1 引言（Introduction）

军事侦察、地质勘探、抢险救援、高楼管道巡检等场景对爬壁机器人能够实现壁面过渡的高机动性能有明确需求，相关技术迅速发展起来。根据运动形式与黏附方式不同，爬壁机器人可分为足式、轮式和履带式。足式机器人支撑机构灵活^[1]，比轮式和履带式机器人^[2-5]具有更好的地形适应性，能实现越障、跨越沟壑、在非连续表面过渡等运动，且其附着方式有钩爪^[6]、真空吸附^[7-8]、反向推力^[9-10]、干黏附^[11]和磁吸附^[12]，能够配合足式机器人适应不同的攀爬表面。

在自然界，壁虎、昆虫等动物能够通过可靠的足端黏附与灵活的肢体协调适应环境中的各种非连续表面。同样的，对于爬壁机器人而言，实现在非连续表面稳定攀爬的关键在于足端能否提供运动所需的黏附力以及机器人机身与腿部之间是否能够协调配合。美国航空航天局（NASA）与加州理工学院共同研制的LEMUR 3（狐猴3）四足机器人^[13]可以在不同环境的竖直面进行爬行，针对岩石面等粗糙表面，团队设计了微针夹持器；对于玻璃或者瓷砖、金属等光滑表面设计了仿壁虎足底的干黏附材料来实施附着，同时机器人机身设计了7自由度的冗余腿，高灵活度的肢体使其能够在非连续性的崎岖表面爬行。韩国成均馆大学研制的MRWALLSPECT IV^[14]四足机器人可以通过距离传感器和陀螺仪传感器组成的复合传感系统识别与重建周边环境，为机器人提供爬行表面的几何结构，以规划足端轨迹与落足点，该方法可实现机器人在小倾角变化面上爬行。

现有的足式爬壁机器人大多可以实现在崎岖表面与小倾角变化面的过渡。不同于此，当机器人在面与面间呈内直角的环境中进行过渡运动时，其多个足位于不同面上，运动状态受到两端面的约束，机身的受力情况更为复杂。上海交通大学Zhang等^[15]模仿蛇类采用气动人工肌肉设计了一款多模态软爬行攀爬机器人，采用多模式的同步控制来驱动气动人工肌肉变形与足端真空吸盘吸附，实现从光滑平面至光滑竖直壁面的过渡。南方科技大学Gao等^[16]基于倒螺旋理论对六足机器人腿部进行分析，设计了一台可从水平面过渡至竖直面的六足机器人，在过渡阶段利用饱和截断法和均值滤波法处理关节角突变，开发自适应滑模控制器（ASMC）抵抗过渡时的外部干扰。这些工作通过设计机器人结构与控制方法实现了从水平面至竖直面的内直角几何环境的过渡运动，但是由于在初始平面上机器人支撑方向与重力方向相同，因此无需考虑黏附对其位于初始平面的支撑足端的影响。而对于竖直壁面间的过渡问题当前研究较少。在竖直壁面上，机器人需要完全依托足端黏附力进行过渡。南洋理工大学Zhu等^[17-18]通过研究真空吸盘的足端与壁面之间的自动对准算法设计了双足爬行机器人，结合吸力模块与自主姿态检测模块控制吸盘朝向，确保吸盘模块与目标表面可以法向对齐来实现吸附，并规划了机器人运动路径的离散点，实现了在竖直面与水平面间的自主过渡，但未能阐明接触中机身与足端之间的力映射关系。

足式爬壁机器人在竖直面上运动时，足端处于支撑相时的受力情况以及各个部分的位置关系决定了机身能否处于稳定状态，故分析足端力对质心的影响尤为重要。而在已知爬壁机器人质心期望力，需求解足端力分配的情况中，涉及多个约束条件，包括足端与质心的力映射关系以及足端所提供的黏附力或摩擦边界^[19]。将求解足端力分配作为目标函数，需要用到非线性规划方法。加州大学洛杉矶分校的Zhang等^[20]结合多足机器人的运动特点，利用非线性规划（NLP）方法进行多触点运动序列设计以避免电机可能出现故障的情况，规划机器人的摆动相移动顺序，并让六足机器人SiLVIA在两堵墙面之间攀爬以验证算法。目前，针对爬壁机器人在非连续崎岖表面爬行以及水平面至竖直壁面的过渡控制的研究较为成熟，但针对竖直壁面之间过渡的研究很少且多集中于机器人黏附行为的实现以及过渡摆动轨迹的设计，对机器人在壁面过渡中足端与质心之间的力映射问题未能作出说明。

