气体通过针叶树材内部存在的孔隙通道进行渗透, 针叶树材内部孔隙通道在纵向、径向、弦向存在着差异, 这种差异与针叶树材纵向、径向、弦向气体渗透性的差异紧密相关。此前, 我们提出了关于针叶树材气体纵向渗透的三维流阻网络理论, 讨论分析了针叶树材气体纵向渗透性(鲍甫成等, 2002)。本文将运用三维流阻网络, 针对针叶树材气体径向和弦向渗透进行讨论分析。

1 径向和弦向试件的气体渗透流阻网络 1.1 径向和弦向气体渗透试件的等效截面

测量所用的径向(弦向)渗透试件形状如图 1 (a)所示的等厚圆盘, 若其半径为R则相应的渗透截面积为πR²。根据气体渗透系数的实际测量结果, 渗透系数与试件渗透截面的形状无关, 完全可将径向(弦向)渗透试件等效视为一个边长为π^1/2R的正方形渗透截面(厚度不变)试件, 其如图 1 (b)所示。径向(弦向)渗透试件的截面经过这样的变换之后, 有关针叶树材气体纵向渗透试件的三维流阻网络理论(鲍甫成等, 2002), 就能够应用于针叶树材气体径向和弦向渗透的讨论分析之中。

1.2 径向和弦向渗透的流阻网络基元组的等效流路

援引关于针叶树材气体纵向渗透流阻网络基元组的选择, 及其基元组等效流路的讨论结果(鲍甫成等, 2001), 可以得到关于气体径向和弦向渗透流阻网络基元组的等效流路(如图 2所示, 左图中的数字表示管胞的序号, 右图中的数字表示流阻连接点的序号), 其包含在纵向、径向、弦向两两对称排列的8个针叶树材管胞。

对于气体径向渗透流阻网络基元组的等效流路, 图 2所示的各个端点之间的流阻与有关管胞的流阻分量关系如下:

R₁₂=R_g5^R; R₁₃=R_g1^R; R₁₄=R_g3^R; R₁₅=R_g7^R; R₂₃=R_g1^L +R_g5^L; R₂₅=R_g5^T+R_g7^T; R₂₆=R_g5^R +R_g6^R; R₃₄=R_g1^T +R_g3^T; R₃₇=R_g1^R +R_g2^R; R₄₅=R_g3^L +R_g7^L; R₄₈=R_g3^R +R_g4^R; R₅₉=R_g7^L +R_g8^L; R₆₇=R_g2^L +R_g6^L; R₆₉=R_g6^T +R_g8^T; R₆₁₀=R_g6^R; R₇₈=R_g2^T +R_g4^T; R₇₁₀=R_g2^R; R₈₉=R_g4^L +R_g8^L; R₈₁₀=R_g4^R; R₉₁₀=R_g8^R。

2 径向和弦向渗透试件次级流阻网络及其等效流阻 2.1 径向和弦向渗透试件次级流阻网络的排列与数目

对于一个有200万个以上管胞(流阻基元)的径向或弦向渗透试件流阻网络, 是由一定数目的次级流阻网络所组成的(鲍甫成等, 2002), 一个针叶树材径向或弦向渗透试件各次级流阻网络的排列如图 3中的(a)和(b)所示。

若径向(弦向)渗透试件的等效正方形横截面边长为a′、管胞的有效平均长度为L_L0, 则可算出试件纵向管胞数目NL′和试件所包含的管胞总数目为N′, 其所具有的次级流阻网络的数目为:

(1)

2.2 径向(弦向)渗透试件次级流阻网络的等效流阻 2.2.1 次级流阻网络的三维空间重正化变换

根据上节的讨论, 由径向(弦向)渗透试件的半径以及试件管胞的有效长度, 可算得各个径向(弦向)渗透试件的N_L′为10左右。援引关于针叶树材气体纵向渗透流阻网络的结果(鲍甫成等, 2002), J=3时, 2³=8, J=4时, 2⁴=16。那么, 径向(弦向)渗透试件的三维次级流阻网络等效流阻值, 应该是在经三次重正化变换后所得的R₍₃₎ 和经四次重正化变换后所得的R₍₄₎ 之间, 即对于含有10个左右管胞的径向(弦向)渗透试件, 其三维次级流阻网络的等效流阻值R′_R有R₍₄₎ < R′_R < R₍₃₎ , 且

