最优轮伐期问题一直是森林经营和林业经济学研究的重点。确定最优轮伐期的传统方法包括土地期望值法、净现值法、收益成本比法和内部收益率法等（Brazee, 2001；亢新刚, 2001）。由于这几种方法均运用到了经济学中的折现思想，因此也称为DCF方法（discounted cash flow approach）（Duku-Kaakyire et al., 2004）。虽然DCF方法考虑了资本的时间价值且简单易行，但仍存在一定的局限性（魏均等, 2006），如未考虑价格、折现率等因素的不确定性，且得出的轮伐期是固定值，那么在实际应用中将受到一定程度的质疑。

由于DCF方法存在上述缺陷，近年来许多学者在假设木材价格或林分生长不确定的情形下探讨了森林的最优轮伐期（Newman, 2002）。Morck等（1989）和Thomson（1992）首次将实物期权理论(real options)应用于林业经营领域，对确定森林轮伐期进行了尝试。随后，许多学者也相继将这一方法引入到森林经营或投资决策中来（Insley, 2002；焦媛媛等, 2003；Duku-Kaakyire et al., 2004；Jacobsen, 2007；Chladná, 2007；Manley et al., 2010；Insley et al., 2010）。实物期权法是评价不确定性环境下投资决策的一种有效工具（Dixit et al., 1994），弥补了DCF方法的缺陷，充分考虑了投资的时间价值、管理灵活性的价值以及未来不确定性的价值（魏均, 2006），从而能更加合理地确定森林的最优轮伐期。

日本落叶松（Larix kaempferi）原产于日本, 20世纪50年代末开始在北亚热带高山区引种栽培（马常耕, 1992）。日本落叶松在该地区表现出早期速生、适应性强、材质优良、不与农业争地、抗冰雪及病虫害等自然灾害能力强等特性，迄今为止栽培面积超过33万hm²，已成为我国南方重要的速生丰产林产区。日本落叶松是优良的造纸原料，但由于该区日本落叶松引种时间较短，对纸浆的轮伐收获周期尚未开展针对性的研究，因此，如何确定最优轮伐期成为当前科学经营日本落叶松亟待解决的问题。

基于实物期权法的优点，本研究在对北亚热带日本落叶松林分标准地调查的基础上，在假设纸浆材价格服从均值回复过程的前提下，利用实物期权理论的二项式期权定价模型，探讨了4种不同立地条件下日本落叶松纸浆林的最优轮伐期。

1 研究区概况

研究区位于湖北省日本落叶松栽培区，29°56′—31°34′N，109°32′—112°04′E，属北亚热带高山气候区，海拔1 000~2 000 m，年均气温9 ℃左右，气候湿润，雨量充沛，相对湿度85%以上，全年降雨量1 500~1 800 mm，土壤类型为棕壤或山地黄棕壤。

2 研究方法

实物期权理论定价方法包括Black-Scholes模型和二项式定价模型等(Duku-Kaakyire et al., 2004)，其中二项式定价模型是一种离散时间状态下的价格波动路径模型，是一种直观且简便的方法。利用二项式定价模型求解最优轮伐期包括2个步骤，即建立木材价格二项式模型和二项式定价（采伐决策）模型。

2.1 木材价格二项式模型 2.1.1 木材价格二项式模型简介

木材价格的二项式定价模型从最初价格P(0, 0) 开始，此后每一个分支代表一个可能的未来价格变化路径。用P(i, n)表示时间阶段n的第i个木材价格节点，则在每一个价格节点P(i, n)的下一阶段的变化都有2种可能：上升至U·P(i, n)，或下降至D·P(i, n), U和D称为上涨因子和下跌因子（U=1/D）。图 1所示为一个两阶段的二项式价格模型，图中θ_U表示价格上涨概率，θ_D表示价格下跌概率。

2.1.2 木材价格二项式模型参数的计算

假设木材价格波动服从均值回复过程，这一过程的表达式为（Chladna, 2007；Gjolberg et al., 2002）：

(1)

式中：p_t表示时间t时价格的自然对数值；a为均值回复速率；b为价格长期波动回复均值参数；dW_t表示标准维纳过程的增量；σ表示价格的波动性。价格的这一波动形式也被称为Ornstein-Uhlenbeck随机过程。

