1 引言（Introduction）

机器人技术正处在类似于早期互联网发展阶段中的晶体管时代^[1]。其中，水下仿生机器人因其广泛的应用领域（国防安全、资源勘查、深水探险、水环境生态保护、医疗保健等），近年来一直是研究热点。随着智能软材料科学的不断进步，依靠其特性延展出了不同的驱动方式，这为软体仿生机器人的研究及实际应用带来了许多新的方向。

对于机器人系统，动力与控制是其重要的组成模块，对机器人的应用方式与场景有着决定性的作用^[2]。软体仿生机器人的自身结构因其各自驱动方式的不同而有所差异，现阶段的主要驱动方式有介电弹性体（DE）^[3]、流体驱动（气动^[4]、液动^[5]）、形状记忆合金（SMA）^[6]、磁驱动^[7]、离子交换聚合物金属复合材料（IPMC）^[8]、响应水凝胶驱动^[9]等。软体机器人驱动方式主要体现以下几个特点：(1) 软体机器人的运动方式依赖于其驱动器自身产生的变形。通过对驱动器进行可编程控制，可以实现样机的运动控制，来满足实际应用需求。(2) 由于驱动方式不同，样机自身的驱动力和响应精度也有很大的差别。(3) 驱动方式的多样性拓展了仿生机器人应用场景的多样性，这促进了多学科（生物、医疗、化学、材料、机械、基础物理力学等）的交叉融合。

双稳态结构不需要持续输入能量，可以进行2个稳定状态的跳变切换（snap-through）^[10]，机构装置简单，驱动装置具有优越的驱动性能，目前已有许多国内外的学者对其进行多领域的研究。浙江大学李铁风团队^[11]提出了一种基于双稳态结构的DE膜驱动方法，该驱动器只需要一个高压脉冲来驱动结构进行前后运动，具有机电跳变不稳定性。美国坦普尔大学Tang等^[12]模仿猎豹奔跑时快速拉伸脊背的运动状态，制作了一种依靠双稳态装置跳变产生驱动力的奔跑软体机器人（地面运动速度可达187.5 mm/s，约2.68倍身长/秒（以下写作BL/s））和水下软体机器人（水中游动速度可达117 mm/s，约0.78 BL/s）。西安交通大学Li等^[13]受骨骼—肌腱结构运动机理的启发，设计了一种具有快速机械响应和较高机械力协同作用的电活性双稳态驱动器（EBA），EBA利用其自身放大机制的不稳定性来调节输出力和响应时间，并将其应用到仿生机器人爬行（直线运动速度0.56 mm/s）和跳跃（跳跃高度95 mm）中。

基于乌贼喷水推进机理的水下机器人同样具有较强的应用前景，喷水推进是水下生物如乌贼、鱿鱼和水母等的主要运动形式，与摆尾摆鳍的游动方式相比，其具有较高的推进效率^[14]。北京航空航天大学Hou等^[15]制作了一种喷水推进鱿鱼样机，该样机模仿自然界中飞乌贼下水、喷射、滑翔和潜水的游动原理，利用自身可折叠和展开的软体变形鳍和臂，可以实现从水中到空中的快速穿梭。青岛大学Tang等^[16]合作研发的仿头足类水下机器人使用DE作为驱动器，采用喷水推进运动方式，游动速度可以达到33 mm/s (0.43 BL/s)。美国加州大学Christianson等^[17]研制了一种可以通过改变腔体体积和横截面积，实现可重复喷射推进的仿头足类水下机器人，该样机通过内部齿轮齿条的运动，带动柔软身体进行扩张和收缩，产生推力向前游动，其平均游动速度可达184 mm/s（0.54 BL/s）。

目前，采用双稳态驱动的仿生机器人仍依赖弹簧、连杆等刚性机构进行预拉伸积聚势能^[11-12]，结构复杂，制作成本也较高。本文制作了一种结构简单、力学性能良好的双稳态装置，克服了软材料响应速度慢的缺点，具有较高驱动功率，并将其作为驱动装置应用到仿乌贼结构水下软体机器人的喷水推进中。

2 双稳态驱动装置工作原理（Working principle of the bistable driving device） 2.1 驱动装置设计

传统弓箭主要由弓臂和弓弦组成，弓弦固定在弓臂两端，射箭时通过拉伸弓弦使弓身弯曲变形积聚势能，释放弓弦的瞬间弓身的势能也会释放，推动弓箭射向前方，如图 1(a)所示。依据弓箭工作原理，若将具有一定抗弯曲刚度的弹性基板通过外部结构挤压使其发生弯曲变形，到达位置1，如图 1(b)所示，则其也会由于自身弯曲而积聚势能。当外界对预弯曲的弹性基板施加外力扰动（图 1(c)），外力达到基板承受的临界值时，基板会发生跳变，到达位置2（图 1(d)）。

