我国经济持续、快速和稳定的发展，拉动了对木材的需求，而我国森林资源匮乏，可供木材严重不足，尤其是1998年实施天然林保护工程后，更加剧了木材供应的紧张程度(王宏棣，2007；刘玉善，2012)。在这种情况下，小径木逐渐引起了人们的注意，但由于小径木自身物理性质影响，其所加工的产品易发生开裂、弯曲变形等缺陷。为了解决此问题，有学者提出将小径木分解为单板，然后再将分解后的单板重新组合为重组木的方案(于文吉，2013；余养伦等，2013)，重组木的性能非常优异，其强度、纹理等与实木相比不相上下，甚至优于实木(李伟光，2008；王晓欢等，2009)。但传统制备重组木木束很多关键环节加工不够精确，导致产品出现翘曲、表面不光整等现象，而且其加工效率以及出材率都很低，很难形成产业化(王晓欢等，2009；马岩，2011)，大大降低了其经济效益。要制备符合要求的合格重组木，就需要制备合格的单板(Jin, 2001)，因此精确计算出单板的材积及出材率，并以此为依据进行小径木合理选材和精确下刀刨切，对制备合格重组木非常重要。

1 双面刨切工艺

双面刨切是指从小径木两侧同时对小径木进行纵向刨切。开始加工之前，调整两侧刨刀的初始位置，精确找正对刀，调整结束后刨刀进行纵向进给刨切，刨切时前刀面带来的剪切应力不断挤压小径木两侧的木材，造成切削木材的弯曲及剪切，在刀刃口前会形成超前的细小缝隙，当两侧切削木材受到的剪切应力达到临界值时，切削木材就会发生变形(Sheikh-Ahmod et al., 1999; 孙义刚等，2010)。随着刨刀的不断纵向进给，切削刃前未变形的木材不断受到切削刃带来应力的挤压，切削木材连续发生变形(周兰美等，2004；Aguilera et al., 2007)，这样每次刨切结束可以同时制备2块光滑的单板(Olufemi, 2012)。一次刨切结束后，刨刀返回工作初始位置，两侧刨刀同时横向进给2 mm，进行下一次刨切，如此循环，直至小径木剩余厚度为20 mm的固定芯板时结束刨切。

1.1 刨切下刀图

双面刨切小径木下刀如图 1所示。

本文所讨论小径木假定为没有缺陷、纵截面是幂曲线、横截面是椭圆的理想小径木。如图 1所示，D_a为横截面椭圆长径，D_b为横截面椭圆短径。第1次进给刨切制备的单板称作板皮，不能加工成为完整的单板，所以刨切完的两侧板皮是需要丢弃的废弃料。图中阴影部分为单板板皮截面。按照图示实线进行下刀进给，每次刨切都可以同时制备2块等厚且光整的单板，经过多次循环刨切后，剩余中间部分厚度为20 mm的固定芯板，刨切结束后取下剩余的固定芯板等待下一工序的加工。

1.2 双面纵向刨切的优点

双面刨切同时对小径木相对的2个平面进行纵向刨切，可以同时获得等厚且光整的单板，而且每次刨切结束后剩余的固定芯板需要重新叠加起来，并且沿着垂直于固定芯材两侧刨切面方向再次进行刨切。所以双面刨切较其他刨切方式具有以下明显优点(刘孝岷，2008)：

1) 双面刨切可连续生产，同时对小径木相对的2个平面进行刨切，提高了机械化和自动化程度，小径木只需1次装夹即可完成整体的刨切，节省了反复装卡木材的时间，节省了人力物力，大大提高了生产效率(马岩，2006)。

2) 因为每次刨切结束后剩余的固定芯板需要进行再次刨切，每次完整加工剩余的废料仅为两侧板皮以及中间20 mm×20 mm的固定芯材，所以大大提高了小径木的出材率，从而提高了经济效益。

3) 因为每次刨切的方向都是顺着小径木的纤维方向进行的，相对于垂直木纤维方向的刨切，所需剪切应力小，而且不会造成横向刨切时产生的单板裂纹。双面纵向刨切时噪声小，工作平稳，安装调试容易。

