混合像元问题普遍存在于遥感影像中，是遥感定量分析中不可回避的问题，也是一个基本难题(徐希孺等, 1989)。由于传统的分类方法是在假设每个像元都是纯净像元的前提下进行的，因此无法对混合像元采取正确的分类(Foody, 1996)，从而影响地物识别和分类的精度，也成为遥感学科向定量化发展的主要障碍(杨伟等, 2008)。为解决这个问题，人们提出了多种混合光谱模型用于识别像元内各地物丰度，提高遥感影像分类的精度，并成为遥感领域研究的热点(惠巍巍等, 2007)。其中最早提出的线性模型由于模型简单、物理含义明确且理论比较成熟而得到最广泛的应用(Lu et al., 2006；Small et al., 2006；Wu, 2004；杨伟等, 2008)。

随着多学科的交叉发展，人们将神经网络、遗传算法、模糊数学、支持向量机或者它们之间的组合应用于混合像元分解中，形成一系列的新方法，在很大程度上改进了线性混合像元分解的结果，其中以神经网络为基础的混合像元分解方法较多(王喜鹏等, 1998；张彦等, 2002；齐亚鸣等, 2007；吴柯等, 2007；Zhang et al., 2008；Pu et al., 2008)。惠巍巍等(2007)指出人工神经网络模型的综合分析能力为遥感和多源数据的分析和分类提供了可靠的新途径，是一种非常有效的分类手段，具有广阔的应用前景。

另外，标准BP算法在应用中具有学习算法收敛速度很慢、学习好的网络泛化能力差等不足之处(袁曾任, 1999；党建武, 2000)。针对以上缺点，学者们从不同的角度对BP算法进行改进，其中，新激活函数及其组合是常见的改进方法之一。如Kenue(1991)提出了一族激活函数，其一阶导数为sechⁿ(x), n=1, 2, …，并与标准Sigmoid函数对比得出，这族激活函数中部分函数能够显著提高网络收敛速度。吴佑寿等(2001)和沈艳军等(2003)分别提出激活函数可调的新神经元模型，通过实例验证得出，激活函数可调模型具有很快的收敛速度。综上所述，对激活函数进行改进能够提高神经网络收敛速度。

基于以上考虑，本文提出了一种高斯误差函数(Gaussian error function, Erf)作为激活函数的BP神经网络(Erf-BP)混合像元分解新算法，并应用于浙江省安吉县林区Landsat TM遥感影像，同时对比该方法与线性无约束最小二乘法及最大似然法在提取森林信息上的精度，为改善林业遥感信息提取精度及定量信息反演提供新的方法。

1 材料与方法 1.1 研究区与遥感数据预处理

研究区为浙江省安吉县东南部的山川和天荒坪2个乡镇，见图 1。安吉县位于浙江省西北境，119°14′—119°52′E，30°23′—30°53′N。气候属亚热带海洋性季风气候，总特征是：光照充足、气候温和、雨量充沛、四季分明，年均降水量1 400 mm，年均气温15.6 ℃。森林覆盖率达到69.4%，拥有山林13.2万hm²，其中竹林面积6.33万hm²。毛竹林面积为4.99万hm²，占森林总面积的37.8%。研究所用数据为2008年7月5日接收的Landsat5 TM遥感数据(不包括第6波段，该波段为热红外波段，空间分辨率为120 m，其他6个波段空间分辨率为30 m)。原始数据质量较好，利用去除暗物体模型(dark object subtraction, DOS3, Song et al., 2001)进行绝对辐射校正，将灰度值转换成反射率。采用1:100 000地形图对遥感影像进行几何精校正，重采样方法为最邻近法，X方向误差为0.310，Y方向误差为0.447，总误差为0.544个像元。

1.2 研究方法 1.2.1 Erf-BP算法简介

高斯误差函数作为一个非初等函数，在概率论、统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用，其定义如下：

(1)