从能量角度，跳变过程有2个稳定状态和1个不稳定状态。当基板处于上、下弯曲状态时，基板受外部结构限位不会发生位移运动，可以保持自身的弯曲，势能处于极小值点，进入稳定状态。而当施加外部扰动力时，由于两端对基板自由度的限制，使其只能发生波浪式变形来缓解受力，此时基板处于不稳定状态，内部势能处于一个极大值点。

本节搭建的驱动装置通过将气腔（人工肌肉）粘接在基板（骨骼）两侧来实现双稳态的弯曲和跳变，驱动装置结构尺寸如图 2所示，其中，气腔选用的材料是热塑性聚氨酯（TPU）薄膜，尺寸结构如图 2(a)所示。TPU薄膜材料作为一种新型环保材料，具有类似于橡胶的弹塑性，在高温条件下能够熔融粘合，具有一定的自修复特性^[18]，可以满足热压密封的需求。气腔的热封工具使用手压式塑封机，制作气腔时不需要预先设计模具，相对于复杂的热封（激光熔融热封等），本文气腔制作简便且成本更低，气腔制作过程如图 3(a)所示。

基板是气腔的骨骼支撑元件，由双面胶将气腔粘附在弹性模量较高的基板上，使其在变形时能够拉动基板发生弯曲。设计中选用FR-4环氧树脂基板作为基板材料，其外形尺寸如图 2(b)所示，样机中使用的基板尺寸$ l_{\rm B} = $ 110 mm，$ w_{\rm B} = $ 15 mm。弹性基板作为双稳态驱动装置的骨骼支撑，既要有一定的抗弯曲刚度，同时材料也要易裁剪、方便制作，弹性基板与气腔组装过程如图 3(b)所示。

根据实际需要，装置的尺寸可以进行相应的调整。双稳态驱动装置实物如图 3(c)所示，其材料参数如表 1所示，对于不同尺寸的驱动装置，其工作稳定性关键在于气腔的气密性以及基板能否克服临界力产生跳变。

2.2 双稳态能量曲线理论计算

双稳态驱动装置通过壳体自身结构使FR-4弹性基板产生预弯曲，如图 4(a)所示，进而积聚并转移弹性势能来实现稳态的跳变，分析时可将其视作屈曲梁。

驱动装置两端通过壳体夹具限位在$ A $、$ B $两点，简化模型如图 4(b)所示，假设$ A $点为固定铰接，$ B $点为活动铰接，其中$ B $点受到$ x $轴方向的力$ F_{\rm H} $，使双稳态驱动装置弯曲，其外形曲线为$ y(x) $，屈曲产生的弯曲跨度为$ l $，弯曲时最大拱高为$ \Delta y $，端点$ A $、$ B $两处产生的偏转角为$ \theta $，驱动装置弯曲角为$ \beta $（图 4(c)），弯曲半径为$ r $。

驱动装置自身系统的能量主要来自于弹性基板弯曲的应变能与轴向载荷挤压产生的内能。

$ \begin{align} W_{\rm T} =W_{\rm S} +W_{\rm H} +W_{\rm E} \end{align} $

(1)

式中，$ W_{\rm T} $为双稳态驱动装置系统的总能量，$ W_{\rm S} $为FR-4环氧树脂基板产生的应变能，$ W_{\rm H} $为水平载荷产生的内能，$ W_{\rm E} $为气腔收缩力对基板做的功。双稳态驱动装置外形曲线可表示为^[11]

$ \begin{align} y(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n\pi x}{l} \end{align} $

(2)

对双稳态驱动装置进行微元法分析，假设在某一点弯曲产生的切向位移是$ {\rm d} s $，此点的弯曲跨度为$ {\rm d} x $，该点在$ x $轴方向上的位移量为

$ \begin{align} {\rm d}s-{\rm d}x={\rm d}x\sqrt{1+ \left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)^{2}}-{\rm d}x\approx \frac{1}{2} \left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)^{2}{\rm d}x \end{align} $

(3)

通过式(3) 可得双稳态驱动装置的原长$ L_{0} $与弯曲跨度$ l $的总差值为

$ \begin{align} \lambda =\frac{1}{2}\int_0^l \left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)^{2} {\rm d}x \end{align} $

(4)

