物质世界是千变万化、广阔无垠、奥妙无穷的, 是各种物质系统相互作用相互联系的整体。人类在认识自然的过程中, 正在一层层揭去其面纱, 不断走向深入, 展示其真面目。随着牛顿经典力学的创立, 爱因斯坦相对论, 以及量子力学的发展, 人类在自然科学方面已经取得了辉煌的成就; 对微观世界由质点组成的简单系统的运动规律也有了全面而正确的认识(张济忠, 1997)。

但是, 在我们的周围, 象天空中云、弯曲的河流、地球的表面、人肺内膜等, 都是非线性不可逆现象, 而且在自然界中大量存在, 人们往往对这些现象所知甚少, 有许多问题甚至束手无策。1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上首次发表一篇题为“英国海岸线有多长?”的论文, 揭开了多年难以解释的问题, 使整个学术界大为震惊。自然界中大部分物体不是有序的、稳定的、平衡的和确定性的, 而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中, 处于非线性过程。在非线性世界里, 随机性和复杂性是其主要特征, 用经典的欧氏几何理论来描述和解释非常困难。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来解决这些难题, 透过无序的混乱现象和不规则的状态, 揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系, 具有广阔的应用前景(辛厚文, 1993)。

1 研究方法

测定分形维数的方法较多, 盒维数(Box Dimension)是一种比较直接、方便的方法。盒维数的普遍应用主要是由于这种维数的数学计算及经验估计相对容易一些。盒维数的研究可以追溯到30年代, 并且对它赋予各种不同的名称:Kolmogorov熵、熵维数度量维数和对数密度等(张济忠, 1997)。

盒维数法, 直观的理解就是数格子数。在实际应用中, 盒维数的具体做法是, 设有一个平面集F的曲线, 可以构造一些边长为r的许多正方形或称为盒子, 然后计算不同的r值的“盒子”与F的曲线相交的个数N_r (F)——盒维数, 这个维数是当r→0时, N_r (F)增加的对数率, 或者可以由函数logN_r (F)相对于logr的斜率值来估计。具体步骤:

(1) 首先把要研究的平面曲线嵌入一单正方形内。

(2) 选择一组小正方形(如图 1), 其边长为r_m, m=1, 2, …, M, r_m的最大值为1/2, 最小值为1/N, N为离散曲线的采集样点数。

(3) 用边长为r_m的小正方形覆盖单位正方形, 对于每个r_m, 计算覆盖这个曲线所需要的小正方形的相应数目N_m。其数学表达式为

(4) 画出m=1, 2, …, M时r与N_m的对数坐标图。如果曲线是分形的, 那么该坐标图点的分布在最小二乘法意义下接近一条直线, 直线斜率即所求的分维数。

2 结果与分析

木材密度是木材性质中最主要的物理量, 通过研究木材密度的变化, 可以更好地了解木材性质。x射线木材密度径向变化曲线, 反映了木材生长过程年轮内和年轮间的连续动态特点。从过去的研究来看, 较多集中于年轮密度的确定、密度轮廓分析、与生长的关系、与遗传变异关系等, 借助于数学统计手段, 把木材密度研究向前推进了一步。但是, 木材是一个复杂的有机等, 木材密度曲线可以反映出这种复杂性, 如果从非线性角度来分析和研究这一特点, 能发现新的问题(Marcelo, 1995; Jose, 1997)。从粗糙表面电磁散射波的分形研究(姚纪欢, 1998)、大气压强等(张济忠, 1997)的分形研究来看, 在大量无序的数据里存在着一种出乎意料的有序, 或者说, 具有分形特征。x射线木材密度曲线与电磁波和大气压强曲线, 有类似的特点, 可以借助分形原理加以分析。这项研究工作目前国内外还未见有报道。本研究运用盒维数的分形方法, 对x射线木材密度曲线图谱进行分形分析。探索从常规分析的另一个侧面, 找出木材密度的规律性。

选择所采集的江苏银杏试样x射线木材密度扫描图谱, 作为分形分析曲线。实验设计是, 把自髓心向外的密度曲线分成4等份, 每一等份作为一个分形分析的单体, 然后用盒维数法, 选择不同的小盒子来覆盖密度曲线。将测得的不同r_m和覆盖这个曲所需要的小正方形的相应数目N_m取自然对数, 计算两者之间的关系。图 2示银杏木材自髓心向外, 0~5.5 cm, 5.5~11 cm, 11~16.5 cm, 16.5~22 cm以及0~22 cm长, 径向木材密度图谱盒维数点的分布。每一种情况点的分布表明, 分布趋势都接近于一条直线, 说明密度曲线是分形的。胸高园盘半径方向4个等区域, 木材密度曲线对数值的点分布非常接近, 说明4个区域的直线斜率非常接近。与整个半径密度曲线相比, 除回归方程的截距差别较大外, 直线的斜率也很接近。

