门套线(门边线、门口线)作为木门的配套产品，广泛应用于家装家庭、办公场所等环境的装饰中。木制门套线以其木材的天然纹理和装饰美感受到人们的青睐(徐杨，2009;马晓君等，2011a)。随着我国建筑产业的快速发展，木门的刚性需求量稳定增加、城镇化步伐的加快和出口量的稳定增加等为木门产业的发展带来了新的机遇与挑战(吕斌等，2008)。

门套线是一种型面曲线加工的木制典型工件，在现行生产中，加工方法基本是铣削靠模加工(马岩，2008)，多工序、多工位、加工精度低、效率差、批量生产互换性差(马岩，2006a)。利用现代数控技术，开发出门套线图形参数驱动数控加工系统，将各种门套线的横截面形状集成在机床控制器内，通过图形对话的方式(孟令联等，2009)，利用门套线截面曲线图形参数驱动的通用性(马晓君等，2011b)，直接由数学模型输入门套线横截面曲线数学描述参数，即可获得加工所需的尺寸。因此，以数学方法充分描述门套线的横截面曲线形状是实现门套线数控加工图形参数驱动设计的基础(齐英杰等，2008;2010)。通过门套线数控加工的数学模型，建立门套线加工的数控软件，实现门套线数字化加工。

门套线数控加工过程中，采用“行切法”依据实际加工精度确定行距(胡海峰等，2008)。利用门套线横截面曲线的数学模型，获得门套线数控加工时横截面曲线各关键节点坐标变化的描述参数及相应图形参数驱动方法。门套线横截面形状建模中，目前常用的编程方法有2种:一种是手工编程，另一种是自动编程。随着数控技术的飞跃发展，自动在线编程技术在车床、铣床上得以广泛应用。自动在线编程是在生产现场和数控装置上，利用数控装置控制的计算机、显示屏和图形对话功能直接进行编程，具体过程是在数控装置上采用图形对话的方式输入工件的图形和尺寸参数，确定机床、工件坐标系、换刀位置并确定刀具，然后在零件图上确定加工工序，并选定加工工艺参数。自动在线编程是一种具有发展前景的编程方法(朱晓春，2009)。

门套线数控加工时，在满足门套线专用数控加工机床加工工艺的前提下，本文采用的方法是:根据图纸要求，依据门套线横截面曲线的数学模型，计算出门套线数控加工时横截面曲线各关键节点坐标变化的描述参数，利用自动在线编程方法，采用图形对话的方式实现门套线加工(马晓君，2012)。

门套线是一种型面曲线加工的木制典型工件，常见的门套线有具有门套压条的门套线和具有L型卡条的门套线，门套线零件如图 1a，b所示。本文主要研究具有L型卡条的门套线的数学模型，对于具有门套压条的门套线或其他门套线可参照具有L型卡条的门套线数学描述进行建模。

	图 1 门套线零件 Fig. 1 Work-piece of wooden door casing

门套线数控加工编程时，首先建立门套线横截面曲线的数学模型，然后按曲线方程进行编程的数值计算(马岩，2006b)。在实际生产中，刀具的轮廓曲线形成门套线的包络曲面，其包络曲线(门套线横截面曲线)的运动轨迹为直线运动，加工时包络曲线是不变的(齐英杰等，2006)。以数学方法对门套线横截面曲线进行数学建模，是将包络加工法与门套线加工工艺结合，使传统工艺方法数学化，可为门套线数控加工理论及图形参数驱动提供理论依据以及为视频再现提供数学方法(马岩，2008;张云秀等，2004;徐达丽等，2004)。

从数学的角度看，任何几何体的基本形状由点、线、面3个要素构成，门套线横截面形状是直线形型面，门套线的展开面为平面(吴智慧，2004)，门套线横截面曲线是由直线、圆弧组成的包络曲线，在数学分析的基本假设的基础上，用数学符号描述门套线截面曲线参数变量的数学关系，建立门套线横截面曲线的数学模型(Vinokuro et al.，2010;王文波，2006)。

设门套线横截面曲线为理想形状，用解析法截得的垂直于门套线长度方向的截面形状所定义的门套线横截面曲线类型进行数学建模。数学模型坐标系的变量为X，Y，门套线横截面数学描述时建立门套线横截面坐标系原点，原点设在门套线横截面2条直线的交点处。木制门套线横截面曲线的数学模型如图 2所示。具有L型卡条的门套线是由直线段、圆弧组成的轮廓曲线，为了便于描述，设每段圆弧的中心点坐标为O₁(X₁，Y₁)，O₂(X₂，Y₂)，O₃(X₃，Y₃)，O₄(X₄，Y₄)，O₅(X₅，Y₅)，O₆(X₆，Y₆)，O₇(X₇，Y₇)，具有L型卡条的门套线横截面曲线的数学描述如式(1)～(9)所示:

