下垫面对边界层大气的阻力系数是表征地球-大气相互作用的重要参数, 森林作为陆地生态系统中的重要因素, 在地-气间物质能量交换中起着重要作用(关德新等, 1997), 所以研究森林的阻力系数是一个重要的基础性课题。

无数个单株树个体构成了陆地上多种结构的森林因素, 依据株密度及排列方式的不同, 可以分成以下几种不同结构的林分, 株密度较大的林分构成均匀的森林下垫面, 这时一般把森林冠层作为下垫面整体来考虑, 很多学者对其阻力和阻力系数进行了较深入的研究(Thom, 1971; Raupach, 1979; Bergen, 1987; Taylor, 1988; Bergstrom et al., 1989; Bosveld, 1997)。多个单株树有规则地排列成行, 就构成了防护林带, 其阻力和阻力系数也有深入的研究(Hagen, 1971; Seginer, 1975; Hidenori, 1978;朱廷曜等, 1992;周广胜等, 1994;关德新等, 1995;1996;1998;Wilson, 1997), 这两种形式的林分以林分整体结构特征来表示, 不以单株树为单元进行分析。但林分很稀疏时, 既不能构成冠层, 也不能构成林带, 单株树成为林分与大气边界层之间的基本作用单元, 这一类的林分比较常见, 如疏林草原、林农间作、村屯绿化、公园绿化、林岛形式的防护林等, 要深入研究这一类林分的空气动力效应, 就有必要弄清单株树的阻力系数, 但这方面的研究甚少(关德新等, 2000;Guan, et al., 2000), 尚无具有普遍物理意义的理论模式, 本文利用伯努力方程和气流穿过单株树时风速衰减规律推导出单株树的阻力和阻力系数模式, 为边界层气象学和非带状防护林防风效益的研究提供基础。

1 单株树阻力系数定义

地表物体的阻力与来流的动能成正比, 所以边界层物理学中用物体的阻力与来流的动能之比来表示物体的动力学特性, 对于单株树, 可用下面公式表示其阻力系数

(1)

式中C_T为单株树阻力系数, Φ为单株树的总阻力, D、H分别为单株树的冠幅和树高, ρ为空气密度, u为参考风速, 有的研究者取物体高度的来流风速(Thom, 1971; Seginer, 1975; Raupach, 1979), 有的研究者取物体高度以下的几何平均风速(朱廷曜等, 1992;周广胜等, 1994;关德新等, 1998), 在中性温度层结条件下为

(2)

式中被积函数为来流的风速廓线表达式, 其中u_*为来流的动力速度, κ=0.4为卡曼常数, z为高度, z₀为地面粗糙度, e为自然对数底。本文参考风速采用(2)式。

2 单株树阻力和阻力系数的理论模式 2.1 单株树阻力模式

为了公式的简洁, 并考虑到不影响推导的物理意义和过程, 我们把圆柱体单株树(地面边长为D, 相当于冠幅)简化为等效的地面为正方形的柱体(地面边长为D′), 使二柱体的底面积相等, 则D′=0.5Dπ^1/2, 高度(树高) H不变, 以底面的一顶点为原点, 相邻边为x、y、z轴(x、y轴在底面平面上), 取风向为x轴方向, 气流穿过树体速度逐渐减弱, 在树体内某点(x, y, z)风速为u, 通过微水平位移dx风速下降du, 则du与u成正比, 与dx成正比, 则有

(3)

其中k为树体的风速降低系数, 与树冠的紧密程度有关。

变换上式, 并在x=0→x, u=u₀→u区间积分

(4)

(5)

在背风缘

(6)

与透风系数α的关系为

(7)

假设不透风物体, 置于静压压强为P₀、流速为u₀的流场中, 则物体背风缘流速降为0, 静压强变为P, 根据伯努力方程

物体单位迎风面积上所受风压力为

(8)

在树冠内某点(x, y, z)取一体积元dV=dxdydz, 设单位体积内枝叶迎风面积为C, 则dV内枝叶迎风面积为CdV, 可视为迎风面积为CdV的不透风物体, 所以dV对来流的阻力为

(9)

(10)

和来流速度(中性温度层结)

(11)

代入公式中, 设C、ρ不随位置变化, 对整个树体积分, x=0→D, y=0→D, z=z₀→H

(12)

根据(7)

(13)

所以

(14)

(14) 式就是单株树阻力的理论模式, 可见单株树阻力与以下因素有关:

(1) 来流特征, 即动力速度u_*和空气密度ρ, ρ是气压和温度的函数, 所以阻力与气压和温度有关。

(2) 地面粗糙度z₀

(3) 树体尺度, 冠幅D′和树高H

(4) 树体枝叶的紧密程度和分布特性, 体现于公式中的三个参数, 即透风系数α、风速减弱系数k和单位体积内枝叶迎风面积为C, 实际上这三个参数是紧密相关的, 由(7)得

(15)

所以已知α和D′则可求出k。

C是单位体积内的迎风叶面积, 与单位体积内的叶面积L_r成正比, 根据实验模型的测量结果(Guan, et al., 2000), D′L_r与α有密切的相关关系(图 1), D′L_r是ln α的线性函数

(16)

其中a > 0为经验常数, 对于本实验模型, a=4.28。所以有

(17)

(18)

式中C′> 0为比例系数, 即单位体积内垂直风向的叶面积与总叶面积的比值, 与树种有关, 令C′a=A, 则

(19)

所以A > 0是与树种有关的经验常数。

(15) (19)代入(14)得

(20)

树种和树体尺度(H, D′)确定后, 已知温度、气压(某一特定季节变化不大), 单株树阻力只是来流速度和透风系数的函数。

2.2 单株树阻力系数模式

根据阻力系数定义(1)及(2) (20)推导出(推导过程略) :

(21)

可见单株树阻力系数C_T与结构系数A成正比, 与1-α²成正比, 还与z₀/H有关, z₀/H量级在10^-2~10^-3, 则上式的中括号内右项取值在0.029~0.075, 即该项占C_T的2.9%~7.5%, 如果忽略此项, 上式可以近似地简化为

(22)

由风洞模型实验资料(Guan, et al., 2000)计算的A值为1.92, 模式计算与实验测定的阻力系数值(Guan, et al., 2000)的比较如图 2所示, 二者吻合较好。

3 结论

利用伯努力方程和气流穿过单株树时风速衰减规律推导出单株树的阻力和阻力系数模式分别为(14)、(21或22)式, 模式与风洞模拟实验结果很好地吻合。