(1) 式右边用泰勒展开得到(2)式：

(2)

为了能够调整函数的陡度，在函数中引入参数λ，使，其一阶导数，曲线图见图 2。

Erf-BP指的是以高斯误差函数作为新的激活函数应用到隐含层中，而输出层激活函数采用Logsig函数，即用高斯误差函数及其一阶导数代替标准的BP算法隐含层激活函数及一阶导数即可。其训练过程为在线学习方式，即对训练集内每个模式(样本)对逐一更新网络权值的一种学习方式，其特点是学习过程中需要较少的存储单元，但有时会增加网络的整体输出误差(党建武, 2000)。

1) 输出节点输出算法

隐节点的输出：

(3)

输出节点输出：

(4)

式中：X^(k)表示第k个样本，k=1, 2, …n；y^(k)表示隐节点的输出；O^(k)表示输出节点输出；IW表示输入层与隐层之间的连接权(包含阈值)；LW表示隐层与输出层之间的连接权(包含阈值)。

2) 输出层(隐节点到输出节点间)的误差修正算法

误差公式：

(5)

式中：δ^(k)表示输出层第k个样本误差修正值；t^(k)表示输出节点第k个样本的期望值。

3) 隐节点层(输入节点到隐节点间)的误差修正算法

误差公式：

(6)

式中：γ=X^(k)·IW；φ_·h^(k)表示隐层第k个样本误差修正值的第h列值；LW′_h·表示隐层与输出层之间的连接权(包含阈值)的第h行转置。γ_·h表示第k个样本与IW加权积的第h列值。

1.2.2 Erf-BP混合像元分解模型

1) 训练样本构建    像元的反射率可以表示为端元组分的光谱特征和它们的面积比例(丰度值，Fraction)的函数(吕长春等, 2003)。将从影像中提取的端元与构造出的虚拟丰度值相乘得到虚拟构造的像元反射率。如下式所示：

(7)

式中：c_ji为第i类端元在第j波段上的反射率；a_in为第i类端元在第n个像元上的虚拟丰度值。虚拟丰度值由人为设定，如[0.1；0.2；0.2；0.2；0.2；0.1]表示一个像元中水体、阔叶林、针叶林、竹林、高反射率地物和农地所占的百分比分别为0.1，0.2，0.2，0.2，0.2和0.1。本文总共构建了50个虚拟像元，其中37个作为训练样本，13个作为验证样本。由于神经网络具有较强的学习记忆能力，即对训练过的像元仿真精度很高，因此在构造虚拟丰度值时要充分考虑各端元在空间位置上的分布特征，使网络的仿真结果更接近地类实际空间分布状况从而有助于提高分解精度。如针叶林、阔叶林和竹林，高反射率地物与农地，农地与水体有可能混在一起，因此在设置像元内各端元虚拟丰度值时，要使它们在同一个像元内存在一定的面积比例分布，如针叶林、阔叶林和竹林混在一起的像元虚拟丰度值为[0；a；b；c；0；0]；高反射率地物与农地混在一起的像元虚拟丰度值为[0；0；0；0；a；b]；水体与农地混在一起的像元虚拟丰度值为[a；0；0；0；0；b]。其中a，b，c分别表示对应端元的丰度值，它们之和为1。

2) Erf-BP模型结构    网络采用3层结构：①输入层为6个神经元；②根据训练样本数及输入输出层维数将隐含层神经元设为7个；③输出层神经元数与端元个数相同为6个。隐含层和输出层激活函数分别为Erf和Logsig函数，误差函数采用误差平方和(SSE)，设为0.1。学习速率(lr)为0.2，lr值太小收敛速度太慢，太大可能会使网络不收敛。动量因子(mc)为0.9，mc值有利于网络跳出局部最小，逼近全局最小。陡度因子λ=1。

