带锯机是木材加工企业中重要的加工设备之一，其技术性能关系到木材锯解的质量与效率。在高速切削加工中，带锯条受力极其复杂，比如张紧力、离心力、交变弯曲应力、切削阻力、摩擦力、适张后的残余应力、热应力等(周之江，1981)。本文应用振动理论，对适张处理后的带锯条进行研究，确定张紧力与系统固有频率之间的关系，提出将带锯条的振动简化为弦的振动与受拉伸的梁振动，并得到相关试验支持。研究表明：把带锯条的振动用弦振动理论与受拉伸的梁振动理论来计算分析是完全可行的，当轴向拉力T₀足够大时，受拉伸梁振动频率与弦振动的公式是完全一样的。

1 带锯条的振动分析

系统的动态特性包含固有频率、阻尼比、动刚度、振型和稳定性等，本文重点研究受拉伸作用的弦结构振动理论(清华大学工程力学系，1980)、受拉伸和弯曲耦合效应的板梁结构的振动理论(张福范，1963；Rivat et al., 1995; 1997; Liu et al., 2003)，以及受拉伸、弯曲和扭曲作用的杆结构的固有频率理论的建模、计算与分析。

1.1 弦振动的波动方程及其理论解

设坐标选择如图 1所示，根据牛顿动力学原理∑Y=0，则

(1)

式中：表示波沿弦长度方向传播的速度(m·s^-1)。

称弦振动的波动方程

应用分离变量法求解波动方程(1)，设y(x, t)=Y(x)T(t)，令 (常数)，则

上述二阶常系数线性齐次微分方程的解可写成：

式中A，B由边界条件确定，p, φ由初始条件确定。

当x=0, y=0, Y(0)=0, B=0；当x=l, y=0, Y(l)=0。则

因此，弦振动频率的计算公式为

(2)

弦振动张紧力的计算公式则为

(3)

1.2 轴向力作用下梁的横向自由振动

轴向力作用下的梁振动模型如图 2所示。

水平运动微分方程为

由材料力学得知：, ，代入上式，并化简得

(4)

设y=y(x, t)=Y(x)sin(pt+φ)，代入(4)式，若EI=常数，则

其一般解为Y=Asinλ₁x+Bcosλ₁x+Cshλ₂x+Dchλ₂x。

式中：

边界条件当x=0, Y(0)=0, Y″(0)=0; B=0, D=0.当x=l, Y(l)=0, Y″(l)=0, A, C为非零解，则A, C的系数行列式为0，

∵ λ₁²，λ₂²，shλ₂l均不恒为0，故sinλ₁l=0，∴λ₁l=nπ，

∴λ₁=

化简后，得

(5)

当≥1时，公式(5)可简化为

(6)

张紧力的计算公式为

(7)

这个结果说明，当拉力足够大时，受拉梁的横向振动同弦振动的固有频率是完全一样的。

1.3 杆扭转振动的波动方程及其解

杆的扭转振动模型如图 3所示。

截取dx一段来研究其平衡。根据材料力学理论，得知。

根据转动的运动平衡微分方程, 令I_p=ρJ_pdx，若GJ_t=const，则。

设，那么

(8)

式(8)称为杆扭转振动的波动方程，它的解为

根据边界条件，当x=0, θ=0时。

当x=1时，θ=0, ,

∵sin(pt+φ)≠0，则Asin=0，由于A≠0，∴。

对于矩形截面，根据弹性理论(徐芝伦，1982)，当，dx单元的转动惯量

b=76.5 mm=7.65×10^-2 m, l=1.6 m, h=1×10^-3 m, G=80×10⁹ N·m^-2, ρ=7.8×10³kg·m^-3,

当有轴向拉力时，矩形截面杆的扭转刚度将增加，扭转的固有频率将会提高，有关这方面的内容将另外讨论。

2 试验研究

本试验所用的直背齿带锯条的尺寸为76.5 mm(宽度b)×1.0 mm(厚度h)×5 400 mm(总长度L)，试验用带锯机的主要技术参数见表 1。

2.1 试验方法

用电测法测应变换算张紧力，用频谱分析法测系统的固有频率(王正等，2006a; Szymani, 1984; Reynolds et al., 1995)。

2.2 仪器设备

动态电阻应变仪，型号YD-28A；振动及动态信号采集分析系统，型号SSCRAS V6.2，包括调理箱、采集箱和微机系统软件；压电式加速度传感器2只，型号CA-YD-107；应变片8片，校正因子均为2.08。

2.3 试验框图

带锯条张紧力和系统固有频率的测试见图 4。

3 结果与分析 3.1 测试结果

张紧带锯条的固频和应变的测试结果见表 2、3。

3.2 张紧力T₀与张紧应力σ的计算

本带锯条的横截面面积A=bh=76.5×10^-6 m²，弹性模量E=200×10⁹N·m^-2，1 με=1×10^-6，张紧力T₀(N)，张紧应力σ(MPa)。计算公式见表 4。

3.3 固有频率的理论计算

当轴向力为拉力T₀时，弦振动固有频率p_n==1, 2, 3, …)，或。

将实测得到T₀₁=2 829 N，T₀₂=3 544 N代入上式，固有频率f₁，f₂分别见表 5、6。

当轴向力为拉力T₀时，梁结构弯曲系统的固有频率p_n=，见表 5、6。

将轴惯矩I== =6.83×10^-2 m⁴和E=200×10⁹N·m^-2(辊压锯条)代入得

其他频率见表 5、6。

4 结论与分析

通过上述木工带锯条的振动理论与相关试验，笔者认为：

1) 把带锯条的振动用弦振动理论与受拉伸的梁振动理论来计算分析是完全可行的。上述作法得到试验的支持，因此带锯条作弦振动和受拉伸梁振动分析是正确的。2)当轴向拉力T₀足够大时，受拉伸梁振动频率的计算公式(6)与弦振动的公式(2)是完全一样的。事实上，时，两者误差约为5%。它们的张紧力计算公式均为。3)实际上，由于适张带锯条(王正等，2006b)有一定宽度，除横向振动外还有扭转振动，实测中的某些数值可能与扭转振动有关，这还需要从理论和试验上进行分析和研究。4)带锯条的振动也应包括面内的纵向振动，也还有许多问题需要通过ANSYS或Nasran等手段进一步深入研究。5)从本带锯条的横向摆动试验中发现，在带锯条张紧力作用下，进料器的送料速度为5.8 m·min^-1时，带锯条空载的横向摆动量比有负载时的大，且其横向摆动量的大小与锯轮转速不成线性关系，这与约束和张紧力直接关系，张紧力有直接影响带锯条的固有频率及振型，当然与加工树种有关，它们之间的关系如何，还需要进一步研究。