刨切单板重组木是在不打乱木材纤维排列方向、保留木材基本特性的前提下，将小径级原木疏解成平整单板，再经干燥、铺装、施胶和热压(或模压)等重新组合工序制成的高强度、大规模、具有天然木材纹理结构的新型木材(李伟光等，2008； 于文吉，2012； 2013)。我国小径级原木产地较多，但小径木应用较单一，且出材率较低，限制了小径木的大规模生产； 而新型星形下锯法能够以高效率的方式更好地利用小径级原木(任洪娥，2001)。本文对原木及星形下锯刨切后得到的弦切单板进行数学建模，并以此为基础实现刨切下锯的优化设计，以期提高原木出材率。

1 星形纵向锯解后重组刨切单板工艺

星形纵向锯解后重组刨切纹理板是将小径木纵向锯解为多块扇形木材后重组为近似板材再刨切为弦切单板的工艺。星形下锯法制造的锯材在硬度、表面精度、观赏性等方面具有突出的优点(贾满蓉等，1992； 朱国玺等，1994)，其下锯图见图 1。

扇形板材重新组合为近似板材后再进行刨切得到弦切单板，将弦切单板拼凑使用(图 2)，其纹理美观大方、自然典雅，且硬度及表面精度高，具有很高的经济价值(马岩等，1995； 张少纯等，1997)。板面与该板和年轮切线的夹角δ₁在航空、乐器制造等不同领域要求不同，所以星形下锯每块扇形板材的角度β取决于δ₁。对不同角度其研究方法基本相同，本文只讨论β=90°的情况(陈桂华，2003； 马岩，2005)。

2 刨切弦切单板的原木及长、短径方向弦切单板数学模型

随着科技不断创新，在木材加工领域，制材工艺也在迅速革新发展，计算机辅助设计、制材下锯优化已经在木材加工中开始使用。传统原木出材率的优化主要是将原木加工成矩形大板(马岩等，1995)，锯切后废材较多，而星形纵向锯解后重组刨切单板的优化则没有这个缺陷，具有很高的发掘潜力(童雀菊，1996； Sandberg et al.，1997)。但要找到最优解，必须建立原木及星形下锯刨切得到弦切单板的数学模型，才能通过计算机求出最优下锯尺寸，作为星形下锯及刨切下刀的理论基础。

2.1 刨切弦切单板的原木数学模型

刨切弦切单板的描述体系以理想原木(图 3)为基础，原木截顶面数学模型为椭圆幂曲线。取原木的小头长径D_a1、小头短径D_b1、中央断面短径D_bm、大头长径D_a2和材长L为实测值，则理想原木的数学模型(马岩，1990； 冯莉，2002)为：

$F\left( {x,y,z} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{4D_{a1}^2{L^t}}}{{D_{b1}^2D_{a2}^2 - D_{a1}^2}}{x^2} + \frac{{4{L^t}}}{{D_{a2}^2 - D_{a1}^2}}{y^2} \le \frac{{D_{a2}^2}}{4} - {z^t};}\\ {0 \le z \le L;}\\ {\frac{{4D_{a1}^2{L^t}}}{{D_{b1}^2D_{a2}^2 - D_{a1}^2}}\frac{{4{L^t}}}{{D_{a2}^2 - D_{a1}^2}} \ge 0} \end{array}} \right.F\left( {x,y,z} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{4D_{a1}^2{L^t}}}{{D_{b1}^2D_{a2}^2 - D_{a1}^2}}{x^2} + \frac{{4{L^t}}}{{D_{a2}^2 - D_{a1}^2}}{y^2} \le \frac{{D_{a2}^2}}{4} - {z^t};}\\ {0 \le z \le L;}\\ {\frac{{4D_{a1}^2{L^t}}}{{D_{b1}^2D_{a2}^2 - D_{a1}^2}}\frac{{4{L^t}}}{{D_{a2}^2 - D_{a1}^2}} \ge 0.} \end{array}} \right.$

(1)

