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解读社会经济科学中的偏微分方程模型

基于偏微分方程(PDE)的数学模型 已成为科学和工程领域大部分分支学科 中定量分析的一个组成部分,近来偏微 分方程也扩展至生物医药和社会经济科 学领域。偏微分方程在生物医药和社会 经济科学中极具应用前景,但由于这些 领域的研究方向普遍更为开放,以至于 出现了各种新颖的数学难题。

偏微分方程设计出的数学模型,可 以用于研究经济学中一些重要的问题, 并引起数学家的兴趣,探讨基于这些偏 微分方程产生的广为人知的属性,同时 列出一些开放性问题以待今后研究。

“解读社会经济科学中的偏微分方 程模型”专题(图1)发表在Philosophical Transactions of the Royal Society A 2014年372卷2028期,由Peter Markowich,Martin BurgerLuis Caffarelli 整理编辑,包含1 篇前言文章和12 篇研 究论文。本期英国皇家学会推介栏目从 中选取4 篇文章为读者介绍偏微分方程 模型在社会经济学中的各项应用。
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图1 社会经济科学中的 偏微分方程模型专题

由局部纳什均衡驱动的非保守经济中财富的演变

英国伦敦帝国学院的Degond等开发了一个模型,适用于非保守的经济环 境中财富的演变,扩展了Degond等开发出一种理论(J. Stat. Phys. 154, 751–780(doi:10.1007/s10955- 013- 0888- 4))。该模型考虑的是在一个游戏理论 框架中交互的理性代理商系统。通过以 往研究,这种扩展驱动财富和经济结构 变量中代理商的动态变化,成本函数是用来代表每个代理的风险规避策略。 即,代理更有可能与市场交互,当市场的 可预见性更高时,个体风险更低。这产 生了一个用于得出有效的单一小型代理 商密度的动力学方程,并使用纳什均衡 作为局部的热动平衡。

作者考虑了一个规模分离的体制, 其中大规模动力学由上述局部平衡的流 体动力闭合来实现。随后开发出一种广 义碰撞常量,来克服非保守性质的财富 在流体动力闭合推导财富分布演变的大 规模动力学时的难度。得到了一个用于 大规模代理商密度和平均财富的气体动 力学型方程系统。
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平均场稀疏优化控制

慕尼黑工业大学的Fornasier等介绍 了常微分方程制约的有限维稀疏最优控 制问题相关的严格限制过程,在将移动 人口分为领导者和追随者的动态上,建 模分析简约的干预措施,在无限维的最 优控制问题上,将常微分方程系统用于 领导者,再加上弗拉索夫型偏微分方程 来共同进行约束,以此来控制追随者概 率分布的动态变化。在古典平均场理论 中,人们通过单一平均影响来简化所有 其他个体对任何给定个体的影响,研究 了大量的小型个体彼此自由地相互作 用。在本研究中,作者并非针对领导者 实际还受到外部政策制定者影响的情 况,而是突出其追随者的数量N 达到无 限大时的影响。通过有限维稀疏的最优 控制问题的Γ 限,与控制追随者动态的方 程的平均场限制同步发展,来实现稀疏 的平均场优化控制的技术推导。
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通过领袖进行民意共识的玻尔兹曼型控制

意见的形成和动态过程引出所谓的 民意共识的研究是在社会科学的数学模 型中最重要的领域之一。继近来有学者 引入了玻尔兹曼型控制方式,意大利费拉 拉大学的Pareschi等考虑了一批根据目 标函数来实现民意共识而修改其相应策 略的意见领袖。玻尔兹曼型控制的主要 特征是,由于瞬时二进制控制形式,它可 使成本函数的最小化嵌入到相应的波尔 兹曼方程的领袖间微观相互作用中。相 关的福克-普朗克渐近限制的衍生,可以 给出稳态解的解析表达式。研究结果显 示了玻尔兹曼型控制方法的有效性和战 略上引领追随者意见的领袖控制的能力。
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纳入住房信息后进行犯罪的非局部密度估计

考虑到事件地点往往是离散样本, 人们希望产生的概率密度可以对空间域 发生事件的相对概率进行建模。标准密 度估计技术并不纳入通过空间数据报告 的先验事件。这种方法可能会导致对事 件不能现实发生的地点分配到显著正的 概率。特别是建模入室盗窃时,标准密 度估计可以得出在没有住宅的地方发生 入室盗窃的预测结果。

纳入上述空间数据可以报告有效区 域的密度。当建模极少事件时,更多的 先验事件可以帮助正确地弥补这个鸿 沟。对空间数据和事件数据之间相关性 的学习和执行可以对更少事件产生出更 好的估计。美国加州大学的Woodworth 等通过H1索伯列夫半范数正则化提出了 最大惩罚似然估计的非局部版本,从空 间数据中计算非局部权重,以获得更精 确的空间密度估计。作者从圣费尔南多 谷入室盗窃数据集中,由房屋数据或卫 星图像报告的非局部权重评估了该方法的应用。
http://rsta.royalsocietypublishing.org/ content/372/2028/20130403.full

(编译 田恬)