在制材工业中，板皮裁边是提高综合出材率的最关键工序，国内外的制材设备制造厂家和下锯优化的理论研究工作者一直在这个研究方向上进行不懈的努力。所有研究的基点是板材的数学描述，板材描述理论的不完善是一个急需解决的问题。马岩(1988)提出了截顶椭圆抛物柱原木数学模型和材积计算公式，在此数学模型的基础上，提出了截顶椭圆弯曲锥柱体的弯曲原木模型(马岩等，1990)和截顶椭圆幂曲面的理想原木数学模型(马岩，1990)。于连波等(1988)提出过线性回归的原木模型，对原木模型研究撰写过综述(袁旭等，2005)，童雀菊等(1997)提出过二次曲线的原木外形拟合模型，于龙梅等(1992)提出过样条函数的原木模型。原木形状的仿真也有了成熟的进展(马岩等，2005；马岩，2006；任洪娥，2001)。本文以不见棱的毛边板作为板皮进行讨论。通常制材工序是将原木加工成矩形大方，锯出4块大板皮。如何锯切板皮让原木主产出材率最高是木材加工中的应用数学问题。

1 板皮在原木中的数学描述理论

制材需要先将原木加工成矩形大方，原木主产出材率的优化就是优化后使大方的体积最大，板皮裁边太小会产生大方降等，板皮太大则整体效益太小。因此，要合理利用钝棱，使裁边达到最优。为此，建立它的数学模型，由计算机求出板皮的优化设计尺寸和形状。板皮的描述体系是在理想原木中(图 1)，取原木的小头长径D_a1，小头短径D_b1，大头长径D_a2和材长L为实测值。则理想原木的数学模型为：

式中：a_i为原木描述方程常数，i=1，2，…，6；D_a1为原木短径方向长径；D_b1为原木短径方向短径；x，y，z为原木的方向坐标。

(1)~(3)式构成了理想原木的包络空间，(1)式是一个顶点在z向的椭圆幂曲面柱体，通过(2)式限定(1)的z向位置，即截顶的定义域，完成原木的数学包络，(3)式是限制a₁和a₂同号，即保证(1)式是椭圆方程式而不是双曲线方程。

方程的常数a_i可由实测参数定义：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

在(4)~(9)式中，取a₅=0是为了计算方便；t为模型系数，它可以控制树干纵断面曲线的凸凹程度，t的确定需要实测原木中央断面的某个参数。如果以中央断面短径D_bm为实测值，将特殊点(D_bm/2，0，L/2)代入(2)式，再代入(7)，(8)，(9)式的结果，就可以求出。a₁，a₂和a₄是将实测参数中的3个特殊点(0，D_a1/2，L)，(0，D_a2/2，0)和(D_b1/2，0，L)的数值代入(1)式得到3个方程后联立求解得出的。当然，取的点不同，得出的方程形式也不同，但最后材积计算的结果一致。取这样3个点可以使方程的形式简单。

上面各式构成原木的数学模型。随着制材工业的发展，制材的下锯优化、CAD和CAM技术已经使原木的综合出材率高达90%~95%；而原木主产出材率优化的潜力是有限的，但板皮最佳裁边产生的效益则有相当大的潜力。使板皮的裁边达到最优，使原木综合出材率超过90%，应首先建立它的数学模型，才能由计算机求出板皮的优化设计尺寸和形状。

2 原木中板皮的数学描述方法

原木的数学模型是截顶椭圆抛物柱原木的统一表达式。在原木的数学模型中的板皮简称为G型板皮。板皮从原木上锯下时，锯剖面一般都平行或垂直于长轴或短轴。沿原木长径方向锯下的有抛物线顶点的G型板皮简称长径尖顶G型板皮(图 1)(马岩, 1988)。这里以马岩(1988)为基础，将板皮的数学模型整理成既适用又方便的统一形式：

(10)

(11)

(12)