1.2.3 线性无约束最小二乘法模型

线性无约束最小二乘法混合像元分解模型假设传感器所获得的反射率(reflectance)(亮度值)是由构成像元的端元(endmember)成分反射率(亮度值)以其所占像元面积比例为权重系数的线性组合(Adams et al., 1995)。表达式为：

(8)

(9)

其中：i=1, …, m，m为波段数；k=1, …, n，n为端元数；R_i为像元在波段i上的光谱反射率；f_k为像元内端元k的丰度值；R_ik为端元k在波段i上的光谱反射率；ε_i为波段i上的残余误差。

1.2.4 精度评价

混合像元分解精度评价是个难点，通常最精确的方法是通过野外调查样地内所包含端元实际面积，这种方法工作量相当大，但是一种最可靠的方法。另外，可以通过高分辨率的遥感影像(如航片、SPOT、IKONOS等)测量所选样区内各端元的面积，然后与分解结果相应样区作对比评价分解精度。目视判读也可以作为一种评价方法，从视觉上对不同方法进行初步评价，但由于该方法是定性的，具有很强的主观性，说服力不强。

为了能够定量地评价分解精度，选取与本研究TM数据时间相近的IKONOS高分辨率卫星影像，从1:10 000地形图上选取明显的地面控制点，并计算出控制点坐标，将3度带坐标转成6度带，利用选取的地面控制点对IKONOS卫星影像进行几何精校正，使IKONOS卫星影像与TM影像具有相同的地理坐标，达到几何配准的目的。在IKONOS卫星影像上利用AOI裁剪10个样区，样区大小有300 m×300 m (10 pixel×10 pixel)和300 m×600 m (10 pixel×20 pixel)，见图 1。同质性大的区域采用10 pixel×10 pixel尺度就具有代表性；而异质性大的区域，要将更多类型端元包含在内就需要增大尺度(10 pixel×20 pixel)。利用ArcView GIS3.2软件勾绘出样区内所包含端元的面积比例作为真实丰度值，然后计算相应样区模型分解结果与真实丰度值之间的均方差根(root of mean squared error, RMSE)和残差进行精度评价。

(10)

式中:y_i为端元k的真实丰度值；ỹ_i为端元k的模型分解丰度值；m为端元k样本数。

2 结果与分析 2.1 Erf与Logsig对比 2.1.1 性能比较

从激活函数运行范围、导数值的变化范围和灵敏度的范围等性能可以判断激活函数的收敛速度。灵敏度范围指的是导函数在坐标原点附近的一段区域，反映到函数图上，希望这段曲线既陡又宽，以便加快收敛速度(袁曾任, 1999)。当陡度因子为1时, Erf与Logsig的性能见表 1。

导数值越大说明曲线越陡，灵敏度范围越大说明曲线越宽。从表 1可以看出：Erf的运行范围比Logsig要宽；导数值比Logsig要大说明曲线更陡；灵敏度范围相对比较大。从而可以推测Erf具有较快的收敛速度。

2.1.2 实例对比

选择非线性函数f(x)=x/(1+x²)，x∈[0, 10]为实例进行仿真分析。取样间隔为0.1，产生101个样本，其中51个奇数序号样本用于训练，50个偶数序号样本用来检验网络预测能力。对样本进行如下归一化处理：。网络结构采用1-3-1三层结构。误差函数采用误差平方和(sum of squared error, SSE)，设为0.03，学习率lr=0.5，动量因子mc=0.9。试验对Erf-BP与Logsig-logsig在陡度因子λ为0.5和1.0条件下分别做了5次试验。为了确保它们具有相同的初始权值，预先生成5组随机数作为初始权值，取值范围为[-1，1]。仿真结果见表 2，表中的平均训练次数和预测误差平方和为5次试验平均值。