本文着重研究在竖直面与竖直面夹角呈内直角的场景中，足式爬壁机器人进行壁面过渡时，足端与非同一接触表面黏合的情况下，足端提供的黏附力包络边界对整机运动的影响。建立足端与机器人质心之间的多维力学映射模型，通过NLP方法解算机器人可行足端力的上下限，并提出一套四足爬壁机器人的过渡策略。在仿真环境中验证该策略，并通过机器人平台验证理论及策略的可行性。

2 机器人在壁面过渡中的多维等效力学模型（Multi-dimensional equivalent mechanical model of the robot in wall transition）

在竖直墙面上，多足爬壁机器人足端与接触表面间的黏附力决定了其能否平稳进行攀爬与壁面过渡运动。在壁面过渡过程中，由于多足爬壁机器人的左右侧足分别贴附于不同壁面，故足端与接触面间的力学关系无法在同一参考坐标系下完全表征，对机器人的运动控制造成一定限制。在足端实现与壁面的接触黏合时，二者相互作用通常由3维接触力与接触扭矩组成，但由于足端关节处接触点相较于机器人整体维度较小，故将其看成点约束。进而得到，多足爬壁机器人的足端受力均由对应足与接触面之间的3维力构成，机器人在壁面运动的稳定性由多足间耦合的足端力决定。

本节分析机器人在环境中所受静态力及机器人的动力学方程，并分析多足异面支撑状态下的足端和质心的力映射关系。将映射关系作为约束条件，基于非线性规划方法，构建壁面过渡中的“多维等效力学模型”。利用该模型评估多足机器人壁面过渡行为的可行性。

2.1 机器人力学分析

多足爬壁机器人在运动过程中，通常用几何中心（或质心）的位置、速度与加速度描述其运动状态，在壁面过渡时，其两侧支撑足分别位于初始平面与目标平面，建立机身参考坐标系$ O $-$ XYZ $。参考该坐标系，机器人在爬行过程中需考虑其质心在$ X $、$ Y $、$ Z $方向的受力、转矩以及科氏力，但是爬壁机器人在竖直面上的实际爬行过程平缓且近乎匀速，机身加速度很少存在突变情况，对整体运动影响较小。

图 1中世界坐标系位于过渡前的初始平面$ A $，竖直向上为$ X $轴，法向为$ Z $轴，目标平面$ B $与初始平面的夹角为90$ ^{\circ} $；在机器人质心处建立坐标系$ O_{\text {CoM}} $-$ X_{B}Y_{B}Z_{B} $，该坐标系随着机身移动，机身前向为$ X $轴，法向为$ Z $轴；以支撑足末端与接触平面间的点为原点，竖直向上为$ X $轴，左侧为$ Y $轴，法向为$ Z $轴建立坐标系，该坐标系用于表征足端受力。图A-A为主图的俯视图，定义了机身与初始平面间的夹角$ \alpha \in ( 0^{\circ}, 90^{\circ}) $；图B-B为主图的侧视图。

在无外力扰动的壁面过渡中，机器人受力由处于支撑相的各足端与接触面间的作用力以及机器人所受重力组成。当机身在运动过程中保持稳定时，处于支撑相的各足端不与接触面发生相对滑移、机身不后仰倾覆，此时机器人质心的理想受力与转矩可忽略不计，故处于支撑相的各足端与壁面接触力的合力至少能与机身重力相抵消，且其他方向尽可能不存在额外受力与转矩。

$ \begin{align} & \sum _{i=1}^n \mathit{\boldsymbol{F}}_{i} +\mathit{\boldsymbol{F}}_\text{CoM} =0 \\ & \mathit{\boldsymbol{I}}_\text{CoM} \dot{\omega}_{\rm b} \simeq \mathit{\boldsymbol{K}}_\text{CoM} \end{align} $

(1)

$ \begin{align} & \mathit{\boldsymbol{F}}_{i} =\begin{bmatrix} F_{i_{x}} \\ F_{i_{y}} \\ F_{i_{z}} \end{bmatrix}, \; \; \mathit{\boldsymbol{\dot{\omega}}}_{\rm b} =\begin{bmatrix} \dot{\omega}_{{\rm b}_{x}} \\ \dot{\omega}_{{\rm b}_{y}} \\ \dot{\omega}_{{\rm b}_{z}} \end{bmatrix}, \; \; \mathit{\boldsymbol{F}}_\text{CoM} =\begin{bmatrix} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{bmatrix} \end{align} $

(2)

