林业科学  2014, Vol. 50 Issue (11): 122-128   PDF    
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20141117
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文章信息

王正, 高子震, 顾玲玲, 刘斌, 王亚磊, 杨燕
Wang Zheng, Gao Zizhen, Gu Lingling, Liu Bin, Wang Yalei, Yang Yan
测试木材剪切模量的自由板扭转振形法
Torsional Vibration Shape Method of Free Plate for Testing Shear Modulus of Lumber
林业科学, 2014, 50(11): 122-128
Scientia Silvae Sinicae, 2014, 50(11): 122-128.
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20141117

文章历史

收稿日期:2013-11-21
修回日期:2013-12-21

作者相关文章

王正
高子震
顾玲玲
刘斌
王亚磊
杨燕

测试木材剪切模量的自由板扭转振形法
王正1, 高子震1, 顾玲玲2, 刘斌2, 王亚磊2, 杨燕2    
1. 南京林业大学材料科学与工程学院 南京 210037;
2. 南京林业大学机械电子学院 南京 210037
摘要:根据ANSYS程序和优化原理得到自由板一阶扭转振形函数,应用能量法导出木材剪切模量和自由板一阶扭转频率的关系式。该关系式的正确性得到木材剪切模量的数学仿真、试验测试和静态试验3个方面的验证。瞬态激励法测量西加云杉、国产马尾松、油松、杉木和蒙古栎自由板的频谱,且借助于互功率谱概念从频谱图中识别出自由板的一阶扭转频率。
关键词自由板    扭转振形    扭转频率    频谱    剪切模量    
Torsional Vibration Shape Method of Free Plate for Testing Shear Modulus of Lumber
Wang Zheng1, Gao Zizhen1, Gu Lingling2, Liu Bin2, Wang Yalei2, Yang Yan2    
1. College of Materials Science and Engineering, Nanjing Forestry University Nanjing 210037;
2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Nanjing Forestry University Nanjing 210037
Abstract: According to ANSYS program and optimizing principle getting at the first order torsional vibration shape function for free plate, the relation between lumber shear modulus and the first-order torsional frequency for the free plate was induced by the method of energy. The correctness of this formula was verified by the three aspects of mathematical simulation of lumber shear modulus, experimental test and static test. Transient excitation method can measure the spectrum of Sitka spruce, domestic Pinus massoniana, Pinus tabulaeformis, Cunninghamia lanceolata and Quercus mongolica wood free plates. With the aid of cross-power spectrum concept from the spectrum diagram we can identify first-order torsional frequency of free plate.
Key words: free plate    torsional vibration shape    torsional frequency    frequency spectrum    shear modulus    

在土木建筑、家具和木材加工行业中,锯材作为木结构建筑、高档家具、木地板等产品的必备主材,对其力学性能的检测及其优化设计尤为重要(谭守侠等,2007孙友富,1999)。木材弹性模量动态测试工作在国内外开展得很活跃,比较成熟,发表的文章也多; 而对于木材剪切模量的动态测试工作具有一定难度,尚不太成熟,发表的文章也少。胡英成等(2001a; 2001b)用测试表面波在刨花板、胶合板内的传播速度及TGH法推算出剪切模量(TGH法实质上是以计入剪切力和回转惯性力的Timoskenko梁方程为依据的方法); 周海宾等(2007)借助计入剪切变形和旋转惯性的Timoshenko梁方程得到弹性模量E和剪切模量G 2个非线性方程。

在测量刨花板的弯曲、剪切弹性模量试验中,测试其剪切模量的依据是一端固定、另一端自由杆的扭转振动方程,通过测试扭转频率推算出剪切模量。试验对象是1 220 mm长、610 mm宽、16 mm厚的定向刨花板(OSB),得出扭转振动频率基本上能够对静态剪切模量进行预测等结论。闫海成等(2012)用悬臂梁自由振动的方法测试材料试件的第一阶弯曲频率和对数减幅系数推算出剪切模量,该方法是依据Kelvin黏弹性梁的动力学方程,测试用材是木质的准各向同性材料。周海宾等(2012)在《木结构墙体隔声和楼板减振设计方法研究》一书中,引入弯扭法(周海宾等,2007a; 2007b)用于测试定向刨花板的弯曲、剪切弹性模量相关内容。

