气体在木材中的渗透是通过木材内孔隙通道进行的, 所以木材气体渗透性受到木材结构的极大影响。木材是一种内部孔隙结构非常复杂的介质, 细胞间的孔隙连接在纵、径、弦向各不相同, 欲准确反映气体在木材中的渗透机理和规律, 就必须建立一个符合木材内部孔隙结构的木材气体渗透理论。

以往关于针叶树材气体渗透的模型或理论, 只考虑针叶树材内气体渗透通道在一维或二维的连接(Siau, 1984)。而每一个针叶树材管胞对于渗透气体都具有纵、径、弦向的流阻(鲍甫成等, 2001), 气体在针叶树材中的渗透等效于在针叶树材管胞流阻构成的网络中的流动, 研究气体在针叶树材中的渗透就等效于研究气体在针叶树材管胞流阻网络中的流动。如果求得针叶树材试件纵向气体渗透流阻网络的流阻, 由流阻与渗透系数的关系就可得到针叶树材试件的气体纵向渗透系数。本文将利用针叶树材管胞气体渗透的流阻和管胞在纵、径、弦向的连接特性, 建立一个描述针叶树材纵向气体渗透性的三维流阻网络; 并运用重正化变换求解流阻网络的流阻, 计算针叶树材气体纵向渗透系数, 并与马尾松木材气体纵向渗透系数测量结果比较, 以验证由三维流阻网络理论所得计算结果的准确性。

1 针叶树材纵向气体渗透流阻网络

根据针叶树材的解剖结构, 管胞长轴与树轴方向即纹理平行排列, 并在纵、径、弦向相互连接构成针叶树材实体。图 1所示为在纵、径、弦向两两对称排列的8个管胞(并未按管胞实际尺寸比例画出, 图中数字为8个管胞的序号, 位于左下角背面序号为“7”的管胞被遮盖), 在本文以下的讨论中, 选择其作为构成针叶树材气体渗透流阻网络的基元组。

1.1 管胞间各纹理方向流阻分量的连接

根据气体在管胞内和管胞间的渗透通道(鲍甫成等, 2001), 将每一管胞在纵、径、弦向的流阻一一连接, 就构成一个三维空间流阻网络。以位于在R -T(径、弦向所在平面)平面上序号为“1”、“2”、“3”、“4”管胞为例, 讨论如图 1所示管胞基元组的流阻分量在6个面上的连接。

仿效King(1989)和Ewing(1993)构造空间流阻网络的方法, 将管胞的纵、径、弦向流阻都分为相等的两部分, 称为管胞在相应纹理方向的流阻分量, 以管胞的中心作为管胞流阻分量的连接点。渗透气体沿纵、径、弦向中的一个方向由一个管胞流入相邻管胞所对应的流阻, 就等于这两个管胞在该方向流阻分量的串联。图 1所示的管胞“1”、“2”、“3”、“4”在R - T平面的流阻分量连接(图中R_g表示一个管胞的总流阻), 图 2左图水平虚线表示两个管胞纵向流阻分量, 垂直虚线表示管胞的两个弦向流阻分量。图 2右图为这4个管胞, 按上述方式连接的R -T平面流阻网络流路图。按照上法, 可得到图 1中所示8管胞在另外5个平面相应的流阻分量连接流路, 其流路图与图 2类似不再重画。

如将图 1的8个管胞在6个面上的流阻分量连接流路连接叠合, 就可得到作为网络流阻基元组的8个管胞流阻的三维空间连接图(图 3, 为使视图简洁, 图中用直线条示流阻, 小黑点代表流阻的连接点)。管胞在纵、径和弦向的流阻分量各不相同, 因而当渗透气体沿着纵、径、弦向通过流阻基元组时, 相应的等效流阻和流路都不相同。由此可知, 管胞流阻基元组具有反映针叶树材气体渗透性在纵、径、弦向上差异的特性。

1.2 气体纵向渗透流阻网络基元组的等效流路

当气体沿纵向通过图 3所示的流阻网络基元组渗透时, 径向(R)和弦向(T)无压强差存在, 则接点“5”、“6”、“7”、“8”、“9”、“10”、“11”、“12”、“13”、“14”、“15”、“16”、“17”、“18”、“19”、“20”, 是一些开路的流阻端点可以除去。同时, “1”、“2”、“3”、“4”各点的压强都为渗透气体流入基元组的压强, 这4个端点可连成一点; 而“21”、“22”、“23”、“24”各点都等于渗透气体流出这基元组的输出压强, 故这4个端点也可连成一点, 由此得到如图 4所示的流阻基元组的流路, 图中各个端点间的流阻与管胞的流阻分量关系如下所示(式中上标“L”、“R”、“T”表示纵、径、弦向):

