木材微波处理过程中，微波能量以电磁波的形式直接穿透到木材内部，并通过微波电磁场与木材中水分子和其他极性基团的相互作用而迅速产生大量的热，实现木材的快速干燥和改性预处理(牟群英等，2004; Li et al., 2008; 周永东等，2009)。与常规蒸汽干燥相比，从传热和传质的角度来分析，木材微波干燥是一种完全不同的干燥方法(Antti，1992; Antti et al., 1999; Du et al., 2005; 李贤军等，2006a; 2006b;牟群英等，2006)。在常规干燥中，由于热量是由表及里的传递，因此木材内部温度通常低于表面温度，形成外高内低的温度场或温度梯度; 而对于微波干燥或预处理过程中木材内部的温度分布，不同学者提出了不同的看法。有学者认为在微波干燥过程中，木材内部温度高于外部温度，木材内存在着内高外低的温度场，并进一步认为该温度场的存在是使木材具有高干燥速率的主要原因(佟永会，1986；Rajeev et al., 2001)；而有的学者则认为最高温度并非出现在木材表面和中间部位，而是出现在距离木材表面几毫米的木材内(Zielonka et al., 1997; 1998)。笔者(李贤军等，2006b; 李贤军，2009)也曾采用试验方法直接测定了微波真空干燥过程中木材内部的温度分布模式，结果表明：在一定的辐射功率和厚度范围内，木材厚度方向温度分布比较均匀，基本不呈现出内高外低或外低内高的温度梯度，但在干燥后期，木材内温度分布的局部不均匀性有加大趋势；微波真空干燥过程中，木材内部的温度差是由于微波场和湿木材本身不同部位介电特性的差异引起的，这种不均匀性以局部的形式存在于木材中。对于以上不同试验结果，究竟哪种正确呢？本文将在考虑单向辐射和双向辐射的基础上，运用朗伯定律，建立微波干燥过程中木材内部的热量迁移模型，揭示温度分布规律，以期为微波干燥器的合理设计和微波干燥过程的有效控制提供理论依据。

1 模型构建

微波干燥过程中，木材内部热量来源于2个方面：一方面为木材对微波的吸收，可以用木材对微波的吸收功率P来描述；另一方面为热量在木材中的迁移。由此可见，只要建立起微波干燥的热量迁移模型及相应的初始、边界条件，就可以模拟出干燥过程中木材内的温度变化规律。为了便于分析和模拟计算，在本研究中，假设木材为均质材料，且为绝干材。

1.1 热量迁移模型

当木材受到单向微波源和双向微波源的垂直均匀辐射时(图 1)，木材在微波电磁场中吸收的功率可表示为(李贤军，2009)：

(1)

式中：P为单位体积木材吸收的功率，W·m^-3；f为微波工作频率，Hz；E为微波电磁场中的电场强度，V·m^-1；ε为木材介电常数；tanδ为木材损耗角正切。由式(1) 可以看出：电场强度E越大，微波频率f越高，木材吸收的微波功率就越大。

当微波进入木材时，木材表面的能量密度最大，随着微波向木材内部的穿透，其能量呈指数形式衰减，同时微波场将能量释放给木材。由于微波场的能量随着进入木材的深度逐渐减少，所以用微波干燥木材时，木材的厚度是有限的。干燥过程中，微波在木材内的穿透深度可以用朗伯定律描述。对于单向微波辐射的一维问题，设微波入射的方向为x方向，且分布于区间[0, d]，由朗伯定律可得(李贤军，2009)：

(2)

式中: I₀为微波入射到木材表面时的强度；I(x)为微波入射到木材深度为x时的强度；b为木材对微波的吸收系数，一般为一常数。在微波场中，木材内的微波电场强度E²∝I，则可得：

(3)

式中：E₀为微波入射到木材表面时的电场强度。

记木材中温度分布为T(x, t)，t为时间。由傅里叶定律可得木材内的一维热传导方程为(Siau，1984)：

(4)

式中：q为热流密度，即x方向上单位时间流过单位面积的热量；λ为木材导热系数，一般为一常数。考虑木材中厚度为dx、面积为A的薄片，在dt时间内，通过热传递吸收的热量为：

(5)

而直接通过吸收微波获得的热量为：

(6)

根据热平衡原理可得：

(7)

式中：C为单位体积木材的热容量，J·m^-3 ℃^-1。

根据式(1)，(3)，(4)，(5)，(6) 和(7) 联立、化简后可得：

(8)

式(8) 即为微波干燥中木材内的热传导方程，记q₀=0.55fE²εtanδ·10^-12，q₀可以通过改变微波发生装置的参数(如功率和频率)来调节，最终得到：

(9)

当采用如图 1B所示的双向微波辐射方式对木材进行干燥处理时，采用同样的方法，则可得到如下热传导方程：

(10)

