木材细胞是在木材的微观结构层次上能较直接反映木材宏观性质的基本单元结构, 不同类型的木材细胞在空间的排列与组合构成木材的实体, 而正是这些数目巨大、形状大小不同木材细胞的存在, 使得木材的物理、力学等性质较其它固体材料呈现出极为复杂的变异特性。因此, 从木材细胞力学特性出发研究木材的宏观力学行为, 将能够获得对木材力学特性更为深入的认识。

木材细胞的力学模型包含着两个方面的内容, 一是细胞壁力学(cell-wall mechanics)模型, 二是木材细胞的结构模型。有关木材细胞力学的研究开始于20世纪50年代, 并在60年代中期正式提出“细胞壁力学”的概念(Mark, 1967); 20世纪70年代可以说是细胞壁力学研究发展成熟的阶段, 这一时期的研究成果奠定了细胞壁力学理论的基础。木材力学性质和物理性质研究工作的要求, 促进了木材细胞结构模型的建立和发展, 在木材力学性质研究中关于木材细胞结构的模型, 通常使用圆形的中空管状模型和矩形的中空管状模型(Siau et al., 1968; Bodig et al., 1982; Salmen et al., 1985)。细胞力学模型目前主要应用于关于纸的质量和木质材料如纤维板、碎料板等机械性能的评价(Jayne, 1959; McMillin, 1968; 1969), 少见有应用于实体木材力学性质研究工作的报道。

木材的弹性模量是评价木材力学性质的一个基本的参数, 在不同树种弹性模量的实验测定和理论研究两个方面, 国内外木材科学工作者都已做了大量工作。Koponen等(1989; 1991)根据木材细胞壁的化学组成、木材细胞的形状建立模型, 计算木材的纵向弹性模量; Burgert等(2001)根据木材纵向细胞与射线细胞的弹性模量建立一个二分量模型(two-component model), 分析计算了射线对阔叶树木材横向弹性的影响。本文从木材细胞的胞壁壁层构成、几何形状结构、力学特性出发, 根据细胞在木材中排列与组合的特点与规律, 提出一个针叶树木材宏观纵向弹性模量的计算方法。

1 针叶树木材细胞结构模型

针叶树木材主要由轴向排列的管胞、径向排列的射线、轴向薄壁组织、树脂道构成, 鉴于管胞和射线两者已达针叶树木材组织比量的98%或更高(姜笑梅, 1995; 刘鹏等, 1995; 刘鹏, 1995), 作为一种简化的模型, 本文以下的讨论将不考虑轴向薄壁组织和树脂道对针叶树木材弹性模量的影响, 认为针叶树木材弹性模量由组织比量之和达98%以上的管胞和射线所决定。

1.1 管胞结构模型

沿用木材力学性质研究中通常做法, 同时又考虑管胞类似梭状的外形特征, 将针叶树木材早材、晚材管胞简化成为两端劈尖的、中空的矩形管, 其如图 1所示(图 1并未按实际比例画出), 图 1中上下两劈尖的斜面平行。此外, 本文关于管胞的模型有以下的设定:①对于同一个管胞来说, 上下两搭接壁、中空的矩形管状部分两径向壁和两弦向壁的厚度对应相等, 且中空部分的径向、弦向胞壁厚度和腔径在纵向不变化而为常数。②认为胞壁表面是平整的, 忽略胞壁上纹孔的存在对弹性模量的影响。③使用Mark和Gillis (1970)关于木材细胞壁由两种力学特性相异的物质组成的假定, 即木材细胞壁由MP (胞间壁+初生壁)和次生壁的S1、S2、S3层(以下简称为3S层)构成, 而MP层和3S层则由力学性质各向同性的基质(matrix)和力学性质各向异性骨架(framework)组成, 且这两层中基质和骨架的物质比量不同; 同时, 沿细胞的长轴方向与垂直细胞的长轴方向, MP层和3S层的弹性模量不相同。④早材管胞与晚材管胞胞壁中MP层与3S层的比例不同, 但在不同的早材管胞和不同的晚材管胞的胞壁中, 它们的比例无差异。在本文的分析与计算中, 使用了木材的纵向、径向、弦向相互垂直这一在木材科学研究中通常使用的假定。

1.2 射线细胞结构模型

针叶树木材的射线由射线管胞和射线薄壁细胞组成, 射线薄壁细胞是针叶树木材射线的主体(北京林学院, 1983), 且射线管胞和射线薄壁细胞的形体大体相似, 故本文的射线细胞结构模型不再将射线管胞和射线薄壁细胞区别, 将其整体作为薄壁细胞考虑。根据射线细胞外形接近于长方形的特征, 选取两端封闭、中空的矩形体, 其如图 2所示(图 2并未按实际比例画出)。与1.1类似, 沿用Koponen等(1991)关于射线细胞胞壁性质与早材管胞相同的假定, 认为前述管胞模型的四个假定对于射线细胞模型同样有效, 但由于将射线细胞作为薄壁细胞处理, 不再考虑其早材与晚材的区别与差异。

