立木材积表是常用的森林调查数表，也是重要的林业基础计量数表。我国立木材积表通常包括二元材积表和一元材积表(中华人民共和国林业部，1990)，其中作为林业行业标准的二元立木材积表于20世纪70年代后期由当时的农林部组织编制并颁布实施(中华人民共和国农林部，1978)，至今已近40年。由于我国森林资源结构发生了较大变化，部分原来的材积表在应用中可能存在难以接受的偏差，还有部分树种原来就没有适用的材积表，因此，近10年来很多地方已经开始编制新的二元立木材积表(廖业佳等，2005；叶金盛，2006；岑巨延，2007； 章裕超等，2007； 侯长谋等，2008；夏忠胜等，2009； 曾伟生，2014)，其中既涉及原已有材积表的主要树种，如杉木(Cunnighamia lanceolata)、马尾松(Pinus massoniana)、杨树(Populus spp.)等，也包括原来没有材积表的树种，如桉树(Eucalyptus spp.)、湿地松(Pinus elliottii)等。

落叶松(Larix spp.)是我国重要的针叶树种之一，在东北、华北、西北和西南地区都有分布。根据第8次全国森林资源清查结果，在针叶林的面积、蓄积排名中，落叶松均位居第二[面积略少于杉木，蓄积略少于冷杉(Abies spp.)]，分别占全国乔木林面积和蓄积的6.5%和10.0%(国家林业局，2014)。在部颁56个二元立木材积表中，落叶松占了5个，其中东北地区1个、华北地区2个(天然林和人工林各1个)、西北地区2个(天山林区和阿尔泰林区各1个)(中华人民共和国农林部，1978)。在第8次清查森林生物量调查建模项目中，根据落叶松资源分布现状，对落叶松的建模总体作了调整，华北和西北地区均只考虑1个总体，并增加西南地区建模总体(曾伟生等，2010)。在分别4个建模总体收集生物量样本的同时，也收集了立木材积样本。根据东北落叶松和南方马尾松二元立木材积表的检验结果(曾伟生，2010)，原部颁材积表已经存在明显偏差。为了进一步分析不同区域材积表的估计效果，本文利用第8次清查采集的4个建模总体范围的480株落叶松样木立木材积数据，对原部颁标准的立木材积表进行检验，并对不同区域的落叶松立木材积表进行差异分析，最后利用哑变量模型方法，基于现有数据建立不同区域的落叶松二元立木材积方程，为客观评价落叶松立木材积表的现状提供科学依据，也为推动我国二元立木材积表的更新和修订工作提供决策参考。

所用数据为我国不同区域的落叶松实测数据，共计480株样木，涉及4个地理区域或建模总体：1)东北地区的样本采集自黑龙江、吉林、辽宁和内蒙古东部地区； 2)华北地区的样本采集自河北、山西和内蒙古中西部地区； 3)西北地区的样本采集自新疆自治区的天山林区和阿尔泰林区； 4)西南地区的样本采集自四川、云南和西藏3省区。每个区域的样木数按6，8，12，16，20，26，32，38 cm以上8个径阶均匀分配，每个径阶15株，共计480株。样木按胸径(D)、树高(H)、材积(V)3项因子的主要统计指标见表 1。

表 1 落叶松样本数据基本情况 Tab.1 General situation of sample data for larch

表 1 落叶松样本数据基本情况 Tab.1 General situation of sample data for larch 区 域Region 样本量Sample size 变量Variable 平均值Mean 最小值Min. 最大值Max. 标准差SD 变动系数CV(%) 东北地区 胸径Diameter(D)/cm 20.0 5.3 44.1 10.9 54.7 Northeastern 120 树高Height(H)/m 15.1 4.2 28.2 6.0 39.5 材积Volume(V)/10-3m3 400.3 5.9 1 928.3 448.5 112.0 华北地区 胸径 Diameter(D)/cm 19.1 5.0 38.8 9.9 52.1 Northern 120 树高Height(H)/m 12.5 2.8 24.0 5.7 45.9 材积Volume(V)/10-3m3 286.5 5.0 1 196.1 304.0 106.1 西北地区 胸径Diameter(D)/cm 20.7 5.5 54.2 12.3 59.5 Northwestern 120 树高Height(H)/m 16.7 3.9 33.5 7.6 45.5 材积Volume(V)/10-3m3 471.0 6.3 2 828.5 600.9 127.6 西南地区 胸径Diameter(D)/cm 20.8 5.5 50.7 12.2 58.9 Southwestern 120 树高 Height(H)/m 15.1 3.4 37.5 7.0 46.6 材积Volume(V)/10-3m3 427.5 6.0 3 016.6 564.4 132.0