式(1)椭圆幂函数柱体的顶点沿着z向平移，随着幂次的变化，幂曲面的凸凹程度可以模拟原木干曲线的不同形状。而式中t的确定是将实测的具体点(D_bm/2，0，L/2)代入式(1)中求出来的，t可以控制树干纵断面曲线的凸凹程度，将实测点带入计算后，得到其公式如下：

$\begin{array}{l} t = 1.442{\rm{ }}7[\frac{{D_{b1}^2\left( {D_{a2}^2 - 1} \right) + D_{a1}^2\left( {D_{bm}^2 - D_{b1}^2} \right)}}{{D_{b1}^2 - D_{bm}^2D_{a1}^2}} - \\ {\left( {\frac{{D_{b1}^2\left( {D_{a2}^2 - 1} \right) + D_{a1}^2\left( {D_{bm}^2 - D_{b1}^2} \right)}}{{D_{b1}^2 - D_{bm}^2D_{a1}^2}}} \right)^2}/2]. \end{array}$

(2)

从大量统计分析可知，原木截面大约60%为椭圆(包括近似多边形、蛋圆)； 而对原木干曲线的分析可知，其干曲线有可能为抛物线、直线等，在一定区间内都可以看作是连续幂曲线。因此，大多数原木可以视为截面为椭圆、椭圆度数为常数、树干中心线为直线、纵断面边界曲线为连续的幂曲线，但是在实际问题处理中需要针对不同问题进行具体处理。

2.2 短径方向弦切单板的数学模型

图 4为星形下锯所得扇形木材刨切为弦切单板在原木中的示意图。星形纵向锯解后重组刨切纹理板是将小径木纵向锯解为多块扇形木材后按图 5所示方式重组为近似板材，再按图 5中v所示方向进行纵向刨切为弦切单板的工艺。为了寻找对近似板材刨切时最优下刀，提高出材率，需对近似板材中弦切单板进行数学建模(只需对其中1块扇形板材中的弦切单板建模即可)。

讨论以图 4中Ⅰ所示即短径方向弦切单板为模型进行最优下刀时的情况。根据图 5可以得到短径方向弦切单板的数学模型(齐英杰等，2008)为：

$\left\{ \begin{array}{l} F\left( {x,y,z} \right) \ge 0;\left( 3 \right)\\ {H_0} \ge x + {D_{a1}}/2 - {S_0} \ge 0;\left( 4 \right)\\ S \ge S + y - \left( {{D_{b1}}/2 - {S_0}} \right) \ge 0;\left( 5 \right)\\ \frac{{D_{a2}^2}}{4} - {z^t}_1 - \frac{{4D_{a1}^2{L^t}}}{{D_{b1}^2\left( {D_{a2}^2 - D_{a1}^2} \right)}}{x^2} - \frac{{4{L^t}}}{{D_{a2}^2 - D_{a1}^2}}{y^2} \ge 0;{\rm{ }}\left( 6 \right)\\ 2{D_{a1}}\left( {{D_{b1}}/2 - {S_0} - S} \right) - {D_{b1}}H = 0;\left( 7 \right)\\ 0 \le {z_1} \le L.\left( 8 \right) \end{array} \right.$

式中： S₀为单板厚度方向定位尺寸； S为单板厚度； H₀为短径方向弦切单板宽度。

F(x，y，z)是理想原木数学模型，式(4)限制了其x向的定义域，并且保证了弦切单板对称于y轴，式(6)保证了弦切单板所有点都位于原木模型内，式(7)则是对弦切单板板面与该板年轮切线夹角δ₁的限定，因为本文讨论β=90°的情况，所以得出该式，若讨论其他情况时可参照式(9)具体分析：

$\beta /2 \le arctan\left[ {\frac{{{D_{a1}}tan{\delta _1}}}{{{D_{b1}}}}} \right].$

(9)

2.3 长径方向弦切单板的数学模型

在讨论以图 4中Ⅱ所示即长径方向弦切单板为模型进行最优下刀的情况时，根据类比方法求解，只是将建模的图 4中Ⅰ所示短径方向扇形板材变为图 4中Ⅱ所示长径方向扇形板材，故长径方向模型不再赘述。同理，在限定δ₁时参照式(10)：