将式(2) 代入式(3)，得到总差值$ \lambda $的计算式：

$ \begin{align} \lambda =\frac{\pi^{2}}{4l} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{2}b_{n}^{2} \end{align} $

(5)

根据图 4(b)中$ \tan \theta =\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} $，偏转角$ \theta $可近似为

$ \begin{align} \theta \approx \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \end{align} $

(6)

根据材料力学弯曲理论，双稳态驱动装置的弯矩$ M(x) $和抗弯刚度$ EI $满足式(7) 挠曲线近似微分方程：

$ \begin{align} \frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}x^{2}}=\frac{M(x)}{EI} \end{align} $

(7)

其中，$ E $和$ I $分别为FR-4环氧树脂基板的弹性模量和惯性矩，易知双稳态驱动装置的内部应变能为

$ \begin{align} W_{\rm S} =\frac{1}{2}\int_0^l EI \left( \frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}x^{2}} \right)^{2} {\rm d}x \end{align} $

(8)

通过式(2)(6) 可以计算出偏转角$ \theta $的表达式

$ \begin{align} \theta =\frac{\pi} {l} \sum\limits_{n=1}^{\infty} nb_{n} \cos \frac{n \pi x}{l} \end{align} $

(9)

本文只考虑$ n = $ 1的情况，此时$ x = $ 0，可得初始偏转角为

$ \begin{align} \theta_{0} & =\frac{{\rm d}y_{0}} {{\rm d}x_{0}} =\frac{\pi} {l} b_{1} \cos 0=\frac{ \pi b_{1}} {l} \end{align} $

(10)

$ \begin{align} b_{1} & =\frac{l}{\pi} \theta_{0} \end{align} $

(11)

对式(2) 求2阶导数，计算系统内部应变能：

$ \begin{align} \frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}x^{2}}=-\frac{\pi^{2}}{l^{2}} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{2}b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l} \end{align} $

(12)

当$ n = $ 1时，将式(12) 代入式(8) 可进一步得出：

$ \begin{align} W_{\rm S} =\frac{1}{2}\int_0^l EI \left(\frac{ \pi \theta_{0}} {l}\right)^{2}\sin^{2} \frac{ \pi x}{l}{\rm d}x \end{align} $

(13)

弹性基板的惯性矩$ I $为

$ \begin{align} I=\frac{w_{\rm B} h^{3}}{12} \end{align} $

(14)

其中，$ w_{\rm B} $为基板的宽度，$ h $为基板的厚度，则系统的应变能最终表达式为

$ \begin{align} W_{\rm S} =\frac{Ew_{\rm B} \pi^{2}h^{3}}{48l}\theta_{0}^{2} \end{align} $

(15)

双稳态驱动装置受到轴向（$ x $轴方向）力$ F_{\rm H} $会发生轴向变形，其变形量为

$ \begin{align} \Delta l=\frac{F_{\rm H} l}{ES} \end{align} $

(16)

其中，$ S $为FR-4环氧树脂基板的横截面积，双稳态驱动装置变形后的长度为

$ \begin{align} L_{1}& =L_{0} -{\Delta} l=\int_0^l \sqrt{1+(y')^{2}} {\rm d}x\approx \int_0^l \left(1+\frac{1}{2}(y')^{2}\right) {\rm d}x \\ &=l+\lambda \end{align} $

(17)

由式(17) 可以得出$ \Delta l=| L_{0} -\lambda -l | $，将其代入式(16) 可以得出力$ F_{\rm H} $和总差值$ \lambda $之间的关系式为

$ \begin{align} F_{\rm H} =\frac{ES| L_{0} -\lambda -l |}{l} \end{align} $

(18)

取$ n = $ 1，将式(11) 代入式(5) 可以得到总差值$ \lambda $与初始偏转角$ \theta_0 $之间的关系为

$ \begin{align} \lambda =\frac{1}{2}\int_0^l \frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}x^{2}} {\rm d}x =\frac{\pi^{2}b_{1}^{2}} {4l}=\frac{l\theta_{0}^{2}} {4} \end{align} $

(19)

则$ x $轴方向的力$ F_{\rm H} $对系统做的功为

$ \begin{align} W_{\rm H} =F_{\rm H} \lambda \end{align} $

(20)

将式(18) (19) 代入式(20) 可以得到轴向载荷产生内能的表达式为

$ \begin{align} W_{\rm H} =ES \left(\frac{l}{16}\theta_{0}^{4} -\frac{L_{0} -l}{4}\theta_{0}^{2}\right) \end{align} $

(21)