本文提出一个测试木材剪切模量的新方法,即自由板扭转振形法。该方法包括木材剪切模量和自由板一阶扭转频率间的关系式、自由板一阶扭转频率测试及其在频谱图上的识别。自由板扭转振形法从板的扭转振形出发,应用能量法导出了自由板一阶扭转频率与木材剪切模量间的关系式,该关系式是自由板扭转振形法测试木材剪切模量的依据。从3个方面验证了自由板扭转振形法测试木材剪切模量的正确性: 对西加云杉(Picea sitchensis)、欧洲赤松(Pinus sylvestris)、山毛榉(Fagus sylvatica)、白蜡树(Fraxinus chinensis)和桃花心木(Swietenia mahagoni)的剪切模量进行数学仿真,剪切模量仿真值与其规范值一致; 用测试的国产马尾松(Pinus massoniana)、油松(Pinus tabulaeformis)、杉木(Cunninghamia lanceolata)和蒙古栎(Quercus mongolica)自由板的一阶扭转频率推算出的剪切模量与规范值一致,即动态试验方面验证; 用静态方板扭转试验验证,自由板扭转振形法和静态方板扭转试验法测试的西加云杉剪切模量仅相差2.1%。测试自由板频谱简单易行,从频谱图中正确识别出一阶扭转频率是自由板扭转振形法测试剪切模量的关键。根据对西加云杉、欧洲赤松、山毛榉、白蜡木和桃花心木长宽比从1到10自由板的ANSYS模态计算和对长宽比从3到10的西加云杉自由板的模态试验结果(傅志方,2002),推荐用简单易行的互功率谱法来识别频谱图中的一阶扭转频率。最后要提及的是本文仅对频谱图上的一阶扭转频率识别加以讨论,从而推算出剪切模量。 实际上从频谱图也能识别出一阶弯曲频率,据此可推算出木材的弹性模量E(王正,2007Wang et al.,2012Ilic,2003),只不过推算公式不同而已,本文不涉及这方面内容。

1 测试原理 1.1 坐标系

设板长l、宽b、厚h,坐标原点取在自由板中心,x轴沿板的轴线,其正向水平向右,z轴铅直向上为正,y沿板宽度,其正向按右手规则确定,如图 1所示。

图 1 自由矩形板及其坐标系 Fig. 1 The free rectangular plate and the coordinate system
1.2 一阶扭转振形

根据ANSYS程序计算了不同树种、不同长宽比和宽厚比的自由板一阶扭转振形,为满足跨中位移等于零,考虑板长边z向位移w,用如下的四次多项式拟合:

$ w = A\bar x + B{{\bar x}^2} + C{{\bar x}^3} + D{{\bar x}^4},\bar x = x/l。 $

其中的系数ABCD 由如下的目标函数取最小值获得:

$ L\left( {A,B,C,D} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {A{{\bar x}_i} + B{{\bar x}_i}^2 + C{{\bar x}_i}^3 + D{{\bar x}_i}^4 - {w_i}} \right)}^2} = \min } $

式中: $\bar x$-=x/l,0≤x≤l/2; wi为阶扭转振形沿板长边的z向位移。

四次多项式拟合精度相当高,例如西加云杉615 mm×123 mm×12.2 mm自由板,优化拟合的四次多项式与ANSYS程序计算的板长边z向位移的相关系数R达到0.999 998。

设自由板作一阶扭转振动的方程为:

$ w\left( {x,y,t} \right) = W\left( {x,y} \right)\sin \omega t。 $ (1)

