一元线性混合模型是一种新的统计学分析方法，是一元线性模型的拓宽。通常，一元线性模型要求误差结构是独立等方差，但是如果误差结构比较复杂时，就应该考虑“随机效应"的作用，将一元线性混合模型的自变量分解为“固定效应"和“随机效应"2类。随着定量遥感监测模型的深入研究，根据航空遥感图像的树冠形态提取与森林蓄积直接相关的定量因子，即所谓的“树冠颗粒"直径(简称冠幅)的微观监测模型越来越引起关注，显然冠幅与地面的树木直径呈线性相关。经过多年的研究，发现其误差结构比较复杂，引入树冠密度对模型的随机效应参数，用一元线性混合模型去描述冠幅与直径相关关系要比通常的一元线性模型深刻得多。理论上可证明，一元线性混合模型是总体最优无偏估计(Tang et al., 2001)。本文通过大量的观测资料建立标准冠幅与树木直径的一元线性混合模型，提出一种带有随机挠动的预测方程为遥感图像在森林资源的微观监测中重要的基础模型。

1 材料与方法 1.1 在航空像片上树冠的形态学特征

“树冠颗粒"的直径是森林遥感图像一个很重要的定量因子，由于分辩率的限制，现阶段它只能在航空像片图像中提取(郎奎建，1984)。航片上“冠幅"提取建立在树冠株数识别的基础上(马建维等，1986)。由于航片“冠幅”是与森林蓄积直接相关的为数不多的定量因子之一，所以对它的提取和模型的建立标志应用遥感图像的资源监测向更加深入的微观方向发展。

所谓标准的航片“冠幅"是指在正射投影的航空像片上，经过比例尺标准化处理(1:1万)，由模式识别单个树冠颗粒的直径。它具有下述特点：1)由于林木在航空像片的灰度由它的顶部向四周逐渐由亮变暗，由此形成“树冠颗粒"的镶嵌分布，这就是在航空像片上树冠的形态学特征。光学成像的航空像片图像可放大至20倍，在放大的航片上可比较清楚看出“树冠颗粒"的镶嵌分布，这就是航片“冠幅"识别和测定的必要条件。2)显然，航片树冠颗粒与地面林木不是一一映射的关系，航片“冠幅"是指林分中、上层林冠中可见木树冠的集合, 有可能一个树冠颗粒是地面上几株林木的映射。3)航片“冠幅"是经标准化，相当地面的“树冠"直径的“米"。4)航片“冠幅"是与森林蓄积有直接相关的定量因子，与其他遥感图像因子(定量或定性)相比，它是比较高的相关的定量因子。

1.2 航片“冠幅"与地面直径的相关资料 1.2.1 样地资料

航片样地与地面样地取自吉林省大兴沟林业局，航空像片比例尺为1:1.5万。为了与航片样地匹配，地面样地要经过认真挑选。要求地面样地精确的地理定位，使其与航片样地精确匹配，航片样地需要进行正射处理。样地面积均为0.25 hm²，样地数29个，分布有针叶林、阔叶林、针阔混交林等林分，龄组为成熟林和中龄林(幼)。样地的公顷蓄积从58 m³到280 m³。为获取冠幅与地面直径的相关资料，地面样地用罗盘仪导线测定每株树位置和树冠形状。

1.2.2 航空像片冠幅与树木直径的相关资料

航空像片样地经正射投影处理且标准比例尺(1:1万)后，由此获得航片样地图像，经目视识别的“树冠颗粒"与地面样地的树木位置图比较，获得匹配的单株树木(冠)称为相关树。经过筛选，相关树获取的比例为25%~30%。由此获得航空像片冠幅与树木直径的相关资料分布见表 1。

1.3 航空像片冠幅与树木直径的线性混合模型 1.3.1 航空像片冠幅与树木直径的线性混合模型的引入

从专业的角度，航空像片冠幅x与树木直径y应满足一元线性关系

(1)

显然在它们的关系中，一般a>0。

通常随着冠幅x的加大，树木直径y也会相应地呈喇叭口式扩大。如图 1所示，其中针叶树的喇叭开口要小些，而阔叶树喇叭开口要大些，这就使得式(1)的线性模型误差类型不再是独立等方差，这是因为树冠密度的随机因素作用。为此进一步引进随机因子，将式(1)的一元线性模型的自变量分成2部分：一部分是常规模型参数的固定变量，另一部分是随机变量，这就是一元线性混合模型(李永慈等，2004；McLean et al., 1991)。

1.3.2 由构造变量和组变量设计随机参数

在中国林业科学研究院林业统计研究室开发的统计软件ForStat 2.0的混合模型中，它的随机参数部分zu要由构造变量和组变量(或目变量)来分组设计(李永慈等，2004)。

