在研究木质材料的流变性质时, 被广泛采用的是多个弹簧-阻尼单元的各种组合形式的数学模型(王逢瑚，1997)。但是，由于采用多单元的组合模型，必然会增加待确定的流变参数，结果使得流变参数求解困难且离散性大。为此，作者曾提出一种变参数流变模型的概念(邵卓平，2002)，并以两单元的变参数Maxwell模型，拟合了中密度板的蠕变变形取得尚好的效果。该方法是应用离散化原理，将整个蠕变曲线按时间划分成若干小区，再应用Maxwell体的本构方程解得对应于各小区的流变参数C_i、η_i，再将参数对各小区平均时间作线性回归，即得到元件参数随时间变化的变参数Maxwell模型:

(1)

采用变参数的模型(1)能以较少的弹、粘单元组合代替常参数的多个弹、粘单元组合模型，使流变参数便于求解。但进一步研究表明，该模型对不同恒载下和多级阶梯载荷下的蠕变预测结果与实验值之间尚存在一定的误差(最高可达20%)，而且对于有卸载的重复载荷下的蠕变，拟合效果也不理想，其原因是由于模型(1)的参数未能反映出不同载荷的影响。已有文献(卢宝贤等，1989；1996)表明，弹簧-阻尼单元组合模型的元件参数受到不同载荷的影响严重，常使得一组元件参数仅适用于某一特定载荷，同一模型不能很好地预测不同恒载或变载荷下的蠕变。所以，如何建立在重复载荷或变载荷下的蠕变模型，也是木材流变学在理论研究和生产应用中迄今尚未解决的问题(刘君良，1998)。

本文在前期研究基础上，拟提出一种模型元件参数随时间和载荷变化的变参数流变模型的概念，并仍以最简单的Maxwell模型拟合了杨木试件的弯曲蠕变。结果表明，新的变参数模型不仅对不同恒载下的蠕变预测有很高的精度，而且对试件在多级阶梯载荷下或重复载荷下的蠕变，均有很高的拟合度。由于该模型的建立突破了传统的常参数建模方式，不仅方法简便，而且实用、有效，所采用的变参数流变模型的思想若能拓宽用于其它动态变化的环境因素，将于理论于实际均有重要意义。

1 变参数流变模型的原理和方法

Maxwell模型是将一个弹性单元和一个阻尼单元的串联组合，也是线性流变模型中最简单的一种，该模型关于载荷P、变形f的本构方程如下：

(2)

式中：C为弹性单元的刚度，η为阻尼单元的粘性系数。

Maxwell模型中的流变参数C、η是常数，其在恒载下的流变曲线如图 2所示。显然，Maxw ell体的蠕变曲线与木材的实际蠕变曲线(见图 3)有很大差异；但可以通过离散化方法，将图 3的蠕变曲线在整个试验时间上划分成若干小区(前密后疏)，并将每一小区上的参数C_i、η_i视为常数。这样，每个小区的两边界点的变形可用下式近似表达：

(3)

(4)

由(3)、(4)式，即可解得第i小区上的流变参数：

(5)

(6)

令对应第i小区的时间取其平均值，即：

(7)

然后，将参数C_i、η_i与所对应的第i小区时间t_i作回归，得到关于时间t的变参数C(t)、η(t)。对不同恒载下的蠕变曲线，重复上述作法，即可得到一组与载荷P_j关联的参数C_j(t)、η_j(t)，然后再将C_j(t)、η_j(t)中的系数对载荷P作回归，即得到能同时反映时间t和载荷P的变参数C(t, P)、η(t, P)，代入(2)式，即可得到变参数Maxwell模型的本构关系：

(8)

2 实验与结果 2.1 试材与实验方法

试验用材I-69杨采自安徽省天长县试验林场，树龄12 a。采伐后先锯解成中心板，气干1 a待用。

蠕变试验采用三点弯曲加载方式，试件尺寸：L×T×R＝300 mm ×20 mm ×20 mm，两端简支，跨距240 mm，弦向中央加载，载荷等级分别为310 N、410 N、510 N、610 N、710 N，均在杨木强度极限的60%以内。实验在室内进行，环境温度约为10℃，相对湿度约在50%左右。实验设备为长春试验机厂制造的WDW-100微机控制力学试验机，为减小支承处的摩擦，在支承处用钢片加垫。

试验读数的时间间隔，通常是根据材料的蠕变规律来选定，一般的蠕变曲线可分3个阶段：第1阶段为蠕变的瞬变阶段，变形快；第2阶段是蠕变稳定阶段，变形比较平稳；第3阶段是蠕变的最后阶段，变形再次变快，并可能出现蠕变断裂。本试验为短时间的弯曲蠕变(仅含前两个阶段)，每个试件的试验时间均为10 h。为减少数据的采集量而又不失有效性，读数采取了前密后疏，试验过程的控制与读值由试验机自动完成，读值设置为：0~0.2 h：每隔30 s读取1值；0.2~10 h：每隔100 s读取1值。