从表 2可以看出：相对于Logsig-logsig而言，Erf-BP算法训练时间短且预测精度也有所提高。

2.2 端元选择

端元选择是进行遥感影像混合像元分解的首要步骤，也是关键的步骤(Lu et al., 2006)。像元内各端元的丰度值由整个像元光谱信息及各端元光谱信息共同确定，因此端元选择结果直接影响混合像元分解的精度。端元的确定存在尺度大小特点，从大的尺度出发，可以分为植被、裸土和水体3种，这3种端元都包含着许多小地类；从小的尺度出发，可以分得更细，提取更多的端元。总的来说，所选取的端元要尽量能够体现影像上所有地类的信息。在前人的研究中，已经提出了许多提取端元的方法(Bateson et al., 1996；Garcia-Haro et al., 1999；Tompkins et al., 1997)。本文采用最小噪声分离变换法(minimum noise fraction transforms, MNF)从MNF 1，2，3三个成分两两组合散点图(图 3)上选取水体、阔叶林、竹林、针叶林、高反射率地物(包括建筑、道路、裸土)和农地(主要体现的是农地上的作物信息；对于未种植作物的农地：旱地体现的是裸土信息，而水田体现的是水体信息)6类端元。

2.3 Erf-BP神经网络分解结果

采用Matlab7.1编程实现Erf-BP算法，对遥感影像进行混合像元分解。网络训练了21 327步达到目标。将验证样本代入训练好的网络中仿真，按(11)式计算每个验证样本绝对误差总和(sum of absolute error, SAE)。图 4为网络训练误差变化曲线及验证样本绝对误差总和。从图 4(右)来看，大部分验证样本精度在90%以上，个别样本误差较大，原因是样本所设丰度值超出训练样本范围。根据训练好的网络对整个研究区影像进行混合像元分解，见图 5。

(11)

式中：SAE_k表示第k个验证样本绝对误差总和；m表示端元总数。

2.4 线性无约束最小二乘法模型分解结果

采用已选取的端元，利用ENVI软件进行线性无约束最小二乘法混合像元分解，不具备端元丰度值大于0和小于1的约束条件。因此，观察其分解结果发现，端元丰度图中存在着较多大于1和小于0的值。通过处理，将大于1及小于0的值分别调整为1和0，分解结果见图 6。

2.5 精度评价与分析

通过目视判读，可以看出Erf-BP神经网络模型在空间位置上有较强的分解效果，如亮暗对比明显。由于从IKONOS卫星影像上难以辨别森林类型，本文将阔叶林、针叶林和竹林合并为森林。利用ArcView GIS3.2软件勾绘出样区内森林、水体、农地及高反射率地物的边界并统计它们面积比例作为真实丰度值与模型分解结果作对比。真实丰度值与模型分解结果散点图及残差图分别见图 7a，b，c和d。

精度评价结果表明：基于Erf-BP模型混合像元分解结果的均方差根为0.108，比线性无约束最小二乘法模型降低了39%(见图 7a和c)。其中对于森林、水体和农地来说，基于Erf-BP模型混合像元分解精度高于线性无约束最小二乘法模型；而高反射率地物，略低于线性无约束最小二乘法模型。

从图 7b和d上可以看出：在端元丰度值小于0.5时，2种模型都出现高估的现象；当端元丰度值大于0.5时，2种模型都出现低估的现象。基于Erf-BP模型混合像元分解结果残差值在-0.3~0.3之间，而基于线性无约束最小二乘法模型的分解结果残差值在-0.5~0.5之间，前者残差值小于后者。因此，本研究提出的基于Erf-BP模型混合像元分解模型在森林遥感信息提取上优于线性无约束最小二乘法混合像元分解模型。

