阵列每隔3 s采集1次温度数据，形成基于不同时间点的训练样本集；同时，针对传感器阵列的分布情况，也可以得到不同空间位置的训练样本集。传感器阵列沿图 2所示的同心圆分布，同心圆半径r由小到大分别为0、25、50和75 mm，排列的传感器数目分别为0、4、8和12个，其圆心与柱坐标圆心的距离分别为20、40和60 mm。由此，通过柱坐标(r, β, z)可以唯一确定每个传感器的空间位置。柱坐标方程为：$ r = \sqrt {({x^2} + {y^2})}, \beta = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^{ - 1}}\left({y/x} \right) $，z=z，其中x=[0, 25, 50, 75]，y=[0, 25, 50, 75]，z=[20, 40, 60]，β∈[0, 2π]，Δβ=[ π/2, π/4，π/8，π/12]，β=β+Δβ(如r=25 mm时传感器位置为β₁=0，β₂=β₁+ π/4，β₃=β₂+ π/4，β₄=β₃+ π/4，r=50、75 mm以此类推)。

DS18B20温度传感器阵列采集的温度值首先由单总线传送给下位机，然后经CAN总线完成与上位机通信并储存。在数据采集、A/D转换及CAN总线通信过程中，由于干扰和误码存在，可能使上位机采集的部分数据产生离群点，导致检测结果失真，因此需要进一步对上位机采集的数据进行修正和归一化处理。

数据修正时，首先对新采集的1个温度值与之前采集5组温度值的平均值进行比较，如果比较结果相差超过3σ(σ为前5个点相对其平均值的标准差)，则认为该点为离群点，需要对其进行修正；然后将该点温度值与之前温度值逐点平均，直到逐点平均后的温度值与前5个点温度的平均值相差不超过±3σ为止，以逐点平均值作为该离群点修正后的温度值。

由于不同环境因子的物理量纲不同，由此引起的误差会产生积累，影响检测精度，因此需要对数据进行归一化处理，处理方式如下：

$ {\rm{Data'}} = \frac{{{\rm{Data}} - \min \left( {{\rm{Data}}} \right)}}{{\left| {\max \left( {{\rm{Data}}} \right) - \min \left( {{\rm{Data}}} \right)} \right|}}。$

(6)

本研究从受热木质地板样本推送至检测腔到检测腔内温度达到平衡共用时20 min，在数据提取过程中，系统每隔3 s完成1组(150个，暂不考虑封闭腔壁的温度变化)数据采集。为控制样本规模，同时兼顾试验结果对实际温度场表述的准确性，取样数据每隔5组取1组，共取样80组(12 000个)，并依次进行修正和归一化处理。

2 结果与讨论 2.1 模型构建

在本研究中，模型输入量为空间位置坐标p(r，β，z)和数据采集时间t，输出量为温度值T。时间维度下以时间t为变量进行训练，在每个数据块中随机提取1个时间点对应的150个温度值作为验证集，剩余9个时间点对应的1 350个温度值作为训练集，所有样本共包括8组验证集和8组训练集；如果给训练集分别编号为X₁—X₈，则第1个训练样本为训练集X₁和X₂，第8个训练样本为训练集X₇和X₈，中间6个训练样本中每个都是由相邻的3个训练集构成，如第2个和第3个训练样本分别由X₁、X₂、X₃和X₂、X₃、X₄构成，验证样本以此类推。空间维度下以空间位置p为变量进行训练，将样本按照z坐标分为6层，每层数据块包括2 000个温度值，模型训练时，以每层中随机选取一个空间点所对应的80个温度值作为该层数据块的验证集，剩余1 920个温度值为该层数据块的训练集，同样按照对时间维度训练时的数据处理方法，先给训练集分别编号为Y₁—Y₆，则第1个训练样本由训练集Y₁和Y₂组成，第6个训练样本由训练集Y₅和Y₆组成，中间4个训练样本由相邻的3个训练集构成，验证样本以此类推。