2 针叶树木材管胞的纵向弹性模量

设构成木材细胞壁的基质与骨架物质均匀分布, 则细胞壁可视为由MP层与3S层平行叠合而成。图 3中的(a)为管胞上下搭接壁厚度方向MP层与3S层叠合的示意, (b)为管胞中空管状部分横切面MP层与3S层的叠合示意。木材不发生破坏和撕裂时, 胞壁中MP层与3S层的应变应该相同(Bodig et al., 1982), 从而管胞和射线组织细胞在应力作用下发生形变时, 其各个组成部分的应变相同。管胞由如图 1所示的三部分组成, 而每一部分又由MP层和3S层两种力学性质相异的物质分层叠合起来。在材料的弹性范围考虑问题并将其组成的各部分作为线性弹性体对待(为简单计, 以下使用弹性体一词进行表述)。这样, 一个管胞是由上搭接壁弹性体、中空管状部分弹性体、下搭接壁弹性体首尾相连串接而成。根据本文的管胞模型和设定, 上下两搭接壁的弹性模量相等。

这样的弹性体可以用一个弹簧来等效表示(Bodig et al., 1982), 搭接壁可以看成为MP层与3S层物质构成的两个等效弹簧的串联, 而中空的管状部分则是其MP层与3S层物质构成的两个等效弹簧的并联。

2.1 搭接壁的纵向弹性模量

若劈尖部分与水平面的夹角为θ, 沿纵向在搭接壁上施加一压力(或拉力) F, 则可将其分解成为与搭接壁平行的力F₁和与搭接壁垂直的力F₂, 如图 4所示。F₁的作用结果使搭接壁沿长度方向伸长, 设为ΔL₁; F₂的作用结果将使搭接壁沿厚度方向收缩, 设为ΔL₂。以下首先讨论搭接壁MP层纵向弹性模量E_1M的计算。

设搭接壁MP层沿F₁方向的等效弹簧倔强系数为K_1M、沿F₂方向的等效弹簧倔强系数为K_2M。弹性体的弹性模量与其等效弹簧的倔强系数的关系为E=KL/A (Bodig et al., 1982), 这里L和A分别为弹性体的长度和横截面的面积。设在外力F的作用下, 搭接壁MP层沿纵向的形变为ΔL_M, 根据一维虎克定律分别有F₁=K_1MΔL_M1, F₂= K_2MΔL_M2。由图 4 (a)知, F₁=Fsinθ、F₂=Fcosθ, 这样就有

(1)

(2)

(1) 式中:L_1M为搭接壁MP层与F₁平行方向的长度(如图 4 (b)所示), A_1M为搭接壁MP层与F₁垂直方向的截面面积, E_1M为搭接壁MP层与沿F₁平行方向的弹性模量; (2)式中:L_2M为搭接壁MP层与F₂平行方向的长度(如图 4 (a)所示), A_2M为搭接壁MP层与F₂垂直方向的截面面积, E_1M为搭接壁MP层与沿F₁垂直方向的弹性模量。同时, ΔL_1M与ΔL_2M相互垂直, 从而

(3)

依据弹性体弹性模量与其等效弹簧倔强系数的关系式, 运用(1)、(2)、(3)式经整理后得到搭接壁MP层的纵向弹性模量:

(4)

式中:L_OM=D_OM/cosθ (L_OM和D_OM如图 4 (a)所示); A_OM为搭接壁在力F方向的投影面积, 其与管胞中空管状部分的横切面积相等; 管胞搭接壁的竖直长度为ε·L_T0 (如图 4 (b)所示)。Stamm (1964)指出, 针叶树木材管胞两端发生劈尖即相互搭接的部位主要出现在两个径面之间, 据此本文选取管胞的径向直径D_r作为搭接壁底端的宽度, 由此便得到

(5)

(6)

(7)

(8)

(7)、(8)式中的D_t为管胞的弦向直径。

根据我们的细胞模型, 搭接壁3S层与MP层有类似的几何结构, 因而只须使用3S层相应的参数并重复以上的讨论过程, 就可得到管胞搭接壁3S层的纵向弹性模量:

(9)