部颁标准的立木材积表是按树种(组)和区域编制的，每个立木材积表都是基于以下形式的二元材积方程(中华人民共和国农林部，1978)：

式中：V为立木材积(10^-3m³)；D为胸径(cm)；H为树高(m)；c_i为参数；ε为误差。

下面分别阐述立木材积方程的检验、不同区域材积方程的差异分析及不同区域材积方程的建立方法。

1 ) 立木材积方程的检验 对部颁标准二元立木材积方程的检验，采用回归方程的适应性检验方法(唐守正等，2008； 曾伟生，2010)，即利用落叶松样本材积实测值V(用y表示)与样本的D、H按式(1)计算的预估值V ^(用x表示)进行比较，如果二者之间的线性回归方程 y=a+bx 其参数(a，b)与(0，1)没有显著差异，则可以判定原来的回归方程仍然是适用的。其判断统计量F服从自由度f₁=2、f₂=n-2的F分布。当F>F_0.05时，说明原来的二元材积方程已经存在系统误差；当F≤F_0.05时，说明不存在系统误差，原来的二元立木材积方程仍然是适用的。

除了从统计学角度进行上述差异显著性检验以外，还结合相关技术规定的要求进行检验。根据《林业专业调查主要技术规定》，立木材积表的系统误差一般不得超过±3％(中华人民共和国林业部，1990)。因此，在作上述检验的同时，根据检验样本的实际观测值y和模型预估值，计算总相对误差(TRE)和平均系统误差(MSE)。如果TRE和MSE均不超过±3％，则认为原来的模型仍然是适用的；否则，就是不适用的(曾伟生，2010)。

2 )不同区域材积方程的差异分析 不同区域落叶松二元立木材积方程之间的差异性分析，可采用混合模型方法(曾伟生等，2011a； 符利勇等，2011； Zeng，2015)。混合模型是同时包含固定效应变量和随机效应变量的模型，近年来，非线性混合模型方法已经得到了广泛应用(符利勇等，2011； 2013； Zeng，2015)。本研究采用非线性混合模型方法来分析特定区域的立木材积方程之间是否存在显著差异，将反映不同地理区域的变量z定义为随机效应变量，而将胸径(D)、树高(H)等反映林木大小的变量定义为固定效应变量，二元立木材积方程的非线性混合模型的一般形式表示为：

式中：V为立木材积；c_i为固定参数；u_i为随机参数，u_i的数学期望值为0，且相互独立，即E(u_i)=0，cov(u_i，u_j)=0(i≠j)。随机参数是否与0有显著差异，通过随机效应显著性检验结果得出。若随机参数与0无显著差异，说明不同区域的立木材积方程没有显著差异；若随机参数与0有显著差异，则说明不同区域的立木材积方程不能用同一套固定参数来估计。为了进一步分析不同区域立木材积方程两两之间的差异，对4个不同区域的6种组合分别进行对比。

3)不同区域材积方程的建立 在对不同区域落叶松二元立木材积方程进行差异性分析的基础上，可采用哑变量模型方法建立含特定参数的立木材积方程(Zeng et al.，2011； Zeng，2015)。哑变量模型的一般形式表示为：

式中：V为立木材积；c_i为全局参数；v_i为特定参数，以反映不同区域之间的差异大小。差异的显著性可采用模型(3)与模型(1)之间的F检验，统计量的具体计算方法见Meng等(2008)和Zeng等(2011)。如果模型(3)与模型(1)之间差异不显著，可考虑将某些区域合并建模。对所建二元立木材积方程的评价，采用最核心的2项指标：确定系数(R²)和平均预估误差(MPE)(曾伟生等，2011)。按照《林业专业调查主要技术规定》，立木材积表的误差一般不得超过±3％(中华人民共和国林业部，1990)，因此，如果所建模型的平均预估误差(MPE)在3%以内，即认为达到了建模要求。

前面已经提到，部颁标准的落叶松二元立木材积表有5个，因为华 北地区天然落叶松林已经很少，本次不再单独考虑天然落叶松，只采集了人工落叶松样本，故只对除华北天然落叶松材积表以外的其他4个材积表进行检验，其中西北地区的落叶松样本同时用来检验西北地区的2个落叶松材积表，结果见表 2。

表 2 落叶松4个二元立木材积方程的检验结果^① Tab.2 Validation results of 4 two-variable tree volume equations for larch