1.3 中间固定芯板的处理工艺

对于刨切加工结束后剩余的固定芯板，除了中间木髓部分不能制备重组木外，其他部分都可以作为制备重组木的合格材料，如果将其直接作为废弃料丢弃，则降低了小径木的出材率。针对这个问题，将加工后剩余的中间固定芯板按图 2所示叠加起来，并在剩余芯材后侧用限位块1进行限位，从上侧方向用夹紧钉进行施力夹紧，使叠加夹紧后的芯材端面与刨刀刀刃方向和刨切运动方向都垂直，然后沿着垂直于固定芯材两侧刨切面方向进行纵向循环刨切。具体如图 2所示，箭头v方向为刀具进给方向，中间阴影为剩余废弃芯材，细实线为下刀位置。

经过双面刨切加工后的小径木剩余部分仅为中间20 mm×20 mm的芯材和两侧板皮，所以小径木经过第1次双面刨切及第2次中间固定芯板刨切后，丢弃的废料减少，而得到制备合格重组木的单板数量增加(刘玉娟等，2011)。

2 双面刨切单板的材积计算

为保证刨切单板的精确下刀，提高小径木出材率，需要对小径木材积进行计算。以短径方向单板为例(图 3)，D_a1为小径木小头横截面椭圆短径，D_b1为其长径，D_a2为小径木大头横截面椭圆短径，D_b2为其长径，其数学模型(马岩，1990；陆贵添，2012)为：

$ F\left({x, y, z} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}{x^2} + {c_2}{y^2} \le {c_4} - {z^{c3}}, }\\ {{c_5} \le z \le {c_6}, }\\ {{c_1}{c_2} \ge 0。} \end{array}} \right. $

(1)

在理想的原木数学模型中，式(1)是椭圆幂函数柱体的顶点沿着z向平移，F(x, y, z)中c_i可以通过实际测量获得。其中c₅与c₆定义了数学模型z向的定义域，c₃=t，t为模型系数，当木材为理想原木模型时，t=1(任洪娥等，2008；邵忠波，2013)。

通过图 3可得到计算短径方向单板材积时x的取值范围，由此对式(1)积分，得短径方向单板的材积为：

$ {v_x} = 2\int_{{x_1} - s}^{{x_1}} {{\rm{d}}x} \int_0^L {{\rm{d}}z} \int_0^{\sqrt {\frac{1}{{{c_2}}}\left({{c_4} - z - {c_1}{x^2}} \right)} } {{\rm{d}}y} 。 $

(2)

通过式(2)可以得出精确的解析解，且远远高于传统算法的精度。为了方便计算，对该结果非线性函数进行泰勒级数展开，当展开式为3项时，误差为：

$ {r_n} = \frac{1}{{\left({2n + 1} \right)!\left[ {2\left({n + 1} \right) + 1} \right]}} \approx 0.00119。 $

(3)