其中，$ n $表示支撑足的数量，$ \mathit{\boldsymbol{F}}_{i} \in \mathbb{R}^{3} $为空间向量，表示机器人第$ i $支撑足在空间中3个方向所受的力，包括切向的黏附力与法向力，$ \mathit{\boldsymbol{I}}_\text{CoM} \in \mathbb{R}^{3\times 3} $表示质心的转动惯量，$ \dot{\boldsymbol \omega}_{\rm b} $为质心的角加速度, $ \mathit{\boldsymbol{K}}_\text{CoM} \in \mathbb{R}^{3\times 3} $为质心所受转矩之和，此处$ \mathit{\boldsymbol{K}}_\text{CoM} =0 $。其动力学方程为

$ \begin{align} & m\begin{bmatrix} \ddot{x}_\text{CoM} +g \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}=\mathit{\boldsymbol{F}}_\text{CoM} \end{align} $

(3)

$ \begin{align} &\mathit{\boldsymbol{N}}_\text{CoM}=\mathit{\boldsymbol{I}}_\text{CoM} \mathit{\boldsymbol{\ddot{\theta}}}_\text{CoM} +\mathit{\boldsymbol{\dot{\theta}}}_\text{CoM} \mathit{\boldsymbol{I}}_\text{CoM} \mathit{\boldsymbol{\dot{\theta}}}_\text{CoM} \end{align} $

(4)

其中，$ \mathit{\boldsymbol{\dot{\theta}}}_\text{CoM} $为转动角速度，$ \mathit{\boldsymbol{N}}_\text{CoM} $为机身加速度，在整个壁面过渡过程中机器人缓慢运动，其加速度接近0，在触发足端黏附的情况下转动加速度的影响可以忽略不计，故$ \ddot{x}_\text{CoM} $与$ \mathit{\boldsymbol{\ddot{\theta}}}_\text{CoM} $近似为0。

分析机器人与环境之间受力作用是稳定进行壁面过渡的前提。不论采用何种附着方式，上述受力分析皆适用于多足爬壁机器人在竖直面间进行壁面过渡。

2.2 足端力与质心力的映射关系

本节提出足端力与质心力的映射关系，结合足端具体的黏附包络边界约束探讨机器人在实施壁面过渡时的理论可行性。

$ \begin{align} & \underbrace{ \begin{pmatrix} \mathit{\boldsymbol{I}}_{3\times 3} & \cdots & \mathit{\boldsymbol{I}}_{3\times 3} \\ {\mathit{\boldsymbol{P}}}_{{\rm CoM}, 1} \times & \cdots & \mathit{\boldsymbol{P}}_{{\rm CoM}, n} \times \\ \end{pmatrix}}_{\mathit{\boldsymbol{P}}} \underbrace{\begin{bmatrix} \mathit{\boldsymbol{R}}_{1} ( x, \alpha ) & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \mathit{\boldsymbol{R}}_{n} (x, \alpha ) \end{bmatrix}}_{\mathit{\boldsymbol{R}}} \underbrace {\begin{bmatrix} \mathit{\boldsymbol{F}}_{1} \\ \vdots \\ \mathit{\boldsymbol{F}}_{n} \end{bmatrix}}_{\mathit{\boldsymbol{F}}} \\ & =\underbrace {\begin{bmatrix} \mathit{\boldsymbol{F}}_\text{CoM} \\ \mathit{\boldsymbol{T}} \end{bmatrix}}_{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm exp}} \end{align} $

(5)

其中：

$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{P}}_{{\rm CoM}, n} & =\begin{bmatrix} 0 & -P_{z_{n}} & P_{y_{n}} \\ P_{z_{n}} & 0 & -P_{x_{n}} \\ -P_{y_{n}} & P_{x_{n}} & 0 \end{bmatrix}\mathit{\boldsymbol{F}}_{n} =\begin{bmatrix} F_{x_{n}} \\ F_{y_{n}} \\ F_{z_{n}} \end{bmatrix} \end{align} $

(6)

$ \begin{align} {\mathit{\boldsymbol{R}}}_{n} (x, \alpha) & =\begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[-3pt] 0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\[-3pt] 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \end{pmatrix}, \; \; n=2k-1, \; k\in {\rm Z}^{+} \\[20pt] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[-3pt] 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\[-3pt] 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix}, \; \; n=2k, \; k\in {\rm Z}^{+} \end{cases} \end{align} $

(7)

式(5) 中的参考系定义与图 1相同。$ \mathit{\boldsymbol{P}}_{{\rm CoM}, n} \in \mathbb{R}^{3\times 3} $表示在机身坐标系下处于支撑相的足端与质心的相对位置，$ n $表示机器人腿的数量，编号顺序为左前、右前、左后、右后。$ \mathit{\boldsymbol{I}}_{3\times 3} \in \mathbb{R}^{3\times 3} $是单位矩阵。$ \mathit{\boldsymbol{R}}_{n} \in \mathbb{R}^{3\times 3} $是滚转角变换矩阵，将足端坐标系转换成机身坐标系，$ \alpha $为过渡时机身的滚转角变化值，$ \mathit{\boldsymbol{F}}_{n} $是各个支撑足与接触面坐标系中的足端受力。