$\beta /2 \le arctan\left[ {\frac{{{D_{b1}}tan{\delta _1}}}{{{D_{a1}}}}} \right].$

(10)

长径方向弦切单板的数学模型为:

$\left\{ \begin{array}{l} F\left( {x,y,z} \right) \ge 0;\left( {11} \right)\\ {H_1} \ge x + {D_{b1}}/2 - {S_0} \ge 0;\left( {12} \right)\\ S \ge S + y - \left( {{D_{a1}}/2 - {S_0}} \right) \ge 0;\left( {13} \right)\\ \frac{{D_{a2}^2}}{4} - z_1^t - \frac{{4D_{a1}^2{L^t}}}{{D_{b1}^2\left( {D_{a2}^2 - D_{a1}^2} \right)}}{x^2} - \frac{{4{L^t}}}{{D_{a2}^2 - {D^2}_{a1}}}{y^2} \ge 0;\left( {14} \right)\\ 2{D_{b1}}\left( {{D_{a1}}/2 - {S_0} - S} \right) - {D_{a1}}H = 0;\left( {15} \right)\\ 0 \le {z_1} \le L.\left( {16} \right) \end{array} \right.$

式中： H₁为长径方向弦切单板宽度。

每个方程的含义与短径方向相类似。通过对比式(4)与式(12)可以明显看出H₀＞H₁，即短径方向弦切单板宽度大于长径方向弦切单板宽度。故要求弦切单板宽度时，应以短径方向弦切单板为模型基础进行最优下刀；要求弦切单板数量时，应以长径方向弦切单板为模型基础进行最优下刀。

3 星形下锯和直接刨切出材率计算 3.1 星形纵向锯解后重组刨切单板出材率计算

在计算出材率时，合格单板的体积计算过程复杂，难度较大，所以需要先计算废料体积，然后计算得出合格单板体积。由星形纵向锯解后重组刨切单板工艺可知，需要丢弃的第1部分为第1次从原木上刨切下的板皮； 第2部分为扇形板材刨切剩余的中间芯材，具体为一个底边为20 mm、高为10 mm的等边三角形。如图 6所示阴影部分即为需要丢弃的废料，出材率具体计算公式(周亚光等，1992)如下：

$扇形板材刨切弦切单板出材率 = \frac{{扇形板材材积 - 废料体积}}{扇形板材材积}.$

(17)

因计算体积时高度是相同的，故只需计算各截面积即可。设S₀为扇形板材截面积，S₁为板皮的面积，S₂为剩余芯材的面积，如图 6中对拼板截面进行y向积分，得到式(18)：

$\begin{array}{l} \frac{{{D_{a1}}{D_{b1}}}}{{\sqrt {4D_{a1}^2 + 4D_{b1}^2} }}\\ {S_0} = \smallint \sqrt {\frac{{D_{b1}^2}}{4}\left( {1 - \frac{{4{y^2}}}{{D_{a1}^2}}} \right)} dy - {\rm{ }}\frac{{D_{a1}^2D_{b1}^2}}{{4D_{a1}^2 + 4D_{b1}^2}}.\\ \frac{{ - {D_{a1}}{D_{b1}}}}{{\sqrt {4D_{a1}^2 + 4D_{b1}^2} }} \end{array}$

(18)

对式(18)求解得到：

$\begin{array}{l} {S_0} = \frac{{{D_{a1}}{D_{b1}}}}{2}(\left( {\frac{1}{2}{\alpha _x} + {C_0}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {arcsin\frac{{2{D_{b1}}}}{{\sqrt {4D_{a1}^2 + 4D_{b1}^2} }}}\\ 0 \end{array}} \right. + \\ \frac{1}{4}sin2{\alpha _x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {arcsin\frac{{2{D_{b1}}}}{{\sqrt {4D_{a1}^2 + 4D_{b1}^2} }}}\\ 0 \end{array}} \right. - \frac{{D_{a1}^2D_{b1}^2}}{{4D_{a1}^2 + 4D_{b1}^2}}. \end{array}$

(19)

式中：

$sin{\alpha _x} = 2y/{D_{a1}}.$

(20)

