2. 天津市现代机电装备重点实验室, 天津 300387
2. Key Laboratory of Advanced Mechatronics Equipment Technology, Tianjin 300387, China
零力控制的研究是机器人整体拖动示教的基础,在零力控制下,只需较小拖动力就能使机器人产生运动,即人用极小力拖动机器人使其在工作空间中任意运动。并联机器人相对于串联机器人具有刚度大、结构紧凑、位置精度高、承载能力强等优点[1-2],适于在狭小工作空间内生产高精度、高刚度、大载荷的工件,近些年在机器人领域的占比不断增加。因并联机构自身存在闭环结构和运动约束的特点,且动力学建模复杂,所以基于动力学的并联机器人零力控制研究相对较少。目前可以通过改进串联机器人的零力控制方法,来解决并联机器人在进行复杂轨迹规划时存在的定位难、效率低问题,最终实现直接拖动示教,提高人机交互性能[3-4]。
目前,零力控制研究对象大多集中在串联、协作机器人上,游有鹏等[5]提出自测量的重力矩及摩擦力矩计算方案,通过补偿重力矩以及摩擦力矩实现串联机器人无传感器零力控制;侯澈等[6]针对串联机器人更换末端执行器以及负载变化的情况,提出了一种变负载自适应零力控制方法;张铁等[7]采用弹性摩擦模型估计关节摩擦力,在关节起动阶段短暂增加摩擦估计值以增加关节驱动力矩,实现免力矩传感器的串联机器人零力控制。李智清等[8]针对零力控制相关的未知碰撞安全问题,提出了一种新型机器人碰撞检测算法,通过实时观测关节输出力矩与动力学估计力矩的偏差实现机器人零力控制与碰撞检测;宋吉来等[9]针对机器人系统对柔顺性、安全性的要求,提出了一种基于电机电流的机器人主动柔顺控制方法,并采用硅片传输机器人进行拖曳式示教和碰撞保护实验。基于动力学模型和运动状态来估计机器人驱动关节所受的外力是实现零力控制的一种方法,吴汶祥等[10]提出一种基于改进傅里叶级数的辨识方法,推导动力学模型的线性形式并准确地重构机器人的关节力矩值,进而进行零力控制研究;张春涛等[11]利用拉格朗日法整理关节重力矩的三角函数回归矩阵,建立机器人快速动力学模型补偿关节力矩,席万强等[12]提出了一种基于人工蚁群算法的动力学参数辨识方法,推导动力学模型的非线性形式,使关节预测力矩与实际力矩有较高的匹配度,为零力控制研究提供新的思路。
本文根据中科极控(天津)科技有限公司对复杂曲面小型工件喷涂的要求,选用6-RUS并联机器人作为喷涂机器人的主体结构,建立基于广义坐标形式牛顿—欧拉法的动力学模型,引入动态关节摩擦模型,实时构建机器人运动过程中电机的预测转矩,通过导入电机预测转矩实现并联机器人末端零力平衡,并在自研的实验平台上验证方法的有效性。
2 喷涂机器人构形(Configuration of the spraying robot)中科极控(天津)科技有限公司对不同复杂曲面形状的汽车LED日行灯进行喷涂,日行灯外观如图 1所示,尺寸为400 mm
相对6-PUS、6-PSS并联机器人,6-RUS并联机器人工作空间较大、结构对称,具有稳定性强、驱动副固连基座能减轻结构载荷等优点。下平台为动平台,动平台实现3个方向的平动和3个方向的转动;上平台为静平台,由6个结构相同的驱动分支RUS连接2个平台,机构简图如图 3所示,具体参数如表 1所示。
目前,构建6-RUS并联机器人驱动铰链约束力和末端约束力之间的关系时,采用牛顿—欧拉公式[13]的动力学模型容易求解运动副约束反力,但需推导186个微分方程、180个约束方程,代数微分方程矩阵维数达到366,计算过于复杂;采用拉格朗日方程[14]的动力学模型可得到较为简洁的闭环动力学方程,但涉及矢量之间的偏微分求导,难于计算。为简化6-RUS并联机器人动力学建模,对牛顿—欧拉方法[15]进行改进,采用广义坐标形式进行分析,简化动力学建模步骤,提高计算效率。
3.1 动态摩擦力模型摩擦力是并联机器人动态特性关键指标,考虑关节电机、机构截面材质等,取图 3中
(1) 预滑动阶段摩擦力模型
6-RUS并联机器人静止启动时力矩的突然变化会产生振荡,为避免振荡带来的影响,在预滑动阶段[16]用S型函数作为摩擦模型,使其与动态连续阶段模型保持连续,如图 4所示。当关节电机与连杆速度为0时,对应的时刻为
根据文[16] 提出的构造方程,当
$ \begin{align} T_{\rm a} =\frac{k_{1} T_{+}} {1+{\rm e}^{-\alpha t}}+k_{2} \end{align} $ | (1) |
其中:
对于给定一个常数
$ \begin{align} \alpha =\frac{2\ln (f_{\rm s} /(1-f_{\rm s}))}{\hat{t}_{\rm b}} \end{align} $ | (2) |
其中:
为保证预滑动阶段的连续性,选用参数
$ \begin{equation} \begin{split} k_{1} & =\frac{2}{2f_{\rm s} -1} \\ k_{2} & =-T_{+} \frac{1}{2f_{\rm s} -1} \end{split} \end{equation} $ | (3) |