针对每个训练样本，首先采用TWSVM单独进行训练，并用对应的验证样本对模型参数进行寻优。然后采用模糊方法对每个样本的边界进行模糊化处理，构建模糊子集，利用隶属度函数对每个模糊子集中的样本点赋予不同的模糊隶属度，并通过模糊隶属度对预测结果进行模糊叠加，叠加后的输出为模型最终训练结果。经过多次试验，得到时间维度下最佳模糊隶属度函数的宽度分别为(20，90，90，90，90，90，90，20)，对称轴分别为(100，175，325，475，625，775，925，1 000)；空间维度下最佳模糊隶属度函数的宽度分别为(50，200，200，200，200，50)，对称轴分别为(230，400，732，1 065，1 398，1 565)。归一化后2种维度下的模糊隶属度函数分别如图 3所示。

TWSVM模型核函数参数σ、惩罚参数γ和松弛变量ξ的选择直接影响其预测结果准确性。对于不同类型数据样本，参数(σ，γ，ξ)往往具有不同的最优组合，因此对于一个新建的TWSVM模型，为获得最佳训练效果，必须对(σ，γ，ξ)进行寻优。网格搜索法是应用较多的多维约束优化方法，将σ、γ和ξ的取值限定在一定范围生成网格，遍历网格所有点并取最优值。由于TWSVM具有5个不同的模型参数，要遍历所有点必然会导致巨大的计算开销，因此为减少每个参数遍历点的个数，加快网格搜索速度，本研究首先在大范围内对参数进行粗粒度搜索，获取最优组合，然后在该最优组合前后的小范围内再进行细粒度搜索，并保存最优的搜索结果。采用网格搜索法对TWSVS模型参数进行寻优时，每个训练样本的模型参数都设置在相同的寻优区间：σ₁、σ₂为(10^-10，10⁵)，γ₁、γ₂为(10^-3，10⁵)，ξ为(10^-10，10²)，经网格搜索后获得时间维度下参数(σ₁，σ₂，γ₁，γ₂，ξ)的最优组合为(1×10^-2，1×10^-3，5，5，1×10^-3)，空间维度下参数(σ₁，σ₂，γ₁，γ₂，ξ)的最优组合为(3×10^-1，6×10^-2，1，1，1×10^-4)。

根据上述模型构建方法，假设输入一个新样本后采用TWSVM对该样本中第i个样本点的温度值预测结果为T_i，对应的模糊隶属度权值为μ_i，则模糊叠加规则记为T′_i=T_iμ_i/∑μ_i，模糊叠加的输出T′_i就是要求的最终预测结果。

2.2 模型验证

在建模过程中，为定量分析模型预测结果与试验数据的拟合程度和误差大小，同时对模型参数快速寻优，评价模型预测性能，本研究引入平均相对误差(MRE)、最大相对误差(MAE)、均方误差(MSE)和拟合度(R²)4个指标，其中MRE、MAE、MSE越接近于0，表示预测误差越小，R²越接近于1，表示预测值越接近真实值，模型预测性能越好：

$ {\rm{MRE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{\left| {{T_{{\rm{model}}}} - {T_{{\rm{real}}}}} \right|}}{{{T_{{\rm{real}} - \max }} - {T_{{\rm{real}} - \min }}}}} \right)} \times 100\% ; $

(7)

$ \text{MAE} = \max \frac{{\left| {{T_{{\rm{model}}}} - {T_{{\rm{real}}}}} \right|}}{{\left( {{T_{{\rm{real}} - \max }} - {T_{{\rm{real}} - \min }}} \right)}} \times 100\% ; $

(8)

$ {\rm{MSE}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{{\left( {{T_{{\rm{model}}}} - {T_{{\rm{real}}}}} \right)}^2}}}{{{T_{{\rm{real}} - \max }} - {T_{{\rm{real}} - \min }}}}} } \times 100\% ; $

(9)

$ {R^2} = \left[ {1 - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{T_{{\rm{model}}}} - {T_{{\rm{real}}}}} \right)}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{T_{{\rm{model}}}} - {T_{{\rm{model - mean}}}}} \right)}^2}} }}} \right] \times 100\% 。$

(10)

