线形计算关系到索道的净空高、平顺度和支架高度等诸多因素，是索道侧型设计的关键；而拉力计算则是跨距、挠度和钢索破断力等因素相匹配的优化求解，线形与拉力是悬索设计的主要内容(张应春，1979；关承儒，1983；徐鹤峰，1984)。在架空索道设计中，悬链线被公认为真实反映实际悬挂钢索的线形，按悬链线理论对悬索的线形及拉力计算进行理论推导。

1 悬索假设

悬索是理想柔性的，既不能受压也不能受弯。因为索的截面尺寸与索长相比十分微小，因而截面的抗弯刚度在计算中可不考虑。悬索的曲线有转折的地方，只要转折的曲率半径不太小，局部弯曲也可不计；悬索的材料符合虎克定律，应力与应变符合线性关系；悬索的横截面面积及自重在外荷载作用下的变化量十分微小，可忽略这种变化的影响；悬索自重沿曲线均匀分布。

2 悬索无荷线形及拉力 2.1 无荷拉力系数A₀ 2.1.1 初始值A₀(0)(罗桂生等，1999)

(1)

式中    S₀—无荷中挠系数；α—索道弦倾角(°)。

2.1.2 迭代过程

(2)

式中    

2.1.3 精确值

(3)

精度控制

(4)

式中    Δ—预期精度，常取Δ=0.000 01。

2.2 悬链线线形方程

以悬索曲线的最低点为原点建立直角坐标系，悬链线的一般方程式为(周新年，1996)

(5)

式中    C—补助函数，；H₀—无荷悬索水平拉力(N)，；q—悬索单位长度重力(N·m^-1); l₀ —悬索水平跨距(m)。

将坐标原点沿y轴下移距离为C，且沿x轴左移至索道下支点，建立如图 1所示的直角坐标系XOY，则悬链线方程为

(6)

式中X_C—悬链线最低点横坐标(m)。

如图 1所示，可设A、B两点的坐标分别为(0，Y₁)、(l₀，Y₂)，A、B两点在悬索曲线上，则

从几何关系可得：Y₂-Y₁=l₀tanα，即

(7)

即：。解得

(8)

2.3 无荷索长L₀(m)

(9)

2.4 悬链线重心坐标X(m)

(10)

2.5 无荷挠度F₀(X)(m)

如图 1所示，过、两点的直线方程为

将(7)式代入上式，整理得：

(11)

将(11)式减去(6)式即为任意点X处的无荷挠度F₀(X)，即

(12)

2.6 无荷悬索任意点拉力T_X(N)

无荷悬索任意点的方向系数为：，故任意点拉力为

(13)

2.7 无荷平均拉力T₀(N)

，所以.故无荷平均拉力为

(14)

令T₀=T_X，解得无荷平均拉力横坐标：。

3 悬索有荷线形及水平拉力 3.1 有荷水平拉力与有荷挠度的关系

在单集中荷重作用下，悬索线形呈2条平顺而又相连续的悬链线形，见图 2。设在距离下支点X处有一荷重Q，设k为荷重点K的距离系数，即；并设F_K为荷重点挠度，H_K为相应的水平拉力，假设荷重补助函数为

(15)

α₁、α₂分别为AK、KB的倾角，称为荷重倾角，有

(16)

类似无荷重的情形，可以得到荷重下AK、KB段悬链线的最低点横坐标X_C1、X_C2为

(17)

荷重下AK、KB段悬链线的长度

(18)

荷重下整条链长则为

(19)

AK、KB段悬链线的平均拉力分别为

(20)

整条悬链线的平均拉力为

(21)

AK、KB段悬链线重心的横坐标

(22)

设P₁、P₂、P分别为AK、KB段及整条悬链线的自重，则P₁+P₂=P，P₁/P₂=L₁/L₂，则

(23)

荷重时H_K与F_K关系：如图 2，以AB为研究对象，以B点为矩心，由平衡条件，可得

以AK为研究对象，以K为矩心，有

由上两式消去V_A，整理后即得有荷水平拉力与有荷挠度的关系为

(24)

3.2 有荷挠度与水平拉力的精确解

荷载大小与位置的改变、支点位移、温度变化都会引起悬索线形的变化，建立悬索的状态协调方程

(25)

式中    L_K—有荷索长(m)；ΔL_e—拉力引起的钢索的弹性伸长变化量(m)，ΔL_e＝(T_KL_K-T₀L₀)/EA; E—钢索的弹性模量(MPa)；A—钢索的金属横截面面积(mm²)。ΔL_t—温度引起的索长改变量(m)，ΔL_t＝εΔtL₀; ε—钢索的线膨胀系数(℃^-1)；Δt—温度变化值(℃)，Δt=t₂-t₁；t₂—悬索使用时的温度(℃)；t₁—悬索安装时的温度(℃)。将L_K、T_K代入式(25)，将得到荷重补助函数C_K的超越方程，用牛顿迭代数值解法求解。

牛顿迭代过程如下

(26)

当满足迭代收敛条件，(Δ为预期精度)，即可求得有荷挠度与水平拉力的精确解，从而可求有荷索长、各点挠度、最大拉力、安全系数、轮压比等(堀高夫，1992；周新年，1989；1992；1996)。