竹材是天然长纤维增强的生物复合材料，其性能和破坏规律既取决于组分材料的力学性质，也取决于其细观结构特征，这些特征包括增强体的体积分数、分布规律、形状以及界面性质等(Shao et al., 2009；2010a；2010b；Wang et al., 2012)。竹材试件在整个横弯断裂过程中至少包括基本组织开裂、界面分层、竹纤维束断裂、竹纤维束抽拔等损伤模式(邵卓平等，2012)，显然，不同组织结构在损伤演化过程中会因不同的能耗而具有不同的增韧贡献，如果能够将竹材的不同组织结构在各种失效模式中的力学功能有选择地模型化并给出相应的解析解或数值解，即可找出导致优良强韧性能的主要结构因素，从而使我们对纤维增强胞体生物材料的强韧机制有深刻的理解。竹材在横弯断裂过程中的“基本组织开裂”与“界面脱粘分离”损伤模式的能量吸收机制已在文献(邵卓平等，2012)中研究，本文将继续讨论竹材试件在横弯断裂过程中发生的“竹纤维束断裂”和“竹纤维束抽拔”的能量吸收机制。目前已有大量工作关于纤维增强复合材料在断裂过程中对应不同失效方式而建立的细观力学模型(杜善义等，1998；Outwater et al., 1969；Cooper et al., 1970)，虽然人工材料与天然复合材料在组成、构造等方面存在较大差异，但上述研究方法和途径非常值得我们借鉴。为此，本文应用细观力学方法通过建立2种损伤模式的物理模型，计算了对竹材韧性的贡献率。本文还将给出一个实例，即以含横向裂纹的毛竹材弯曲试件为例，计算了试件在断裂过程中总耗能的试验值，并与所建立的4种损伤模型所吸收能量的理论计算值进行比较。

1 竹材韧性断裂过程中竹纤维断裂和抽拔模式 1.1 竹纤维束断裂

竹壁是长纤维增强复合材料，由于纤维束与基本组织间的界面强度较弱，当裂纹尖端发展到纤维束时即折向界面分层开裂，层裂后的竹纤维束有近半侧界面脱离基本组织的簇拥，并因此削弱了对作用在纤维束上载荷向周围均匀化传递，纤维束在弯曲张力作用下被拉长并会连带另半侧基体产生变形，当界面裂纹扩展到一定长度，纤维束将在薄弱处或缺陷处断裂(此时层裂长度即为竹纤维束的断裂长度L_C)，并回缩释放出弹性变形能。由于纤维束弹性模量E_f远大于基本组织的弹性模量E_m，纤维束突然断开之后，纤维束所受的载荷转移到基本组织，从而引起基本组织内应力的重新分布，纤维束损失的应变能是另外一种能量吸收机制(Piggott, 1970)，这一能量就是纤维束的断裂功。由于竹材在受力时常以维管束一体的形式断裂破坏，为便于建模分析，可将整个维管束简化为空心圆环状的增强体(在本文称纤维束)。为计算竹材纤维束的断裂功，假设纤维束断面发生在距离主裂纹面L_C/2处(图 1)，则贮藏在平均外半径为R_f、内半径为r_f、长度为dx的一段环状竹纤维束的弹性势能为：·π(R_f²-r_f²)dx。由于界面层裂向两侧具有等可能性，所以只需考虑L_C长度的弹性能和相对于基本组织错动产生的变形能。

记贮藏在长度为dx的竹纤维束元的弹性能为：

(1)

纤维束断裂后，竹纤维束元相对半侧基本组织错动所做的功为：

(2)

式中: u(x)为竹纤维束元相对于基本组织的移动距离，

(3)

注意到，代入式(3)并积分可得：

(4)

于是

(5)

如果将的关系式代入竹纤维束元的弹性能的表达式dU_f= π(R_f²-r_f²)dx中，可知dU_f=dU_fm，竹纤维束元的总功应为dU_f与dU_fm之和，因此，单根纤维束的断裂所消耗的能量为:

(6)

由V_f=N·πR_f²/A，可得竹壁材单位横载面内的纤维束数N=V_f/πR_f²，并就用纤维束断裂时的应力π(R_f²-r_f²)σ_fu=πR_fL_Cτ的关系，可得竹材单位横载面上相应的断裂功为：

(7)

1.2 竹纤维束抽拔

竹纤维束断裂后，随着弯曲继续进行，断后纤维束会从断开端一侧裂纹面中抽拔，纤维束抽拨模型如图 1所示。设基质中纤维束断口距断裂面的距离为L_C/2，在距断裂面距离x处至断口的纤维束段(L_C/2-x)从与之相连的基本组织中(仅半侧相连)拔出的阻力为πR_f(L_C/2－x)τ，纤维束段上的拉力为π(R_f²－r_f²)σ_f，因此根据剪滞理论，在临界情形下σ_f=(L_C/2－x)τ_uR_f/(R_f²-r_f²)。则拔出单根纤维束所做的功为：

(8)

设单位断裂面上有N根纤维束，N=V_f/πR_f²，于是，抽拔出所有纤维束所做的功为：

(9)