气腔对基板做的功$ W_{\rm E} $包括气腔自身收缩所做的功和基板受到临界跳变力做的功，可表示为

$ \begin{align} W_{\rm E} =2F_{1} \Delta y+7F_{2} \Delta d \end{align} $

(22)

式中$ F_{1} $为基板临界跳变力，$ F_{2} $为气腔收缩力，$ \Delta d $为气腔的收缩量。

将式(15)(21)(22) 代入式(1)，可得到系统内部总能量$ W_{\rm T} $和初始转角$ \theta_0 $之间的关系式为

$ \begin{align} W_{\rm T} =\frac{ESl}{16}\theta_{0}^{4} -\frac{12ES({L_{0} -l})l-Ew_{\rm B} {\pi}^{2}h^{3}}{48l}\theta_{0}^{2} +W_{\rm E} \end{align} $

(23)

利用Matlab软件绘制式(23) 所示系统的能量曲线，结果如图 5所示。通过分析可知，当初始转角$ \theta_{0} = $ $ - $0.38 rad和$ \theta_{0} = $ 0.38 rad时，双稳态驱动装置系统内部能量处于2个极小值点，而在初始转角$ \theta_{0} = $ 0 rad时，能量曲线处于唯一的极大值点，对应实际跳变过程中不稳定的临界位置，验证了系统能量随摆动角$ \theta_{0} $变化的过程。

2.3 双稳态跳变力理论计算

双稳态驱动装置临界跳变力$ F_{\rm B} $与弯曲最大拱高$ \Delta y $具有如下关系^[19]：

$ \begin{align} F_{\rm B} =\frac{130.5EI\pi} {l^{3}} \sqrt{{\frac{\Delta y^{2}}{4l}-\frac{4.18I}{lS}}} \end{align} $

(24)

双稳态装置长度$ l_{\rm B} $不变时，受夹具结构的限位会产生相同的弯曲拱高$ \Delta y $，改变双稳态装置的宽度$ w_{\rm B} $，将式(14) 代入式(24) 可得到临界跳变力$ F_{\rm B} $与$ w_{\rm B} $的关系式：

$ \begin{align} F_{\rm B} =\frac{10.875Eh^{3}\pi} {l^{3}} \sqrt{{\frac{3\Delta y^{2}-4.18h^{2}}{12l}}}w_{\rm B} \end{align} $

(25)

根据薄膜理论，分析气腔与基板粘合侧的受力状态，薄膜气腔受内压作用产生的薄膜应力为^[20]

$ \begin{align} \sigma =\frac{P_{\text{work}} r}{\Delta t} \end{align} $

(26)

式中，$ \sigma $为薄膜应力，$ P_{\text{work}} $为气腔内部工作压力，$ \Delta t $为薄膜厚度。进而，计算出气腔作用于基板的切换力：

$ \begin{align} F_{\rm A} =\int_0^{l_{\rm B}} \sigma w_{\rm B} {\rm d}l \end{align} $

(27)

在双稳态驱动装置工作过程中，当气腔充气膨胀所产生的切换力大于基板的临界跳变力时，基板发生二次分叉屈曲跳变时会突破势能极大值点进行跳变。通过式(23) 和式(25) 可以推导出能量$ W_{\rm T} $与临界跳变力$ F_{\rm B} $的变化曲线如图 6所示，两者呈正相关关系。

3 仿乌贼机器人设计（The design of the squid-inspired robot） 3.1 样机结构设计与制作

乌贼运动时主要通过喷水推进，其运动过程如图 7所示^[21]，每个运动周期包括吸水、喷水2个过程。在吸水时喷口关闭，外套膜扩张，使内部腔体产生负压，水经漏斗吸入体内。在喷水时，外套膜和漏斗连接处闭合，外套膜收缩，利用产生的收缩力对内部腔体的水进行挤压，将水从喷口快速排出产生推力，使乌贼高速运动。

基于乌贼吸、排水运动机理，设计了一种通过腔体体积变化产生推进力的软体机器人，样机运动原理如图 8(a)所示。样机结构主要由上壳体、下壳体、双稳态驱动装置和拨水薄膜组成。拨水薄膜与双稳态驱动装置相连，驱动装置往复跳变，产生式(1) 中的能量变化，带动拨水薄膜往复运动产生体积变化$ \Delta v $。图 8(b)中，当双稳态驱动装置沿箭头方向跳变时，样机下侧腔体容积增加，流体通过喷水口流入腔体内部，双稳态装置到达稳态位置Ⅰ。图 8(c)中，当双稳态驱动装置沿箭头方向跳变时，样机下侧腔体容积减小，拨水薄膜推动下侧腔体流体经喷水口往外排出，双稳态装置到达稳态位置Ⅱ。驱动装置跳变过程对应图 5中的能量曲线转换过程。

