关于TM遥感图像比值波段对分类、消除阴影的影响规律，有不少学者作过系统研究(赵宪文，1997；游先祥等，1995)。要根据少量地面样地对应的遥感和GIS信息估测森林郁闭度，需设置样地对应的遥感信息。遥感信息包括各波段的灰度值及灰度比值。如何设置遥感比值波段，在设置时参照什么依据，如何确定各种比值波段间存在的多重相关性，多重相关性对郁闭度估测有何影响，如何通过计算机仿真自动筛选对郁闭度估测有一定影响的比值波段，本文将对此进行系统的研究与分析。

1 比值波段的设置

植被指数又称绿波指数，是由多光谱数据经线性或非线性组合构成能反映绿色植物生长状况及分布特征的指数。根据植物的波谱反射曲线，绿色植物对可见光和近红外谱段截然不同的吸收和反射特性是植被监测的物理基础，可用于构造植被指数。近红外波段对植被差异和长势反映敏感，表明植物光合作用能力的强弱。可见光波段中的红光被植被叶绿素强吸收，进行光合作用，是光合作用的代表性波段。植被指数与植物长势、生物量、覆盖度、季相变动都有很好的相关性(赵宪文，1997；游先祥，等，1995)，在构造比值波段时，可以直接将植被指数作为比值波段考虑。本文设置下列植被指数作为影响郁闭度估测的比值波段。归一化植被指数常作为生物量指标，主要用于监测植被覆盖度，在TM遥感图像组合中，常用波段进行计算(表示，以下符号的含义类同)；是近红外高反射与吸收红光的低反射之比，常作为植被指数应用；环境植被指数TM_4-3。

参考植被的波谱反射曲线及已有研究文献(赵宪文，1997；游先祥，2003)，TM₁和TM₃波段是2个叶绿素的吸收带，TM₂波段区有1个小的反射峰，TM₄波段所在的近红外反射区受叶片内部结构的影响，强烈地反射近红外辐射。TM₅、TM₇所在的中红外区受叶片内部水分的控制，出现了2个反射峰。在设置比值波段时，用反射与吸收之比或高反射与低反射之比，可使原波段上不易区分的植被容易识别出来。因此在进行以遥感和GIS为基础的郁闭度估测时，还设置了下列比值波段。

此外，还可以根据特定监测区域及用户的需要，设置其他所有可能对郁闭度估测有影响的比值波段。

2 信息量及多重相关性

考虑TM遥感图像原始波段及所设置的比值波段，所有遥感因子如表 1所示，共计13个。

2.1 信息量分析

根据上面各遥感因子的顺序，将各遥感因子用p维变量x表示，x=(x₁, x₂, Λ, x_p)。设监测区域有n个样地，各样地p个遥感因子的观测阵为：

信息量需用熵来测度，根据经验分析，熵越大，方差也就越大。在本文的研究中，各遥感因子的信息量用观测阵X计算其方差的大小来度量，方差越大，信息量就越大；方差越小，信息量就越小。

设观测阵X的中心化矩阵为X，p个遥感因子的样本协方差矩阵可表示为(唐守正，1986)：

(1)

该矩阵主对角线上的各元素就是对应遥感因子的样本方差。

2.2 多重相关性诊断

将本样中心化矩阵X进行标准化，得中心标准后的矩阵，各遥感因子间的相关矩阵可表示为：

(2)

根据相关矩阵R提供各遥感因子间的简单相关系数，可初步分析各遥感波段及比值波段间是否存在严重的多重相关性。但仅凭简单相关系数的大小尚不能完全诊断多重相关性(王惠文，1999)。为有效探测各遥感波段及比值波段间可能存在的多重相关性，可利用方差扩大因子。遥感因子x_i的方差扩大因子记为VIF_i，其计算方法为(王松桂等，1999；王惠文，1999)

(3)

式中：R_i²是以第i个遥感因子x_i为因变量，以其他遥感因子为自变量回归时的复相关系数。

所有x_i变量中最大的VIF_i通常被作为衡量多重相关性的指标。如果最大的VIF_i超过10，就表明多重相关性将严重影响最小二乘回归估计值。如果：

(4)

分析(4)式，若发现有遥感波段或比值波段的方差扩大因子大于10，说明对应的遥感因子与其他遥感因子进行线性回归时，其复相关系数高于0.9。则可认为该遥感因子是其他遥感因子的近似线性组合，即在各遥感因子将存在高度相关的现象。

2.3 多重相关性危害

设监测区域n个样地的郁闭度观测值向量为Y，所设置的p个遥感因子在n个样地处的观测阵为X，Y和X间存在下列关系：

(5)

β为p×1的待定参数向量；e_Y为n个样地的郁闭度观测误差向量；σ²为郁闭度观测方差；E(e_Y)=0表示n个样地郁闭度观测值的期望为0；Cov(e_Y)=σ²I_n表示n个样地郁闭度观测误差等方差，且互不相关。

由(5)式可得待定参数向量的最小二乘解，其精度可用方差来度量。的协方差阵为：

(6)

对于待定参数，其方差为：

c_ii是(X′X)^-1中第i个对角元素。

可以证明c_ii就是第i遥感因子的方差扩大因子。因R_i²是第i个遥感因子x_i对其他p-1个遥感因子做回归时的复相关系数，因此

(7)