式中：H_b为板皮下径宽度；S为板皮宽边厚度；L_e为板皮的长度。其他符号意义同前。

(10) 式限定了板皮由原木锯下时下锯面的限定方程，(11)和(12)式确定了板皮的3个特殊点，从而限定了板皮的位置。板皮的包络面方程为：

(13)

(14)

(15)

3 板皮的材积计算方法

G型板皮的材积计算是数控板皮裁边设备软件编制理论中最基础的部分，它也可以用于板皮检尺的计算。它的结果可以整理成下列形式：

(16)

式中：D_0y前面各项的乘积是G型原木的材积，D_0y为G型宽边板皮材积的比例系数，它乘上100%以后相当于板皮占G(x, y, z)中的原木材积的比例。

(17)

从(17)式可以看出，该式为q_2y=1时的特例。同理，在G(x, y, z)原木中，沿原木短径方向的抛物线顶点G型板皮的材积为：

(18)

(18) 式中的D_0x的意义与D_0y相似，它的形式为：

(19)

由于G型板皮材积是G型小板在y₁=D_a2/2时(x₁=D_b2/2)的特例，所以：

(20)

(21)

4 板皮的仿真过程

本文给出的板皮解析模型最大的特点是实测参数少，实时采集板皮形状检测设备上的输出值也少，监测、计算和图像输出机构和系统大幅度简化。原木检测机构检测出D_a2，D_b2，D_bm，L，D_a2和D_b1等原木的参数，由此监测出H_b，S和L_e以后，板皮截面形状就可以由计算机仿真出来，通过L_e，H_b和S就可以实现板皮仿真过程的参数驱动。

板皮形状仿真是木材工业计算机控制系统中的一个重要环节(马岩等，1990)。对于原木实时数据采集系统来说还要求定时准确，板皮参数采集采样间隔要和原木采集具有较好的一致性。板皮由检测机的在计算机控制系统，特别是数据采集与处理系统中，对控制性能的要求通常较高，总是希望控制信息能得到最及时、准确的处理，而在整个控制过程中采样时间的精确度是整个控制系统得以正常运行的关键。因此，利用多媒体定时器来精确控制采样频率，实现数据的实时采集。该方法通过测试和实际的应用证明是精确的(图 2)。

5 理论结果的实测验证

为验证(18)式并比较长径和短径方向板皮材积的计算结果，举例说明如下。已知原木的尺寸已知原木的实测参数：D_a1=420 mm，D_b1=380 mm，D_a2=480 mm，t=1，L=4 000 mm，y₁=230 mm，S=15 mm，求沿长、短径方向锯下S=15 mm板皮的材积。

先求原木的材积参数q=0.875，D_q=1.153，V=0.578 m³。

由(20)式求得：；由(21)式求得：；由(17)式求得：D_0y=0.002 19，D_0y%=0.219%；由(18)式求得：D_0x=0.002 81，D_0x%=0.281%；由(16)式求得：v_3y=0.001 26 m；由(18)式求得：v_3x=0.001 62 m。

从计算结果和仿真的结果都可以看出，在同样厚度的板皮中，沿短径方向锯剖的板皮材积v_3x比沿长径方向锯剖的板皮材积v_3y大22%以上。这是因为在同样厚度下，短径方向板皮的宽度和长度都比长径方向的宽度要大一些。因此，可以对G(x, y, z)中定义的板皮进行更精确的几何计算。

6 结论

1) 本文提供了板皮加工的连续函数的数学描述理论，这些理论将优于线性函数、插值函数及样条函数建立的离散或非连续的模型。由于模型的连续性提高，使仿真工作大幅度简化。

2) 本文提出的数控加工仿真模型为板材最优下锯的视频再现提供理论，由于仿真方便，显示速度快，为模型的工业化应用提供了可行的方法。

3) 本文提出板皮材积精确计算理论和公式，可以精确地核算综合出材率，可以详细地描述原木裁边过程的出材率损耗。

4) 通过本文的研究，可以推进木材工业加工过程数学描述研究的开展，可以推出更实用的制材数控机床，提高我国木工机床的档次。