其中振形函数W(x,y)可表示为:

$ W\left( {x,y} \right) = kW\left( {l/2,b/2} \right) \cdot \left( {x + B/A{x^2}/l + C/A{x^3}/{l^2} + D/A{x^4}/{l^3}} \right) \cdot \frac{y}{{lb}}。 $ (2)

式中: 0≤xl/2,-b/2≤yb/2,kx=l/2,y=b/2的z向位移等于W(l/2,b/2)确定。

当自由板作一阶扭转振动时,其矩形截面扭转角:

$ \varphi \left( {x,y} \right) = k\frac{{W\left( {l/2,b/2} \right)}}{{lb}} \cdot \left( {x + B/A{x^2}/l + C/A{x^3}/{l^2} + D/A{x^4}/{l^3}} \right)\sin \omega t。 $ (3)
1.3 剪切模量和自由矩形板一阶扭转频率的关系

自由板作一阶扭转振动的振形相对于板中间截面(x=0)反对称,故计算板的动能和应变能可按半板进行。

1.3.1 动能
$ T = \frac{1}{2}{\mathop \iint \limits_x}\rho {\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)^2}hdxdy。 $

式中: ρ为材料密度。

$ {T_{\max }} = \frac{{{k^2}\rho {\pi ^2}f_t^2{W^2}\left( {l/2,b/2} \right)bh}}{{3{l^2}}}\int_0^{l/2} {\left( {x + B/A{x^2}/l + C/A{x^3}/{l^2} + D/A{x^4}/{l^3}} \right)} dx。 $

式中: ft为阶扭转频率。

1.3.2 应变能

扭矩

$ {M_n} = G{I_n}\frac{{kW\left( {l/2,b/2} \right)}}{{bl}}\left( {1 + 2B/A \cdot x/l + 3C/A \cdot {x^2}/{l^2} + 4C/A \cdot {x^3}/{l^3}} \right)\sin \omega t。 $

式中: $ {I_n} = \beta b{h^3},\beta \approx \frac{1}{{16}}\left[ {\frac{{16}}{3} - 3.36\frac{h}{b}\left({1 - \frac{{{h^4}}}{{12{b^4}}}} \right)} \right]$(周海宾,2012徐芝纶,1982)。

应变能

$ \begin{array}{l} U = \int_0^{l/2} {\frac{{M_n^2}}{{G{I_n}}}dx;} \\ {U_{\max }} = G\frac{{{k^2}{W^2}\left( {l/2,b/2} \right)\beta {h^3}}}{{b{l^2}}}\int_0^{l/2} {{{\left( {1 + 2B/A \cdot x/l + 3C/A \cdot {x^2}/{l^2} + 4D/A \cdot {x^3}/{l^3}} \right)}^2}dx。} \end{array} $

根据 Tmax=Umax,并设

$ \begin{array}{l} \int_0^{l/2} {\left( {x + B/A \cdot {x^2}/l + C/A \cdot {x^3}/{l^2} + D/A \cdot {x^4}/{l^3}} \right)dx = {I_T}{l^3},} \\ \int_0^{l/2} {{{\left( {1 + 2B/A \cdot x/l + 3C/A \cdot {x^2}/{l^2} + 4D/A \cdot {x^3}/{l^3}} \right)}^2}dx = {I_\varphi }l。} \end{array} $

则有

$ G = \frac{{{\pi ^2}\rho {{\left( {l/2} \right)}^2}{b^2}f_t^2}}{{\gamma \beta {h^2}}} $ (4)

式中: $ \gamma = \frac{{3{I_\varphi }}}{{4{I_T}}}$,其称为与振形相关的系数,简称为振形系数,下同。

1.4 振形系数 1.4.1 振形系数计算方案

对于西加云杉、山毛榉、欧洲赤松,根据自由板长宽比为3,4,5,6,6.83,8,10共7种,宽厚比6.83,10,13.7共3种的组合,每个树种有21个计算方案,总计63个计算方案。ANSYS计算采用solid45单元,输入正交各向异性9个主向材料常数和密度。