上述模型表明期望质心力可作为求解在壁面过渡过程中机器人机身处在不同滚转角时的足端受力分布的约束条件。理论上爬壁机器人在壁面过渡过程中，质心处所受合力应尽可能为0，但在实际情况下，质心的状态可能受到外界扰动影响，真实状态无法得知。基于该模型，通过已知足端的受力推导质心的受力情况，可评估在壁面过渡中机器人的运动状况。

2.3 壁面过渡的等效力学模型

求解爬壁机器人在壁面过渡时足端力的目标函数有2种形式的约束条件，分别对应求解足端力的上、下限。其一，通过添加爬壁机器人的期望质心力，设置足端的黏附力包络边界作为约束条件，提出机器人在壁面过渡时足端力理论上的最佳分配方式。其二，忽略实际足端黏附力边界条件，求解处于支撑相的机器人足端可能受力的最大值，得到壁面过渡可行的最大足端力包络边界。事实上，机器人足端与接触表面之间都存在有效黏附力包络边界，当任意方向的作用力超过该包络边界在对应方向的阈值时，黏附就会失效；反之，足端与接触表面之间应接触完好且相互作用不超过包络边界阈值，这种情况可视为黏附是有效进行的。

本节提出一种适用于多足机器人在壁面过渡中的理论模型。在之前的研究中发现爬壁机器人在竖直面稳定爬行的评价函数可以表示为

$ \begin{align} & f_{\min}(\mathit{\boldsymbol{F}}) =\sum _{i=1}^{3\times n} \| \mathit{\boldsymbol{F}}_{i} \|_{2}^{2}, \; \; \text{s.t. } \begin{cases} f(F_{x}, F_{y}, F_{z})-K<0 \\ \mathit{\boldsymbol{PRF}} =\begin{bmatrix} \mathit{\boldsymbol{F}}_\text{CoM} \\ \mathit{\boldsymbol{T}} \end{bmatrix} \\ \underline{\mathit{\boldsymbol{f}}}< \mathit{\boldsymbol{F}}<\overline{\mathit{\boldsymbol{f}}} \end{cases}\end{align} $

(8)

$ \begin{align} & \underline{\mathit{\boldsymbol{f}}} =\begin{bmatrix} \underline{f}_{1} \\ \vdots \\ \underline{f}_{n} \end{bmatrix}, \; \; \overline{\mathit{\boldsymbol{f}}} =\begin{bmatrix} \overline{f}_{1} \\ \vdots \\ \overline{f}_{n} \end{bmatrix}, \; \; \underline{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{i} =\begin{bmatrix} f_{x_{\min}} \\ f_{y_{\min}} \\ f_{z_{\min}} \end{bmatrix}, \; \; \overline{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{i} =\begin{bmatrix} f_{x_{\max}} \\ f_{y_{\max}} \\ f_{z_{\max}} \end{bmatrix} \end{align} $

(9)

目标函数$ f $是机器人所有支撑足3维受力的平方和，$ n $表示支撑足的数量，四足机器人（后文讨论情况皆为四足机器人）通常情况下$ 3\leqslant n\leqslant 4 $。将支撑足受力转化成标量累加进行评估，累加和即$ f(x) $，$ f(x) $越小则该机器人理论上爬行越稳定。但是爬行过程中足端力不可能为0，一方面受到足端黏附性能本身的影响，另一方面，规划的质心期望力逆向约束足端，通过模型解算可作为已知约束。

约束条件中，$ F_{x} $, $ F_{y} $, $ F_{z} $表示足端3个方向上的受力，$ f(F_{x}, F_{y}, F_{z} $) 表示某种黏附方式包络边界，$ \mathit{\boldsymbol{P}}\in \mathbb{R}^{6\times 3n} $表示支撑相足端坐标矩阵，$ \mathit{\boldsymbol{R}}\in \mathbb{R}^{3n\times 3n} $表示支撑足足端至机身坐标系的转化矩阵，$ \mathit{\boldsymbol{F}}\in \mathbb{R}^{3n} $为支撑足足端力矩阵。$ \underline{\mathit{\boldsymbol{f}}} $和$ \overline{\mathit{\boldsymbol{f}}} $代表足端的黏附包络边界的上、下界，对于第$ i $足，其足端的包络边界可能不同，所以给出$ \underline{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{i} $和$ \overline{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{i} $表征每条支撑腿的上、下界。