同理，对板皮截面部分x向进行积分，得式(21)：

${S_1} = 2\int_{\frac{{{D_{b1}}}}{2} - 2}^{\frac{{{D_{b1}}}}{2}} {} \sqrt {\frac{{D_{a1}^2}}{4}\left( {1 - \frac{{4{x^2}}}{{D_{b1}^2}}} \right)} dx.$

(21)

对式(21)求解得到：

$\begin{array}{l} {S_1} = \frac{{{D_{a1}}{D_{b1}}}}{2}(\left( {\frac{1}{2}{\alpha _x} + {C_0}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{2}}\\ {arcsin1 - \frac{4}{{{D_{b1}}}}} \end{array}} \right. + \\ \left( {\frac{1}{4}sin2{\alpha _x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{2}}\\ {arcsin1 - \frac{4}{{{D_{b1}}}}} \end{array}} \right.). \end{array}$

(22)

由图 6很容易得到剩余芯材截面积为：

${S_2} = 20 \times 10 \times 0.5 = 100(m{m^2})$

(23)

出材率具体计算公式如式(24)，将式(18)、式(21)、式(23)分别带入式(24)即可计算出出材率：

$\eta = {S_0} - {S_1} - {S_2}{S_0} \times 100\% .$

(24)

利用式(24)可以实现对原木星形纵向锯解后重组刨切单板进行近似出材率的计算。通过实际测量4组典型原木长径及短径参数，分别代入出材率计算公式，得到原木刨切单板出材率如表 1所示。但需要注意的是，计算结果是在理想原木情况下得到的，只是为了验证星形下锯可以提高小径木出材率； 在实际计算中，还应对木材的弯曲度和节子、虫眼等缺陷进行不同的讨论(Castellani et al.，2009)。

3.2 直接刨切小径木出材率计算

直接刨切小径木出材率参照星形纵向锯解后重组刨切单板出材率计算，计算公式如下：

$直接刨切小径木出材率 = \frac{{小径木材积 - 料体积}}{小径木材积}.$

(25)

同样转换为截面积计算如图 7所示，需要丢弃第1部分为第1次从小径木刨切下的板皮； 第2部分为小径木直接刨切剩余的中间芯材，其具体尺寸为D_a1(D_b1)×20 mm的近似矩形板材。由图 7可以看出，两侧弧顶面积所占中间剩余板材比例非常小，可以忽略不计，计算时剩余中间芯材可按照矩形计算。设S₀为小径木总截面积，S₁为板皮的面积，S_2-1为垂直于短径方向刨切剩余芯材的面积，S_2-2为垂直于长径方向刨切剩余芯材的面积，η₁为垂直于短径方向刨切出材率，η₂为垂直于长径方向刨切出材率，由图 7可得：

${S_0} = \pi /4 \times {D_{a1}} \times {D_{b1}};$

(26)

${S_2} = {D_{a1}}({D_{b1}}) \times 20.$

(27)

S₁板皮部分的面积同星形下锯板皮计算，出材率计算同式(24)，将实测数值带入得表 2。

对比表 1与表 2可以明显得到，星形纵向锯解后重组刨切单板的工艺较直接刨切小径木可以提高小径木出材率； 而且随着小径木尺寸的增大，其出材率也相应提高(马玉英，2003； Sillett et al.，2009)。

4 结论

以建立的原木及弦切单板数学模型为基础，完全能够建立原木最优星形下锯图及最优刨切图，从而能够提高原木出材率。 通过对模型的比较，短径方向弦切单板宽度大于长径方向弦切单板宽度，要求弦切单板宽度时，应以短径方向弦切单板为模型基础进行最优下刀；要求弦切单板数量时，应以长径方向弦切单板为模型基础进行最优下刀。 通过实际测量几组典型原木参数，并分别对小径木采用星形纵向锯解后重组刨切单板与直接刨切2种工艺进行出材率计算，结果显示，采用星形纵向锯解后重组刨切单板的工艺提高了小径木出材率，且随着小径木尺寸的增大，其出材率也相应提高，这也为实际选材提供了依据。