应力波作为一种无损检测方法, 由于其不受被测木材形状和尺寸的限制和影响, 不损坏被测木材, 正传感器和被测木材之间不用任何耦合剂, 从20世纪60年代开始, 已经在木材工业领域(如木材缺陷的判断、木材力学性质的检测等方面)得到了广泛的应用(杨学春等, 2002)。如美国、日本、台湾等国家和地区的研究人员, 用应力波计时器(stress wave timer)等设备对木材的力学性质(弹性模量)、木材的缺陷检测进行了研究, 用应力波测试仪器测得应力波传播时间和速度来计算木材试件的弹性模量(Robert et al., 1996; 1997a; 2001; 2003; Wang et al., 2001; 名波直道等, 1992; 陈载永等, 1995; 1996; 1997; 王志同等, 1995), 或者通过应力波传播时间的变化来判断木材的内部缺陷(Robert et al., 1994; 1997b; 1999; Kristin et al., 1995; 1996; Koichi et al., 1998; 孟瑞华等, 2000; Lee et al., 2003)。

由于原木的性质比较复杂, 又属于非均匀物体, 同一原木的不同部位、不同方向的物理性质也不相同, 应力波传播机理也不尽相同。本文研究应力波在原木中的传播理论将分为3个部分, 即沿原木轴向、径向和弦向的应力波传播理论。对原木3个方向的应力波理论推导过程中, 都假设原木整体处于静止状态, 不考虑其受到外界的阻力影响, 只考虑在应力波传播路径上微小单元的运动及其力学分析。

1 原木轴向的应力波传播理论

应力波在原木轴向传播过程中, 假设: 1)原木轴向密度分布均匀, 密度为常量; 2)微小单元运动过程中, 木材中每个横截面始终保持平面, 即截面上应力分布均匀, 且在截面上的每一个点都向x方向运动; 3)微小单元的变形属弹性变形, 即应力与应变完全符合虎克定律; 4)微小单元沿横向变形忽略不计, 即微小单元沿轴向收缩或伸长。这样可以将原木试件简化成等截面均匀弹性杆。设原木长为L, 应力波在原木中的传播时间为t, 沿轴向各截面的应力、应变、位移和速度均是时间t和坐标x的函数, 并且不同截面的应力、应变、位移和速度各不相同。如果将原木试件水平放置, 则微小单元的力学分析如图 1所示。

图 1中, A截面的受力:P_A=σS; B截面的受力: ; 粘滞阻力。根据牛顿第二定律, 有

又

根据虎克定律, , 进一步化简得:

(1)

式中:ρ为微小单元密度; ε为应变; S为微小单元截面积; E为微小单元弹性模量; u为微小单元位移; μ为粘滞阻力系数; v为微小单元运动速度。

令只与木材的本身属性有关。对于均匀杆件, c为应力波波速(王志同等, 1995; 王礼立, 1985)。

如果将原木试件垂直放置, 且垂直敲击, 则微小单元还受到其自身重力G的作用, 如图 2所示。G=ρSgdx。

则  

即  

由于原木试件开始受到小锤的敲击, 设敲击力为F₀, 则微小单元运动的初始条件一为:σ(x, 0)=F₀/S。

根据动量守恒定律, m×v(x, 0)=F₀×T₀, 得微小单元运动的初始条件二为:

(2)

式中:v(x, 0)为初始速度; T₀为小锤与原木试件作用时间。从公式(2)中可以看出v(x, 0)为时间T₀的函数。

又由于原木试件的两端为自由端, 在原木试件两端的应变为0, 则微小单元运动的边界条件为:

1.1 水平方向应力波传播理论

令的分离变量形式为:u(x, t)=X(x)T(t)。X(x)仅为x的函数, T(t)仅为t的函数。经过推导得位移方程¹⁾

1) 杨学春.2004.基于应力波原木内部腐朽检测理论及试验的研究.东北林业大学博士学位论文

相应地, 速度方程、应变方程和应力方程分别为:

根据初始条件和傅立叶级数原理, 得

如果F₀和T₀不是关于x的函数, 则可得:D_n=0。而

1) 如果F₀和T₀不是关于x的函数, 得位移方程、速度方程、应变方程和应力方程分别为:

式中:

2) 如果F₀是关于x的函数, 得位移方程、速度方程、应变方程和应力方程分别为:

式中:

从上述方程中可以看出, 微小单元的位移、速度、应力和应变不仅与原木试件的弹性模量、密度有关, 而且与小锤的敲击力、小锤与原木试件作用时间有关。

1.2 垂直方向应力波传播理论

将方程两边都除以c², 得:

(3)

从公式(3)中可以看出, g比c²小得多, 因此该项可以忽略不计。从而垂直方向的应力波传播理论与水平方向的应力波传播理论一致。

2 原木径向和弦向应力波传播理论

由于原木性质比较复杂, 其径向和弦向的不同部位木材密度是不相同的, 是一个随机变化量。因此, 在径向和弦向的不同位置, 其波阻抗是不一样的(材料的波阻抗为ρcS。式中字母的意义同前)。根据波动学理论, 波在波阻抗发生变化的介质中传播, 都将发生反射和透射。因此, 应力波沿木材径向和弦向传播过程中, 存在反射和透射。