仿乌贼机器人样机外形尺寸如图 9(a)所示，外部壳体采用工业级光固化3D打印机（型号：联泰Lite600HD）加工，材料使用未来R4600类ABS树脂（密度1.13 ~1.16 g/cm$ ^{3} $）。样机上侧腔体、中间夹具结构以及下侧腔体通过螺丝紧固，样机采用硅胶条和胶泥密封（如图 9(b)所示），保证样机上侧腔体不会进水，双稳态装置长边方向与其垂直面的缝隙在运动过程中不会漏水。

双稳态驱动装置通过壳体夹具结构进行安装，夹具滑槽对驱动装置进行限位使其发生预弯曲。驱动装置与拨水薄膜通过强力布基双面胶相连，如图 9(c)所示，装配时拨水薄膜放置在双稳态装置下侧与水接触面上，双稳态装置安装在上侧腔体内部，避免与水接触。样机实物如图 9(d)所示，样机壳体质量144.7 g，样机零部件装配后总质量216.1 g。

由于双稳态驱动装置在跳变过程中，一侧接触介质为液体，另一侧为空气。如果对上侧腔体进行完全密封，则当双稳态驱动装置向内运动时，如图 10所示，上侧腔体内部产生正压（内部压力$ P > $ 0），会阻碍驱动装置运动。当双稳态驱动装置向外运动时，上侧腔体内部产生负压（内部压力$ P < $ 0），会吸附驱动装置阻碍其运动。样机通过图 9(b)中的排气孔调节上侧腔体的内部压力，以克服上侧腔体压力变化对双稳态驱动装置跳变产生的影响。

在试验中发现，由于样机上侧腔体为密封状态，壳体密度接近于水，在水中会产生较大的浮力。为了克服自身浮力带来的影响，设计中利用样机的自身结构来调整浮力，在样机上侧腔体增加储水平衡仓，保证样机在水中的自平衡和浮沉性能。样机结构参数如表 2所示。

3.2 样机推进力计算

物体在水中游动时所受到的推力和阻力来源主要是惯性力和黏性力。雷诺数（$ Re $）是水中生物游动时惯性力和黏性力的比值^[22]，雷诺数较高时（$ { Re}>1000 $），物体所受推力主要来自惯性力；雷诺数较低时（$ { Re}<1 $），黏性力起主要作用；雷诺数$ 1<{ Re}<1000 $时黏性力和惯性力同时起作用。

$ \begin{align} { Re}=\frac{UL}{\nu} \end{align} $

(28)

式中，$ U $为样机相对于水的运动速度，$ L $为样机自身身长，$ \nu $为运动黏度，$ \nu = \mu /\rho $，其中$ \mu $为动力黏度，$ \rho $为流体密度，水在20 $ ^{\circ} $C时$ \nu= $ 1.006 $ \times $ 10$ ^{-6} $ m$ ^{2} $/s。

通过计算，样机在最低驱动频率0.17 Hz下的游动速度为32.46 mm/s，雷诺数$ { Re}=4.9\times 10^{4} $，远大于1000，故在对其进行受力分析时，只考虑惯性力对样机的作用，忽略黏性力。样机在水中的运动受力如图 11所示，可计算样机的推进力为

$ \begin{align} F=F_{\rm I}+F_{\rm D}+F_{\rm L}+F_{\rm G}+G \end{align} $

(29)

式中，$ F $为样机推进力，$ F_{\rm I} $为样机所受惯性力，$ F_{\rm D} $为样机所受阻力，$ F_{\rm L} $为样机所受升力，$ F_{\rm G} $为样机所受浮力，$ G $为样机自身重力。

由于样机在水中处于漂浮状态，故其重力和浮力数值相等，即推进力表达式为

$ \begin{equation} \begin{split} &F_{\rm G}+G=0 \\ &F=F_{\rm I}+F_{\rm D}+F_{\rm L} \end{split} \end{equation} $

(30)

样机游动时处于高雷诺数状态，其所受黏滞阻力较小，自身形体产生阻力起主要作用，样机所受阻力$ F_{\rm D} $表示为

$ \begin{align} F_{\rm D} =\frac{1}{2}C_{\rm D} \rho U^{2}S_{\rm D} \end{align} $

(31)