若假设木材价格服从均值回复过程，则价格的对数形式满足一阶自回归过程（first-order autoregressive process）（Tee et al., 2010）：

(2)

式中：p值的变化服从均值为α₀+α₁p_t-1、方差为φ²的正态分布；u_t表示干扰项（noise term）。α₀，α₁和φ同Ornstein-Uhlenbeck随机过程参数的关系（Guthrie, 2009）为：

(3)

式中：Δt表示价格节点的时间间隔。

通过对木材价格数据进行最小二乘回归，可以得到α₀，α₁和φ的估计值，并根据式（3）求算a，b，σ的值。

价格均值回复过程上涨因子和下跌因子的表达式为（Guthrie, 2009）：

(4)

式中：Δt_m表示二项式定价模型的离散时间间隔。

2.2 二项式定价（采伐决策）模型 2.2.1 二项式定价（采伐决策）模型的结构

用实物期权法解决最优轮伐问题的关键是要在价格随机变化的情况下，以森林采伐的期望价值最大化为标准来衡量森林采伐的最优决策时间。判断一个林分是否应该采伐的标准是：林分在某时间阶段的采伐更新价值是否高于等待的价值，即下一个阶段的折现值。

森林最优轮伐问题主要包含2种期权——采伐期权（harvest option）和等待期权（wait option）。若令V(i, n, j)表示在时间n时第i个价格节点、林龄为j的情况下林分的期权价值，则最优轮伐问题用数学公式（Yoshimoto, 2002；Tee et al., 2010；Thomson, 1992）表示为：

(5)

式中：

(6)

(7)

V(i, n, j)表示在计算林分价值的同时嵌入了采伐策略。式（5）中：E_{i, n, j}[W]表示在时间n时第i个价格节点、林龄为j的情况下采用等待（不采伐）期权的价值；同理，E_{i, n, j}[H]表示采伐更新期权的价值。若E_{i, n, j}[W]>E_{i, n, j}[H]，则最佳决策是等待，即选择让森林继续生长；反之，则最佳决策是采伐。

式（6）中：θ(i, n)表示价格上涨至该价格节点的概率；1-θ(i, n)表示价格下跌到该价格节点的概率；r表示折现率；C_a表示林分的年度经营管理成本。如果选择等待策略，则等待期权的价值E_{i, n, j}[W]为下一阶段j+1年生的林分价值扣除这一阶段需支付的经营费用C_a的折现值。V(i, n+1, j+1) 表示林分从现在开始1年后假设价格上涨发生时的价值，计算公式为：

(8)

V(i+1, n+1, j+1) 表示如果下一时间阶段价格下降情形发生的林分价值，其计算方法与上升情形时类似。

式（7）中：T表示税率；C_h表示采伐成本；BLV（bareland value）表示森林裸地的价值。

式（6）中θ(i, n)的计算公式（Guthrie, 2009）为：

(9)

2.2.2 二项式定价（采伐决策）模型的计算方法——反向递推

与价格二项式模型的正向计算不同，定价模型的计算过程是从最后阶段向前反向递推的。递推过程应首先定义二项式中n的上限N，N即森林采伐所限定的最后时间阶段，也可称为实物期权的最后到期时间。在N时间之后，由于期权已到期，任何额外时间的等待将不会产生任何价值，因此在时间N时的最佳决策是采伐，林分的价值即为采伐期权的价值。

森林裸地价值（BLV）通过价格二项式多次迭代计算刚刚栽植的1年生林分的价值来计算（n=0）。假设在首次迭代计算过程中，森林裸地的价值为0, BLV等于每次迭代得到在时间0时（新造林）的林分价值V(0, 0, 0) 减去更新造林成本C_r。将每次迭代计算所得的BLV代入下一个二项式中再次计算，直至BLV恒定（Guthrie, 2009；Tee et al., 2010），这一恒定值即为最终采伐决策时采用的森林裸地价值。

在利用确定最后阶段林分价值V(i, N, j)和BLV的基础上，通过式（5）~（7）计算所有时间阶段和价格节点的期权价值，在每个节点选择E_{t, i, j}[W]和E_{t, i, j}[H]中的较大值作为这一节点的决策价值，以此类推不断向前迭代计算，直到t=0。在t=0时，每个节点对应一个V[0, 0, j]，V[0, 0, j]所对应的选择采伐期权的最小年龄即为在当前价格下的最优轮伐期。

