木工带锯机是木材加工行业中应用最广的设备。带锯条的受力极其复杂，锯解作业时极易产生横向抖动或晃动，当干扰频率与固有频率发生耦合时，将导致共振现象，严重影响锯解质量，易损坏锯条(Mote，1984; 1990; Yang et al., 1991)。带锯条的张紧力是带锯机设计与制造的重要参数(Mote，1990)。为保证锯材质量，提高锯切效率，有效措施之一就是提高带锯条张紧力。因此，研究带锯条振动特性尤为重要。Mote等国外学者对带锯条振动作了许多工作，国内研究相对较少，主要难点体现在支座的简化、作用力的假设和转动的影响等方面(马岩，1998)。

本文将带锯条的振动简化为弦的振动，应用振动理论(清华大学工程力学系，1980; 季文美等，1985; 梁昆淼，1995)和行波解，对带锯条的动态力学特性进行研究。

1 行波机理 1.1 弦振动的行波机理

设弦的长度为l、横截面积为A、密度为ρ、张力为T，弦的振动微分方程(清华大学工程力学系，1980; 莫尔斯等，1984; 徐兀，1987; 杜功焕等，2001) :

(1)

称波动方程，式称波速。

它是一个二阶偏微分方程，该方程的解可以写成下列形式:

(2)

F₁ (at-x)与F₂ (at + x)分别为任意函数(莫尔斯等，1984)。

函数F₁ (at-x)的物理意义:设y₁ = F₁ (at-x)，当t = 0时，y₁ = F₁ (-x)。

如果观察的位置为x = x₀，那么y₁ =F₁ (-x₀)，如图 1 a所示，经过t = t₁的时间，弦的位移就变成了y₁ = F₁ (at₁-x₁); 如果观察的位置在x₁处，将观察到和原来(t = 0，x = x₀)的状态一样，F₁ (at₁-x₁) = F₁ (-x₀)，如图 1b所示。这时应该满足at₁-x₁ =-x₀，它表示经过 t = t₁的时间，波形沿x正方向移动到了x₁点，其移动速度为a。F₁ (at-x)称波函数，它表示以波速a向x正方向传播的波动过程。如果t₁正好是弦的振动周期，即t₁ =T，那么x₁与x₀相隔的距离就是一个波长λ = aT。

函数F₂ (at + x)代表的是一种以传播速度a向负x方向传播的波动过程。

若弦的两端固定，弦的长度为l，其边界条件为:

代入式(2)，可得:

(3)

(4)

由式(3)可推知:

(5)

将式(5)代入式(4)，可得:

作变量代换，令z = at-l，则式(5)可改为:

(6)

式(6)表示函数F₁是以2l为空间周期的周期函数。

由于弦的两端固定，F₁ (at + x)为左行波，它由右向左行进，遇到左端点，行波将要反射回来，于是，行波将由左向右行进，遇到右端点行波又将反射回来，改向左行进，波行进的空间周期为2l(纪多辄，2003; 马大遒等，2006)，如图 2所示。

有界弦的2个行波F₁ (at-x)和F₂ (at + x)迭加，将会形成驻波，如图 3所示，振动固有频率公式:

(7)

1.2 带锯条振动的行波机理

把张紧的带锯条的振动看成为受拉伸弦的振动，借助经典的弦振动理论研究带锯条的振动，再考虑带锯条的转速和惯性力对频率的影响。

图 4中，a为带锯条行波的波速(m·s^-1); v为带锯条的运行线速度(m·s^-1)。

静止时，带锯条固有频率公式为:

当n = 1时，称基频。

当带锯条运动时，驻波将随带锯条运动而运动，这样锯条就会出现抖动或晃动现象，见图 5。

静止不动的带锯条的横向振动频率同弦振动的固有频率的计算公式一样，即

当带锯条转动时，行波与转动的方向一致称前行波; 行波与转动方向相反称后行波。

行波沿着带锯条传播的时间将是:

1) 前行波

2) 后行波

式中: t₁，t₂表示完成空间周期2l、前行波和后行波所需要的时间。

振动的周期为:

行波基频为:

