从木材工业计算机集成制造系统中, 我们抽象出一类含不确定因素的多变量非线性不确定系统:

此为系统(1. 1)。其中:状态变量x ∈ Rⁿ, 输入u ∈ R, 输出y ∈ R, 未知参变量θ (t)为时变的、分段连续的, 且取值于一紧集Ω上, f(x)和g(x)为标称或未被扰动的解析向量, 且g(x)≠0, 对x ∈ Rⁿ, h(x)是Rⁿ上的实函数, Q(x, θ)是定号非零函数, 即有: Q(x, θ(t))>0或Q(x, θ(t)) < 0, 对θ∈ Ω, x ∈Rⁿ, 假设q(x, θ (t))为向量函数, 并且和函数Q(x, θ (t))包含了系统的所有不确定性。

我们的控制目的就是寻找一个光滑的半全局(局部)状态反馈控制器, 使得对于给定的理想输出y_d有, 同时保证闭环系统是有界的, 且对于θ∈ Ω都成立。

对于这类问题的研究, 周玉成等(1996; 1997; 1998a; 1998b)已经做了一些工作并取得了一些有益的结果。Corless等(1981)在严格匹配条件的假设下得出了一些早期的结果。Kanelakopoulos等(1991a; 1991b; 1993)在扩展匹配条件下给出未知参变量为常数时扩展的直接控制方法, 又在参数严格反馈条件下, 讨论了未知参变量为常数时的不确定非线性系统, 并给出了自适应控制器的系统设计方案(Freeman et al., 1993; Isidori, 1989)。但是, 按上述方法设计的控制器, 存在如下的具体问题:

抽象出的系统模型不能保证其标称系统反馈线性化的条件必须是ρ=n;

所设计的鲁棒控制器沿某些曲线, 当, 局部反馈增益, 即鲁棒控制器失效;

当系统中未知参变量为时变的且取值于未知紧集上时, 系统的鲁棒跟踪控制问题将不再成立。

因此, 本文所讨论的含不确定因素的非线性系统并不要求未知参变量必须是常数, 即:未知参变量为时变的, 且可以非线性形式出现, 同时并不要求满足匹配条件或扩展匹配条件。所以, 讨论的不确定性更具有一般性。最后给出的具有优良的“软”性品质的鲁棒调节器的设计方法, 克服了当‖ x ‖ →∞, 沿某些曲线, 局部反馈增益, 的失控情况。

1 基本知识和条件

下面将给出本文要用到的一些条件和知识。

考虑系统(2.1):

假设2.1:存在n-ρ个光滑函数使得坐标变换(2.2)

是局部微分同胚变换, 使系统(2.1)变为(2.3)

其中b(z)=LgL_f^ρ-1 h(x)≠0, 对。

假设2.2:存在n -ρ个光滑函数使得坐标变换(2.2)为全局微分同胚变换, 且使系统(2.1)全局变为(2.3)。

引理2.1: (证明见Kanellakopoulos et al., 1991)考虑系统(1.1), 如果假设2.1成立, 且(x) q_i(x); p =1, 2, …, n; 参数严格反馈条件

此为系统(2.4), 其中对合分布成立, 那么系统(1.1)局部等价于(2.5)

(a)

(b)

(c)

引理2.2: (证明见Kanellakopoulos et al., 1991)考虑系统(1.1), 如果假设2.2成立, 且(t) q_i(x); 参数严格反馈条件(2.4)成立; 那么系统(1.1)可全局等价于式(2.5)。

引理2.3: (证明见Kanellakopoulos et al., 1991)考虑系统(1.1), 如果假设2.1成立; 参数严格反馈条件(2.4)成立, 那么系统(1.1)局部等价于(2. 6)

引理2.4: (证明见Kanellakopoulos et al., 1991)考虑系统(1.1), 如果假设2.2成立; 参数严格反馈条件(2.4)成立, 那么系统(1.1)可全局等价于式(2.6)。