式中：T_model为模型预测温度值；T_real为实际温度值；T_model-mean为模型预测温度平均值。

2.3 结果分析

在地采暖地板蓄热性能检测仪器圆柱形封闭腔内，针对蓄热后木质地板在放热过程中生成的温度值，分别给出利用TWSVM对单个样本建模训练时的预测结果以及应用隶属度函数对每个验证样本加入隶属度权值后的预测结果。时间维度上，以随机时间t=15(10n-1)s时的温度值为验证样本，n=1，2，…，8为样本集编号，遍历所有时间点，预测结果都能达到99%以上；空间维度上，以每个z平面上随机选取的一个空间点所对应的温度值为验证集样本，z=[-60，-40，-20，20，40，60 mm]，遍历所有空间点，预测结果都能达到98%以上。限于文章篇幅，本研究只给出部分在线建模的预测结果，如图 4~7所示。

图 4、5所示为基于时间维度下对第6个预测样本(t=885 s时)的预测结果，图中温度值曲线变化剧烈是由于读取传感器阵列的先后顺序导致的，因为不同空间位置的温度是不同的，而在每个基板上读取传感器的顺序是从z=60到z=20的方向读取，温度变化较大；同时，由于受热木质地板样本位于封闭空间的中央，而“烟囱效应”引起的热流首先会从热源中部上升，然后在两侧壁面向下流动，使封闭腔上方的温度比下方高，因此在图中表现出前75个测量点的温度明显比后75个测量点的温度高。图 6、7所示为基于空间维度下对第3个预测样本中的一个测量点(r，β，z)=(25，0，60 mm)从第1个采集时间点(t=0)到第80个采集时间点(t=1 200 s)之间的预测结果，由于地采暖地板蓄热性能检测仪器无法与外界实现完全绝热，因此封闭腔内的温度在达到平衡过程中会向外界散失部分热量，图中温度值曲线表现出先快速升高再缓慢下降的特点。

分析不同维度下样本温度分布和变化的特点后，利用上述方法建模预测的部分拟合误差、拟合度及建模时间如表 1、2所示。

由表 1可知，采用TWSVM对单个样本建模训练，预测单个验证集温度的拟合度达到99%以上，在时间维度上最长建模时间为174.97 s，最短为52.48 s；在空间维度上最长建模时间为262.36 s，最短为83.77 s。由表 2可知，采用TWSVM和模糊的叠加模型对所有样本训练并预测单个验证集温度的拟合度达到98%以上，在时间维度上最长建模时间为186.90 s，最短为64.39 s；在空间维度上最长建模时间为274.37 s，最短为93.30 s。

对比2种方法的预测结果可知，加入模糊的叠加模型在预测相同温度样本时消耗的时间稍长一些，预测精度也略有降低，但不影响总体建模效果，包括拟合度、拟合误差和建模时间都在允许范围内。同时，采用模糊处理方法将单个较大的样本分块后再用TWSVM建立预测模型，解决了TWSVM在处理高维数据时的局限性，既发挥了模糊方法处理非确定性信息的能力，也充分利用了TWSVM建模时表现出的快速性和泛化性优势，验证了本研究所构建的叠加模型应用于木质地板蓄热温度场预测的可行性。

3 结论

本研究以木质地板蓄热后在封闭空间内生成的温度场为研究对象，引入孪生支持向量机(TWSVM)方法对不同时间和空间维度下的温度场建立了预测模型。针对数据维数“膨胀”问题，将数据均匀分块，并分别对每个数据块进行了单独建模和训练，引入模糊方法后，对新输入的预测样本，先给单个模型的预测结果赋予不同的模糊隶属度权值，再用模糊隶属度函数将不同模型的输出进行叠加，叠加的输出作为模型最终预测结果。结果表明，针对单个训练样本建模训练时，基于孪生支持向量机的预测模型在时间维度和空间维度上都能在较快的时间内完成建模，预测结果的拟合度都能达到0.99以上，平均相对误差、最大相对误差和均方误差的最小值分别为0.35%、1.29%和0.52%；基于模糊和孪生支持向量机的预测模型，预测结果的拟合度都能达到0.98以上，平均相对误差、最大相对误差和均方误差的最小值分别为0.45%、1.83%和0.57%。基于孪生支持向量机和模糊的组合预测模型能够获得与孪生支持向量机单独训练时相近的预测效果，加入模糊方法后的TWSVM预测模型可以对规模更大的训练样本进行建模，在改善对大数据处理效果的同时提高了在工程上的应用范围，可为研究木质地板蓄热后生成的温度场提供方法借鉴，对后续进一步利用温度场反演木质地板的蓄热规律具有重要意义。