	图 2 具有L型卡条的门套线横截面曲线的数学模型 Fig. 2 Mathematical model of cross section curve of the wooden door casing with L-shaped clamping strip

上述方程中(3)、(4)，(4)、(5)，(5)、(6)，(6)、(7)，(7)、(8)，(8)、(9)圆弧切点的约束方程为式(3)减去式(4)，式(4)减去式(5)，式(5)减去式(6)，式(6)减去式(7)，式(7)减去式(8)，式(8)减去式(9)，约束方程如式(10)～(15)所示:

式中:L₁为卡条的长度;L₂为卡条的宽度;L₃为门套线的宽度;Y_A为门套线L型装饰边的厚度;Y_B为门套线装饰边的厚度。式(1)～(9)构成了理想具有L型卡条的门套线横截面曲线的包络空间，确定了Y_A，Y_B，L₁，L₂，L₃和定位尺寸的关系，由5个条直线段和7段圆弧线平滑连接包络形成具有L型卡条的门套线横截面曲线的数学模型。

门套线横截面曲线形状实测参数采集检测系统的工艺流程如图 3所示。门套线由传输链负载经滚台匀速输入经过检测门、检测门位移传感器(探针)跟踪并同时分层测量门套线轮廓边界曲线，门套线横截面边界轮廓的变化使探针的位移变化，探针的位移变化引起探针输出电压的变化，通过数据采集卡将采样点电压变化进行采样，经计算机数据处理后，得出所需的门套线横截面轮廓边界上采样点的坐标值，并实时显示(马岩，2010)。将采样点进行曲线拟合，采样点信息代入门套线横截面曲线的数学描述方程，最终构造出门套线横截面几何模型(马晓君等，2011)。

	图 3 门套线横截面曲线实测参数采集检测系统的工艺流程 Fig. 3 Process flow of actual measurement parameters acquisition and monitoring system of cross section curve of the wooden door casing

利用Visual C++6.0开发工具，生成图形用户界面(图 4)，门套线截面曲线参数设定处有7个半径描述参数(R₁，R₂，R₃，R₄，R₅，R₆，R₇)，5个直线轮廓边界参数(L₁，L₂，L₃，X_A，X_B)输入相应的参数值，按开始仿真按钮，得到门套线横截面曲线形状图形，再点击仿真效果图按钮，即可得到门套线横截面形状的仿真效果图形。输入3组门套线截面曲线的描述参数:第1组:L₁=10，L₂=10，L₃=70，Y_A=30，Y_B=20，R₁=5，R₂=5，R₃=8，R₄=10，R₅=15，R₆=5，R₇=5;第2组: L₁=5，L₂=5，L₃=70，Y_A=30，Y_B=20，R₁=5，R₂=5，R₃=5，R₄=5，R₅=8，R₆=10，R₇=15;第3组: L₁=20，L₂=20，L₃=70，Y_A=30，Y_B=20，R₁=8，R₂=10，R₃=15，R₄=5，R₅=5，R₆=5，R₇=5。得到相应描述参数下门套线横截面形状的仿真效果图形如图 5。

	图 4 用户界面 Fig. 4 User interface

	图 5 门套线横截面形状仿真效果 Fig. 5 Cross-section effect map of cross section curve of the wooden door casing

图 6为应用门套线截面曲线的数学模型获得的门套线仿真模型实例，说明门套线横截面形状易于实现数控加工，所建立的数学模型与图形参数驱动仿真模型具有一定的精确性、通用性、实用性，为门套线数控加工系统的开发奠定理论基础。

	图 6 木制门套线的仿真模型 Fig. 6 Physical goods model of wooden door casing

1)本文为木制门行业门套线的数控加工提供了数学建模与仿真理论，是将包络加工法与门套线加工工艺结合起来，使传统的工艺方法数学化，为门套线数控加工参数驱动设计以及视频再现提供方法。

2)运用数学分析的基本假设，建立了具有L型卡条的门套线横截面曲线的数学模型，通过对门套线截面曲线描述参数值的仿真结果分析，得到相应描述参数下的门套线横截面形状仿真效果图。结果表明，所建立的数学模型具有良好的精确性、通用性和实用性，可为其他不同类型的门套线截面形状的建模与仿真提供方法。

3)利用门套线横截面曲线的数学模型获得门套线数控加工时，各关键节点坐标变化的参数方程及相应数控加工参数驱动方法可推进木门行业门套线数控加工过程数学描述研究的开展，为门套线数控加工系统的开发奠定理论基础。