3 壁面过渡运动规划与仿真（Wall transition motion planning and simulation）

本节根据匍匐四足机器人构形制定具体的壁面过渡运动规划与过渡策略。利用第2节的力学模型与计算方法求解足端受力的理论上限值与下限值，得到机器人壁面过渡时所需的足端最小黏附力以及基于本节过渡策略所需的最大黏附力，并在仿真中通过施加包络边界验证策略的可行性。

3.1 机器人构形分析与壁面过渡运动策略

机器人的各足采用常见的对称式布局，如图 2所示，每条腿具备3个主动转动自由度，其中肩关节（髋关节）拥有滚转与偏航转动能力，肘关节（膝关节）拥有偏航转动能力，且在小腿与末端连接处存在具有被动柔顺能力的踝关节，以适应接触表面。当四足机器人腰部不具备主动自由度时，机身的姿态完全由四足控制，腿部肩（髋）关节具备滚转角大幅度变换的能力，故机器人可采取滚转姿态变换进行过渡，机器人质心平面与初始平面的夹角经由0$ ^{\circ} $到90$ ^{\circ} $的变化过程。

在夹角为直角的竖直面间过渡时采用图 3所示算法，过渡过程主要为以下2种状态的切换：

状态1：三足支撑，机身静止，单腿摆动；

状态2：四足支撑，机身移动。

状态1对应过渡过程中的三足支撑状态，尽可能减小质心移动带来的变化；状态2对应四足支撑时的机身运动，四足支撑确保其稳定性。实际过渡过程中采取的过渡算法如下：定义1 ~4号腿分别为左前（FL）、右前（FR）、左后（HL）、右后（HR）。运动过程为一侧足跨入目标面（此时进入异面支撑态），然后周期性地摆动相运动－机身侧移－摆动相运动－机身侧移，最终基于惯性测量单元（IMU）信息寻找节点，将另一侧足收回目标面。

2种状态下，机器人足端受力状态有所区别。单足摆动时，机身（质心）静止，三足支撑，与壁面接触产生黏附作用，提供相应黏附力；在质心移动阶段，四足皆处于支撑相与壁面接触，共同承担与壁面间的作用力。过渡时，机器人通过IMU检测过渡进程。分析2种状态下不同支撑足受力对质心的影响，以便求解在多约束状态下机器人壁面过渡中各足端力的最优值；也可求解出过渡过程中可能出现的足端力最大值，得到壁面过渡中，机器人所需足端力上限，形成“完整足端力包络边界”。

3.2 黏附包络边界解算与仿真验证

结合机器人的物理参数以及足端的有效黏附力包络边界，利用第2节模型与多约束下的非线性规划方法求解足端在过渡过程中受力的最稳定情况与波动的最大情况。

在竖直面攀爬的机器人主要跌落形式分为滑落与倾覆。滑落通常体现在受外界扰动或重力作用时，足端无法提供足够的切向黏附力，机器人脚掌与接触面产生滑移；倾覆是由于机器人支撑足足端与接触面之间的法向黏附力不足以抵抗倾覆力矩产生脱离，并以机身末端或后肢为转轴产生的后仰翻转。因此，在分析质心受力时，将分析点从质心转至与质心$ Z $轴相同，与后足$ X $轴向同一位置处，称为后质心（RoM）。机器人在过渡过程中需克服重力与相关倾覆力矩，模型设置的机器人总质量为800 g，故期望足端能够为质心提供的作用力为

$ \begin{align} [\mathit{\boldsymbol{F}} \; \; \mathit{\boldsymbol{T}} ]_\text{RoM}^{\rm T} =[8 \; \; 0 \; \; 0 \; \; 0 \; \; 5 \; \; 0] \end{align} $

(10)

对于单足的边界受力，考虑驱动单元的扭矩上限以及机器人本体质量，足端受力的上、下限值即为重力数值：

$ \begin{align} \begin{cases} \overline{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{i} =[ \mathit{\boldsymbol{G}}_{3\times 1} ]^{\rm T} \\ \underline{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{i} =-[ \mathit{\boldsymbol{G}}_{3\times 1} ]^{\rm T} \end{cases}, \quad i=1, \cdots, 4 \end{align} $

(11)

在壁面过渡中，机器人前向方向（图 1）与重力方向相反。整个过程中机身滚转角（roll）逆向转动90$ ^{\circ} $，用于表征过渡进展。将约束代入式(8) 解出在四足支撑时机器人足端受力的分配变化情况。