1.4.2 振形系数计算结果

63个计算方案可以得到63个振形系数。对这63个振形系数,按树种对振形系数进行二元回归,得

西加云杉:

γ(b/l,h/b)=7.085 0(1+0.373 0b/l+

0.062 1h/b)(R=0.993 5,n=21)

山毛榉:

γ(b/l,h/b)=7.182 5(1+0.264 5b/l+

0.012 0h/b)(R=0.988 5,n=21)

欧洲赤松:

γ(b/l,h/b)=7.083 7(1+0.434 3b/l+

0.051 4h/b)(R=0.998 4,n=21)

不同树种,振形系数随b/l,h/l的变化规律不同。对于各向同性材料,不同的材质,例如低碳钢、轧制铝和玻璃的振形系数随b/l,h/l的变化规律却是相同的。振形系数随b/l,h/l的变化规律随树种而异,正反映了木材材料特性的各向异性。

为寻求适用于不同树种,即适用于木材的振形系数随b/l,h/l的变化规律,将同一宽长比、同一厚宽比下的3个树种振形系数取其平均值作为木材在该宽长比、厚宽比下的振形系数,作二元回归分析得:

$ \gamma \left( {b/l,h/l} \right) = 7.1153\left( {1 + 0.3583b/l + 0.0417h/b} \right),\left( {r = 0.9953,n = 21} \right)。 $ (5)

于是,木材剪切模量和自由板一阶扭转频率之间的关系式可表示为:

$ G = \frac{{{\pi ^2}\rho {{\left( {l/2} \right)}^2}{b^2}f_t^2}}{{\gamma \left( {b/l,h/l} \right)\beta {h^2}}}。 $ (6)

式中: γ(b/l,h/b)=7.115 3(1+0.358 3b/l+0.041 7h/b)。此时,振形系数只依赖于板的宽长比和厚宽比,而与树种无关。

从式(6)可知: 只要能测出自由板的一阶扭转频率,就可推算出木材的剪切模量。

2 木材剪切模量仿真计算

对于西加云杉、山毛榉、欧洲赤松、白蜡树和桃花心木,仿真计算它们的剪切弹性模量以验证式(6)的正确性。对表 1所示的树种及自由板尺寸应用ANSYS程序计算一阶扭转频率,将其代入式(6)得表 1第4列所示的剪切模量仿真值。表 1还列出5个树种锯材的剪切模量规范值。从表 1看到它们的剪切模量仿真值与其规范值是一致的,从而从仿真角度验证了本文提出的测试木材剪切模量的自由板扭转振形法是正确的。

表 1 西加云杉、山毛榉、欧洲赤松、白蜡树和桃花心木剪切模量数学仿真值 Tab.1 Shear modulus value mathematical simulation by Picea sitchensis, Fagus sylvatica, Pinus sylvestris, Fraxinus chinensis and Swietenia mahagoni
3 试验验证 3.1 自由板一阶扭转频率测定及其识别

测试自由板一阶扭转频率用的是瞬态激励法得到的频谱,在频谱图上有众多的高峰,如何从众多的高峰中正确地识别出一阶扭转频率是测试木材剪切模量的关键。

3.1.1 试验框图

测定自由板扭转频率的试验框图如图 2所示。瞬态激励自由支承的矩形板,振动信号由加速度计接受转变为电信号输出,信号调理仪将电信号放大滤波后,由采集箱将模拟信号AD转换为数字信号,经软件和计算机分析处理,显示出自由板的频谱(王正等,20132014)。

图 2 测定扭转频率的试验 Fig. 2 Diagram for the determination of torsional frequency testing
3.1.2 互功率谱法

