林业科学  2007, Vol. 43 Issue (3): 8-14   PDF    
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刘蕾, 刘家冈.
Liu Lei, Liu Jiagang.
非均匀林冠降雨截留模型
A Model of Rainfall Interception by Inhomogeneous Forest Canopy
林业科学, 2007, 43(3): 8-14.
Scientia Silvae Sinicae, 2007, 43(3): 8-14.

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收稿日期:2006-08-07

作者相关文章

刘蕾
刘家冈

非均匀林冠降雨截留模型
刘蕾1, 刘家冈2     
1. 北京林业大学资源与环境学院 北京 100083;
2. 北京林业大学理学院 北京 100083
摘要: 考虑由彼此间有间距的树冠组成的非均匀林冠内的降雨截留过程,将以前的林冠截留理论模型从水平均匀随机分布林冠推广到非均匀林冠,导出相应的偏微分方程和截留量的计算公式,并以实例运行该模型,以揭示非均匀林冠在降雨截留过程中的一些细节特征。
关键词:非均匀林冠    郁闭度    降雨截留    理论模型    
A Model of Rainfall Interception by Inhomogeneous Forest Canopy
Liu Lei1, Liu Jiagang2     
1. College of Natural Resources and Environment, Beijing Forestry University Beijing 100083;
2. School of Science, Beijing Forestry University Beijing 100083
Abstract: The process of rainfall interception by inhomogeneous forest canopy composed of tree crowns with some gaps among them has been considered, and the previous theoretical model of rainfall interception has been generalized from statistically homogeneous canopy to inhomogeneous canopy as well. Both the relevant partial differential equations and a formula to estimate rainfall interception were derived. Moreover, the new model is illustrated with typical values of some ecological factors, and some specific characteristics of interception process were shown.
Key words: inhomogeneous canopy    closing degree    rainfall interception    theoretical model    

林冠对降雨的截留,包括林冠组分(枝、叶、果等)对雨水的阻截、溅射、吸附和蒸发,对水分的再分配和雨滴动能的减缓有显著作用。它是森林生态学的一个重要组成部分,同时涉及到森林气象学、森林水文学和水土保持等方面,成为学者们历久不衰的研究课题。自从Horton(1919)提出最简单的线性林冠降雨截留模型以来,林冠降雨截留模型获得了巨大的进展。这些模型大致可分为经验模型(或称数学模型)(Marriam, 1960; Czarnowski et al., 1968; Aston, 1979; Massman, 1980)、理论模型和半理论模型(Rutter et al., 1971; 1975; 1977; Gash, 1979; Massman, 1983; 刘家冈,1987Liu Jiagang, 1988; 刘曙光, 1992Liu Shuguang,1997崔启武等,1980刘家冈等,2000王彦辉,1986)3类。这些模型发展层次不同,类型的细节也不尽相同,各有优缺点。其中Liu Jiagang(1988)的模型吸收借鉴了植被辐射传播理论中的方法,是一个更为细致描述林冠对降雨截留过程的理论模型;但是,该模型是以水平均匀随机分布林冠为描述对象的。实际上,林冠的枝叶分布多数都是不均匀的,建立非均匀林冠对降雨截留的理论模型,是理论发展的必然需求。

本文考虑了由彼此间有间距的树冠构成的非均匀林冠的降雨截留过程,将树冠内的降雨截留和树冠之间空隙的降雨过程分别考虑,然后得到林冠的平均截留,设定了非均匀林冠的郁闭度,导出了相应的偏微分方程,并给出了微分方程的数值计算方法,用一些典型参数值来演示这个新模型,最后与实测数据做了对比。

1 偏微分方程的推导

Liu Jiagang(1988)的模型由2个分别决定林冠内降雨强度R和枝叶干燥度D的偏微分方程(1)和(2),以及雨强的边界条件(3)、干燥度的初始条件(4)构成。即

(1)
(2)
(3)
(4)

其中林冠内一点的深度用坐标z表示,z轴是垂直向下的,原点(z=0)在林冠顶部,冠层的底部z=HH是冠层的厚度,t是时间;U是林冠的平均叶面积密度;G是叶面积的平均垂直投影率;α是叶面对水的吸附率;V是枝叶蒸发率。文中,上述方程组还可以表成另一种形式。如果用叶面积指数