分析上式，当R_i²=0，第i个遥感因子与其他遥感因子不相关，方差扩大因子等于1。R_i²≠0时，VIF_i大于1，这时第i个遥感因子的方差就增大了。若第i个遥感因子与其他遥感因子完全线性相关，R_i²≈1，VIF_i就会无限扩大，从而导致也趋于无穷大。多重相关性对最小二乘估计将造成如下危害：

1) 在各遥感因子完全相关的情况下，因(X′X)是不可逆矩阵，导致待定参数的最小二乘回归系数完全无法估计。

2) 若各遥感因子间存在不完全的多重相关性，则待定参数是可以估计的。但待定参数的估计方差将随着各遥感因子之间的相关程度的不断增加而迅速扩大，最终导致待定参数的估计精度逐渐降低，估测方程的价值也随之降低。

3) 在各遥感因子高度相关的条件下，待定参数的估计值对样本数据的微小变化将非常敏感，回归系数估计值的稳定性将变得很差。

4) 在各遥感因子高度相关的条件下，用最小二乘估计得到的回归模型，其回归系数物理含义的解释将变得很困难。回归系数的符号可能会与实际概念完全相反。

3 遥感波段及比值波段的选择

前面的分析，用户可根据需要设置遥感比值波段，因遥感波段及比值波段间可能存在一定程度的多重相关性，这种多重相关性对森林郁闭度估测模型待定参数的求解将带来较大的危害。应在设置的所有遥感因子中选择一定数量的因子，使其对郁闭度有重要的解释意义，彼此间尽可能不存在相关性。本文主要讨论根据平均残差平方和准则，采用穷举方法从所设置的所有遥感因子中进行筛选。

对模型(5)，郁闭度估测的残差平方和RSS的大小反映了实际数据与理论模型的偏离程度，是评价估测方程的一个重要标准。一般来说，RSS愈小，数据与模型拟合的就愈好。从p个遥感因子中选q个因子组成类似(5)式的估测方程，记相应的郁闭度残差平方和为RSS_q，其表达式为：

(8)

可以证明再增加一个遥感因子，其残差平方和RSS_q+1必满足：

(9)

由(9)式可得，当影响郁闭度估测的遥感因子子集扩大时，RSS_q随之减小。如果按“RSS愈小愈好”的原则，选入郁闭度估测模型的遥感因子应越多越好。可见残差平方和还不能直接作为选择影响郁闭度估测遥感因子的准则。

因RSS_q随q的增大而下降，为防止选择过多的影响因子，一种常见的作法是对残差平方和RSS_q乘上一个伴随q增加而上升的函数，作为惩罚因子。定义：

(10)

由定义可知，RMS_q是平均残差平方和，其图形如图 1所示。由图可知，随着q的增加，RMS_q先是减小，而后稳定下来，最后又增加。因为随着q的增加，尽管惩罚因子(n-q)^-1增加了，但此时RSS_q减小很多，总的效果为RMS_q减小。当影响郁闭度估测的遥感因子增加到一定程度，将导致RMS_q增加，因子(n-q) ^-1体现了对影响因子个数增加所施加的惩罚。

根据RMS_q的性质，在进行郁闭度估测软件设计时，按“RMS_q愈小愈好”的原则选取影响郁闭度估测的遥感因子子集，称为“平均参差平方和准则”，简称RMS_q准则。

4 实例分析

取云南思茅地区7 500 km²范围内的129个一类调查样地对应的上述13个遥感因子进行分析(赵宪文等，2001)。计算各遥感因子的信息量及方差扩大因子，分别如表 2、3及图 2所示。分析表 2及图 2A可得，在所设置的13个遥感因子中，比值波段，TM_4-3信息量较大，其他组合波段信息量都很小。分析表 3及图 2中的B，所有遥感因子的方差扩大因子都大于10，且TM₃、TM₄、TM_4-3彼此间存在完全相关关系。其他遥感因子间也存在严重的多重相关关系。根据前面的分析，若将这些遥感因子全部用于森林郁闭度估测，估测方程的精度将无法保证。

根据平均残差平方和准则，在2¹³-1=8 918种可能的组合中，选择对郁闭度估测有重要解释作用的遥感因子，每种遥感因子个数都对应一个最小的平均残差平方和，各种遥感因子个数对应最小平均残差平方和的变化曲线如图 3所示。从图可知，当遥感因子为7个时，平均残差平方和达到最小，对应的遥感波段分别为。图中还标明了各遥感因子个数所有可能的组合数及各遥感因子个数最优组合的复相关系数。所选遥感因子信息量及方差扩大因子如图 4所示。

分析图 4A可得，所选遥感因子的信息量没有变化。从图 4B可得，完全相关的遥感波段已被有效剔除，入选遥感波段的方差扩大因子已大幅度减小，但仍然存在一定程度的多重相关性。在求解郁闭度估测方法时，这种近似相关性可通过岭估计或径向基神经网络等数学方法克服。

5 讨论

1) 对本文研究的区域，遥感波段，对郁闭度有重要的解释作用；

2) 利用方差扩大因子，可有效诊断在所设置的遥感波段间是否存在多重相关性及其严重程度；

3) 采用平均残差平方和准则可有效选择对郁闭度估测有重要解释作用的遥感波段，且所选波段间的多重相关性相对较小。

4) 对郁闭度估测起重要作用的遥感波段的信息量大小没有规律，信息量小的遥感波段可能对郁闭度及蓄积估测也起重要作用。

5) 根据本文讨论的方法，已实现了可操作的软件，用户可根据需要设置遥感比值波段，软件系统可自动筛选有重要作用的波段，并绘图显示。