2 气体纵向渗透流阻网络的等效流阻 2.1 试件的次级流阻网络

一个针叶树材气体纵向渗透试件包含着数百万个管胞, 将这些管胞纵、径、弦向的流阻分量按上节所述流阻连接方式逐一连接, 就构成一个描述气体纵向渗透的三维流阻网络, 这是一个在纵、径、弦向3个基本方向异性的简单立方体网络。

当试件某一基本方向存在外加宏观压强差时, 气体除沿该方向流动外, 也要沿另两个基本方向流动。但气体沿存在宏观压强差的的流动, 与沿无宏观压强差的流动是有差别的, 这种差别就是沿无宏观压强差存在的基本方向的流动将要受到一定的限制。Zimmermann(1983)曾指出, 因蒸腾压水分沿着树干轴向(纵向)上升时, 也沿径向和弦向移动, 对不同的树种, 水分上升的距离与弦向流动距离间的夹角在1°~ 3°。为了定量反映和描述气体在三维空间的这种流动特性, 根据Zimmermann得到的观察现象和分析结果, 定义试件气体渗透的次级流阻网络, 即试件内部存在着一些流阻相互不连接的区域, 这样的区域为一个次级流阻网络。

气体在针叶树材中沿纵向渗透的阻力远小于径向和弦向渗透阻力, 在外加的纵向气体压强差作用下, 气体在试件内沿径向和弦向流过的管胞数目将不会超过沿纵向流过的。本文假定次级流阻网络在纵、径、弦向包含的管胞数目都等于试件纵向管胞数目。气体纵向渗透试件的流阻网络由若干次级流阻网络组成, 如果已知试件的纵向管胞数目, 则就可确定试件次级流阻网络的流阻数目。

2.2 实空间重正化变换的一般过程

纵向渗透试件的次级流阻网络包含有近2.8 ×10⁴个流阻单元, 本文使用实空间重正化变换方法求其等效流阻。实空间重正化变换是将小空间的物理量“平均”成为大空间的物理量(于渌等, 1984; 卢春生等, 1990; Bruce等, 1991;1992), 经过一次变换后, 由一定数目小空间尺度网络单元构成的网络单元组, 变换成一个单一的大空间尺度单元, 并由各个小空间尺度单元物理量, 获得大空间尺度单元物理量。

关于针叶树材气体纵向渗透流阻网络的三维重正化变换, 选择流阻单元组的单元数目为8。此外, 渗透试件的流阻网络是由有限个流阻单元构成的流阻网络(Bider等, 1994), 以下关于试件流阻网络重正化变换讨论中, 只要求所进行的重正化变换是否覆盖了整个流阻网络, 而并不关注变换是否达到了不动点。本文只涉及实空间重正化变换, 将使用重正化变换这一术语作为实空间重正化变换的称谓。

图 5表示了三维流阻网络进行重正化变换的一般过程。图 5的(a)中, 小方框表示流阻网络的一个管胞流阻分量, 加黑的大方框表示整个流阻网络, 图中所示的网络包含了512(8³)个管胞的流阻分量。选择上下、左右、前后两两对称排列的8个管胞的流阻分量构成流阻单元组(如(e)所示), 那么整个网络包含了64个流阻单元组。将这64个流阻单元组中的各个流阻, 按照某一选定的方式进行组合迭加, 就得到由这64个新的流阻单元表示的流阻网络, 如图 5中(b)所示。

在(b)中再选择由上下、左右、前后两两对称排列的相邻8个流阻单元构成新的流阻单元组, 再将其中的各个流阻按照选定的方式进行组合迭加, 就得到了只由8个流阻单元表示的流阻网络, 如图 5中(c)所示。(c)中只剩下8个流阻单元, 整个网络就是一个流阻单元组, 对这一流阻单元组再次按照选定的方式进行组合迭加, 最后就得到由一个流阻单元表示的流阻网络, 如图 5中(d)所示。这个流阻单元就为该流阻网络的等效流阻。通过这样3次重正化变换, 就可将一个包含有512个管胞的流阻分量的流阻网络, 变换成一个单一的流阻。由上述过程可知, 流阻网络的每一次重正化变换都类似, 均针对由8个流阻单元所组成的流阻单元组进行。要指出的是, 选择8个流阻单元按上下、左右、前后两两对称构造流阻单元组, 不是三维重正化变换本身所要求的, 是根据变换和计算的可操作性选择的。