所以该式所得积分的结果为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{1x}} = \frac{{D_{{\rm{a2}}}^2D_{{\rm{b}}1}^3L}}{{8{D_{{\rm{a1}}}}\left({D_{{\rm{b}}1}^2 - D_{{\rm{a}}1}^2} \right)}}\left\{ {\frac{{2{x_1}}}{{3{D_{{\rm{b2}}}}}}\left({5 - \frac{{8x_1^2}}{{D_{{\rm{b2}}}^2}}} \right)} \right.}\\ {\sqrt {1 - \frac{{4x_1^2}}{{D_{{\rm{b2}}}^2}}} + \frac{{2{x_1}}}{{{D_{{\rm{b2}}}}}} + \frac{{4x_1^3}}{{3D_{{\rm{b2}}}^3}} + \frac{{4x_1^5}}{{15D_{{\rm{b2}}}^5}} - } \end{array}}\\ {\frac{{2\left({{x_1} - s} \right)}}{{3{D_{{\rm{b2}}}}}}\left({5 - \frac{{8{{\left({{x_1} - s} \right)}^2}}}{{D_{{\rm{b2}}}^2}}} \right)\sqrt {1 - \frac{{4{{\left({{x_1} - s} \right)}^2}}}{{D_{{\rm{b2}}}^2}}} }\\ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{2\left({{x_1} - s} \right)}}{{{D_{{\rm{b2}}}}}} - \frac{{4{{\left({{x_1} - s} \right)}^3}}}{{3D_{{\rm{b2}}}^3}} - \frac{{4{{\left({{x_1} - s} \right)}^5}}}{{15D_{{\rm{b2}}}^5}} - }\\ {\left[ {\frac{{2{x_1}}}{{3{D_{{\rm{b2}}}}}}\left({\frac{{5D_{{\rm{a1}}}^2}}{{D_{{\rm{a2}}}^2}} - \frac{{8x_1^2}}{{D_{{\rm{b2}}}^2}}} \right) + \frac{{2D_{{\rm{a1}}}^3{x_1}}}{{D_{{\rm{a2}}}^3{D_{{\rm{b}}2}}}} + \frac{{4{D_{{\rm{a1}}}}x_1^3}}{{3{D_{{\rm{a}}2}}D_{{\rm{b}}2}^3}}} \right.}\\ { + \frac{{4{D_{{\rm{a2}}}}x_1^5}}{{15{D_{{\rm{a1}}}}D_{{\rm{b}}2}^5}} - \frac{{2\left({{x_1} - s} \right)}}{{3{D_{{\rm{b2}}}}}}\left({\frac{{5D_{{\rm{a1}}}^2}}{{D_{{\rm{a2}}}^2}} - \frac{{8{{\left({{x_1} - s} \right)}^2}}}{{D_{{\rm{b2}}}^2}}} \right)}\\ {\sqrt {\frac{{D_{{\rm{a1}}}^2}}{{D_{{\rm{a2}}}^2}} + \frac{{4{{\left({{x_1} - s} \right)}^2}}}{{D_{{\rm{b2}}}^2}}} - \frac{{2D_{{\rm{a1}}}^3\left({{x_1} - s} \right)}}{{D_{{\rm{a2}}}^3{D_{{\rm{b2}}}}}} - } \end{array}}\\ {\left. {\left. {\frac{{4{D_{{\rm{a1}}}}{{\left({{x_1} - s} \right)}^3}}}{{3{D_{{\rm{a2}}}}D_{{\rm{b}}2}^3}} - \frac{{4{D_{{\rm{a2}}}}{{\left({{x_1} - s} \right)}^5}}}{{15{D_{{\rm{a1}}}}D_{{\rm{b}}2}^5}}} \right]} \right\}。} \end{array} $

(4)

可以看出式(4)的结果非常复杂，事实上，其结果与近似积分结果相差非常小，而且可以认为模型系数在任意数值下。在式(4)中，对y向积分后再积分z向时，将其根号进行线性化，只取其牛顿二项式的线性项，则式(4)的积分结果(马岩等，1994)为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{v_x} = \frac{1}{4}{D_{{\rm{a1}}}}{D_{{\rm{b1}}}}L\left({\frac{{D_{{\rm{a1}}}^2 + tD_{{\rm{a2}}}^2}}{{D_{{\rm{a1}}}^2\left({1 + t} \right)}}} \right)\left[ {\frac{{2{x_1}}}{{{D_{{\rm{b2}}}}}} + \frac{{4x_1^3}}{{3D_{{\rm{b}}2}^3}}} \right. + }\\ {\frac{{4x_1^5}}{{15D_{{\rm{b}}2}^5}} - \frac{{2\left({{x_1} - s} \right)}}{{{D_{{\rm{b2}}}}}} - \frac{{4{{\left({{x_1} - s} \right)}^3}}}{{3D_{{\rm{b}}2}^3}} - }\\ {\frac{{4{{\left({{x_1} - s} \right)}^5}}}{{15D_{{\rm{b}}2}^5}} + \frac{{D_{{\rm{a2}}}^2\left({1 + t} \right)}}{{tD_{{\rm{a2}}}^2 + D_{{\rm{a1}}}^2}}\left({\frac{{2{x_1}}}{{{D_{{\rm{b2}}}}}}\sqrt {1 - \frac{{4x_1^2}}{{D_{{\rm{b}}2}^2}}} } \right.}\\ {\left. {\left. { - \frac{{2\left({{x_1} - s} \right)}}{{{D_{{\rm{b2}}}}}} \times \sqrt {1 - \frac{{4{{\left({{x_1} - s} \right)}^2}}}{{D_{{\rm{b}}2}^2}}} } \right)} \right]。} \end{array} $