统计Erf-BP混合像元分解模型、线性无约束最小二乘法模型和最大似然法[见图 8(左)]估计的整个研究区各端元面积百分比，并与森林资源二类调查数据作对比分析，对这3种不同方法进行精度评价，结果见表 3。从表 3可以得出：Erf-BP模型在估计整个研究区各端元面积百分比中有较高的精度，其均方差根为4.18%，而线性无约束最小二乘法模型的估计误差最高，均方差根为18.75%。对于阔叶林，3种方法的估计效果都较理想；对于竹林，Erf-BP模型估计相对误差明显低于线性无约束最小二乘法模型和最大似然法，这体现了Erf-BP模型能够很好地分解竹林边缘的混合像元；对于针叶林，Erf-BP模型和线性无约束最小二乘法模型出现高估的现象，相对误差分别达到了92.16%和183.48%，而最大似然法效果较好，相对误差为-31.33%，主要原因是山区受阴影的影响比较严重，使得在阴影面的非针叶林植被反射率下降，接近于针叶林的反射率[见图 8(右)]，从而增加了针叶林面积百分比，而对于最大似然法，通过选取阴影面植被作为训练样本，降低了错分的程度；对于非林地，Erf-BP模型同样具有较好的估计效果，低估的原因主要是Erf-BP模型将建筑小区及道路混合像元中的绿化树分解出来归为林地，而在二类调查数据中城镇中的绿化树归为非林地。

3 结论与讨论

由于BP神经网络具有较强的非线性处理能力，从而可以根据端元之间细微的变化将它们区分开(Pu et al., 2008)，如在本研究中森林和农地的光谱曲线比较相近，Erf-BP神经网络模型的分解效果明显优于线性无约束最小二乘法模型，而对于光谱曲线差别比较大的水体和高反射率地物来说，2个模型的分解精度相对都比较高。同时，与线性无约束最小二乘法模型相比，Erf-BP神经网络输出层激活函数能够将输出结果约束在0到1之间，这个约束条件避免分解结果出现大于1和小于0，在很大程度上提高了分解精度。上述2个原因体现了Erf-BP神经网络模型在混合像元分解应用上优于传统的线性无约束最小二乘法混合像元分解模型。

与最大似然法相比，Erf-BP混合像元模型能够将混合像元中的不同成分分解出来，并计算其面积，使各端元面积的估算结果更加精确；然而，混合像元分解也存在一些问题，如由于分解结果的好坏在很大程度上取决于所选取的端元光谱信息。对于山区而言，受到阴影的影响同种地类光谱信息会出现较大的差异，出现“同物异谱”或“异物同谱”现象，从而给混合像元分解结果带来很大的不确定性。因此，对于混合像元分解，将阴影作为一个端元或者对影像进行地形校正是必要的。而最大似然法等硬分类方法，可以通过选取训练样本，加入海拔、坡向及纹理等辅助信息提高分类精度，但始终无法解决混合像元问题。

本文采用一种新的基于高斯误差函数作为激活函数的BP神经网络对林区TM影像进行混合像元分解，并与线性无约束最小二乘法混合像元分解模型及最大似然法作对比分析。研究表明，本文采用的Erf-BP算法能够较高精度地对TM影像进行混合像元分解。通过在高分辨率影像上选取验证样区从空间上进行精度检验，Erf-BP混合像元分解模型总体分解精度达到89.2%，尤其在森林信息提取上，其RMSE比线性无约束最小二乘法模型降低了40.6%；同时，采用森林资源二类调查数据作为验证数据，比较Erf-BP混合像元分解模型、线性无约束最小二乘法模型和最大似然法在估计整个研究区各端元面积百分比上的精度。结果表明，Erf-BP混合像元分解模型略优于最大似然法，线性无约束最小二乘法模型效果最差。本文为基于混合像元分解提取不同森林类型甚至树种遥感信息提供一种可行的方法，例如安吉具有丰富的竹林资源，本研究将竹林作为端元进行分解并取得较好的效果，这为竹林物理参量如碳储量估算精度提供了保证；同时体现了将人工智能等高新技术应用到遥感领域中有利于推动该学科的发展，使遥感技术在林业、农业、海洋、气象、环境与减灾、水利、国土等领域上发挥更大的作用。