﻿ 自相似河网的降雨-径流响应———一种函数递归迭代算法
 林业科学  2010, Vol. 46 Issue (12): 36-41 PDF
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20101206
0

#### 文章信息

Pei Tiefan, Jin Changjie, Wang Bennan, Liu Jiagang

Rainfall-Runoff Response in Self-Similar River Networks———a Study of a Recursive Replacement Algorithm of Function

Scientia Silvae Sinicae, 2010, 46(12): 36-41.
DOI: 10.11707/j.1001-7488.20101206

### 作者相关文章

1. 中国科学院应用生态研究所 沈阳 110016;
2. 中国科学院系统生态研究中心 北京 100086;
3. 北京林业大学理学院 北京 100083

Rainfall-Runoff Response in Self-Similar River Networks———a Study of a Recursive Replacement Algorithm of Function
Pei Tiefan1, Jin Changjie1, Wang Bennan2, Liu Jiagang3
1. Institute of Applied Ecology, Chinese Academy of Sciences Shenyang 110016;
2. Department of System Ecology, Chinese Academy of Sciences Beijing 100086;
3. School of Science, Beijing Forestry University Beijing 100083
Abstract: An approach was proposed for calculating the rainfall-runoff responses in the fractal geometry, and it was established by using a recursive replacement algorithm of function (RRF) to two types of the strict self-similar river networks (SSN). In order to estimating the hydrologic responses, two sets of recursive equations were developed for two types of the SSNs, T1 and T2, respectively. To verify the RRF algorithm, two groups of data measured in the small catchments of Liaohe river in northeast China were used to examine influences of forests on the runoff of large watershed. According to the simulation of RRF, the favourable influences of forests in the small catchment on the runoff are not only maintained, but also further strengthened by the self-similar river networks.
Key words: recursive algorithm    vespouse function    self-similar    rainfall-runoff response    scale transformation

1 函数递归迭代算法

Horton-Strahler河流分级系统给予最外枝的阶数为0，而给主河道以最高阶(Horton，1945; Strahler，1952)。考虑到河网系统的分级是一个无限过程，本研究分配给主河道的阶数为0，而给最外枝以最高阶。

 (1)

 (2)

AnD分别为n阶小流域面积和Hack (1957)为河网引进的分维。令初始联结的长度L0 = 1，因此A0 = 1，考虑到(1)和(2)式，有

 (3)

 (4)

1.1 T1型河流的函数递归迭代算法 1.1.1 T1型河流的递归迭代

T1型河流的连接被分类为内连接和外连接。内连接是那些联结2个节点的连接，在上河道和下河道的端点各有1个节点。外连接只有1个节点联结下河道的端点(图 1)。外连接被外生成子替代，后者有2个外连接和1个内连接。内连接被内生成子替代，后者有1个外连接和2个内连接。

 图 1 T1型河网外连接、外生成子、内连接和内生成子图式 Figure 1 Sketch of the exterior link, the exterior replacement generator, the interior link and the interior replacement generator in T1 river ○:节点Node; E:外连接Exterior link; I:内连接Interior link.下同The same below.

 图 2 T1型河网递归迭代生成子图式(0 ~ 3级河道) Figure 2 Sketch of the recursive replacement generation for the T1 river (the rivers of order 0-3)
1.1.2 函数递归迭代算法

1) 迭代的起点是初始子，它是0阶外连接(图 3)。同时，相应的操作是将0级径流函数F0(t) =f0 (t)放在公式(5)的左边，这个0阶径流函数正是我们想要的。

 图 3 T1型河网函数递归迭代图示 Figure 3 Schetch of recursive replacement of function for the T1 river networks

2) 迭代的第1步是初始子被外生成子所替代，后者有2个1阶的叶子(叶子形象地表示流域)(图 3)。对应于这2片叶子，2个1阶径流函数2A1f1(t-τ/2)被放到公式(5)的右边，正如公式(5)第1行所显示的。τ为流水经过主河道的全长(L0 = 1)的流动时间。时间延迟(τ/2)是因为从1阶河道出口到主河道出口的距离是(L0/2)。

3) 迭代的第2步是把内连接用内生成子替代，后者有1个2阶的叶子。相应地1个2阶径流函数A2f2(t-τ/4)加到公式(5)的右边，正如公式(5)第2行所显示的。时间延迟是(τ/4)是因为从2阶河道的出口到主河道的出口的距离是(L0/4)。

4) 迭代的第3步是内连接被内生成子所替代，其中每一个都有一个3阶的叶子。相应地3阶径流函数A3[f3(t-τ/8) + f3(t-3τ/8)]也应添加到公式(5)，正如公式(5)的第3行所显示。时间延迟是(τ/8)和(3τ/8)，因为从3阶河道出口到主河道出口的距离分别是(L0/8)和(3L0/8)。其他依次类推。

 (5)

 (6)

 (7)

1.1.3 面积归一化和分数维D

 (8)