(5)

代替林冠深度z(当z=H时,L=LM),而用降雨量

(6)

代替时间t,则这个方程组也可写成

(7)
(8)

式中相对降雨强度为

(9)

如前所述,该模型仅适用于水平均匀随机分布林冠的情况,对于实际常见的非均匀林冠需要加以推广。作为初步近似,假定非均匀林冠由柱形树冠组成,树冠间有空隙,郁闭度为E,0<E ≤1(郁闭度指样方内所有树冠对地面的垂直投影面积之和与样方总面积之比);而每一个树冠中的枝叶均匀随机分布(图 1)。

图 1 由树冠构成的非均匀林冠(郁闭度0<E≤1) Fig. 1 Inhomogeneous forest canopy composed of tree crowns(0 < closing degree≤1)

R0表示林冠上方的降雨强度,也是树冠之间空隙内的降雨强度;RC表示树冠内的降雨强度。林冠内的平均降雨强度是由树冠内的降雨强度和树冠之间空隙内降雨强度平均而成,因此平均降雨强度为

(10)

式中ERC(LP)代表树冠内雨强的贡献,(1-E)R0(P)代表树冠之间雨强的贡献。

u代表树冠内的叶面积密度, U表示林冠的平均叶面积密度,显然

(11)

于是由式(5)、(6),可知树冠内的叶面积指数比平均叶面积指数差一个因子E

(12)

因为已假设在每一个树冠中枝叶是均匀随机分布的,因此可以在树冠内使用式(7) ~(9),再考虑到式(12),对树冠内的各参数,有

(13)
(14)

其中林冠内的相对降雨强度为

(15)

而初始条件和边界条件是式(16)和(17)

(16)
(17)

根据Liu Jiagang(1988)公式(18)和本文公式(10),可以得到截留量

(18)
2 典型数据演示与计算方法

下面用一组典型数据(董世仁等,1987罗天祥等,1999)来演示这个模型。

令最大叶面积指数LM=6;叶面积的平均垂直投影率G=0.5,是常数;叶面对水的吸附率α=2.0×10-4m,也是常数;E=1、0.7;V=0、0.18mm·h-1;设边界条件 R(0,P)= R0=2.03×10-3 m·h-1是常数,即均匀降雨;初始条件D(L,0)=D0=1,表示降雨之前林冠是完全干燥的。

显然,偏微分方程组(13)和(14)是没有解析解的,必须用数值解法。

为此,首先要将林冠和各变量离散化,将林冠在垂直方向分为N个水层;再设时间步数为M步。于是,Rrc(L, P)和D(LP)可分别视为两个2维数组Rrc(NM)和D(NM)。计算时,要将微分方程(13)和(14)视为差分方程。具体计算步骤如下:第一步:利用初始条件D(k,0)和方程(13)求Rrc(k,0),其中k=0,1,2,…,N;第二步:有了Rrc(k,0)再利用方程(14)求D(k,1);并利用方程(13)求Rrc(k,1);第三步:有了Rrc(k,1)再利用方程(14)求D(k,2);并利用方程(13)求Rrc(k,2);如此等等,循环计算,直到L走到第M步,就可把全部Rrc(LP)过程和D(LP)过程求出。

有了Rrc(LP),由方程(18)可以直接求出截留量I(P)。计算结果见图 234。在图 2a中,郁闭度E=1,相当于均匀随机分布的林冠(Liu Jiagang,1988)。在P= 0时,因为D(L,0)=1,根据式(13),做分离变量后积分,可知,对应的R(P)-L曲线(以下称其为“等时线”,即在某一时刻雨强R和叶面积指数L的关系曲线。对于不同时刻,这个曲线是不同的。)应该是一个随L作指数衰减的函数;随着时间推移,林冠逐渐变湿,林冠中雨强也逐渐变强,R(P)-L曲线也由指数衰减曲线逐渐变为反S形曲线;直到P→∞,林冠完全变湿,林冠中雨强也完全等于R0了。

图 2 林冠内雨强比初始雨强随叶面积指数和降雨量的动态变化 Fig. 2 Dynamic changes of rainfall rate in the canopy ratio the original rainfall rate vs leaf area index and precipitation a: V =0,E =1;b: V=0,E =0.7;c: V =0.18 mm·h-1E=0.7。下同。The same below.
图 3 干燥度随叶面积指数和降雨量的动态变化 Fig. 3 Dynamic changes of dryness degree vs leaf area index and precipitation
图 4 总截留量随最大叶面积指数和降雨量的动态变化 Fig. 4 Dynamic changes of interception vs leaf area index and precipitation