(2)

式中N₍₃₎ 和N₍₄₎ 分别为第3次和第4次重正化变换后, 次级流阻网络纵向包含的管胞数目。

2.2.2 次级流阻网络等效流阻的二维连接

设径向(弦向)渗透试件在径向与弦向包含的管胞数目分别为N_R′和N_T′, 并令

(3)

(4)

沿径向(弦向)渗透试件的等效横截面两个边长和厚度方向(即试件的纵向、径向、弦向), 以N_L′为单位将试件纵向、径向、弦向包含的管胞进行划分, 得到m₁×m₂个次级流阻网络(如图 3中的(a)所示, 图中每一矩形长条代表试件流阻网络的一个次级网络)。这样, 一个径向渗透试件的流阻网络也可视为N′_RT (m₁×m₂)个次级流阻网络在R-T平面上叠加而成。对这N′_RT个试件的次级网络进行m次三维重正化变换, 就得到N′_RT个经过m次三维重正化变换后所得的、并在R-T平面上竖直排列的径向渗透试件各次级流阻网络的等效流阻, 其如图 3中的(b)所示(图中每一竖立着的矩形长条代表一个次级网络经过重正化变换后的等效流阻)。此时, 气体沿位于在R-T平面内的径向(弦向)流过。

根据次级流阻网络的定义, 各次级流阻网络在与渗透方向方向垂直的两个纹理方向互不连通。在图 3中沿渗透方向前后相接的m₁个次级网络等效流阻分别串联成m₂列, 这m₂列串联的流阻再并联构成径向(弦向)渗透试件的等效流阻, 如图 4所示。

按照试件次级流阻网络的定义(鲍甫成等, 2002), 此时径向(弦向)渗透试件中渗透气体只沿着渗透方向流动, 而不会沿与渗透方向垂直的另外两个纹理方向流动。实际过程中渗透气体沿渗透方向即沿径向(弦向)在次级流阻网络间流动, 并不是仅仅通过沿管胞径面(或弦面)壁上导通纹孔构成的通道流动。由于渗透气体沿纵向流动时的阻力相对沿径向和弦向流动时较小, 这时候渗透气体可以在管胞之间纵向搭接面上导通纹孔构成的通道中流动, 从而极大地促进和加强了渗透气体沿径向在次级流阻网络间的流动。显然, 这样的流动不是渗透气体仅沿径向的一维流动, 而是渗透气体同时沿径向(弦向)和纵向的二维流动。根据物体运动的可叠加性, 可以认为当渗透气体沿径向(弦向)流过如图 4所示的m₁个沿径向(弦向)相连的次级流阻网络时, 同时也沿纵向流过m₁个次级流阻网络。这样渗透气体通过图 4中一列m₁个次级流阻网络的流动, 就等效于渗透气体在一个二维平面流阻网络中的流动, 而这个二维平面流阻网络由m₁×m₂个次级流阻网络的等效流阻, 在渗透方向按其径向(弦向)流阻分量以及在纵向按其纵向流阻分量, 一一相连接而成, 其如图 5所示。

同样如前所指出的(鲍甫成等, 2002), m₁不一定是2的某一正整数幂次方的数, 应选择一个正整数P, 使得有2^P-1≤m₁≤2^P, 从而确定这样一个平面流阻网络二维重正化变换的最大次数P。一个径向(弦向)渗透试件有m₂列沿径向、且由m₁个次级流阻网络流阻连接的流路, 从而对应着m₂个如图 4所示的等效流路, 分别对其进行二维重正化变换后, 可以得到由m₂个经二维重正化变换后所得的等效流阻并联构成的流路。

2.2.3 次级流阻网络等效流阻的二维重正化变换

对于二维平面流阻网络, 其重正化变换过程如图7所示(King, 1989)。在图 6 (a)中, 用一个小方框代表着二维平面网络的一个流阻基元, 加黑的大方框则代表整个网络, 其包含了共计64 (8²)个流阻基元。选择上下、左右对称排列的4个流阻基元构成基元组(如图 6 (a)所示), 整个网络包含了16个这样的基元组。将各基元组内的流阻按选定的方式归并成为一个新的流阻, 由这16个新的流阻基元表示的网络如图 6 (b)所示。重复以上的过程, 最后就得到了如图 6 (d)所示的由一个单一流阻基元表示的网络, 因而也就是整个网络的流阻。