2.1 传播方向与界面垂直的反射和透射

设应力波的传播方向与界面垂直, 令R表示入射方向, F表示反射方向, T表示透射方向(如图 3), 则根据连续条件和牛顿第三定律, 界面两侧质点的速度、力应该相等(王礼立, 1985:吴斌等, 2001), 即:

根据波阵面动量守恒定律, 即:

可解得:

令, 则

(4)

从公式(4)可以看出, 应力波在界面两侧传播参数的变化与波阻抗比值α有关。根据α的人小, 可以确定应力波在界面两侧中传播的变化。

1) 当α=1时, 即界面两侧的波阻抗相等。这时, 应力波在界面两侧传播时, 不存在反射情况。原木轴向中的应力波传播情况属于这一种类型。

2) 当α>1时, 即界面右侧的波阻抗大于左侧的波阻抗, 透射波从应力幅值上强于入射波, 也就是说应力波从软的材料传入硬的材料。

3) 当α < 1时, 即界面右侧的波阻抗小于左侧的波阻抗, 透射波从应力幅值上弱于入射波, 也就是说应力波从硬的材料传入软的材料。

原木径向和弦向应力波的传播情况属于后2种类型的综合情况, 即应力波在沿原木径向或弦向传播时, 一般都要经历先由弱到强, 后由强到弱的过程。

2.2 传播方向与界面不垂直的反射和透射

如果小锤敲击方向与界面不垂直, 即应力波的传播方向与界面不垂直, 如图 4所示, 即入射波、反射波和透射波与x方向成一定角度。设入射波、反射波和透射波与x方向的夹角分别为ϕ、φ、θ。则根据连续条件和牛顿第三定律, 界面两侧质点的速度、位移、力在水平方向应该相等。即:

根据波阵面守恒定律、波阻抗比值α和应力应变之间的关系, 可得:

(5)

如果ϕ、φ、θ都为0, 即cosϕ=1, cosφ=1, cosθ=1, 则公式(5)与应力波传播方向与界面垂直时所得公式(4)一样。

2.3 原木径向和弦向的应力波传播理论

由于原木径向和弦向的波阻抗在变化, 因此应力波在沿原木径向和弦向传播过程中, 不同位置的传播参数也发生变化。将L长的径向或弦向的原木试件分成m等份, 即ΔL=L/m(如图 5)。假设在每个ΔL中, 木材波阻抗不发生变化, 也就是说应力波在该单元内传播不发生反射, 其传播理论近似于原木轴向应力波的传播理论(原木轴向应力波传播理论前面已经建立)。应力波在不同单元中的传播过程, 也就是应力波不断加强或减弱的过程。加强或减弱的大小由透射系数确定, 即由波阻抗比值确定。

令在第i单元的应力波波速为c_i, 则应力波在第i单元的传播时间t_i=ΔL/c_i。应力波在L中的传播时间为(在原木轴向应力波传播过程中, 波速c是不变的, 因此t=L/c)。假设在时间t内, 只给木材试件一个初始应力, 并设应力波的传播方向与界面垂直, 且S不变, 即在等截面内传播。

经过分析, 得到位移方程为¹⁾:

1) 杨学春.2004.基于应力波原木内部腐朽检测理论及试验的研究.东北林业大学博士学位论文

(6)

同理, 可得速度、应力和应变方程分别为:

(7)

公式(6)和(7)构成了原木径向和弦向的应力波传播理论。从推导过程中可以看出, 在不同位置微小单元的位移、速度、应力和应变是变化的, 发生变化的原因主要是原木径、弦向不同位置的波阻抗发生了变化。

3 应力波检测原木内部腐朽的试验

通过2~6个传感器, 应用从德国引进的应力波检测设备, 在实验室内对具有人工构造缺陷(内部孔洞)的标准木材试件进行了测试。同时, 在带岭林业局贮木场和方正林业局贮木场, 对原木试件内部腐朽进行了现场检测试验。结果表明, 本文所阐述的应力波在原木中传播理论基本正确, 应用它能够检测原木内部腐朽, 并能判定原木内部腐朽的基本形状¹⁾。

1) 杨学春.2004.基于应力波原木内部腐朽检测理论及试验的研究.东北林业大学博士学位论文

4 结束语

通过对原木轴向、径向和弦向的应力波传播过程的理论分析, 建立了应力波沿原木轴向传播的理论公式, 即位移、速度、应力和应变方程。分析了应力波传播方向与界面垂直和不垂直的应力波反射和透射, 建立了在应力波传播方向与界面垂直的前提下, 应力波沿原木径向或弦向传播的理论公式, 即位移、速度、应力和应变方程。从这些方程可以看出, 应力波在原木中传播参数的变化, 不仅与原木性质有关, 而且与小锤的敲击力、小锤与原木试件的作用时间、敲击方向有关。

由于原木的性质比较复杂, 原木内部缺陷的成因比较多。本文只是在一个平面上进行分析, 建立应力波在原木中的传播理论。但如何真实、准确地检测原木内部缺陷, 特别是原木内部腐朽的程度, 即如何将一维应力波理论延伸到三维应力波理论, 用三维应力波理论来推测和检验原木内部腐朽的真实情况, 将有待于进一步研究。