图 2b中,郁闭度E=0.7,树冠内部和树冠之间间隙的降雨情况出现了不同。在P=0时刻因为D(L,0)=1,树冠内部的雨强还是呈现指数衰减趋势,但树冠之间的雨强永远保持 R0。于是P=0时的平均雨强(按式(10)计算)在林冠下部(特别是L较大处)被抬高到R>(1-E)R0=0.3R0。随着时间推移,树冠逐渐变湿,直到P→∞,林冠完全变湿,林冠中雨强也完全等于R0。此外还有一个重要区别,图 2b的等时线要比图 2a的等时线更加密集。这是因为E=0.7时,树冠的最大叶面积指数LM要比林冠平均最大叶面积指数要大一些(根据式(12)),树冠内枝叶变湿的过程要比均匀林冠的变湿过程慢一些。

图 2c中,郁闭度E=0.7,而叶面蒸发率V =0.18 mm·h-1。可以看到,由于与图 2b情况相同的原因,当P =0时,平均雨强仍然是在林冠下部(特别是L较大处)被抬高到R>(1-E)R0=0.3 R0。随着时间推移,林冠内雨强也逐渐变大。但有趣的是,林冠中雨强并不完全等于R0。虽然林冠顶部(L=0处)的雨强仍然是R0,但在林冠内部,随着叶面积指数L的增加,雨强呈线性的下降趋势,这完全是叶面蒸发的缘故。随着叶面积指数增加,被叶面蒸发的水分越来越多,雨强也就越来越小了。

图 3a中,郁闭度E=1,相当于均匀随机分布的林冠(Liu Jiagang,1988)。在P=0时,假定的初条件D(L,0)=1,是一条水平直线。随着时间推移,林冠逐渐变湿,特别是林冠上部(对应L比较小的部位)首先变湿,D(P)-L曲线逐渐下降。直到P→∞,林冠完全变湿,林冠的干燥度为0。

图 3b中,郁闭度E=0.7。开始时,P=0,假定的初始条件D(L,0)=1,是一条水平直线。随着时间推移,树冠逐渐变湿,直到P→∞,林冠完全变湿,林冠中雨强等于R0。这种情况与图 3a相似。但有一个重要区别,图 3b的等时线要比图 3a更加密集一些。这是因为树冠内的最大叶面积指数要比林冠平均最大叶面积指数要大一些(根据式(12)),树冠内枝叶变湿的过程要比均匀林冠的变湿过程慢一些。

图 3c中,郁闭度E=0.7,而叶面蒸发率V =0.18 mm·h-1。可以看到,由于与图 3b相同的原因,图 3c的等时线也比图 3a更加密集一些,即变湿的过程也比图 3a慢。但是当P→ ∞时,林冠干燥度D并不为0,而是一个正值,其大小由降雨强度和蒸发率决定。这完全是因为叶面蒸发的缘故。

图 4a中,郁闭度E=1,相当于均匀随机分布的林冠(Liu Jiagang,1988)(本文饱和截留量是表示绝对数值,而图 3中是以最大截留量为基准表示的相对值)。我们看到,饱和截留量与最大叶面积指数LM成正比。这是因为最大叶面积指数越大,吸附的水分就越多。另外,我们也看到,林冠最大叶面积指数LM越大,林冠截留量达到饱和的时间就越长。这是不难理解的,因为林冠最大叶面积指数LM越大,下边的枝叶就越难以被淋湿,就越需要更多的时间来达到饱和。