3 数据收集 3.1 日本落叶松蓄积量生长数据的获取

在研究区的日本落叶松人工林近、成熟林内设置临时标准地24块[分别立地指数15，17, 19，21设置样地，每立地指数设置6块，立地指数的判定依据日本落叶松速生丰产林国家标准（LY 1508—91）]，标准地面积为800 m²（28.28 m×28.28 m），保留密度为700~800株·hm^-2。标准地内林分长势良好、林木干形通直、分布均匀、林相整齐。对标准地进行每木检尺，并在此基础上按照径阶伐取解析木。利用Lignostation年轮工作站测定树干圆盘，并利用Forstat统计之林软件整理解析木数据，计算林分蓄积，获得林分蓄积量生长动态，使用R软件通过Richards方程（亢新刚, 2001）模拟林分的蓄积量生长方程。

3.2 日本落叶松纸浆林经济指标 3.2.1 日本落叶松纸浆材价格变化参数

由于研究地区缺乏完善的日本落叶松纸浆材价格的长期观测数据，因此，本研究参考1988—2009年全球软木木材造纸纤维价格的季度波动趋势，并结合北亚热带地区日本落叶松纸浆材近年的年度平均价格来计算价格均值回复过程的参数。

3.2.2 日本落叶松纸浆林的造林和营林成本

参考研究地区林业局和林场造林规划数据，确定日本落叶松的造林和营林成本。

造林成本C_r=3 200元·hm^-2，其中包括林地清理费850元·hm^-2、造林设计费250元·hm^-2、整地栽植费500元·hm^-2、苗木费500元·hm^-2（初植密度2 500株·hm^-2，苗木费每株0.2元）、补植费300元·hm^-2、幼林抚育费为800元·hm^-2。

营林成本主要包括每年投入的森保费和采伐成本。自造林开始至采伐每年投入的森保费C_a=25元·hm^-2a^-1，采伐成本C_h=125元·m^-3。

3.2.3 税收和折现率

研究地区的林业税收主要以育林基金为主，按照日本落叶松纸浆材销售收入的5%收取（森林经营成本不免税），即T=5%。折现率通过我国1980年至今的历年国债利率（http:∥www.95599.sh.cn/lcms/bank/quotation/pzsgzratelist-cx.jsp）和居民消费物价指数（CPI）（谢佳利, 2008）的均值来综合确定，r=9.82%。

4 结果与分析 4.1 日本落叶松蓄积量生长方程

在日本落叶松标准地调查的基础上，使用R软件通过Richards方程模拟林分的蓄积量生长方程, 得到的生长模型参数见表 1。

4.2 日本落叶松纸浆材价格变化参数

应用最小二乘回归方法，根据式(2) 得出价格自相关模型的参数为：

通过式(3) 确定均值回复过程的参数分别为：

根据式(4) 计算均值回复过程的上涨因子和下跌因子分别为：

4.3 不同立地指数的日本落叶松林地裸地价值的计算

依据日本落叶松生产经营实际，设二项式模型的期权到期时间N=35年，Δt_m=1年。在此基础上，通过式（5）~（7），对林龄为1年的日本落叶松纸浆林利用二项式多重迭代，以当前纸浆材价格500元·m^-3为价格二项式起点，求得4种不同立地指数日本落叶松林地在无限轮伐作业情形下的裸地价值分别为1 578.8（SI=15）, 3 651.2(SI=17), 4 890.3(SI=19) 和5 884.4（SI＝21）元·m^-3。

4.4 日本落叶松的柔性轮伐期（flexible rotation age）

通过二项式实物期权模型，计算得出了不同价格条件下4种立地指数日本落叶松纸浆林的柔性轮伐期，计算结果见表 2。柔性轮伐期即在当前价格水平下某一既定条件的日本落叶松林分的最优轮伐期。因此，表中数据的含义为某一立地指数的日本落叶松纸浆林在某一当前纸浆材价格情形下的最优轮伐林龄。数据表明，4种立地指数的日本落叶松林分的柔性轮伐期均随着纸浆材价格的下降而延长（反之则缩短）；在相同的纸浆材价格水平下，立地指数越高，轮伐期越短。研究地区近期的日本落叶松纸浆材价格约为500元·m^-3，在当前价格水平下，4种立地指数的日本落叶松最优轮伐期分别为25，23，21和19年。