按本文选定的构造流阻单元组的方式, 一次变换后流阻单元组在3个正交垂直的基本方向上尺寸扩大1倍, 而网络流阻单元在3个基本方向的数目各自减少1/2, 网络流阻单元组总数目则减少1/8。那么, 对网络进行n次重正化变换后, 网络流阻单元的总数目减少1/8ⁿ(1/2³ⁿ), 这对于由大数目的管胞流阻分量构成的气体渗透试件次级流阻网络而言, 是一个行之有效的变换方法。

Darcy定律和Ohm定律是描述线性流的唯象定律, 因而可将电阻的串并联合并及三角连接和星形连接的等效变换应用于流阻基元组的组合迭加中(鲍甫成等, 2001)。将图 4所示的流阻基元组变换成一个单一的流阻单元, 就是由一系列流阻三角连接和星形连接之间的交替变换及串并联变换的步骤完成。一个纵向渗透试件的次级流阻网络要涉及近百次流阻变换步骤, 本文将直接给出变换的结果。

2.3 次级流阻网络的等效流阻

设矩形试件长度方向(纵向)管胞数目为N_L, 与试件截面相互垂直的两个边长方向(径向和弦向)管胞的数目为N_R和N_T; 且渗透试件长为L, 其正方形截面的边长为a。若管胞纵向的有效长度平均值为L_L0, 径向直径平均值为L_R以及弦向直径平均值为L_T, 那么, N_L =L/L_L0、N_R = a/L_R、N_T =a/L_T; 同时, 令m_R =N_R/N_L、m_T =N_T/N_L, 在纵向渗透试件的横截面上沿径向和弦向以N_L管胞数目为单位, 将试件划分所得的区域即为试件的次级流阻网络, 一个纵向渗透试件的流阻网络的流阻就是N'RT(= m_R × m_T)个次级流阻网络等效流阻(effective flow-resistor)的并联。

试件的次级流阻网络在纵向、径向和弦向的流阻分量数目均为N_L, 若N_L =2^J且J为一正整数, 由前面的分析知, 对次级流阻网络进行J次重正化变换后, 变换将覆盖整个次级流阻。一般来说, 气体纵向渗透试件的N_L不是2的正整数幂次数, 由本文所用纵向渗透试件早晚材管胞长度和试件长度, 算得其纵向管胞数目N_L约为30。J =4时(2⁴ =16)次级流阻网络刚好进行4次重正化变换; J =5时(2⁵ =32)则能进行5次重正化变换, 30位于16与32之间, 设4次重正化变换所得次级流阻网络等效流阻为R_B4, 5次重正化变换所得次级流阻网络等效流阻为R_B5, 纵向含有30个管胞的试件次级流阻网络等效流阻为R L, 有R_B5 < R_L < R_B4。5次重正化变换所对应的次级流阻网络纵向长度, 较4次重正化变换所对应的次级流阻网络纵向长度增加了1倍, 横截面积则增大到4倍, 根据计算知R B4与R B5的差别最大为3 %。流阻与其长度成正比而与其横截面积成反比, R_B4与R B5相差不大, 可以认为次级流阻网络经这两次变换后等效流阻的差值, 与其长度成正比而与其横截面积成反比, 从而可采用在R_B4与R_B5之间线性插值的方法计算R_L(胡祖炽等, 1986)。

设N₄、N₅为第4次和第5次重正化变换后次级流阻网络所包含的纵向管胞的数目, 试件的长度和截面积为L和A。这样有, L = N_L L_L0、L₄ = N₄L_L0、L₅ = N₅ L_L0、A'= N^'2L_RL_T、A₄ = N₄² L_RL_T、A₅ = N₅²L_RL_T, 得到下面计算试件次级流阻网络等效流阻的插值公式:

(1)

另外, 根据三维重正化变换知, R_B5由8个差异虽不大但并不相同的R_B4变换得到, 因此实际计算时式中R_B4的值是使用变换R_B5所用的这8个R_B4的平均值。

3 气体纵向渗透系数测量与计算 3.1 试件气体纵向渗透系数测量

用于气体渗透系数测量的试材, 采自广西凭祥市中国林科院热带林实验中心大青山林场, 在20 a生的马尾松人工林中, 选择6棵正常生长的树, 从距地面2.3 m处向上各截取1.5 m长的树段, 计6根, 各试材树干(湿材)大头直径:19 ~ 24 cm, 小头直径:18 ~ 22 cm。