(2) 动态阶段的摩擦力矩模型
当机器人运动时,由于并联机器人存在单向折返情况,摩擦函数为不连续函数,所以采用连续可微的摩擦力模型[17]建立并联机器人关于速度函数的摩擦力矩模型。摩擦力矩
$ \begin{align} T(\dot{q})=\, & \delta_{1} (\tanh (\alpha_{1} \dot{q})-\tanh (\alpha {}_{2}\dot{q}))+ \\ & \delta_{2} \tanh (\alpha_{3} \dot{q})+\delta_{3} \dot{q} \end{align} $ | (4) |
其中:
选择6-RUS动平台相对静平台的位置与姿态坐标建立广义坐标:
$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{q}} =(x, y, z, \alpha, \beta, \gamma)^{\rm T} \end{align} $ | (5) |
各构件的平动与转动加速度方程为
$ \begin{align} \begin{pmatrix} \ddot{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{\rm p} \\ \dot{\mathit{\boldsymbol{w}}}_{\rm p} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} {\mathit{\boldsymbol{J}}}_{\rm Tp} \\ {\mathit{\boldsymbol{J}}}_{\rm Rp} \end{pmatrix} \ddot{\mathit{\boldsymbol{q}}}+ \begin{pmatrix} {\mathit{\boldsymbol{\delta}}}_{\rm p} \\ {\mathit{\boldsymbol{\gamma}}}_{\rm p} \end{pmatrix} \end{align} $ | (6) |
其中:
建立6-RUS并联机器人动平台与驱动杆的牛顿—欧拉方程:
$ \begin{align} & \begin{pmatrix} {m_{\rm p}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{\rm p}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {m_{{\rm c}i}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{{\rm c}i}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\ddot{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{\rm p}} \\ {\dot{w}_{i}} \\ {\ddot{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{{\rm c}i}} \\ {\dot{w}_{i}} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{\rm p}} \\ 0 \\ {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{{\rm c}i}} \end{pmatrix}w_{i}^{2} \\ = & \begin{pmatrix} {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm p}i}^{\rm n}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm p}i}^{\rm n}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm c}i}^{\rm n}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm c}i}^{\rm n}} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm p}i}^{\rm a}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm p}i}^{\rm a}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm c}i}^{\rm a}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm c}i}^{\rm a}} \end{pmatrix} \end{align} $ | (7) |
其中:
合并6-RUS并联机器人各构件的牛顿—欧拉方程:
$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{m\ddot{u}}}& ={\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm n}+{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm a} \end{align} $ | (8) |
$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{I\dot{w}}}+{\mathit{\boldsymbol{w}}}\times \mathit{\boldsymbol{Iw}} & = \mathit{\boldsymbol{M}}^{{{\rm n}}}+{\mathit{\boldsymbol{M}}}^{{{\rm a}}} \end{align} $ | (9) |
其中:
$ \begin{align*} {\mathit{\boldsymbol{m}}} & = \begin{pmatrix} {{{m}}_{{\rm c}i} {\mathit{\boldsymbol{E}}}_{3}} & \cdots & 0 \\ \vdots & {{{m}}_{{\rm d}i} {\mathit{\boldsymbol{E}}}_{3}} & \vdots \\ 0 & \cdots & {{{m}}_{\rm p} {\mathit{\boldsymbol{E}}}_{3}} \end{pmatrix} \\ {\mathit{\boldsymbol{I}}} & = \begin{pmatrix} {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{{\rm c}i}} & \cdots & 0 \\ \vdots & {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{{\rm d}i}} & \vdots \\ 0 & \cdots & {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{\rm p}} \end{pmatrix}, \; {\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm n}= \begin{pmatrix} {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm c}i}^{\rm n}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm d}i}^{\rm n}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm p}i}^{\rm n}} \end{pmatrix}, \; {\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm a}= \begin{pmatrix} {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm c}i}^{\rm a}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm d}i}^{\rm a}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{{\rm p}i}^{\rm a}} \end{pmatrix}\\ {\mathit{\boldsymbol{M}}}^{\rm a}& = \begin{pmatrix} {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm c}i}^{\rm a}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm d}i}^{\rm a}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm p}i}^{\rm a}} \end{pmatrix}, {\mathit{\boldsymbol{M}}}^{\rm n}= \begin{pmatrix} {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm c}i}^{\rm n}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm d}i}^{\rm n}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{M}}}_{{\rm p}i}^{\rm n}} \end{pmatrix} \end{align*} $ |
令