图 2中回归直线的斜率就是所测试对象的分形维数。从径向木材密度的2维空间分形维数变化来看, 如图 3所示。银杏木材密度曲线自髓心向外, 变化有所不同, 开始和后期, 分形维数值较大, 而5.5~11 cm段的分形维数值稍小, 反映出树木生长的各个区段, 木材密度曲线的分形维数有差异。分形维数与木材密度的最大值和最小值有关, 与年轮的宽窄有关, 与年轮内木材密度的波动程度有关。

图 3还表明, 在0~5.5 cm, 5.5~11 cm, 11~16.5 cm, 16.5~22 cm 4个等区段, 分形维数依次为1.4788、1.3474、1.4712和1.4741, 平均在1.4左右, 0~22 cm半径上的分形维数是1.4430。分形维数表示了木材密度的变化复杂程度, 与木材密度值的大小关系不大。从表 1可以看出, 分形维数与每一个测试区域所占年龄数的多少有关, 分形维数越大, 该区域所含的年轮数越多; 年轮内的变异性越大, 表现出的分形维数也越大。也就是说, 分形维数能够很好地反映木材内部的变化情况, 这一点正是木材科学研究所急需的。关于木材的变异性研究, 过去有过大量的研究和总结(Zobel, 1989), 从树木基部向上和自髓心向外两大方向, 围绕木材密度、纤维长度、微纤丝角等指标, 进行很深入地探讨, 得出许多结论。如果在做这些研究工作的同时, 吸收分形理论的思想, 可以更好地表达树木的变异性。

用同样的方法, 分析北京样点x射线木材密度图谱, 树木年龄17年, 共分析6株试样。将分析结果列于表 2中。表中第1行为样木编号, 第2、3行为平均年轮宽度和年轮密度, 第4行为每株样木的分形维数。从分形维数值来看, 6株样木的分形维数平均在1.4214左右, 江苏银杏试样分形维数是1.4430, 从这里分析来看, 一般一个树种木材密度的分形维数, 是相对稳定的, 因为分形维数表示了木材密度的复杂程度, 往往这种复杂程度是受树木的遗传因子所控制, 因此在研究不同树种木材性质时, 比较它们之间的分形维数值的大小, 可能更容易找到规律, 这一项研究工作还有待于进一步深入。

进一步比较分形维数与年轮宽度、年轮密度之间的关系, 可以看出, 分形维数与木材密度之间没有明显的规律性, 而分形维数与年轮宽度之间有一定的联系, 即平均年轮宽度小, 分形维数较大, 平均年轮宽度大, 分形维数就较小。这种关系与同一树种径向不同区域, 表 2所示, 有相似的规律性。分形维数与年轮宽度、年轮密度和解剖因子等之间的关系, 还有待于进一步研究。

总之, 用分形维数来描述木材密度的变化, 可以从另一个思维侧面来揭示木材内部的变异规律, 这一项工作将随着木材科学的发展, 而不断深入。

3 结果与讨论

运用分形理论研究x射线木材密度, 方法是可行的。在0~5.5 cm, 5.5~11 cm, 11~16.5 cm, 16.5~22 cm 4个径向等区段, 银杏木材分形维数依次为1.4788、1.3474、1.4712和1.4741, 平均在1.4左右, 0~22 cm半径上的分形维数是1.4430。

银杏样木不同单株x射线木材密度分析表明, 银杏木材密度的分形维数约在1.4214。分形维数与年轮宽度有一定的联系, 与木材密度本身关系不大。树种木材密度的分形维数一般由遗传因素控制, 不同树种木材分形维数是相对固定的。

从x射线木材密度分形研究来看, 分形分析直观地反映了木材密度年轮内和年轮间的变化规律; 不同部位木材密度的变化规律。根据分形维数理论, 可以获得木材的分形维数, 也可以获得不同树种木材密度的分形维数值。由分形维数可以比较树种之间木材性质的变化和差异。

分形理论研究x射线木材密度, 只是反映它的2维空间。从木材本身来说, 如果从3维角度来考虑, 要更完善一些。这一研究可以通过分形的逐步叠加等方法来实现, 通过进一步实验, 可以获得3维空间的变化规律, 并与2维可进行比较。

x射线木材密度分形研究表明, 木材密度径向分形维数, 与树木年轮的多少有关, 而与木材密度的大小关系不大。单位空间的年轮数多, 分形维数值较大。