图 4为模型计算四足异面支撑时足端受力的最稳情况与波动最大情况。即机身处于不同滚转角姿态下足端可能出现受力的上下边界，左右分别表征着足端受力的“最优”与“最差”情况。理论最优状态下受力过程平滑，只有滚转角位于15$ ^{\circ} $时足端受力有少量突变，重力均匀分布于足端；最差的情况则突变较多，四足无法均匀承担重力。整个过程中左侧足法向（$ Z $向）的受力更多由右侧足水平切向（$ Y $向）承担，反之同理。

最优解意义在于若脚掌的黏附包络边界能够覆盖其值，那么机器人理论上具备过渡的可能性；而若脚掌黏附力包络边界能够覆盖最差解，那完成过渡将非常容易。

针对单足摆动且机身静止的情况，分析其余3个支撑足的受力。图 5给出了在此情况下机身处于不同滚转角时3个支撑足的足端受力情况。

图 5(a)表示四足分别抬起时机器人的状态，图 5(b)~(e)分别代表机器人左前、右前、左后、右后处于摆动相时，其余三足在过渡过程中的最稳定的受力情况。数据表明任一足抬起后的瞬间，同侧另一足受到的切向力更大。因此这一情况可能导致机器人失稳，需对过渡策略进行优化。

图 6是仿真中机器人根据优化策略实现壁面过渡的进程，机器人按照(a)$ \to $(b)$ \to $(c)$ \to $(d)$ \to $(e)$ \to $(f) 的顺序完成机器人从右至左的壁面过渡。

对于第$ i $条单腿由支撑相切至摆动相时同侧支撑足负载剧增的问题，在切换前调整足端与机器人质心的位置关系使得机器人质心反向偏转，在单腿$ i $抬起之前减小其足端受力，提升其余三足足端的承受力，在单足抬起后，同侧支撑足的受力将不会产生突变。式(5) 揭示了足端与质心的位置关系，图 7为根据运动周期时间规划机身移动的过程，在摆动相周期中额外设置机身的移动环节（如式(12) 所示），调节持续承担支撑任务的足端与机身的位置关系，进行力分配，以削减同侧支撑足的受力突变。

$ \begin{align} \begin{cases} \Delta x=k_{1} \dfrac{v_{x\max } t_{1}} {L} \\ \Delta y=k_{2} \dfrac{v_{y\max} t_{1}} {W} \cos \alpha \\ \Delta z=k_{3} \dfrac{v_{y\max} t_{1}} {W} \sin \alpha \end{cases} \end{align} $

(12)

式中，$ \Delta x $、$ \Delta y $、$ \Delta z $分别表示位于机身坐标系下为平衡某侧足端负载剧增而调整机身支撑相位置关系的位移量，其中$ v_{x\max } $与$ v_{y\max} $为机器人在竖直壁面的最大移动速率，$ k_{1} $、$ k_{2} $、$ k_{3} $为矢量系数，取值如表 1所示。

在机身移动周期内，设置额外的机身位移量以消除在摆动相准备阶段其他位移可能产生的影响，之后再进行过渡运动。将优化策略在Webots仿真环境中运行，建立了基于IMU与3维力传感器等物理信息的反馈机制，并搭建了额外的物理接口来设置足端的黏附力包络边界，如图 8所示。

通过实时检测过渡时的机器人足端力得到了如下结果：

1) 机器人在仿真中足端$ X $向受力如图 9所示。优化前后足端受力波动皆围绕2 N展开，从力平均分配的期望角度看，每只足在整个过程受力的平均值约为

$ \begin{align} F_{x} =\dfrac{\dfrac{G}{4}\dfrac{T}{5}+\dfrac{G}{3}\dfrac{3 T}{5}}{T} \end{align} $

(13)

2) 仿真中机器人重力约5 N，$ F_{x} = $ 1.26 N。在优化前的过渡策略中，四足力冲击显著，多处受力突变超过5 N/s，优化后整体过渡平稳，各足在触地时以及同侧有其他腿抬起时的力冲击降低了50% 以上，更重要的是产生冲击的频率显著降低，原先数据显示：同侧足抬起时，足端皆会产生一定冲击；而优化后只有在机身转至某些角度时才会产生少量力突变。在仿真平台中，通过位置控制进行的机器人壁面过渡实验，其足端力数值与计算结果基本一致。

3) 通过施加期望质心力等约束，求解足端受力的目标函数，得到机器人壁面过渡时足端受力的上下限。当足端包络边界满足理论下限时，通过适当的足端力调整可实现壁面过渡；若脚掌满足理论上限需求的包络边界，则更容易实现壁面过渡。