(5)

同理，可以求出长径方向单板的材积为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{v_y} = \frac{1}{4}{D_{{\rm{a1}}}}{D_{{\rm{b1}}}}L\left({\frac{{D_{{\rm{a1}}}^2 + tD_{{\rm{a2}}}^2}}{{D_{{\rm{a1}}}^2\left({1 + t} \right)}}} \right)\left[ {\frac{{2{y_1}}}{{{D_{{\rm{a2}}}}}} + \frac{{4y_1^3}}{{3D_{{\rm{a}}2}^3}}} \right. + }\\ {\frac{{4y_1^5}}{{15D_{{\rm{a}}2}^5}} - \frac{{2\left({{y_1} - s} \right)}}{{{D_{{\rm{a2}}}}}} - \frac{{4{{\left({{y_1} - s} \right)}^3}}}{{3D_{{\rm{a}}2}^3}} - }\\ {\frac{{4{{\left({{y_1} - s} \right)}^5}}}{{15D_{{\rm{a}}2}^5}} + \frac{{D_{{\rm{a2}}}^2\left({1 + t} \right)}}{{tD_{{\rm{a2}}}^2 + D_{{\rm{a1}}}^2}}\left({\frac{{2{y_1}}}{{{D_{{\rm{a2}}}}}}\sqrt {1 - \frac{{4y_1^2}}{{D_{{\rm{a}}2}^2}}} } \right.}\\ {\left. {\left. { - \frac{{2\left({{y_1} - s} \right)}}{{{D_{{\rm{a2}}}}}} \times \sqrt {1 - \frac{{4{{\left({{y_1} - s} \right)}^2}}}{{D_{{\rm{a}}2}^2}}} } \right)} \right]。} \end{array} $

(6)

3 双面刨切单板的出材率

双面刨切单板出材率是衡量木材加工效益的主要标准，出材率越高，效益也越高。双面刨切单板出材率是指经双面刨切后，小径木加工所得合格单板所占小径木整体材积的比例，即：

$ 双面刨切出材率 = \frac{合格单板材积}{小径木整体材积}。 $

(7)

式(7)中，双面刨切所得合格单板体积计算公式已经在上一节计算得到，本节不再赘述。小径木整体体积V_T计算如下：

$ {v_{\rm{T}}} = 4\int_0^{{D_{{\rm{b1}}}}} {{\rm{d}}x} \int_0^L {{\rm{d}}z} \int_0^{\sqrt {\frac{1}{{{c_2}}}\left({{c_4} - z - {c_1}{x^2}} \right)} } {{\rm{d}}y} 。 $

(8)

由此计算可以得到出材率结果，但是计算过程复杂，且计算难度较大。在式(8)中，合格单板面积与小径木整体面积都涉及相同的小径木高度，其高度可以约分，因此出材率计算可直接计算合格单板与小径木底面积之比，即：

$ 双面刨切单板出材率 = \frac{合格单板底面积}{小径木底面积}。 $

(9)

由中间固定板处理工艺可知，中间固定芯板叠加起来重新刨切后，每块固定芯板仅剩余20 mm×20 mm的芯材需要丢弃，即每棵加工小径木废弃料只有两侧板皮及中间剩余芯材。如图 4所示，小径木截面为一椭圆，其中中间20 mm×20 mm的阴影部分为需要丢弃的芯材，两侧阴影部分为需要丢弃的板皮，截面空白部分为合格单板的截面。因为直接计算空白面积难度较大，所以通过计算阴影部分即废弃料面积，然后总截面与废弃料相减即可得到结果，而废弃材料截面积可以通过芯材与板皮截面积相加得到，计算如下：

图 4中，D_a1为小径木小头横截面椭圆短径，D_b1为其长径，S为小径木截面面积，S₁为单侧板皮截面积，S₂为中间芯材面积，S₃为合格单板截面面积。所以建立椭圆方程：

$ \;\frac{{{y^2}}}{{{{\left({{D_{{\rm{a1}}}}/2} \right)}^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{{\left({{D_{{\rm{b1}}}}/2} \right)}^2}}}1。 $

(10)