在(9)式中使用“S”取代了(4)式中有关量下标中的“M”, 两式中对应的量意义相同。经分析可知A_OS=A_OM; 此外, 若用D_OS表示搭接壁3S层的厚度, 则有, L_OS=D_OS/cosθ、A_1S=D_td_OS、A_2S=D_tL_1S。

搭接壁的MP层和3S层沿着力的方向叠合, 所以搭接壁的纵向弹性模量是MP层和3S层纵向弹性模量串联之和, 也即为两者等效弹簧串联系统的弹性模量。各个串联弹簧形变之和为系统的总形变, 再利用弹性模量与弹簧倔强系数的关系, 可以求出搭接壁的纵向弹性模量为

(10)

式中, L_T0=L_OM+L_OS, 是搭接壁沿力F方向的厚度; A_T0=A_OM=A_OS, 是搭接壁在力F方向的投影面积。

2.2 中空管状部分的纵向弹性模量

根据图 1 (b)和图 2 (b), 中空管状部分是按MP层在外、3S层在内平行套合而成。虽然两端为劈尖截口, 但劈尖截口在纵向的投影面即为中空管状部分的横切面, 且各面在纵向都等长, 在计算其纵向弹性模量时, 可以视为形状类似于图 2 (b)中的(2)所示的两端截口与纵向长度垂直的、矩形中空管状部分。令:中空管状部分的纵向弹性系数为E_TH、其等效弹簧的倔强系数为K_TH, MP层纵向弹性系数为E_1M、其等效弹簧的倔强系数为K_HM, 3S层纵向弹性系数为E_1S、其等效弹簧的倔强系数为K_HS。同时, 用L_TH、A_TH、L_HM、A_HM、L_HS、A_HS分别表示中空管状部分及其所含的MP层、3S层的长度和截面面积。

如前所述, 当中空管状部分在纵向作用一个力F时, 其可视为由MP层和3S层物质的弹性体的并联, 即两者等效弹簧的并联。一个由弹簧并联构成的系统, 各个弹簧所受力之和等于系统所受的力, 而系统的形变与各个弹簧的形变相同。由此得到,

(11)

且

(12)

(13)

(14)

联立以上4式, 当L_TH=L_HM=L_HS时可解得,

(15)

2.3 管胞纵向弹性模量的表达式

管胞的纵向弹性模量为上下搭接壁和中空管状部分纵向弹性模量的串联之和, 而上下搭接壁纵向弹性模量相等。根据弹性体串联的特性, 以及(4)、(9)、(10)、(15)式, 最后得到管胞纵向弹性模量的表达式为

(16)

式中的E_OM、E_OS、E_TH分别可由(4)、(9)、(15)式求得, 因E_TL的完整解析式冗长, 这里未将其列出。

2.4 射线细胞的纵向弹性模量

由图 2知, 射线细胞由上下两端面和中空矩形体组成, 其纵向弹性模量是这三者纵向弹性模量的串联之和, 并且上下两端面的纵向弹性模量相等。根据1.1和1.2节的讨论可知, 管胞和射线细胞模型在形状结构上的差别, 主要是管胞搭接壁与射线细胞端面的形状差别:前者两端的搭接壁形如劈尖, 而后者两端的搭接壁为平面。但稍加分析后不难发现, 若不计两者在纵向、径向、弦向的尺寸大小差别, 则射线细胞端面对应着图 4 (a)、(b)中θ=0的情况。令(4)、(9)中的θ=0, 可知射线细胞端面MP层的纵向弹性模量E_EM=E_2M, 3S层的纵向弹性模量E_ES=E_2S; 利用(10)式可得到

(17)

式中, D_TE为射线细胞端面沿纵向的厚度, D_EM和D_ES分别为射线细胞端面的MP层和3S层沿纵向的厚度。

由于射线细胞中空矩形体和管胞中空矩形体结构完全类似, 将(15)式中管胞中空矩形体的有关参数用射线细胞中空矩形体的替换, 得到射线细胞中空矩形体的纵向弹性模量:

(18)

式中, A_RH是射线细胞中空矩形体MP层和3S层在R-T平面上的截面面积, A_RM和A_RS分别为MP层和3S层各自在R-T平面上的截面面积。

根据弹性体串联的特性, 以及(17)、(18)式, 射线细胞纵向弹性模量可表示成为

(19)

式中, L_RL是射线细胞沿纵向的长度, L_RH是射线细胞中空矩形体沿纵向的长度, 其它各量的意义与前相同。

3 针叶树木材试件的纵向弹性模量

管胞以其长轴在针叶树木材中纵向首尾相接成串, 而这些个纵向首尾相接成串的管胞, 相互紧贴在R-T上面平行排列。试件管胞整体的纵向弹性模量, 是弹性模量不同的各管胞为代表的弹性体, 在纵向按某一数目串联、在径向和弦向按另一数目并联的系统所形成的纵向弹性模量。设管胞弹性体第i列纵向串联的数目为N_1i, 根据前面的分析结果, 试件中这N_1i个串联的管胞弹性体的纵向弹性模量的计算式为