4 壁面过渡实验（Wall transition experiment） 4.1 壁面过渡实验平台 4.1.1 机器人平台

所用机器人平台是一台匍匐式四足爬壁机器人，采用四足对称布局，足端使用以干黏附材料为基底的脚掌。机器人整体具备12个自由度，每条腿有3个关节，其中前肢肩关节与后肢髋关节通过差速齿轮机构实现与机身滚转角、偏航角同轴的转动；前肢肘关节与后肢膝关节分别拥有1个转动自由度，踝关节拥有通过弹簧与球轴承实现小范围回弹的被动旋转自由度，可在足端与接触表面碰撞时提供一定缓冲，同时提高接触适应性。

机器人主动关节由数字舵机驱动，可控制机器人本体运动，机器人具体的物理参数如表 2所示。足端配备了仿壁虎脚趾背肌的聚氯乙烯薄片脚掌（后文统一称PVC脚掌），其中脚掌以厚度0.15 mm的PVC材料透明薄片作为背肌基底，干黏附材料粘贴在薄片的负表面，实际尺寸如图 10所示。装配PVC脚掌则需要通过设计足端轨迹贴合黏附片，以确保黏附面积。PVC脚掌的包络边界函数表示为

$ \begin{align} & \begin{cases} F_{x} =k \\ F_{y} =k\cos \alpha \\ F_{z} =kt\sin \alpha \end{cases}, \; \; \; \text{s.t. } \begin{cases} k\in (-0.7, 2.88) \\ \alpha \in (0, {\rm{\mathsf{π}}} ) \\ t=2 \end{cases} \\ & \begin{cases} F_{x} =a\sin u\sin v+2.88 \\ F_{y} =b\cos u\sin v \\ F_{z} =c\cos v \end{cases}, \; \; \; \text{s.t. } \begin{cases} u, v\in (0, {\rm{\mathsf{π}}} ) \\ a=4, \quad b=1.25\\ c=2.5 \end{cases} \end{align} $

(14)

图 11(a)为PVC黏附脚掌包络边界的正等轴测图，图 11(b)~(d)分别是$ Y $-$ Z $面投影、$ X $-$ Y $面投影以及$ X $-$ Z $面投影。根据以往实验得知：当足端的法向预压力达到2 N，黏附边界即可生效，如图 11所示。其中黏附脚掌$ X $方向抗切力可达4.9 N，法向黏附力的峰值可达2.48 N^[21]，图 9仿真中的足端力结果表明该脚掌的黏附边界能够满足机器人过渡足端力的需求。

4.1.2 实验条件

机器人壁面过渡的实验环境为2块竖直放置的有机玻璃板（PMMA），板与板之间夹角为90$ ^{\circ} $，表面粗糙度为0.025 µm，中间通过角铁固定连接，如图 12所示。机器人装配PVC黏附脚掌，采用优化后的过渡策略进行实验。将机器人的各项参数代入2.3节模型，解算出在三足支撑状态的4种情况下足端力的波动情况。

4.2 壁面过渡实验

机器人整机质量487 g（含电池）。在过渡中，为确保机器人足端实现有效黏附，需设计摆动足下落轨迹使得自然状态下的黏附片与目标表面不发生干涉^[22]。且由于干黏附材料的黏附力遵循Kendall模型^[23]，摆动相在抬腿时，黏附片的撕脱方向应顺应撕脱线的法线方向^[24]。借助于被动柔顺的踝关节，撕脱时踝关节会使得撕脱力尽量恒定。

PVC脚掌的壁面过渡实验如图 13所示，过渡全程有9个周期，时长约为110 s。为验证该过渡策略的稳定性，对机器人的滚转角、俯仰角、偏航角（RPY）数据与速度信息进行分析，并将运动过程中机器人质心是否在质心稳定裕度内作为可行性评价指标，将机器人运动时质心与理论上最稳定中心坐标的距离作为稳定性评价指标。

机器人壁面过渡时RPY角的变化如图 14所示，其中俯仰角均值为1.18$ ^{\circ} $，偏航角均值为$ - $3.69$ ^{\circ} $。过渡过程中，当单腿摆动时，机身姿态保持恒定，故其滚转角存在间歇性的短暂停滞，四足支撑时，机身以平均1.24$ ^{\circ} $/s的速度转动靠向目标墙面。同时在运动中为减小力矩倾覆的风险，机身在整个壁面过渡中尽量保持前倾，降低质心与接触面间距以减小倾覆转矩，俯仰角均值为1.18$ ^{\circ} $，方差为4.07$ ^{\circ} $。图 15显示过渡过程中的速度变化，整个过程加速度不超过10 mm/s$ ^{2} $，速度冲击较小，过渡平稳。