因为x取值范围已知，取值区间即为板皮厚度，所以对椭圆方程进行因变量y的积分可得单侧板皮截面积S₁：

$ {S_1} = 2\int_{\frac{{{D_{{\rm{b1}}}}}}{2} - 2}^{\frac{{{D_{{\rm{b1}}}}}}{2}} {} \sqrt {\frac{{D_{{\rm{a1}}}^2}}{4}\left({1 - \frac{{4{x^2}}}{{D_{{\rm{b1}}}^2}}} \right)} {\rm{d}}x。 $

(11)

对式(11)进行求解得到结果：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{S_1} = \frac{{{D_{{\rm{a1}}}}{D_{{\rm{b1}}}}}}{2}\left({\frac{1}{2}{\theta _x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rm{\pi }}}{2}}\\ {\arcsin \left({1 - \frac{4}{{{D_{{\rm{b1}}}}}}} \right)} \end{array} + } \right.} \right.}\\ {\left. {\left. {\left({\frac{1}{4}\sin 2{\theta _x} + {c_0}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rm{\pi }}}{2}}\\ {\arcsin \left({1 - \frac{4}{{{D_{{\rm{b1}}}}}}} \right)} \end{array}} \right)。} \end{array} $

(12)

式(12)中θ_x与椭圆方程关系为：

$ \sin {\theta _x} = \frac{{2x}}{{{D_{{\rm{b1}}}}}}。 $

(13)

由图 4很容易得到中间芯材截面积S₂：

$ {S_2} = 20 \times 20 = 400\left({{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}} \right)。 $

(14)

小径木椭圆截面面积S：

$ S = {\rm{\pi }}{D_{{\rm{a1}}}}{D_{{\rm{b1}}}}/4。 $

(15)

同时也很容易得到合格单板面积S₃：

$ {S_3} = S - 2{S_1} - {S_2}。 $

(16)

所以将式(11)，(14)，(15)，(16)带入式(17)中可得小径木出材率η：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\eta = \frac{{S - 2{S_1} - {S_2}}}{S} \times 100\% = }\\ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{\pi }}{D_{{\rm{a1}}}}{D_{{\rm{b1}}}}/4 - 400 - {D_{{\rm{a1}}}}{D_{{\rm{b1}}}}\left[ {\left({\frac{1}{2}{\theta _x} + \frac{1}{4}\sin 2{\theta _x} + {c_0}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rm{\pi }}}{2}}\\ {\arcsin \left({1 - \frac{4}{{{D_{{\rm{b1}}}}}}} \right)} \end{array}} \right.} \right]}}{{{\rm{\pi }}{D_{{\rm{a1}}}}{D_{{\rm{b1}}}}/4}}\\ \times 100\% 。 \end{array} \end{array} $

(17)

利用式(17)可对小径木双面刨切单板进行出材率的近似计算。

为了得到实际小径木双面刨切单板的出材率，对将要进行刨切的小径木进行实际参数的测量，将得到实际参数带入式(17)中即可对出材进行估算。一般情况下，小径木短径区间是50~200 mm，最大的不会多于300 mm。通过实际测量得到4组典型小径木参数，计算后得到出材率如表 1。

在本试验中，所讨论对象是无节子、径向无弯曲度的理想小径木，为了简化其计算过程，取小径木截底面椭圆度保持不变，一直为10/11(汤晓华，2002)。但在实际情况中，如果小径木弯曲度每增加1%，出材率将降低8%~10%，且其椭圆度也是不断发生变化的，也将影响小径木的出材率。本计算数据主要提供不同小径木双面刨切单板出材率比较，从而合理选择小径木进行双面刨切，在实际计算中需根据特殊情况进行重新处理。

4 结论

本文分别从短径方向和长径方向对刨切单板精确地进行了材积计算，而精确的材积计算不是为了计算其材积，而是为刨切时提供精确下刀的基础；双面刨切单板工艺不仅节省了时间，而且减少了人力，大大提高了加工效率；并且在双面刨切中加入了中间固定芯板的处理工艺，很大程度上提高了小径木双面刨切的出材率，对于实际加工来说有很大的经济效益。通过出材率实际分析计算得出，当小径木直径较大时，出材率相应较高，反之则较低。所以在实际小径木刨切时，应尽量选用尺寸较大的小径木，从而提高小径木的出材率，避免木材资源的浪费，提高经济效益。