式中，$ C_{\rm D} $为阻力系数，$ S_{\rm D} $为样机有效阻力面积。

样机在游动时部分身体沉入水下，其运动时上表面的压力小于下表面而产生升力，升力$ F_{\rm L} $为

$ \begin{align} F_{\rm L} =\frac{1}{2}C_{\rm L} \rho U^{2}S_{\rm L} \end{align} $

(32)

式中，$ C_{\rm L} $为升力系数，$ S_{\rm L} $为样机有效升力面积。

仿乌贼机器人推进方式为喷水推进，其惯性力$ F_{\rm I} $的大小与样机内部流体瞬时质量的变化和样机向外喷出的流体的瞬时速度的变化有关。在某一时刻$ t $，样机内部包含的流体的体积$ V(t) $为

$ \begin{equation} V(t) =V_{1} +V_{2}, \quad V_{1} =w_{\rm A} \int_{-\Delta y}^{\Delta y} y(x, t){\rm d}x \end{equation} $

(33)

式中，$ V_{1} $是双稳态装置活动空间的体积，$ V_{2} $是样机内部去除$ V_{1} $后剩余的体积，$ w_{\rm A} $是气腔的宽度，$ y(x, t) $表示在时刻$ t $双稳态驱动装置的外形曲线。

样机在实际运动过程中，由于拨水薄膜自身存在褶皱，因而内部实际的充水量与理论充水量存在差别，且略小于理论充水量^[21]，$ t $时刻的实际充水量$ V_{\rm C}(t) $为

$ \begin{align} V_{\rm C} (t)=V_{\rm R} +V(t)-V_{\max} \end{align} $

(34)

式中，$ V_{\rm R} $是实际最大充水量，$ V_{\max} $是$ V(t) $的最大值。进而可推算非定常状态下，样机$ t $时刻喷水推进产生的惯性力：

$ \begin{align} F_{\rm I} (t) =\;& U_{\rm j} \frac{{\rm d}m}{{\rm d}t} =\frac{\partial } {\partial t}\int_{V_{\rm C}} U_{\rm j} (x, t)\rho {\rm d}V + \\ & \int_{S_{\rm C}} U_{\rm j} (x, t)\rho U_{\rm j} (x, t){\rm d}S_{\rm N} \end{align} $

(35)

式中，$ U_{\rm j} $是$ t $时刻样机内部向外喷射流体的速度，$ m $是样机及内部所含流体的总质量，$ V_{\rm C} $是下侧腔体的控制体积，$ S_{\rm C} $是下侧腔体的表面积，$ U_{\rm j}(x, t) $是样机腔内流体流速，$ {\rm d} V $是样机内部的体积变化量，$ S_{\rm N} $是喷水口的横截面积。为简化计算，只考虑准定常状态下的样机惯性力，且设计中喷水口横截面积为常数，故惯性力可简化为

$ \begin{align} F_{\rm I} =\rho \frac{V_{\rm O}} {t}U_{\rm j} =\rho S_{\rm N} U_{\rm j}^{2} \end{align} $

(36)

式中，$ V_{\rm O} $是$ t $时刻样机内部向外喷射流体的体积。

双稳态装置的循环跳变促使下侧腔体内部液体产生周期性体积变化，下侧腔体是以开放式的形式与外部液体环境交互，通过控制双稳态装置的驱动频率实现缓慢吸水、快速排水，样机自身产生反向推力，实现样机前进运动。初次跳变时，样机产生初始速度，依靠惯性力，在样机停止运动前，双稳态驱动装置再次跳变，保证样机速度累积，样机游动中不出现后退现象，使其持续稳定地在水中运动。

4 试验与仿真（Experiment and simulation） 4.1 气腔测试

气腔由2层TPU薄膜材料通过热封机进行高温熔融热封，制作方式简单易行。由热封机熔融热封出多个腔体隔断，气腔的隔断数不同，表现出不同的收缩性能，图 12(a)(b)分别展示了气腔未充气状态和充气收缩状态。

气腔的理论收缩量可利用式(37) 计算，当单个气腔隔断完全充气膨胀时，可以将其理想化为圆柱状，圆柱半径为$ r_{\rm cavity} $，单个气腔隔断收缩量为$ \Delta d $。采用图 12(c)(d) 的测试方法，选取0.10 mm、0.15 mm和0.20 mm三种TPU薄膜材料厚度分别制作3个气腔，对同规格气腔进行收缩量测试，测试各自的收缩量随气压的变化值，结果见图 13。

$ \begin{equation} \begin{aligned} 2d & =2{\pi} r_{\rm cavity} \\ \Delta d & =d-2r_{\rm cavity} = \left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)d \end{aligned} \end{equation} $