式中:，T表示运动带锯条的张力，v =2πRω表示带锯条线速度。

对于n阶谐波，频率方程式为:

(8)

2 带锯条动力学计算模型

1) 张力T = T₀时

带锯轮静止时，锯条张紧力(初拉力)为T₀，如图 6a所示。

带锯条振动频率计算公式为:

当n = 1时，

(9)

称基频。

2) 张力T = T₀ ± ΔT/2时

ΔT为锯条转动引起的松紧边张力差。转动时，锯条两边的张力不再相等，T₁为紧边张力，T₂为松边张力，张力差ΔT = T₁-T₂，如图 6b所示。

紧边波速:

(10)

松边波速:

(11)

基频为:

(12)

3) 张力T = T₀ ± ΔT/2 + Q_n时

Q_n为带锯条离心作用所引起的惯性力。

图 7中: D为锯轮直径(m); R为锯轮半径(m); ω为锯轮角速度(rad·s^-1); ρ为锯条密度(kg·m^-3); dm为单元质量(kg); dα为单元角度(rad); q_n为单位长度上的惯性力(N·m^-1); A为锯条横截面积(m²); Q_n为惯性力(N)。

离心力(惯性力)对张紧力的贡献:

紧边波速:

(13)

松边波速:

(14)

基频为:

(15)

3 动频的理论计算

1) 张力T = T₀时

在静止时，实测锯条预紧力T₀ = 3 412 N。

固有频率计算公式为:

本试验根据随机振动理论(戴诗亮，1984)，采用橡胶锤激振带锯条，应用频谱分析法测量带锯条系统的固有频率，其主要仪器包括南京安正CRAS振动及动态信号采集分析系统、CA-YD-185压电式内置IC加速度计等(王正等，2008a; 2008b)。静止时，带锯条系统前6阶固有频率理论解见表 1。

2) 张力T = T₀ ± ΔT/2时

驱动带锯轮扭矩M_e的计算式为:

(16)

由式(16)得:

(17)

将T₀ = 3 412 N，P = 7.5 kW和锯轮转速n =970 r·min^-1代入ΔT公式计算如下:

紧边波速:

松边波速:

根据基频公式:，得

紧边基频:

松边基频:

张力T = T₀ ± ΔT/2时，带锯条系统前6阶动频率理论解见表 2。

3) 张力T = T₀ ± Δ T/2 + Q_n时

惯性力Q_n的计算。

锯条的线密度:

惯性力:

张紧力(初拉力) T₀ = 3 412 N时，

紧边波速:

松边波速:

紧边频率:

松边频率:

张力T = T₀ ± ΔT/2 + Q_n时，带锯条系统空载时的前6阶动频率理论解见表 3。

4 讨论

1) 紧边固有频率的理论值为(f_T)₁ = 21.8 Hz、松边固有频率的理论值为(f_T)₂ = 21.0 Hz，而应用频谱分析得出的(f_R)₁ = 24.9 Hz、(f_R)₂ = 21.6Hz，两者比较一致(表 3)。说明用行波理论研究和分析带锯机转动时的固有频率特性是完全可行的，精度也相当满意。

2) 带锯条动频不仅与张紧力有关，而且与锯条的线速度有关。理论分析(表 3)表明; 考虑线速度影响时，紧松边的基频均小于不考虑转速v的频率。带锯机转动时的实测结果也验证其理论分析，由于动频率变小，相当于转动的带锯条的张紧力降低，俗称“松”了，因而产生晃动或抖动现象; 同时由于带锯条转动，带动弦驻波向前运动，弦除上下振动而且还向前运动，形成蛇形运动，这种蛇形运动也使带锯条出现晃动或抖动现象。

3) 计算松紧边拉力差时，本研究用的是全功率，而空载时，消耗的功率小于全功率，即使按全功率计算，ΔT/2 = 106 N，仅占张力的3% (106/3 412 = 3.1%)，，因而频率误差约占1.5%，作为问题的研究和工程应用是完全可以接受的。

4) 木工带锯条断面呈狭长的矩形截面，因此会产生扭转振动，同时在进给力的作用下，会出现失稳现象。带锯条的失稳和扭转振动有待进一步进行理论研究和试验验证。