表 2 落叶松4个二元立木材积方程的检验结果① Tab.2 Validation results of 4 two-variable tree volume equations for larch 区域Region F值F-value TRE(%) MSE(%) 检验结论Test conclusion 东北地区 Northeastern 90.22 11.01 9.55 明显有偏 Obviously biased 华北地区(人工)Northern(for plantations) 12.39 5.51 12.76 明显有偏Obviously biased 西北地区(A)Northwestern(A) 12.07 10.54 12.96 明显有偏Obviously biased 西北地区(B)Northwestern(B) 9.89 -2.03 0.62 稍许有偏Lightly biased ① F的临界值约为3；TRE和MSE分别为总相对误差和平均系统误差，一般不得超出±3%的范围。The critical F-value is about 3; TRE and MSE are total relative error and mean systematic error respectively，which should be less than ±3%.

从表 2可知，东北地区的落叶松二元材积表和华北地区的人工落叶松二元材积表，不论是F统计检验还是适用性检验，其估计结果已经明显有偏；西北地区的2个落叶松材积表，用于天山林区的材积表(A)同样明显有偏，而用于阿尔泰林区的材积表(B)从适用性检验结果看尚未超出允许误差，但从F检验结果看，仍然有显著差异。总体来看，各个区域的落叶松部颁二元立木材积表大多数超出了允许误差。

利用4个不同区域的立木材积数据，按式(2)建立混合模型，发现指数参数中的随机效应u₁和u₂与0无显著差异，仅随机效应u₀是显著的(信度指标P=0.01)。其固定参数和随机参数的估计值见表 3。

表 3 落叶松4个区域的二元立木材积混合模型估计结果^① Tab.3 Estimation result of two-variable tree volume mixed model for larch in four regions

表 3 落叶松4个区域的二元立木材积混合模型估计结果① Tab.3 Estimation result of two-variable tree volume mixed model for larch in four regions 固定参数估计值Fixed parameter estimates 随机参数估计值Random parameter estimates c0 c1 c2 u01 u02 u03 u04 0.069 195 1.812 4 1.008 0 0.001 308 -0.001 903 0.000 989 -0.000 394 ① 随机参数u01，u02，u03，u04分别代表东北、华北、西北、西南地区的随机效应值。Random parameters u01，u02，u03 and u04 present the random effects in northeastern，northern，northwestern and southwestern regions respectively.

从表 3可知，不同区域落叶松立木材积方程的指数参数c₁和c₂无显著差异，取相同值；而尺度参数c₀则有显著差异，不能取相同值。从随机效应参数的大小知，在相同直径和树高的前提下，东北地区落叶松的材积估计值最大，其次是西北地区和西南地区，而华北地区落叶松的材积估计值最小。若以华北地区落叶松的材积估计值为基准，西南、西北和东北地区落叶松的材积估计值要分别大2.24%，4.30%和4.77%。通过对4个区域的材积方程进一步作两两对比，发现东北与华北之间差异极显著(P ＜0.01)，西北与华北之间差异显著(0.01≤P＜0.05)，西南与东北之间差异稍显著(0.05≤P ＜0.10)，其他两两之间(华北与西南、西南与西北、西北与东北)的差异不显著(P ＞0.10)。

从前述差异性分析结果看，4个区域材积方程的估计结果从大到小依次为东北、西北、西南、华北，相邻2个区域之间的差异都不显著，但材积估计值最大的东北和次大的西北与最小的华北之间差异显著，最大的东北与次小的西南之间差异稍显著。这里考虑按3个方案建模：方案(1)即建立不分区域的全国通用性落叶松立木材积方程；方案(2)是将东北与西北合并、西南与华北合并，只按2个总体建立哑变量模型；方案(3)是考虑合并区域在地域上不相连，且分布范围广，仍按4个总体建模。表 4是不同建模方案的二元立木材积方程估计结果，表 5是利用4个区域的材积实测数据对不同建模方案的材积方程所作的估计结果对比。

表 4 落叶松不同建模方案的二元立木材积方程估计结果^① Tab.4 Estimation results of two-variable tree volume equations for larch by different modeling schemes