对于二维平面网络, 按所选定的构造基元组的方式, 通过一次变换后, 网络的流阻基元数目减小1/4, 网络相互垂直的两个边长方向上流阻基元数目减小1/2。那么对网络进行n次重正化变换后, 网络基本单元的总数目减小(1/4)ⁿ (1/2²ⁿ), 如果对网络进行5次重正化变换, 其基本单元数目将减小1/1024。

3 气体径向和弦向渗透系数测量与计算 3.1 气体径向和弦向渗透系数测量

气体径向和弦向渗透系数测量选用人工林马尾松, 试材的来源、试件的气干和调湿处理、测量使用的装置与气体纵向渗透系数测量相同(鲍甫成等, 2002), 但气体径向和弦向渗透系数测量的试件为厚1.5 cm半径1.9 cm的圆盘, 测量时使用与纵向渗透试件不同的试件夹具。

为保证渗透气流是线性流(侯祝强等, 1999), 实验的观测结果, 控制渗透气体体积流率Q小于1.7×10^-6 m³·s^-1。本文共分别测量了来自6棵树段的43个径向渗透试件和37个弦向渗透试件的气体渗透系数。气体径向渗透系数测量结果的平均值为1.4×10^-14 m², 分布范围为2.3×10^-15~4.6×10^-14 m²; 气体弦向渗透系数测量结果的平均值为4.5×10^-15 m², 分布范围为1.2×10^-15~1.3×10^-14 m²。气体径向和弦向渗透系数测量时的环境温度分别是17.86℃和17.42℃, 而相应的各试件两端平均压强的平均值是1.166×10⁵ Pa和1.347×10⁵ Pa。测量中的计算公式与气体纵向渗透系数测量的相同, 为

(5)

3.2 气体径向和弦向渗透系数计算

由径向(弦向)渗透试件的厚度、等效截面边长以及管胞的有效长度、径向和弦向直径, 算出试件的纵向和径向(弦向)管胞数目后, 再利用(3)式可算得径向渗透试件二维流阻网络的m₁, 其值大部分在30~32的范围内, 少部分为33;弦向渗透试件二维流阻网络的m₁在34~36的范围内。

将有关量代入(4)式中, 可以得到径向渗透试件的二维流阻网络的m₂为,

(6)

而弦向渗透试件的二维流阻网络的m₂为,

(7)

上两式中L_L0为试件管胞的平均等效长度, L_T和L_R为试件管胞弦向和径向直径。由(6)、(7)两式知, 径向渗透试件二维流阻网络的数目, 是一个与试件本身的尺寸大小无关的量。将有关量的平均值代入(鲍甫成等, 2002), 算得径向渗透试件二维流阻网络的m₂为78.3, 弦向渗透试件二维流阻网络的m₂为70.8。

根据径向和弦向渗透试件二维流阻网络的m₁的值, 选择其二维流阻网络重正化变换的最大次数为5。沿用计算纵向渗透次级流阻网络等效流阻线性插值的思路(鲍甫成等, 2002), 构成如下的二维次级流阻网络等效流阻的计算公式。

(8)

(8) 式中R₍₄₎ 和R₍₅₎ 分别为二维流阻网络经过4次和5次二维重正化变换后的等效流阻, N₍₅₎ (=32)为5次变换后在径向(或弦向)变换覆盖的管胞数目。

严格来说(8)式不可直接用于m₁大于32的二维流阻网络等效流阻的计算。但由计算知, 二维流阻网络6次变换后的R₍₆₎ 与R₍₅₎ 相差不到百分之一, 当计算插值两点附近的值时, 可运用两点间线性插值外推法(清华大学、北京大学《计算方法》编写组, 1985)。因此, 可使用(8)式计算m₁大于32的二维流阻网络的等效流阻。