(37)

试验中气腔尺寸$ l_{\rm A} = $ 121 mm，$ w_{\rm A} = $ 40 mm，密封宽度$ s= $ 2 mm，气腔隔断长度$ d= $ 15 mm，制作的气腔隔断的数量为7。由式(37) 可以得气腔的理论收缩量为38.15 mm，实测的气腔收缩量为32~33 mm，略小于理论值，这是由于在充气时，气腔隔断膨胀为椭圆状而不是理论正圆。此外，经高温热封后，气腔熔融热封处会发生热变形。图 13表示不同厚度气腔收缩量的测试结果，其结果验证了同种厚度TPU气腔的收缩量具有高度一致性，制作的TPU气腔工作稳定性能够得到保障，且同规格气腔具有可替换性。

TPU薄膜材料的厚度对气腔的拉伸力特性有一定的影响，为了选取合适厚度的TPU薄膜材料，对前文所述3种厚度材料制作的气腔进行对比实验，装置如图 14(a)所示。通过夹具固定气腔两端对其进行充气，改变气腔内部的气压，使用推拉力计测试不同气压下气腔产生的拉力值。

分析图 14(b)的试验结果，当内部气压大于60 kPa时，气腔材质越薄，其对拉力的保持性越弱，这是由于气腔发生弹性形变所致。气腔材质越厚，其对拉力的保持性越好，试验中厚度为0.15 mm和0.20 mm的TPU薄膜在工作压力45 ~65 kPa范围内具有较好的拉力保持性。热封TPU薄膜时发现，由热封0.20 mm厚度材料制作出的气腔整体气密性较差，在工作压力下易发生漏气现象，不能保证双稳态装置的稳定跳变，而由0.15 mm厚度材料制作的气腔气密性非常好，在满足试验要求的情况下，本文选择0.15 mm厚度的TPU薄膜材料制作双稳态驱动装置的气腔。

4.2 弹性基板测试与仿真

为选取合适厚度的弹性基板，进行图 15所示的测试试验，分别选取厚度为0.10 mm、0.20 mm、0.30 mm的FR-4环氧树脂基板，基板长度设为$ l_{\rm B}= $150 mm，宽度$ w_{\rm B} $分别选取35 mm、40 mm、45 mm、50 mm和55 mm，通过推拉力计测试临界跳变力，结果如图 16所示。

分析图 16测试结果可知，相同宽度$ w_{\rm B} $下，基板临界跳变力随厚度增加而增大，0.30 mm厚度基板所需跳变力约为同宽度下0.10 mm厚度基板的14.7倍，是0.15 mm厚度基板的5.1倍，基板的临界跳变力和其储存弹性势能的能力正相关，故0.30 mm厚度的FR-4环氧树脂基板表现出较好的储能能力。

对制作好的双稳态驱动装置进行跳变测试，偶尔会出现图 17中的跳变卡死现象，这是因为弹性基板受到两端均匀的气腔拉力，无法突破势能极大值点完成跳变。

为了保证双稳态驱动装置的稳定跳变，设计中对基板进行图 18(a)所示的挖方孔处理，方孔宽为$ a $，长为$ b $。方孔的长宽比$ b $/$ a $变化会对方孔长边方向基板的弯矩值及局部应力集中系数产生影响^[23]。$ b $/$ a > $ 1时，方孔长边方向基板因受到应力集中影响，挖孔区和未挖孔区受力不均匀，驱动装置产生类似图 1(c)的二次分叉屈曲跳变，极易通过不稳定区域，突破势能极大值点，顺利完成跳变。实际使用的基板内的方孔尺寸为$ a = $ 7 mm，$ b $ $ = $ 30 mm，该尺寸可以使双稳态驱动装置稳定跳变。

为了对比内部挖孔和未挖孔处理的2种基板受气腔拉伸力影响的程度，使用ABAQUS软件对2种基板制作的驱动装置均施加气压$ P = $ 55 kPa的载荷，仿真模型中基板采用的约束方式为一端设置固定铰接、另一端设置活动铰接，结果显示挖孔处理（图 18(b)）的基板弯曲度明显优于未挖孔处理（图 18(c)）的基板。

通过试验测试进一步对比2种基板的临界跳变力，结果如图 19所示。结果表明，未挖孔处理的基板临界跳变力约为挖孔处理基板的1.4倍，结合图 6分析，发现挖孔处理更易受到外界扰动，产生弯曲跳变。