表 4 落叶松不同建模方案的二元立木材积方程估计结果① Tab.4 Estimation results of two-variable tree volume equations for larch by different modeling schemes 建模方案Modeling schemes 全局参数估计值Global parameter estimates 特定参数估计值Specific parameter estimates 统计指标Statistics c0 c1 c2 v01 v02 v03 v04 R2 MPE(%) (1) 0.068 119 1.803 7 1.023 8 — — — — 0.9729 1.85 (2) 0.069 129 1.811 3 1.009 7 0.001 257 -0.001 257 — — 0.973 2 1.84 (3) 0.069 900 1.814 3 1.002 4 0.001 583 -0.002 410 0.001 230 -0.000 403 0.973 4 1.84 ① 建模方案(1)，(2)，(3)分别指按1，2，4个总体建模；建模方案(2)的特定参数v01，v02分别代表东北西北、华北西南地区的取值，建模方案(3)的特定参数v01，v02，v03，v04分别代表东北、华北、西北、西南地区的取值。Modeling schemes(1)，(2)and(3)mean to develop 1，2 and 4 models respectively. Specific parameters v01and v02 for modeling scheme(2)present the random effects in northeast + northwest，north + southwest regions respectively，and specific parameters v01，v02，v03and v04 for modeling scheme(3)present the random effects in northeastern，northern，northwestern and southwestern regions respectively.

从表 4的2项统计指标看，3种建模方案差异不大。再从表 5中2项统计指标的对比情况看，以全国范围为估计总体时，TRE和MSE也差异很小，且均接近于0。若按4个区域分别进行估计，误差有所增加。如采用方案(1)，全国只建立1个落叶松材积方程，则东北地区的实际值要高于估计值，而华北地区的实际值要低于估计值，西北和西南地区则实际值与估计值很接近。也就是说，即使全国采用1个通用性材积方程，不同区域材积估计值的最大误差也只有3%左右。从TRE指标看，以方案(3)最好，方案(2)次之；从MSE指标看，3个方案差异不大，甚至方案(3)反而要差一些。综合而言，3个方案的差异并不显著，不同区域的2项误差指标基本都在±3%以内。对方案(2)和方案(3)与方案(1)的建模结果分别作F检验，结果表明二者差异在统计上均不显著。

表 5 落叶松不同建模方案对4个区域的材积估计结果对比 Tab.5 Comparison of volume estimation among four regions from different modeling schemes for larch

表 5 落叶松不同建模方案对4个区域的材积估计结果对比 Tab.5 Comparison of volume estimation among four regions from different modeling schemes for larch 建模方案Modeling schemes TRE(%) MSE(%) 合计Total 东北NE 华北N 西北NW 西南SW 合计Total 东北NE 华北N 西北NW 西南SW (1) -0.15 2.47 -3.52 0.45 -0.84 -0.18 -1.21 0.32 2.03 -1.87 (2) -0.16 0.79 -1.76 -1.10 1.12 -0.19 -2.92 1.90 0.33 -0.08 (3) -0.18 0.46 -0.08 -0.89 -0.03 -0.22 -3.36 3.44 0.41 -1.36

我国以部颁标准发布实施的二元立木材积表，至今已经应用了近40年。本文通过对4个落叶松材积表进行检验，发现有3个材积表的估计误差超出了允许范围，已经存在明显的系统偏差。利用最新采集样本的实测材积数据，对东北、华北、西北和西南4大区域二元立木材积方程的差异性进行分析，发现其材积估计值从大到小依次为东北、西北、西南、华北，2个相邻区域材积估计值之间的差异在统计上不显著，但最大与最小、次大与最小、最大与次小估计值之间则存在显著差异。从材积估计误差看，不同建模方案的差异并不大，全国建立1个通用性材积方程与4个区域分别建立4个材积方程相比较，不同区域材积估计值的最大误差仅为3%左右。从F检验结果看，按2个或4个区域建立的哑变量模型与全国通用性模型之间的差异均不显著。

根据本文对落叶松立木材积表的检验结果及已有的研究成果(曾伟生，2010)，原部颁标准的二元立木材积表大多数可能已经存在明显偏差，建议对全部二元立木材积表进行一次系统检验，在此基础上对已存在明显偏差的材积表进行更新或修订。鉴于不同区域的二元立木材积表差异不大，建议由国务院林业主管部门统筹考虑，明确各主要树种二元立木材积表编制的总体范围。地域分布范围相对比较集中的树种，一般只需全国统一编制1个二元材积表；地域分布范围很广的树种，可以将全国划分为几个大的地理区域，分别区域编制二元材积表。同一树种分别不同省份编制二元立木材积表，一方面会人为造成相邻省份材积估计的差异，另一方面也会造成不必要的资金浪费。因此，并不鼓励各省单独编制限于本省范围应用的二元立木材积表。应逐步建立全国林业数表体系，促进林业数表编制的规范化和标准化。