通过OptiTrack Prime 17W运动捕捉相机（跟踪精度0.1 mm）对壁面过渡中的机器人实施运动捕捉，采集机器人四足末端和机身几何中心（质心）的实时坐标，实现对运动过程中机器人足端与质心位置的测算，实验采集过程如图 16所示。

图 16(a)为爬壁机器人壁面过渡的实验平台，平台放置在3台OptiTrack运动捕捉相机的共同视野的正中央区域，并在机器人机身背部的几何中心与四足腕（踝）关节处贴上标记点。图 16(b)~(g)为机器人从平面$ A $至平面$ B $进行壁面过渡时相机1~3视角下的过渡进程。

图 17为机器人异面支撑时足端形成的支撑面，机器人质心与面的距离$ D_\text{CoM} $用于表征机器人的稳定性。图 18(a)~(f)分别为机器人在壁面过渡从开始运动至完成过渡的各个阶段中足端与机身相对位置关系的俯视图（Y-Z平面）。图 18(g)为机器人在过渡中其质心位置边界$ D_\text{Bound} $与质心实际位置$ D_\text{CoM} $随时间的变化情况（计算方法如式(15) 所示，式中$ k $为俯视图中支撑平面与$ Z $轴截距），其中$ D_\text{CoM} $均值为42 mm，方差为0.313。

$ \begin{equation} \begin{split} D_\text{Bound} & =\sqrt{(P_{z_{1}} -P_{z_{2}})^{2}+(P_{y_{1}} -P_{y_{2}})^{2}}/2 \\ D_\text{CoM} & =\frac{\left| \dfrac{P_{z_{1}} -P_{z_{2}}} {P_{y_{1}} -P_{y_{2}}} y_\text{CoM} -z_\text{CoM} +k\right|}{\sqrt{1+\left( \dfrac{P_{z_{1}} -P_{z_{2}}} {P_{y_{1}} -P_{y_{2}}}\right)^{2}}} \end{split} \end{equation} $

(15)

机器人依据优化后的策略进行壁面过渡，在过渡过程中基于机器人机身运动状态、腿部的摆动与支撑状态进行运动顺序策略的调整，整个过程中机器人运动9~10个周期。根据图 18(a)~(f)的位置关系与计算结果，机器人质心始终处于由左前腿与右前腿构成的半圆面区间以及由左后腿与右后腿构成的半圆面区间内。该区间为质心的稳定域，即质心与支撑足末端所构成平面的距离小于前肢或后肢距离的一半。在过渡初始阶段，由于机器人左侧腿先后跨至目标面，质心与理论点之间的距离会大幅缩减。图 18(g)数据表明，在过渡开始与结束阶段机器人质心会产生较大位移，而足端由于装配PVC脚掌，在撕脱时产生的脱附力会给摆动足带来少量的加速度，致使末端速度变化相较于装配充气脚掌更大。同时，从图 18数据分析得出，装配PVC脚掌进行壁面过渡时，质心距离稳定裕度边界平均值为阈值的56.99%，最大不超过86%，距离支撑足平面的距离平均为42 mm，方差为0.313。

5 结论（Conclusion）

研究了以足端力黏附包络边界为核心的爬壁机器人壁面过渡策略。通过分析多足爬壁机器人在壁面过渡中各支撑足与环境之间力的作用，构建足端力与质心力的映射关系，并利用多约束非线性规划方法，通过施加壁面过渡时的期望质心力、足端包络边界等约束条件，求解机器人在壁面过渡时各足端所需黏附力的上下限，提出适用于爬壁机器人的足端力映射至质心的多维等效力学模型（MEMM）。结合足端力上限，得到爬壁机器人壁面过渡的充分条件。并以足端力上限设定黏附力包络边界，提出四足爬壁机器人的壁面过渡策略并进行仿真，结果证明机器人足端力符合黏附包络边界且过渡策略可行。搭建四足爬壁机器人平台验证壁面过渡策略，并通过IMU数据与运动相机实时捕捉过渡时机器人足端与机身的位置关系，评价实际壁面过渡的可行性与稳定性。实验结果表明该策略可行，且装配PVC脚掌过渡时质心与稳定裕度边界的平均距离为阈值的56.99%。未来将把力映射模型应用在更多场景并进行机器人爬壁运动的可行性评估。出于对机器人重量的考虑，在当前工作中未将3维传感器装载于机器人足端，但随着机器人负载性能提升，后续工作中可以将力传感器加入机器人平台以进一步提升控制效果，同时增强机器人自主识别环境的能力。以此，爬壁机器人应该能够以更高效率进行壁面过渡，后续将对机器人系统进行进一步优化。