偏微分方程(9) 和(10) 分别描述了单向微波与双向微波辐射加热时木材内温度与时间和空间的关系，加上一定的初始条件和边界条件，就可以模拟出木材内温度在空间的分布以及该分布随着时间的变化趋势。

1.2 初始条件

上述热迁移模型的初始条件比较简单，由于加热前木材和周围环境处于热平衡状态，即木材温度等于环境温度，若设室温为T₀，则单向微波加热时的初始条件为：

(11)

双向微波加热时的初始条件为：

(12)

1.3 边界条件

为求解上述数学模型，必须建立微波干燥过程中木材内热量迁移的边界方程。

对于单向微波加热模式，在x=0和x=d处(木材表面)热量的边界方程为：

(13)

对于双向微波加热模式，在和处(木材表面)热量的边界方程为：

(14)

式中: α为空气的对流传热系数，W·m^-2 ℃^-1。

1.4 热传导模型

综上所述，得到描述微波加热过程中木材内部温度分布随时间变化的热传导模型，对于单向微波加热模式：

(15)

对于双向微波加热模式：

(16)

2 模型模拟与讨论

根据以上建立的热传导数学模型和一些给定参数，运用MATLAB软件，就可以模拟出微波干燥中木材内部的温度分布规律。在本文所进行的数学模拟中，被干锯材厚度取d=0.02 m，环境温度取T₁=25 ℃，单位面积上的微波辐射功率取q₀=10⁶ W·m^-2(单向微波辐射)。对于双向微波辐射，每个微波源的辐射功率取q₀=5×10⁵ W·m^-2，即其微波辐射总强度等于单微波源辐射。木材导热系数、单位体积热容量、木材表面与环境之间的换热系数参考文献(徐有明，2006; Li et al., 2008)确定，其值选取分别如下：

λ=0.16 W·m^-2℃^-1,

C=1.354×10⁶ J·m^-3℃^-1,

α=20 W·m^-2℃^-1。

图 2显示了单向微波辐射时木材内部温度随时间和空间的变化规律。从图中可以看出：在微波干燥初期，木材内温度分布非常均匀，随着干燥过程的进行，木材内部的温度差呈现增加趋势；面向微波辐射源一侧的木材表层温度明显高于木材芯层温度，远离微波辐射源一侧的木材表层温度最低；由于木材表面向周围环境不断散失热量，导致木材内最高温度并非出现在面向微波源的最表面，而是在表层区域(在本研究中，该区域约在距表面2~4 mm处)。这一模拟结果与Zielonka等(1997；1998)及Li等(2008)的研究结果一致。由此可见，在不考虑木材局部材性差异对微波吸收能力的影响时，如果采用单向微波辐射方式对木材进行干燥处理，则木材内部不会形成内高外低的温度场，木材内部的温度分布整体表现为沿着微波入射方向温度逐渐降低，即存在一个温度梯度，该温度梯度的存在，不利于木材的均匀干燥。

图 3显示了双向微波源相向辐射时木材内部温度随时间和空间的变化规律。从图中可以看出：沿着木材的中心对称面，木材内部两侧的温度整体呈现出对称分布规律，且木材芯层的温度明显高于表层，木材内部形成了内高外低的温度场，该温度场的存在能与水分场产生“协同”效应，有利于木材干燥速度的提高和干燥质量的改善。同时还可以发现：与单向微波辐射方式相比，采用双向微波辐射方式干燥木材时，木材内部温度分布的均匀性得到了非常显著的改善。

通过上述模拟结果可知:在微波干燥过程中，若不考虑木材内部材性差异对微波吸收能力的影响，木材内部的温度分布模式与微波加热方式直接相关。当采用单向微波辐射的方式干燥木材时，木材内部不仅不会形成内高外低的温度场，且内部温度分布的均匀性较差；当常用双向微波辐射的方式干燥木材时，木材内部能形成与常规干燥完全相反的内高外低的温度梯度，且温度分布非常均匀。最后需要说明的是，木材本身是一个具有很大变异性的非均质有机生物体，木材内部各部位的介电特性存在着较大差异，造成了其对微波吸收能力的不同。因此，在实际的微波干燥过程中，木材内部的温度分布可能更加复杂。

3 结论

本文从热传导的物理规律出发，建立了微波加热过程中木材内部的热传导模型，并通过理论模拟揭示了不同微波加热方式对木材内部温度分布的影响。结果表明：微波干燥过程中，木材内部的温度分布模式及均匀性与微波加热方式直接相关；当采用单向微波辐射的方式进行加热时，沿着微波入射方向，木材温度逐渐降低，木材内部温差较大，且温度分布均匀性较差；当采用双向微波相向辐射的方式进行加热时，木材内能形成内高外低的温度梯度，且温度分布比较均匀。因此，在木材微波干燥器的设计中，需要充分考虑微波源的数量、微波馈入方向对加热均匀性及木材干燥质量的影响。