(20)

式中, L_Si为N_1i个串联的管胞弹性体的长度(等于试件的纵向长度), A_si为N_1i个串联的管胞弹性体的截面面积的平均值, L_Sij为N_1i个串联的管胞弹性体中第i个的长度, A_Sij为N_1i个串联的管胞弹性体中第i个的截面面积, E_TLij为N_1i个串联的管胞弹性体中第i个的纵向弹性模量。

当在径向和弦向并联的管胞弹性体的数目为N₂时, 则由并联弹性体弹性模量的计算法和(20)式则有

(21)

式中, L_P是N₂个并联弹性体的平均长度, A_P为N₂个并联弹性体的总截面面积。(21)式即为试件管胞整体纵向弹性模量的计算式。然而, 无论是在形状结构还是在胞壁的MP层和3S层比量上(Mark, 1974), 早材管胞与晚材管胞都有明显的差别, 所以应该使用(21)分别计算早材管胞与晚材管胞纵向弹性模量, 然后利用晚材率和混合物法则(mixtures law)计算E_TLS, 即

(22)

式中, α为晚材率, E_TLSE和E_TLSL分别为试件早材管胞和晚材管胞整体的纵向弹性模量。

射线细胞在针叶树木材中以单列或多列的形式, 由髓心向外沿径向首尾相连间断或不间断的排列。根据前节的讨论, 射线细胞整体的纵向弹性模量可以视为某一数目的细胞弹性体在R-T平面上并联后, 沿纵向以另一数目串联所构成系统的纵向弹性模量。要指出的是, 根据弹性体的串并联特性, 完全可以象管胞那样导出计算射线整体纵向弹性模量的公式。然而, 由于射线细胞在针叶树木材中排列随机多变, 不仅其排列的高度、宽度、沿径向延续的长度, 还是其细胞结构大小的变化, 都难以找出一个较满意的定量描述的规律, 从而无法利用导出的公式进行准确计算。因此, 本文使用射线细胞有关参数平均值计算其整体的纵向弹性模量。

若针叶树木材管胞的组织比量为β, 则射线细胞的组织比量为(1-β); 又若试件的体积为V, 那么, 其中管胞所占的体积是βV, 射线细胞所占的体积为(1-β) V。认为木材在其弹性范围内是正交各项异性的, 在纵向、径向、弦向不存在弹性模量的耦合。若试件中数量与βV体积对应的、大小和外形不同的管胞, 在纵向按一定规律排列组合所形成的宏观纵向弹性模量是E_TLS; 而数量与(1-β) V对应的、大小和外形也不同的射线细胞, 在径向按一定的规律排列组合所形成的宏观纵向弹性模量是E_RLS。根据混合物法则, 试件的纵向弹性模量是E_TLS以β为权重, 与E_RLS以1-β为权重的加权平均值:

(23)

式表明, 试件的纵向弹性模量E_L, 归结于计算试件中管胞总体和射线细胞总体的宏观纵向弹性模量E_TLS和E_RLS。

4 小结

在设定针叶树木材由管胞和射线组成的前提下, 根据管胞和射线细胞的解剖结构特征, 将其分别简化为两端劈尖、矩形截面、中空的管胞模型和长方体状、中空的射线细胞模型。沿用Mark和Gillis关于细胞壁由力学性质相异的MP层和3S层构成的假定, 利用管胞和射线细胞模型, 导出了管胞和射线细胞纵向弹性模量的计算公式。在此基础上, 根据管胞和射线细胞在针叶树木材中的排列规律, 结合弹性体串并联的特性, 进一步给出了计算针叶树木材试件宏观纵向弹性模量的方法。本文假定木材细胞为一个理想的线性弹性体, 从而使用线性弹簧及其串并联模拟木材的弹性特性, 但木材的实际弹性特性与线性弹性体特性并不完全相符。

本文是关于针叶树木材弹性特性研究的理论分析, 从木材细胞的微观角度研究木材的宏观弹性特性, 不仅可以获得关于针叶树木材弹性特性的认识, 也可以用于针叶树木材纵向弹性模量的计算和预测。作为本研究的继续, 将应用本文已获得的纵向弹性模量理论分析结果与导出的公式, 根据针叶树木材细胞的解剖结构参数, 计算试件的纵向弹性模量并与测量结果进行比较, 同时预测试件宏观弹性模量随细胞解剖结构的变化。