图 4b中,郁闭度E=0.7,与图 4a相比,虽然郁闭度不同,但相同的平均最大叶面积指数LM对应的饱和截留量是相同的。这是因为相同的平均最大叶面积指数LM对应的总叶面积是相同的。最大叶面积指数LM越大,林冠截留量达到饱和的时间就越长,而且比图 4a中相同厚度的林冠的截留量到达饱和的时间更晚。这是因为在E=0.7时,根据式(12),树冠内的最大叶面积指数LM大于林冠平均最大叶面积指数(或者说大于E=1时的最大叶面积指数LM),因此较密的树冠被淋湿的饱和过程显然要比较稀的树冠慢。在P→0的极限时刻,所有林冠最大叶面积指数LM对应的截留量曲线斜率的斜率要小于图 4a中相应的斜率。这是因为,E=0.7时,树冠内的最大叶面积指数LM大于平均最大叶面积指数,较密的树冠被淋湿的过程显然要比E=1时相对稀疏的树冠慢,即使是在P→0的极限时刻。

图 4c中,郁闭度E=0.7,叶面蒸发率V=0.18mm·h-1。从图中看到,由于蒸发的存在,I(LM)~P曲线随着时间不断上升,且不能达到饱和(即不存在一个最大值),而是趋向一条有一定斜率的直线。随着我们取的林冠最大叶面积指数LM的增大,此斜率也越大。这是因为,除了枝叶面积吸附水分之外,水分的蒸发也对截留量有贡献。前者的贡献是有限的,而后者的贡献随着时间的推移呈线性增加。因为林冠最大叶面积指数LM越大,总叶面积越大,蒸发速率越大,斜率就越大。最后,在P→0的极限时刻,所有林冠最大叶面积指数LM对应的截留量曲线的斜率要小于图 4a中的对应斜率,因为E=0.7时树冠内的最大叶面积指数LM大于林冠平均最大叶面积指数。较密的树冠被淋湿的过程显然要比较稀的树冠慢,但等于图 4b的斜率。因为,虽然此时有蒸发,但在P→0的极限时刻,被淋湿的枝叶面积几乎为零,蒸发引起的附加截留就可以忽略不计,所以二者相同。

3 与实测数据的对比

董世仁等(1986)发表了他们在河北隆化油松林的实测数据,包括透流率、透流量、截留率和截留量。采用他们的参数(表 1),用本文模型计算,可以得到与之相近的结果(图 5)。

表 1 计算总截留量、总截留率、总透流量和总透流率的参数 Tab.1 Parameters used to calculate interception, interception rate, throughfall and throughfall rate
图 5 模型模拟曲线与根据实测数据得到的拟合曲线(E为郁闭度) Fig. 5 Interception, interception rate, throughfall and throughfall rate calculated by the model derived in the thesis and by Dong Shiren et al. (1987) (E means closing degree)

根据上面的讨论,可以从定义出发得到林冠透流、截留各有关公式。显然林冠透流率可写为林冠下面雨强与林冠上方雨强之比

(19)

林冠透流量则为

(20)

林冠截留率可表示为1减透流率

(21)

根据截留率(21)式,截留量可写为

(22)

图 5中看出,新模型的计算结果与董世仁等(1987)的数据范围大体相当,但有一些不同特征,这是由于采用了不同模型的缘故。本文认为新模型的曲线更为合理一些。例如总截留量曲线,当林冠达到饱和之后,附加截留就应该是线性增加,而不是指数形式的增加;又如,当P→0,总截留率应该等于E[1-exp(-GD0LM)],而不是负无穷;当P→0,总透流率应该是1-E+Eexp(-GD0LM),而不是0。

4 结论与讨论

历史上有许多林冠截留公式,但其都是整体模型,即参数都代表林冠整体(Horton,1919;Merriam,1960;Aston,1979崔启武等,1980王彦辉,1986Calder et al.,1979Calder,1977Liu Shuguang,1997)。它们在不同程度上反映了具体情况下的截留过程,Liu Shuguang(1997)的模型包含了其他几个模型,后者是前者在特殊情况下的表现形式。本文则属于多层模型,是不同的模型类别,无法将上述整体模型从形式上归纳进来。但计算结果,特别是图 4,包含了上述模型的行为,而且给出了截留量与各生态因子关系的更为细致的描述。本文将均匀随机林冠中的降雨截留模型推广到非均匀林冠中,但仍有不足:一是我们仍旧设定树冠内部枝叶是均匀随机分布的,但这只是实际情况的近似;其次,除了树冠之间的间隙可导致不均匀之外,还有其他因素导致林冠的非均匀性。这是今后继续要研究的课题。尽管如此,由彼此间有间隙的树冠组成的非均匀林冠,在许多情况下仍旧是一个不错的近似,也是进一步修正的基础。

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