2.2 结果与分析

杨木弯曲试件在不同载荷下的蠕变曲线如图 4所示，从图中可以看到，当荷载小于比例极限时，蠕变曲线约在3~4 h后基本上进入第2阶段即平稳阶段。按照前述方法，解得变流变参数为

(9)

(10)

将(9)、(10)式代入(8)，即得到杨木弯曲蠕变的变参数Maxwell模型

(11)

图 4同时给出了杨木试样在不同恒载荷下的实际蠕曲线和由模型(11)给出的理论预测曲线，可以看见在所有小于比例极限载荷下的蠕变，变参数Maxwell模型均有极好的拟合精度。目前许多常用的蠕变计算公式只是在某一特定载荷下适用，因而在实用上具有一定的局限性，而变参数Maxwell模型则在较宽的载荷范围内均有很好的拟合效果。

3 变参数Maxwell模型对变载荷下蠕变变形的预测

从分子运动的观点来看，木质材料流变性质本质上是一个动力学过程，即松弛过程。由于木材中各种运动单元具有不同的松弛时间，在通常条件下，要使高聚物的整个分子链从一种平衡状态完全达到一种新的平衡状态需要非常长的时间，在一有限时间内，总有一些松弛时间大的运动单元达不到新的平衡状态。所以，在此以后的木材力学行为是与这先前的载荷历史有关，即：蠕变是应力的历史效应，应力松弛是应变的历史效应。解决包括木材在内的高分子聚合物的粘弹性力学行为的历史效应的数学处理方法是Boltzmann叠加原理(周光泉等，1996；何平笙，1997)。Boltzmann指出：(1)试件中的蠕变是整个加载历史的函数；(2)每一阶段施加的载荷对最终形变的贡献是独立的。因而，最终形变是各阶段载荷所引起的变形的线性叠加。

例如：在t=0时刻，施加一载荷P₀，产生的蠕变变形：

(12)

式中J(t)为蠕变柔度，并规定当t≤0时，J(t)＝0。

若在t=τ₁时刻，增加截荷P₁，则当t > τ₁时，则根据Boltzmann叠加原理，由P₀、ΔP₁共同产生的蠕变变形(参见图 5)：

(13)

通常，若在时间τ_i施加一载荷增量ΔP_i(i=1, 2, 3, ...)，则到t时刻的总蠕变为：

(14)

如果载荷是连续增加，式(14)可写成积分形式：

(15)

上述积分被称作遗传积分(hereditary integral)。

从理论上讲，对木质材料力学行为的历史效应可以用式(14)或式(15)来定义，但实际上，如何建立重复载荷或变载荷下的数学模型是很困难的，所以这也是木材流变学在理论研究和生产应用中迄今尚未解决的内容，但应用变参数Maxwell模型则可以方便地解决这一问题。如图 6、7分别是木材试件在阶梯载荷、重复载荷下的实验曲线，其实验设置为：

阶梯载荷：在t=0+时刻施加310 N的载荷，持续3 h；在t=3 h时刻再施加150 N的载荷，持续4 h；在t=7 h时刻又施加150 N的载荷，持续3 h。

重复载荷：在t=0+时刻施加310 N的载荷，持续2 h；在t=2 h时刻再施加200 N的载荷，持续2 h；在t=4 h时刻，卸去200 N，持续2 h；如此重复。

从图 6、7中可见，采用变参数Maxwell模型并应用Boltzmann叠加原理的理论预测曲线与实际蠕变曲线非常接近，最大相对误差小于3%，可见采用变参数模型拟合变载荷下的蠕变是非常有效的。

当然，木质材料在实际使用中的蠕变是材料特性和各种环境条件制约下发生的复杂现象，除了时间、载荷的因素外，周围温、湿度等环境因素都会较大地影响木质材料的流变特性。想必采用变参数流变模型的思想，若能将度温、湿度等因素的影响纳入变流变参数之中，从而使木材蠕变这一受自身材质特性和各种环境条件制约下的复杂现象，可以通过较简单的变参数流变模型拟合出来，将会是木质材料流变学在理论研究和应用上的一个突破，这是有待深入研究的内容。

4 结论

采用变参数流变模型研究木质材料的流变性质，不仅能以较少的弹、粘单元的组合模型代替多个常参数弹、粘单元的组合模型，使流变参数便于求解，而且对各种形式载荷下的蠕变均有很高的拟合精度。由于变参数流变模型克服了目前许多常用的蠕变计算公式只是在某一特定载荷下适用的局限性，因而具有很高的实用价值。同时，由于该模型的建立突破了传统的常参数建模方式，所采用的变参数建模思想若能拓宽用于其它动态变化的环境因素，将于理论于实际均有重要意义。