2 实例计算

为了估算4种损伤模式对竹材横弯断裂的增韧贡献，并对理论模式进行验证，特选取4年生毛竹(Phyllostachys edulis)的第11节的节间材制作含横向裂纹的弯曲试件10件做横断试验。试件除去竹青、竹黄，跨长S=120 mm，壁厚B约8.5 mm，弦高H约13 mm，跨中割制e=3 mm的弦向横纹裂纹(表 1)。断裂试验为弦向三点弯曲加载方式，加载速度2 mm·min^-1，其载荷－挠度(F-S)曲线如图 2所示，竹试件横向裂纹转侧向沿纹理方向启裂时的平均载荷F₀=400 N，平均最大载荷F_max=754.29 N。在裂纹上方面积为A=85 mm²的横截面上约有140个维管束，通过实际测量其大小外、内径再平均算得环形增强体简化模型的外半径R_f=0.283 mm、内半径r_f=0.119 mm，基本组织的体积分数V_m≈59.3%、维管束体积分数V_f≈40.7%。由此计算得到的纤维束的理论个数N=A·V_f/πR_f²≈138根，与实计数接近。

2.1 4种损伤模式对竹材横弯断裂的增韧贡献

作为对上述4种损伤模式对竹材横弯断裂增韧贡献的近似估算，参照Shao等(2010)提供的数据，σ_u=581 MPa、σ_u=19 MPa，τ_u=18 MPa。竹试件在弯曲断裂时，竹纤维束与基本组织是半侧分离至一定长度后断裂，按照剪滞理论πr_f²σ_f=πr_fL_Cτ_u(乔生儒，1997)，可以计算出竹纤维束在弯曲变形时的断裂长度为7.61 mm，实际试件(去竹青、竹黄)横弯断裂面上的多数竹纤维束断裂长度在5~10 mm之间，与之相符。由此，即可计算出除界面分层之外的3种损伤模式在竹材横断时的能量释放率。

竹基本组织开裂：

(10)

竹纤维束断裂：

(11)

竹纤维束拨出：

(12)

分层裂纹扩展的应变能释放率G_i=会随分层裂纹长度C的增长而减少。特别地，取C＝0，即可以得到横向裂纹转侧向沿纹理方向启裂时的应变能释放率：

(13)

由上可知，竹材横弯断裂过程中，单位面积上竹纤维束拔出功对断裂功的贡献很大，其次是纤维束断裂，而基本组织开裂和分层裂纹(界面脱粘)所消耗的能量很小。

2.2 理论模型的试验验证 2.2.1 4种损伤模式在竹试件横弯断裂过程所消耗的能量理论计算值

根据式(10)、(11)、(12)可以估算出各损伤模式在试件横弯断裂过程所消耗的能量分别为：

(14)

竹材试件在横断过程中第i层裂面所消耗的能量可通过式(15)计算：

(15)

竹试件单层分层开裂吸收的能量不是很高，因此在弯曲试验中的载荷-位移曲线上也不易观察到有明显的变化。但由于竹试件在横弯断裂时会有多层界面发生分层开裂，故在整个断裂过程中会吸收较多的能量。因竹纤维束离散分布，分层裂纹在试件横截面的宽度方向上并非平直或连续，因此给计算分层开裂所消耗的能量带来了困难。如图 3展示了裂纹上方(H-e)×B=10 mm×8.5 mm横截面上维管束的分布，如果裂纹在扩展过程中每遇到维管束都有可能形成分层，自下而上，在横断面中部约有14个维管束，因此作为近似估算，可以假定有14层分层裂纹发生，于是竹试件在横断过程中分层开裂所消耗的能量为U_i≈0.787 J，则理论模型的总耗能约为：

(16)

2.2.2 竹试件在横弯断裂过程中总耗能

毛竹试件横弯断裂试验的载荷－挠度(F-S)曲线如图 2所示，从弯曲变形至断裂破坏的过程中总耗能可以通过式(17)计算，各试件的尺寸及试验值见表 1。

(17)

比较式(15)的试验结果，二者相差5.68%，理论计算值与试验值很接近，表明本文提出的竹材横断理论模型是可行的。

3 竹材横断面分析

图 4是一组横弯断面的扫描电镜图片，其中图 4A，B为在靠近竹黄处的基本组织的断面，可见基本组织在断裂时沿横向撕裂，断面平齐，因此吸收较小的能量；图 4C，D，E为一组纤维束分离后断裂被拨出的SEM图，虽然断口处有单根纤维分离，但断口总体较为平齐，而纤维束侧面有大量撕裂的碎片。相对而言，高模量的竹纤维束断裂并不会吸收很多能量，分层开裂也因竹细胞间的界面抗张强度很弱而所需能量不多，但断后纤维束从拥簇在半侧周围的基本组织中拨出时所引起的剪切失效会吸收较大的能量。

4 结论

采用细观力学方法，研究了竹材在横弯断裂过程中竹纤维束断裂与抽拨2种损伤模式的能量吸收机制，并推导这2种损伤模式的应变能释放率解析式。计算分析表明，在基本组织开裂、界面分层、竹纤维束断裂、竹纤维束抽拔这4种导致竹材优良强韧性能的主要结构因素中，单位面积上竹纤维束拔出功对断裂功的贡献最大，其次是纤维束断裂，而基本组织开裂和分层裂纹在侧裂起始时所消耗的能量很小，这些与横弯断面扫描电镜图片的特征相符合。通过竹试件的断裂总耗能试验值与按照4种损伤模型计算的耗能理论值进行比较，二者结果很接近，表明本文对竹材不同组织结构在横弯失效中的力学功能所建立的物理模型基本正确。