4.5 不同林龄日本落叶松纸浆林的采伐价格阈值

通过二项式模型，求解得到不同立地指数日本落叶松纸浆林的最佳采伐价格阈值。不同轮伐龄对应的价格阈值的含义是某一林龄的林分实施采伐的纸浆材最低价格，即当某一林龄的日本落叶松林分大于该林龄对应的价格阈值时应选择采伐策略，而小于此阈值时则应选择等待策略。计算结果见图 2，图中最佳采伐价格阈值曲线上面的区域表示最佳决策为采伐，曲线下面的区域表示最佳决策为等待（推迟采伐）。

由图 2可知：4种立地指数日本落叶松纸浆林的最佳采伐价格阈值均随林龄的增大而减小，即纸浆材价格越高，最优轮伐期越短。这表明，在纸浆材价格较高的情况下，可选择更早的林龄实施采伐（即便是在林分的速生期）。价格均值回复过程的特性可以很好地解释这一现象：由于价格是围绕某一价格均值往复运动，达到极高价格的概率极低，且下一阶段的价格维持这一高水平的概率也几乎为0，因此，即便是在林分速生期，在未来时间内的蓄积生长所产生的边际收入不足以抵消当前极高价格下降所带来的经济损失。

此外，由图 2还可得知：4种立地指数日本落叶松纸浆林的最短轮伐期分别为23, 20，17和15年。需要特别指出的是，在4种立地指数林龄分别小于其对应的最短轮伐期时，无论纸浆材价格为何值，等待期权的价值均大于采伐期权的价值，因此无论价格为何值均应选择等待策略。

在纸浆材价格小于不同年龄对应的采伐价格阈值时，应选择延迟采伐策略。由图 2可知在价格很低时（ < 350元·m^-3），4种立地指数日本落叶松纸浆林的最优轮伐期均大于30年；但是，需要说明的是，这并不意味着当前林龄小于30年的林分在这样的价格水平下必须等待林龄达到30年以后采伐，因为未来的纸浆材价格是以均值回复形式波动变化的，可以想象价格是沿横轴上下波动，若在未来某时间点价格曲线与图中曲线相交，则交点对应的林龄即为最优轮伐期。

5 结论与讨论

实物期权法解决了纸浆材价格变化情况下的日本落叶松最优轮伐问题。木材价格是决定日本落叶松柔性轮伐期的关键因子。在当前日本落叶松纸浆材价格水平（500元·m^-3）下，4种立地指数为15，17，19和21的日本落叶松最优轮伐期分别为25，23，21和19年。这一结论与笔者应用传统的折现方法（discount cash flow）计算的该区域日本落叶松纸浆林经济成熟龄（李子敬等, 2011）的结论基本一致。由此可见，在一般价格水平下，实物期权法和传统折现方法得到的最优轮伐期基本相同。价格较高时（700元·m^-3），4种立地指数日本落叶松的最优轮伐期可缩短至23, 20，17和15年。在相同的价格水平下，立地指数越高，则轮伐期越短。

不同立地指数的日本落叶松纸浆林对应不同的最短轮伐期。4种立地指数（15, 17, 19和21）的日本落叶松纸浆林的最短轮伐期分别为23, 20, 17和15年。在林龄小于其对应的最短轮伐期时，无论纸浆材价格为何值均应选择等待策略。

通过二项式模型得出了不同立地指数日本落叶松纸浆林的最佳采伐价格阈值曲线，当某一林龄的日本落叶松林分大于该林龄对应的价格阈值时应选择采伐策略，而小于此阈值时则应选择等待策略。最佳采伐价格阈值随林龄的增大而减小，在纸浆材价格越高的情况下，可选择在更早的林龄实施采伐。这一研究结论与Guthrie（2009）和Tee等（2010）的研究结论基本一致。

纸浆林的经济效益与木材市场因素的变化密切相关，因此科学合理的最优轮伐期必须考虑不确定性因素。实物期权法是解决不确定因素条件下最优轮伐期的有效工具，探讨了价格变化的影响和应对价格变化所采取的柔性经营策略，为解决森林采伐问题提供了新的思路和理念，是相比净现值（NPV）和土地期望值（LEV）等方法确定轮伐期更为科学的方法。