瞬态激励法可以简单地测得自由板频谱,频谱图的高峰频率确定了自由板的各阶频率,每一个高峰频率对应着自由板的某阶模态频率,因此自由板一阶扭转频率必存在于频谱图中,如果能从频谱图上识别出一阶扭转频率,那么剪切模量的测试就变得简单了。

根据对西加云杉、欧洲赤松、山毛榉、白蜡树和桃花心木自由板,其长宽比从10到1、宽厚比为6.83,10和13.7的ANSYS模态计算(共73个计算方案)得到: 1)木材自由板的一阶扭转频率必在自由板的最前两阶模态频率中,其中一阶模态是弯曲,而另一阶模态是扭转; 2)存在一个长宽比或宽厚比,一阶扭转频率由自由板的第2阶模态频率转变为第1阶模态频率。

本文进行的西加云杉自由板的模态试验验证了ANSYS计算的结论是正确的。

频谱图上高峰频率顺序与模态阶数相对应。根据木材自由板的一阶扭转频率必在最前的两阶模态频率中,一阶模态是弯曲,而另一阶模态则是扭转的结论,在频谱图上识别出一阶扭转频率可借助于互功率谱概念。所谓互功率谱识别是2个简谐振动信号相位识别,实施也很方便,用2个相同型号加速度计同向安装于自由板宽边的2个角点上,敲击另一宽边的1个角点激振试件,两通道采集数据,进行互功率谱分析,从互功率谱实部的第1和第2高峰,若负高峰在前,一阶扭转频率对应频谱图上的第1高峰频率; 反之,一阶扭转频率对应于频谱图上的第2高峰频率。这个方法实用于各树种的自由板,对长宽比、宽厚比也不加限制,互功率谱法确实能从自由板的前两阶模态频率中识别出一阶扭转频率。

图 3是长宽比为6的西加云杉自由板频谱图,对照图 4互功率谱图的实部曲线,频谱图第1高峰频率117.5 Hz对应互功率谱图的正峰值,故117.5 Hz是一阶弯曲频率,而频谱图第2高峰频率173.75 Hz对应互功率谱图负峰值,故173.75 Hz是一阶扭转频率。相同分析用于图 5图 6,对于长宽比为3的云杉自由板,342.5 Hz是一阶扭转频率,而462.5 Hz却是一阶弯曲频率。

图 3 西加云杉自由板频谱(750 mm×125 mm× 12.2 mm, 长宽比6:1) Fig. 3 Spruce free board spectrum (750 mm × 125 mm × 12.2 mm, length-width ratio 6:1)
图 4 西加云杉自由板互功率谱(750 mm×125 mm× 12.2 mm, 长宽比6:1) Fig. 4 Spruce free board cross-power spectrum (750 mm × 125 mm × 12.2 mm, length-width ratio 6:1)
图 5 西加云杉自由板频谱 (375 mm×125 mm× 12.2 mm, 长宽比3:1) Fig. 5 Spruce free board spectrum (375 mm × 125 mm × 12.2 mm, length-width ratio 3:1)
图 6 西加云杉自由板互功率谱 (375 mm×125 mm× 12.2 mm, 长宽比3:1) Fig. 6 Spruce free board cross-power spectrum (375 mm × 125 mm × 12.2 mm, length-width ratio 3:1)

互功率谱法在频谱图识别出一阶弯曲频率和一阶扭转频率的前后顺序与所进行的模态试验结果完全相同。

3.2 西加云杉剪切模量测试

西加云杉自由板一阶扭转频率测量值见表 2第4列,剪切模量测量值见第5列。

表 2 西加云杉剪切模量测量值 Tab.2 The shear modulus values measured by Sitka spruce

经计算,得到西加云杉剪切模量平均值0.694 GPa,变异系数CV=4.1%。西加云杉剪切模量测量值与其规范值是一致的。

3.3 国产马尾松、油松、杉木和蒙古栎剪切模量测量值

马尾松、油松和杉木3种试件的长宽比均为6,厚度在12.2~12.6 mm之间,按式(6)计算的振形系数=7.581 8,密度实测。柞木试件长宽比为7,厚度在18.3~12.5 mm之间。马尾松、油松、杉木和蒙古栎剪切模量测量值如表 3所示。

