树高和胸径是森林调查中重要的测量因子，常用来计算材积、立地指数和其他与森林生长和收获、演替和碳汇相关的重要变量(Dorado et al., 2006)。树木胸径可以快速、方便且准确的测量，而树高的测量费时费力。在森林调查时，常常只测量部分树木的树高，缺失的树高则通过不同树种的树高曲线来预测(Sánchez-González et al., 2007)。在一些知名的生长模拟系统如Prognosis中，缺失的树高也是通过树高曲线来计算的。树高曲线可用来预测树木材积，确定林分中树木的位置，计算优势木高和立地指数，最终用于描述林分生长动态和演替(Temesgen et al., 2004)。

普通的树高曲线，仅以胸径为自变量，不适用于各种不同类型的林分，因此需要为每个林分建立不同的模型; 而标准树高曲线，以胸径和树木及林分因子为自变量，可以用于更广的区域(Adame et al., 2008)。国内已经有许多关于杨树(Populus nigra)、杉木(Cunninghamia lanceolata)、思茅松(Pinus kesiya var. langbianensis)、马尾松(Pinus massoniana)等标准树高曲线的研究(孙圆等，2005; 王明亮等，1997; 丁贵杰，1997; 胥辉等，2000)，但尚未见有长白山主要针叶树种云杉(Picea koraiensis)、冷杉(Abies holophylla)和红松(Pinus koraiensis)标准树高曲线的研究报道。本文以吉林省汪清林业局的主要树种冷杉、云杉和红松标准木为对象，通过对以往研究中精度较高的非线性标准树高曲线的拟合和求解，建立合适的冷杉、云杉和红松的树高预测模型。

1 研究区概况

吉林省汪清林业局的金沟岭林场，130°10′E，43°22′N。森林是以云冷杉、红松为主的天然针阔叶混交过伐林。主要树种有:云杉、冷杉、红松、枫桦(Betula costata)、椴树(Tilia amurensis)等，其他树种有:色木槭(Acer mono)、水曲柳(Fraxinus mandschurica)、胡桃楸(Juglans mandshurica)、黄菠萝(Phellodendron amurense)、白桦(Betula platyphylla)、青楷槭(Acer tegmentosum)、花楷槭(Acer ukurunduense)等。

2 数据与方法 2.1 数据

数据来源于吉林省汪清林业局金沟岭林场的8个0.25 hm²的皆伐标准地。8个皆伐样地林型基本一致，外业测量记录了每棵树木的树种、胸径和树高。计算各样地的平方平均直径，同时选取各样地中最高的5株树求树高平均值，得出各样地的林分优势高。本文所用的冷杉、云杉和红松数据分别有465，423和251组，树木年龄平均60~75年。主要针叶树种冷杉、云杉和红松的树高分布范围分别为5.0~25. 1，4.4~26.5和4.8~26.2 m，标准偏差分别为4.64，5. 34和4. 32 m。冷杉、云杉和红松的胸径分布范围分别为6.0~45.9，5.9~45.5和5.8~49.2 cm，标准偏差分别为9.57，9.82和10.78 cm。

2.2 方法

本文所选标准树高曲线模型如下。

(1)

(王明亮等，1997);

(2)

(胥辉等，2000)

(3)

(Temesgen et al., 2004);

(4)

(Temesgen et al., 2004);

(5)

(Temesgen et al., 2004);

(6)

(Temesgen et al., 2004);

(7)

(Temesgen et al., 2004);

(8)

(Adame et al., 2008);

(9)

(Sharma et al., 2007);

(10)

(Dorado et al., 2006)。

式中: H为树高，D为胸径，H₀为优势高，D₀为优势胸径，D_q为平均胸径，SPH为林分中树木株数，BA为林分断面积，BAL为大树断面积[BAL为大于对象木胸径的所有竞争木的断面积之和，更多内容参考赵俊卉等(2009a; 2009b) ]，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇是与树种有关的参数。

本文选取各样地中树高和胸径最大的5株树求其平均值，计算优势高和优势胸径。使用SAS中的PROC NLIN计算各标准树高曲线模型的参数和预测值，然后用PROC GLM计算决定系数R²和均方根差RMSE。R²较高，RMSE较小，且模型参数相对较少的模型作为最优的标准树高曲线模型。

R²和RMSE的计算公式如下:

(11)

(12)

式中: H_i为树高实测值，为树高预测值，为树高平均值，n为建模所用树木的株数，p为模型的参数个数。

3 结果与讨论

使用PROC NLIN对冷杉、云杉和红松3个树种分别用上述10种模型进行求解，并用PROC GLM计算得到各模型的误差检验值，见表 1。

从表 1可以看出:上述标准树高曲线中，除模型(4)，(6)和(10)以外，其余均有较高的精度。冷杉精度最高的模型为方程(3)，R²和RMSE分别为0.917 7和1.337 8m;方程(9)的R²较方程(3)的低0.000 1，RMSE较方程(3)高0.000 4 m。由于方程(3)的输入变量除胸径以外，还需要大树断面积BAL、林分株数TPH和断面积BA 3个变量，此外方程中有6个待求参数，而方程(9)的输入变量除胸径以外，同样需3个变量，分别为优势高SHT、林分株数SPH和断面积BA，但方程中的待求参数为5个，较方程(3)少一个。因此，根据精度较高且模型参数相对少的原则，本文将方程(9)作为冷杉的最优标准树高曲线。而云杉和红松精度最高的模型也为方程(9)，云杉的R²和RMSE分别为0. 913 1和1.594 5 m，冷杉的R²和RMSE分别为0. 873 4和1.541 9 m。由此可见，方程(9)对上述3个树种均有较好的拟合精度，可以看作是这3个树种的最优标准树高曲线。使用方程(9)拟合冷杉、云杉和红松的参数见表 2，残差图见图 1。

由图 1可以看出:冷杉、云杉和红松的残差在各径阶范围内基本一致，表明本文所建立的最优标准树高曲线合理，适合用于拟合这3个树种的树高。

普通树高曲线的最优研究表明:冷杉、云杉和红松的普通最优树高曲线的R²分别为0.889，0.876和0.828，RMSE分别为1.472，1.774和1.665 m(赵俊卉，2009a)，最优标准树高曲线的R2较之增加了0.029~0.045，而RMSE较之减小了0.123~0.180 m。显然，林分变量的增加在一定程度上提高了模型的精度。理论上讲，本文所建立的标准树高曲线与普通的树高曲线相比，有更广泛的使用范围，但由于数据的限制，还有待于进一步研究。

4 结论

树高曲线是林分生长与收获预估的基本模型，是反映立地条件、反演复杂模型的基础，获得高精度的树高曲线有重要的研究意义。标准树高曲线，以胸径和树木及林分因子为自变量，可以用于更广的区域。本文使用吉林省汪清林业局金沟岭林场的465株冷杉、423株云杉和251株红松标准木数据，分别选用10种标准树高曲线，对模型参数进行求解，并用决定系数R²和均方根差RMSE进行误差分析。结果表明，以Richards模型为基础的方程(9) 能较好地模拟当地主要针叶树种的树高与胸径的关系。此外，本文对比了最优标准树高曲线与普通最优树高曲线的精度，研究发现，增加了林分变量的最优标准树高曲线在一定程度上提高了模型的精度。