试材自采集地点运回后, 立即解锯成毛坯, 毛坯在室内气干8个月之后, 加工成横截面为2.0 cm × 2.0 cm长为10.0 cm的无疵试件。加工好的试件在调湿箱内调湿3个月后, 在其外缘侧面先后用虫胶漆和硝基清漆封涂各3次, 晾干后继续调湿一个半月, 使试件的平衡含水率达10 %的预定值(误差0.5 %)。

试件气体渗透系数测量装置示意图如图 6所示。用于测量试件渗透系数的渗透气体是经工厂过滤处理后储存在高压气瓶内的空气。

为保证渗透气流是线性流(侯祝强等, 1999), 测量时应控制渗透气体体积流率Q小于2.7 × 10^-6m³·s^-1。测量了来自6棵树段的80个试件的气体纵向渗透系数。

3.2 气体纵向渗透系数计算

由于纹孔的闭塞, 一些管胞会被全部堵塞, 使得渗透气体无法通过。日本木材科学工作者Peng WuRong(1980)根据木材渗透性研究工作成果指出, 尽管木材是具有渗透性的多孔介质材料, 但其内部某些部分可能是不具渗透性的。在本文前两节关于管胞流阻和试件流阻网络的讨论中, 未考虑一些被完全堵塞的管胞对于试件气体渗透性的影响。引用2.1节试件气体渗透次级流阻网络的定义, 认为因管胞完全堵塞对气体渗透所产生的影响也局限在各个次级流阻网络内, 即试件内的堵塞部分以次级流阻网络来作为划分, 某个次级流阻网络或者是导通的或者是不导通的。导通的次级流阻网络才对气体在试件中的渗透是有效的, 并联着的各个有效次级流阻网络的等效流阻, 形成气体纵向渗透试件的有效流阻。

根据流阻网络的渗流理论计算, 简单立方体点阵组成的三维渗流网络的导通临界概率为0.3(Stanley, 1985), 即渗流网络包含的基元中有30 %是导通基元时, 整个网络是导通的。纵向渗透试件的次级流阻网络是简单立方体点阵网络, 各个次级流阻网络的导通概率即为三维渗流集团的临界导通概率。根据定义, 各个次级流阻网络的存在是相互独立的。这样, 纵向试件有效次级流阻网络数目的确定, 就是n个次级流阻网络在导通概率p为0.3的条件下, 满足二项分布时数学期望值的计算问题, 设试件的有效次级流阻网络数目的平均值n_E, 则有n_E =p_n(方开泰等, 1987)。若试件次级流阻网络的等效流阻平均值是R_L, 试件的有效流阻R_LE =R_L/n_E。这样, 针叶树材气体纵向渗透系数K_gL:

(2)

式中L为气体渗透长度, η为气体的动力粘滞系数, A为与渗透方向垂直的试件面积。

由试件管胞的解剖结构参数及管胞流阻分量数学表达式(鲍甫成等, 2001), 按前述方法编制的C语言程序, 由渗透系数测量时的平均温度(20.06 ℃)、试件两端压强的平均值(1.132 ×10⁵Pa), 以及对应的空气动力粘滞系数, 计算出试件次级流阻网络等效流阻的平均值; 由试件的尺寸及试件管胞的解剖结构参数, 算得试件有效次级流阻网络平均数目n_E =67.3, 由此得到试件的有效流阻, 并最后算出试件气体纵向渗透系数的平均值, 计算和测量的结果及有关参数列于表 1。由表 1可知, 根据针叶树材气体渗透流阻网络及其有关理论计算得到的试件纵向渗透系数计算值与测量值几乎相等, 两者符合得非常好。

4 结论

根据针叶树材管胞流阻和管胞在纵、径、弦向的连接特性, 建立了一个描述针叶树材气体纵向渗透流阻网络, 并运用重正化变换求解出流阻网络的流阻, 提出了针叶树材气体纵向渗透系数的计算方法。计算所得马尾松木材气体纵向渗透系数与其测量结果进行了比较, 两者十分吻合, 表明本文关于针叶树材气体纵向渗透流阻网络理论, 可以较准确地计算预测针叶树材的气体纵向渗透系数。

由于测量大尺寸试件气体渗透系数有实际操作上的技术困难, 目前关于木材渗透性的研究都是基于实验室测量用的小尺寸试件, 但木材渗透性的变异极大, 由小尺寸试件所得的结果很难准确反映大尺寸试件的渗透特性。在木材加工生产中使用的都是大尺寸锯材, 因而小尺寸试件渗透性在实际的应用就有一定局限性。运用本文所提出的方法, 可以构造大尺寸针叶材试件的流阻网络研究其渗透性, 预测和估算大尺寸木材试件纵向气体渗透系数, 从而能更有效地应用在木材工业的有关生产实际中。