表 3 国产马尾松、油松、杉木和蒙古栎剪切模量测量值 Tab.3 The shear modulus values measured by domestic Pinus massoniana, Pinus tabulaeformis, Cunninghamia lanceolata and Quercus mongolica
3.4 自由板扭转振形法的静态验证

用西加云杉方板的静态扭转试验验证自由板扭转振形法的正确性。考虑到同一树种,因产地不同材料常数的差异性,静态扭转试验用的方板取自于测试一阶扭转频率的自由板。

3.4.1 静态扭转试验测试原理

方板四角受集中力的受力图如图 7所示。

图 7 方板四角点受集中力P的受力 Fig. 7 Square plate the four point by trying to concentrated force P

根据圣文南原理四角受集中力P方板静力等效于方板四条边受大小为P/2的均匀分布扭矩作用,其扭矩转向如图 8所示(徐芝纶,1990马功勋,1996)。Myx,Mxy表示单位长度的扭矩。方板在MyxMxy作用下受纯剪切变形(图 9)。

图 8 方板四边受均匀扭矩Myx,Mxy受力 Fig. 8 Square plate edges under uniform torque by trying to Myx,Mxy
图 9 纯剪切应力状态 Fig. 9 Pure shear stress state

根据扭矩与剪应力关系、剪切胡克定律和纯剪切状态下线应变和剪应变关系可得:

$ G = \frac{{3P}}{{2\left| {{\varepsilon _{{{45}^ \circ }}}} \right|{h^2}}}。 $ (7)

式中: G为剪切模量; h为方板厚度。

测试时若采用四级等量增量加载ΔP=4.9N,相应的应变增量为Δε45°,则G的计算式为:

$ G = \frac{{3\Delta P}}{{2\left| {\Delta {\varepsilon _{{{45}^ \circ }}}} \right|{h^2}}}。 $ (8)
3.4.2 试件和试验装置

试件: 材质; 试件(方板)公称尺寸123 mm×123 mm×12.2 mm; 试件数量 8块。

试验装置: 测试仪器为HPJY16C型静态电阻应变测试仪,灵敏系数 2; 应变片灵敏系数2.08。

砝码加载,砝码质量0.5 kg,加载载荷4.9 N,四级加载,应变读取差值,取其平均值经过灵敏系数修正后的数值作为表 4中的Δε45°值。

表 4 静态测试的西加云杉剪切模量 Tab.4 Static testing spruce shear modulus
3.4.3 静态试验结果

静态测得的西加云杉剪切模量如表 4所示,其平均值为0.676 GPa,标准离差为0.052 6 GPa,变异系数为7.8%。

表 2表 4可知,自由板扭转振形法测试的云杉剪切模量仅高于静态测试的剪切模量2.1%。

4 结论

1)木材剪切模量和自由板一阶扭转频率关系式的正确性不仅得到了西加云杉、山毛榉、欧洲赤松、白蜡树和桃花心木等树种的剪切模量仿真验证,还得到了西加云杉、国产马尾松、油松、杉木等锯材的动态试验验证。

2)自由板扭转振形法测试的西加云杉剪切模量与静态方板扭转试验测试的剪切模量极为接近,二者相差仅2.1%,故自由板扭转振形法测试剪切模量的正确性又得到静态试验的验证。

3)从频谱图上识别出一阶扭转频率的互功率谱法简单易行。

4)自由板扭转振形法测试木材剪切模量具有快速、简单、重复性好和精度高的优点。

5)自由板作为试件,在试验时易于实现自由支承,用牛皮筋悬挂即可,经试验悬挂位置也不影响频率的测量值,更重要的是自由悬挂,不像悬臂板试验数据会受夹持力的影响。

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