1) 产生随机效应的主导变量称为构造变量。在航空像片冠幅与树木直径的线性混合模型中，相关树来自的样地是产生随机效应的主导变量，这是因为来自不同样地的相关树存在正射校正精度不同，样地四角地理定位精度、相关树匹配的程度不同，树冠颗粒边界识别误差及测量误差等随机因素的干扰。

2) 组变量可对随机效应的方差进行分解。由于冠幅与直径的一元线性混合模型的误差随树冠直径的加大而增大，所以组变量设计为树冠密度因子，即树冠的类型(表 2)。

用构造变量和组变量的叉积共同设计混合模型中的随机参数，在式(1)基础上得到航空像片冠幅与树木直径的线性混合模型：

(2)

混合模型把误差协方差矩阵分解为2部分：V=zGz′+R，令协方差G和R为独立等方差。

2 结果与讨论 2.1 航片冠幅与地面直径的线性混合模型

1) 数据文件：样地号、树种、树冠类型、航片冠幅、树木直径字段(1 239样本)；2)参数估计方法：限制极大似然法；3)计算方法：逐步规划法；4)模型(固定部分)：地面直径y=z+航片冠幅x，协方差类型：等方差；(随机部分)：结构变量：样地，分组变量：树冠类型，协方差类型：等方差；5)混合模型的参数估计；6)线性混合模型的回归效果分析。

线性混合模型的计算结果见表 3。线性混合模型与一元线性模型y=xβ+ε相比，虽然都是线性模型且都是总体的无偏估计，但线性混合模型比一元线性模型增加随机效应的变量部分(Cockerham, 1980; Mclean et al., 1991; Goodnight, 1980)。在它们的误差不是等方差的条件下，一元线性模型不是总体的最优无偏估计；而线性混合模型则是总体的最优无偏估计。混合模型对原方差进行了分解，使得模型的方差下降，也使得线性混合模型的相关系数由一元线性模型的0.57提高到0.72。由于固定效应是可控变量，随机效应是不可控变量，所以线性混合模型是在固定参数方程上迭加随机“噪声"函数。

2.2 带有随机挠动的预测方程

鉴于航片冠幅与地面直径混合模型中，组成随机效应的构造变量“样地”是不可控变量的，而组变量“树冠类型”却是可控变量(当然它们的联合构成不可控变量)，所以将“样地”平均化，由此形成下面带有随机挠动的预测方程：

(3)

式中：a+bx是混合模型的固定效应部分，是按“样地”平均化的随机效应部分，z_i是定性的“树冠类型”(哑变量)，分为小、中、大、特大树冠4级。公式(3)的参数见表 4。

3 结论

1) 航空像片“冠幅"是指在正射投影的航空像片上，经过比例尺标准化处理(1:1万)，由模式识别的单个林木的树冠颗粒直径。它是一群由树冠“亮点"组成的图像，理想的空间剖面曲线是一条周期性的、类似上半正弦波的、振幅不同的曲线，这是本研究的必要条件。

2) 从专业的角度，由于航空像片冠幅x与树木直径y都是树木的宽度度量因子，所以它们的相关关系应该是线性的，满足y=a+bx+ε的线性相关关系，而不满足y=bx+ε的线性相关关系。这种线性相关关系受到树冠密度的干挠，相关系数为0.4~0.6。这就是常规的一元线性模型。

3) 从数学角度来看，一元线性模型要求误差ε满足独立等方差，这是变量方差分析的必备条件。由于航片冠幅x与树木直径y不满足等方差条件，所以必须在原来固定参数模型y=a+bx+ε的基础上，引入随机效应参数及它的设计矩阵zu，从而产生线性混合模型。

4) 本文在ForStat2.0平台上，采用“样地"作为随机效应的构造变量，“树冠类型"作为组变量，成功地构造航空像片冠幅x与树木直径y的线性混合模型。混合模型把误差协方差矩阵分解为2部分：V=zGz′+R，由此线性混合模型是总体的最优无偏估计，也使得线性混合模型的相关系数由一元线性模型的0.57平均提高到0.72。

5) 在航片冠幅与地面直径的线性混合模型中，由于随机效应构造变量“样地”是不可控因子，所以将其平均化，由此形成带随机扰动的树木直径与冠幅的预测方程，并为东北林区提供16个林分类型方程参数。

总之，本文采用一种带有随机效应参数和固定参数的线性混合模型的估计方法，使得估计的效率有一定提高。由于数据经过标准化处理，使得带随机扰动的估计方程参数与航空像片比例尺无关，有较好的理论和应用前景。