 (9)

 (10)

1.2 T2型河流的函数递归迭代算法

T2图 4的生成子定义。由于T1和T2之间的相似性，T2型河流的RRF算法的细节描述与T1很相似。

 图 4 T2型河网外连接、外生成子、内连接和内生成子图式 Figure 4 Sketch of the exterior link, the exterior replacement generator, the interior link and the interior replacement generator in T2 river
1.2.1 T2型河流的递归迭代

1.2.2 函数递归迭代算法

T2型河流的RRF算法的过程:

1) 迭代的起点是初始子，它是0阶外连接(图 5)。同时，相应的操作是0级径流函数F0(t) =f0(t)被放在公式(11)的左边，这个0阶径流函数正是我们想要的。

 图 5 T2型河网函数递归迭代图式(0 ~ 3级河道) Figure 5 Schetch of recursive replacement of function for the T2 river networks (the rivers of order 0-3)

2) 迭代的第1步是初始子被外生成子所替代，后者有3个1阶的叶子。对应于这3片叶子，有3个1阶径流函数A1[2f1(t-τ) + f1(t-τ/2)]被放到公式(11)的右边，正如公式(11)第1行所显示的。时间延迟是(τ)和(τ/2)，因为从1阶河道出口到主河道出口的距离分别是(L0)和(L0/2)。

3) 迭代的第2步是把内连接用内生成子替代，每个内生成子有1个2阶的叶子。相应地2个2阶径流函数A2[f2(t-τ/4) + f2(t-3τ/4)]应该加到公式(11)的右边，正如公式(11)第2行所显示的。时间延迟是(τ/4)和(3τ/4)，因为从2阶河道的出口到主河道的出口的距离分别是(L0/4)和(3L0/4)。

4) 迭代的第3步是内连接被内生成子所替代，其中每个内生成子都有1个3阶的叶子。相应地4个3阶径流函数A3[f3(t-τ/8) + f3(t-3τ/8) +f3(t-5τ/8) + f3(t-7τ/8)]也应添加到公式(11)的右边，正如公式(11)第3行所显示的。时间延迟是(τ/8)，(3τ/8)，(5τ/8)和(7τ/8)，因为从3阶河道出口到主河道出口的距离分别是(L0/8)，(3L0/ 8)，(5L0/8)和(7L0/8)。其他依次类推。

 (11)

1.2.3 面积归一化和分数维D

 (14)

 (15)

 (16)

2 RRF算法应用

 图 6 用T1型河网模拟有林地径流 Figure 6 Runoff on the forest land for T1 river network
 图 7 用T1型河网模拟无林地径流 Figure 7 Runoff on the clear-cut land for T1 river network
 图 8 用T2型河网模拟有林地径流 Figure 8 Runoff on the forest land for T2 river ntwork
 图 9 用T2型河网模拟无林地径流 Figure 9 Runoff on the clear-cut land for T2 river network
3 结论与讨论

 Hack J T. 1957. Studies of longitudinal profiles in virginia and maryland, U. S[J]. Geological Survey Professional Papers. Horton R E. 1945. Erosional development of streams and their drainage basins: hydrophysical approach to quantitative morphlogy[J]. Geological Society of America Bulletin, 56(3): 275-370. DOI:10.1130/0016-7606(1945)56[275:EDOSAT]2.0.CO;2 La Barbara, Rosso R. 1987. Fractal geometry of river networks (abstract)[J]. Eos Transaction of American Geophysical Union, 68(44): 1276. La Barbara, Rosso R. 1989. On the fractal dimention of stream networks[J]. Water Resources Research, 25(4): 735-741. DOI:10.1029/WR025i004p00735 Mandelbrot B B. 1977. Fractals: form, chance, and dimension[M]. New York: Freeman. Mandelbrot B B. 1977. Fractals: form, chance, and dimension[M]. New York: Freeman. Nikora V I. 1988. Fractal properties of some hydrological objects (in Russion)[J]. Academy of Science of Moldavian SSR, Kishinev. Schuller D J, Rao A R, Jeong G D. 2001. Fractal characteristics of danse stream networks[J]. Journal of Hydrology, 343: 1-16. Strahler A N. 1952. Hypsometric (area-altitude) analysis of erosional topography[J]. Geological Society of America Bulletin, 63: 1117-1142. DOI:10.1130/0016-7606(1952)63[1117:HAAOET]2.0.CO;2 Tarboton D G, Bras R L, Rodriguez-Iterbe I. 1988. The fractal nature of river networks[J]. Water Resources Research, 24(8): 1317-1322. DOI:10.1029/WR024i008p01317 Wang P J, Wang R Y. 2002. A generalized width function of fractal river network for the calculation of hydrologic responses[J]. Fractal, 10(2): 157-171. DOI:10.1142/S0218348X02001038 Zavoianu I. 1985. Morphometry of Drainage Basins[M]. New York: Elsevier Science.