为了方便讨论系统(1.1)的局部鲁棒跟踪问题, 我们对式(2.5)和式(2.6)的z^r-子系统给出如下假设。

假设2.3:系统(2.5)和(2.6)的z^r-子系统是以y为输入的局部输入-输出有界的。

对于所要跟踪的理想输出y_d, 我们给出如下假设。

假设2.4:理想输出y_d以及它的前ρ次导数是有界的, 且y_d为时间t的已知函数。

2 鲁棒自校正控制器的设计

本节讨论当未知参变量θ (t)以线性形式出现, 且在一未知紧集Ω上取值时的鲁棒跟踪问题的解, 通过选择适当的Lyapunov函数, 给出了局部鲁棒跟踪控制器的设计。

定理3.1:考虑系统(1.1), 如果假设2.2, 2.3成立, 且关于θ有界, 理想输出y_d满足假设2.4;参数严格反馈条件(2.4)成立; 参变量θ (t)∈ Ω, 一未知紧集上, 那么存在一鲁棒跟踪自校正控制器, 使得闭环系统的所有信号有界, 且, 对所有在R^{n +ρ _p}的初始值都成立。

证明:因为系统(1.1)满足假设2.2, 且参数严格反馈条件(2.4)成立, 由引理2.2知, 系统(1.1)全局等价于式(2.5)。

首先考虑子系统(2.5a), 通过构造适当的Lyapunov函数, 给出其自校正控制器的设计。

Step 0:令

Step 1:定义Lyapunov函数: , 其中, μ₁为适当的未知常数, μ₁为待定的自校正连续函数。

令, 其中z₂ ^*为待定的光滑函数, 那么子系统(2.5a)的第一个方程表示为

令, 其中c₁为大于0的常数, s₁为待定的光滑函数。则Lyapunov函数的时间导数为:

因θ∈ Ω, 一未知紧集上, 故可找到未知常数μ₁ >0, 和光滑函数, 使得:

选择设计常数Δ>0, (在本定理的最后将给出Δ的选择), 令s₁和分别满足如下条件:

其中s₁⁰的选择为了保证s₁是光滑函数。

此时Lyapunov函数的导数为:

当时, 显然有, 其中, 故可以对V₁再加上一项以补偿到的距离, 这种方法也就是Marino和Tomei(1993)曾用的构造方法, 但是这种方法可能会使局部反馈增益沿某些曲线当时趋于无穷。事实上, 当时, 如且时, 仍有, 利用这一点, 可以在 -平面上设计一个新的目标域, 使在其上是负的, 那么新的Lyapunov函数可由V₁加上一项用来补偿到新的目标域的距离得到, 而不是补偿到流形的距离而得到。这样做, 就能克服局部反馈增益趋于无穷的问题。

新的目标域是通过选择光滑的正定函数和光滑的负定函数来设计的, 目标域为:

如图 1所示, 其中的和叫做边界函数, 它们满足下面的条件

目标条件:对存在正定函数, 使得。

技术条件:对有。由于边界函数和总是存在的(Corless et al., 1981), 因此可以进行下一步。

Step 2:定义Lyapunov函数

其中为大于0的常数, 为待定的连续自校正函数, 且当时为常数。定义如下

令, 其中z₃^*为待定的光滑函数。我们的目的是设计z₃^*使得当时, V₂的时间导数在区域A, B, C上是负的, 但是在域上, 的符号可能是不定的。

在域A上, 由目标条件知:

在域B上, 考虑到当时, 有, 从而在B上, 当时, 可以写成, 由此可得

因θ∈ Ω, 一未知紧集, 故可找到未知常数μ₂, , 和光滑函数, 使得

令

其中, 。所以在域B上, 当时有

故可知在B上, 当时, 有。

下面考虑在B上, 当时的情况, 选择上面的, 则可得到

其中λ₁≥0, 由上面的技术条件, 即关于r₁⁺的假设知, 当时有, 故可选择足够大的C₁, C₂使得。

最后考虑在域C上, Lyapunov函数V₂的时间导数的符号。与在B上的情况类似, 令

从而有, 其中。

由于域B和C之间的距离是严格正数, 故可选择一个能同时表示和(分别在B和C上)的光滑函数, 使得在A、B、C上, 当时为负的。

Setp3:选择边界函数和定义新的目标域A′如下:

其中r₂ ⁺为正定的光滑函数, r₂^-为负定的光滑函数, 且满足以下条件:

目标条件:对, 存在正定函数, 使得。

技术条件:对, 有: , 满足以上条件的边界函数r₂⁺, r₂^-总是存在的(Corless et al., 1981)。

定义Lyapunov函数如下

其中为一未知常数, 为待定的校正连续函数, 且当时, 为常数。

令, 为待定的光滑函数。

该步的目的是设计光滑函数z₄^*, 使得当: 时, , 函数z₄^*的设计方法与Step 2的方法相同, 此处不再重复。

Step i, (i =4, …, ρ-1)

step i的设计与上面的方法相同, 故略去。下面给出Step ρ的设计。

假设已经由上面的方法定义了Lyapunov函数: 并且选取了适当的光滑函数, z_ρ^*和未知常数μ_i以及校正函数, 使得在域

以外的区域上, 当时有。

下面给出该步的具体设计。选择边界函数和定义目标域A^ρ-2

其中r_ρ-1^-为光滑的负定函数, r_ρ-1⁺为正定的光滑函数, 这样的边界函数也总是存在的(Corless et al., 1981), 且必须以下条件

目标条件:对, 存在正定的函数, 使得。

技术条件:对, 有。

定义Lyapunov函数其中为一未知大于零的常数, 为待定的自校正连续函数, 且在A^ρ-2上的取值为常数。

下面设计控制, 使得在域A^ρ-1, B^ρ-1和C^ρ-1上有。在目标域A^ρ-2上, 由目标条件知:, 并且对任意的在上都有。在域B^ρ-2上, 考虑到当时, 有, 故在B^ρ-1上, 当时, 有。由此可知当时, 在B^ρ-2上, 有

其中z₁^* =0。

因为θ∈ Ω, 一未知紧集, 故可找到一未知的常数μ_ρ, , 和一光滑函数, 使得

设计控制器如下:因为Q(x, θ)为定号非0函数, 且关于θ有界, 故存在非0函数, 使得, 对θ∈ Ω。

令

将上述的代入控制器u^B中, 并将控制代入Lyapunov函数的时间导数的不等式中便可得到:

而上式在B^ρ-2中, 当时, 有: 。

在B^ρ-2上, 当时, 选择上述控制U^B, 则有如下结果

其中, λ_i是一个很小的正数, 。由于, 所以如选取C_i足够大, 则当时, 有。

在域C^ρ-2上, 与在B^ρ-2上的设计类似, 可以选取相应的控制器U^c, 使得Lyapunov函数的导数在C上有。

在D^ρ-2上, Lyapunov函数的时间导数的符号可能是不定的。因B^ρ-2和C^ρ-2之间的距离为严格大于0的, 故总可以找到与B^ρ-2上的控制U^B和C^ρ-2上的控制U^c相一致的光滑函数(在B^ρ-2和C^ρ-2上), 令控制器则控制器U使得Lyapunov函数V_ρ在A^ρ-2, B^ρ-2, C^ρ-2上都有: , 对任意的ε>0, 如果令设计常数Δ满足: 。则由此可知:有, 且(2.5a)的闭环系统的所有信号在任意的紧球域中是一致有界的。

由于ε是任意小的正数, 故有又由于子系统(2.5b)满足假设2.3, 而理想输出y_d满足假设2.4, 故可知y有界, 从而可知z^r是有界的, 而系统(1.1)和(2.5)之间存在全局微分同胚变换, 故可知系统(1.1)的鲁棒自校正跟踪问题可解, 且: (为自校正函数)就是所设计的自校正鲁棒跟踪控制器。

定理3.2:考虑系统(1.1), 如果假设2.1, 2.3成立, 且, 关于θ有界, 理想输出y_d满足假设2.4;参数严格反馈条件(2.4)成立; 参变量θ∈ Ω, 一未知紧集上, 那么存在局部的鲁棒跟踪自校正控制器, 使得闭环系统的所有信号有界, 且, 对所有在领域U⁰的初始值都成立。

用构造上述情况一样的Lyapunov函数与类似定理3.1的证明及设计过程, 可以设计出局部的鲁棒跟踪自校正控制器。

3 结论

讨论了非线性不确定系统的局部鲁棒跟踪问题。当未知参变量以线性和非线性形式出现时, 给出了局部鲁棒跟踪自校正控制器的设计。在设计上克服了周玉成等(1997)的方法给控制器带来的不良“硬性”, 推广了Corless等(1981)的结果, 考虑的是更加一般的输入-输出线性化系统的局部鲁棒跟踪问题。