根据运用流阻计算气体纵向渗透系数的讨论结果(鲍甫成等, 2002), 因试件一部分管胞被完全堵塞对气体渗透的影响, 要使用有效流阻计算试件的渗透系数, 而试件的有效流阻由导通的次级流阻网络的等效流阻并联构成。试件导通的次级流阻网络平均数目可根据二项式分布的数学期望值算得, 径向和弦向渗透试件的次级流阻网系首先由一个三维流阻网络变换后, 再由一个二维流阻网络变换得到。对于二维正方形渗流网络其导通的临界概率是0.59 (Stanly, 1985), 径向和弦向渗透试件次级流阻网络的三维变换与二维变换是相互独立的事件, 则由概率的乘法定理知, 次级流阻网络的导通概率应是三维渗流网络和二维渗流网络导通的临界概率之积, 立方体渗流网络导通的临界概率0.3 (Stanly, 1985)则其为0.177。此外, 依据计算气体纵向渗透系数的讨论结果, 选取径向和弦向渗透试件次级流阻网络数目的平均值为78和71。

由计算气体纵向渗透系数时所使用的试件管胞结构参数平均值, 径向、弦向渗透试件的长度、横截面积, 以及试件气体径向和弦向渗透系数测量的温度、试件两端平均压强、空气粘滞系数、导通概率, 按照与计算气体纵向渗透试件等效流阻和渗透系数完全相同的方法和步骤(鲍甫成等, 2002), 算得的有关结果列在表 1中, 作为比较表中也列出了渗透系数的测量结果的平均值。

根据表 1中列出的结果, 试件径向和弦向渗透系数测量值与计算值较接近, 但还存在一定的差异。主要的原因在于测量中为便于夹持试件, 所使用的试件截面是变化的, 其如图7所示, 试件“1”和“3”两部分半径相同为1.9 cm, 而试件的“2”部分半径为2.4 cm。使用(5)进行计算渗透系数测量值时, 截面A取的是试件“1”和“3”部分的截面积。由于试件“2”部分的截面大于“1”和“3”, 这样就少计算了试件这一部分的截面对渗透的影响。为此考虑如下的修正。试件的流阻由图7所示的“1”、“2”、“3”部分流阻串联构成, 流阻的大小与其长度成正比而与其截面积成反比。试件的厚度为1.5 cm, “2”部分的厚度为1 cm, 若试件的流阻为R_C, 截面不变均为1.9 cm时, “2”部分的流阻是2/3 (R_C), “1”和“2”两部分的流阻是1/3 (R_C)。如果试件“2”部分的截面由A₂变成为A₂′, 相应的流阻由R₂变成为R₂′, 并且

(9)

试件“2”部分由于其外表面被封涂, 对于渗透将产生影响, 若考虑其有效截面为实际截面的五分之一, 将有关量代入(9)式可得到R₂′=0.833R₂, 则整个试件的流阻是0.889R_C, 而试件实际应有的这一流阻值所对应的渗透截面是1.125A, 这样由(5)式算得试件气体径向和弦向渗透系数测量结果的平均值分别为1.25和4.04, 这就与计算值相当接近了。这一修正表明, 本文关于人工林马尾松试件径向和弦向渗透系数测量结果与计算结果是相符合的。

4 结论

本文利用三维流阻网络研究针叶树材的径向和弦向气体渗透性, 给出了计算针叶树材径向和弦向气体渗透的方法与公式, 并且具体计算了马尾松木材径向和弦向气体渗透系数。同时, 本文测量了马尾松木材径向和弦向气体渗透系数并与计算值进行比较, 结果表明两者相符合。

根据本文及此前关于运用网络理论研究木材纵向渗透性的工作结果(鲍甫成等, 2002), 可以使用流阻网络描述气体在针叶材中沿纵向、径向、弦向的渗透规律, 计算针叶树材纵向、径向、弦向的三个气体渗透系数, 这是国内外已有的关于针叶材气体渗透流阻(流导)模型所不具备的特点。

本文关于针叶材径向和弦向气体渗透性的计算方法, 可以较准确地计算木材的径向和弦向渗透系数, 而径向和弦向渗透在木材干燥、木材改性、防腐等生产, 以及在与这些生产相关的研究领域中有着应用的价值。