$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{\varPhi H\ddot{q}}}+{\mathit{\boldsymbol{K}}}({\mathit{\boldsymbol{q}}}, \dot{\mathit{\boldsymbol{q}}})=\overline{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm a}+\mathit{\boldsymbol{W\eta}} \end{align} $ | (10) |
其中:
消去铰链约束反力项,基于广义坐标的6-RUS并联机器人运动微分方程为
$ \begin{align} {\mathit{\boldsymbol{H}}}^{\rm T}\mathit{\boldsymbol{\varPhi H\ddot{q}}}+{\mathit{\boldsymbol{H}}}^{\rm T}{\mathit{\boldsymbol{K}}}({\mathit{\boldsymbol{q}}}, \dot{\mathit{\boldsymbol{q}}})={\mathit{\boldsymbol{H}}}^{\rm T}\overline{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm a} \end{align} $ | (11) |
求解6个运动微分方程,再求解180个约束代数方程即可得到动力学响应以及运动副约束力,通过运动学反解,计算获得各构件的笛卡儿坐标。
3.3 零力控制方案目前,基于力矩模式的零力控制策略大多采用电机提供驱动力补偿连杆的重力矩与摩擦力矩,但未考虑机器人启动阶段以及运动方向改变时的关节摩擦变化和基于动力学模型的期望力矩与实际转矩之间误差的影响。
采用基于广义坐标形式的6-RUS并联机器人动力学模型计算预测转矩,估计连杆重力矩以及摩擦力矩,进一步估计预测转矩与实际转矩的误差,从而构建输出转矩
$ \begin{align} T(\dot{q})=T_{\rm f} (\dot{q})+G(\dot{q})+\hat{M} \end{align} $ | (12) |
其中:
将机构同一位置与姿态情况下的电机电流信号转化为实际电机转矩,通过对比
搭建的实验平台如图 7所示,在工作空间内设定6-RUS并联机器人的运行轨迹,对比分析机构末端负载、电机转矩模型预测值与实际值的关系以及误差,根据实际喷涂工况的需求,实验选用分别悬挂30 N、45 N、60 N三种负载的喷枪进行实验,在同一负载条件下,机器人末端沿上述6种空间轨迹曲线运动,伺服驱动器内置传感器每隔1 s采集机器人电机的转矩,经正向动力学映射为末端的力与力矩进行实验验证。
(1) 预滑动阶段
机器人预滑动阶段摩擦模型中参数
(2) 动态阶段
实验中不安装驱动臂,可近似认为机器人关节系统处于无负载状态,且6-RUS并联机器人各关节的结构与安装相同,选用关节1作为对象进行实验,关节以匀速进行往复运动,匀速运动不受科氏力与离心力的影响,可认为编码器测量的关节转矩
对各匀速段采集的1000个关节转矩值求取均方根(RMS)可以得到对应速度下的摩擦力矩值:
$ \begin{align} \gamma_{\:\rm RMS}=\sqrt{\frac{T_{1}^{2} +T_{2}^{2} +\cdots +T_{n}^{2}} {n}} \end{align} $ | (13) |
机器停止运动后,每个关节均得到50对正向与反向转矩,进一步对动态阶段摩擦模型式(4) 进行辨识,摩擦力矩与速度曲线如图 9所示,参数辨识结果如表 3所示。
引入拟合优度
$ \begin{align} R^{2} & =1-\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n} (y-\hat y) }{ \sum\limits_{i=1}^{n}(y-\bar y)^2 } \end{align} $ | (14) |
$ \begin{align} \gamma_{\:\rm RMSE} & =\sqrt{\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n} (y-\hat y) }{n}} \end{align} $ | (15) |
其中:
根据计算得到
针对汽车LED日行灯的外观尺寸及其曲面复杂特性,采用全局区域法模拟喷涂机器人工作空间进行零力控制实验。在机器人工作空间中定义一个原点以及6条空间射线
在机器人每条运行曲线上采集480组电机电流信号与关节位置信号,由于信号周期性以及机构在运动过程受到自身抖动、刚度变化等噪声污染,需对信号进行预处理。采用多项式进行拟合:
$ \begin{align} T_{(2n+1)\times 1} =t_{(2n+1)\times k} +a_{k\times 1} +E_{(2n+1)\times 1} \end{align} $ | (16) |
进而采用最小二乘法得到SG模型的滤波值:
$ \begin{align} {\mathit{\boldsymbol{P}}}={\mathit{\boldsymbol{t}}}\times({\mathit{\boldsymbol{t}}}^{\text{trans}}\times {\mathit{\boldsymbol{t}}})^{-1}\times {\mathit{\boldsymbol{t}}}^{\text{trans}}\times {\mathit{\boldsymbol{X}}} \end{align} $ | (17) |
其中:
将采集的信号数据分别以3、5、8点为一个窗口的形式分解为
如图 11所示,截取1轴数据进行分析,可以得到5点窗口相比于3点窗口对测量值的平滑效果相对更好,同时8点窗口相对于5点窗口产生了过渡的平滑效果,导致数据失真,因此采用5点窗口对电机输出转矩值进行平滑处理。在对6个轴的转矩数据进行预处理的过程中发现,5、6轴的电机输出转矩相对预测值抖动较大,电机测量值比对结果如图 12所示。由图 12可知,机构的电机在0 ~8 s时实际转矩值与预测转矩值误差相对较小,8~15 s时实际转矩值相对预测转矩值小,15 s后实际转矩值相对预测转矩值大,同时转矩值波动较大,所以5、6轴的从动杆将产生弯曲,同时铰链处将产生一定程度的松动。机构在200 mm
在6-RUS并联机器人设备上,机构末端预测负载
根据图 13可知,机构末端
根据实际喷涂工况的需求,机器人末端分别悬挂30 N、45 N、60 N三种预测负载的喷枪,本文选用
根据图 14~图 16可知,末端预测负载为30 N时电机转矩的范围为3.5~15.8 N
提高动力学模型的准确性。末端负载增加时电机转矩随之增加,同时本文模型的零力控制算法相比文[5] 算法,预测转矩更接近实际转矩值。在曲线
图 14~16中,曲线
为了进一步阐述基于广义坐标形式的动力学模型预测转矩的精确性,图 17给出末端不同负载下,本文模型、文[5] 方法的预测转矩与实际电机转矩误差曲线。
在喷涂机器人启动、终止阶段,由图 14(c)(轴6)、图 15(b)(轴2、3)、图 16(c)(轴5)可知,基于自测量重力矩与摩擦力矩补偿算法的转矩出现突变且与实际转矩误差大,而本文引入预滑动摩擦模型的预测转矩均更接近实际转矩;在喷涂机器人变换运动方向时(即图 14~16中
从图 17可以看出,在机器人喷涂工件的工作空间内,基于广义坐标形式动力学模型的预测转矩误差明显小于文[5] 零力控制方法,本文模型转矩误差在5% 左右,文[5] 转矩为7.5%~10%。在运动曲线过渡区域(误差峰值处),本文模型误差相对较小,最大误差为8.25%。以上分析进一步验证了基于广义坐标形式动力学模型的零力控制方法的精确性。
5.3 末端无负载的拖动示教实验根据喷涂工件实际工况的需求,6-RUS并联机器人的末端需在工作空间
由图 19、20可知,操作者拖动机器人进行示教,对比在本文算法与基于自测量重力矩与摩擦力矩的补偿算法下末端的受力情况,在机器人启动阶段,预滑动摩擦模型补偿下的末端力与力矩相对较小,从而能轻松启动机器人;示教前50 s机器人频繁改变运动方向,在动态摩擦模型补偿下末端力矩数值变化均呈现稳定,末端力相对文[5] 方法均抖动小,由此说明动态摩擦模型提高了算法的精确性。同时本文模型下机器人拖动示教过程最大末端力为2 N、最大末端力矩为2.2 N
综上,针对工件复杂曲面喷涂工况,在机器人工作空间内、不同负载情况下,基于广义坐标形式动力学模型的6个电机预测转矩值与实际转矩值始终相近且误差约5%,验证了基于广义坐标形式动力学模型的6-RUS并联机器人零力控制方法的正确性,同时机器人启动与运动转向阶段误差小,表明动态摩擦模型有效提高了动力学模型的精确性。在零力控制模式下,自然人拖动6-RUS并联机器人进行示教,本文模型的零力控制算法末端力最大值为2 N、末端力矩最大值为2.2 N
针对并联机器人拖动示教应用场景,提出了一种基于广义坐标形式动力学模型的6-RUS并联机器人零力控制方法。
(1) 利用广义坐标形式建立6-RUS并联机器人动力学模型,引入动态摩擦模型,通过在动态摩擦模型中加入预滑动摩擦项,提高关节摩擦精度,解决了机器人静止启动、运动反向阶段构建期望电机转矩误差偏大的问题,从而建立精确的6-RUS并联机器人动力学模型。
(2) 采用全局区域法获取各位置电机实际输出转矩,进一步用SG算法平滑输出转矩数据,分析机构自身噪声对输出转矩数据产生剧烈抖动的影响。
(3) 运用6-RUS逆动力学模型获取电机预测输出转矩,在喷涂工件工作空间内,分析电机实际转矩与预测转矩关系;结果表明电机实际转矩与预测转矩的误差为5% 左右。在拖动示教过程中,实时补偿转矩误差能提高示教模式下电机转矩补偿的精确度,使得机器人末端所需接触力矩仅为2.2 N
实验表明,本文提出的基于广义形式动力学模型的6-RUS并联机器人零力控制方法是可行的,与基于自测量重力矩与摩擦力矩的补偿算法相比,采用提出的零力控制方法能实现机器人任意阶段轻松拖动,减小末端接触力矩,达到更好的拖动喷涂效果。该方法为多自由度并联机器人的拖动示教研究提供了新思路,同时为多自由度并联机器人应用于喷涂行业打下基础。
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