气腔提供的切换力与弹性基板的稳态切换力具有一定的关系，基于式(24) 推导出的弹性基板临界跳变力与基板宽度之间的关系，对比实验数据拟合曲线与理论曲线，得到如图 20所示的结果。

通过式(27) 计算出气腔作用于基板的切换力$ F_{\rm A} = $ 5.82 N，将计算结果在图 20中进行比较，得出在相同规格气腔作用下，长度为$ l_{\rm B} = $ 110 mm的弹性基板产生跳变的极限宽度为62 ~68 mm，实际使用的基板宽度$ w_{\rm B} = $ 15 mm，此时在基板不卡死状态下，气腔产生的切换力可以克服弹性基板的临界跳变力，使双稳态驱动装置顺利跳变。多次试验得出双稳态驱动装置尺寸选取范围如表 3所示。

4.3 双稳态驱动装置测试与仿真 4.3.1 弯曲度测试与仿真

对双稳态驱动装置的弯曲性能进行如图 21所示的测试，通过对驱动装置$ A $侧、$ B $侧气腔分别充气控制气压变化，驱动装置会出现不同的弯曲状态。

双稳态驱动装置弯曲角简图如图 4(c)所示，得出弯曲跨度$ l $与弯曲角$ \beta $之间的关系为

$ \begin{align} l=\frac{2L_{0}} {\beta} \sin \frac{\beta} {2} \end{align} $

(38)

通过测量不同气压下的弯曲跨度$ l $，可以得到弯曲角$ \beta $与气压的关系。利用ABAQUS软件对$ A $、$ B $两侧弯曲度进行有限元仿真，试验与仿真结果如图 22所示。结果表明，相同尺寸下双稳态驱动装置$ A $、$ B $两侧的弯曲性能基本相同，可以保证双稳态驱动装置跳变时的对称性，实现两侧气腔充气的差异性控制。

4.3.2 驱动装置跳变测试

为验证驱动装置是否可以稳定跳变，采用图 23所示的试验装置进行跳变测试，记录一个周期的跳变过程，如图 24所示。图 24(a)中，驱动装置在$ t = $ 0 s时位于稳态位置Ⅰ，此时上侧气腔气压$ P = $ 0 kPa，下侧气腔气压$ P = $ 60 kPa，上侧气腔通过Arduino控制板控制电磁阀通断进行充气，下侧气腔停止充气由电磁阀向外排气。弹性基板上侧受到气腔体积膨胀带来的挤压力和切向力扰动，开始发生弯曲变形并进行跳变。

图 24(b)为$ t = $ 0.5 s时，双稳态驱动装置即将突破临界不稳定点时的状态，此时驱动装置内部势能达到极大值点，处于不稳定状态。图 24(c)为$ t = $ 1 s时，驱动装置刚跳变至稳态位置Ⅱ，上侧气腔气压$ P = $ 60 kPa，下侧气腔气压$ P = $ 0 kPa。然后通过Arduino控制板令电磁阀控制气路通断，上侧气腔停止充气并开始排气，下侧气腔开始充气，如图 24(d)所示。

如图 24(e)所示，$ t = $ 1.5 s时，驱动装置再次到达临界不稳定点，此时上侧气腔气压$ P = $ 15 kPa，下侧气腔气压$ P = $ 60 kPa。如图 24(f)所示，$ t = $ 2 s时，基板突破不稳定状态回到稳态位置Ⅰ，此处，双稳态驱动装置完成一个周期的跳变。

试验结果表明，驱动装置在跳变中可以产生较大的驱动力，跳变时驱动力的释放会在很短的时间内完成，该驱动力可以作为本文中仿乌贼机器人喷水推进的驱动源。双稳态驱动装置的周期性跳变运动可以为仿乌贼机器人的喷水、充水循环运动提供可能性。文中试验硬件配置如表 4所示。

5 样机游动结果（Prototype swimming results）

利用图 23所示试验装置对样机进行水下游动测试，通过改变双稳态驱动装置的驱动频率来验证样机速度变化规律，结果如图 25所示。测试的驱动频率最小为0.17 Hz，此时样机平均游动速度为32.46 mm/s；驱动频率最大为0.67 Hz，此时样机平均游动速度为86.55 mm/s。对样机实测运动速度进行拟合，得出样机游动速度变化曲线，结果显示样机速度随着驱动装置驱动频率的增大而呈上升状态。

仿乌贼结构样机在游动时可以根据自身结构进行浮力的调节，这为样机提供了一定的负重能力。试验表明，样机在水中的负重能力为227.7 g，当质量超过该数值时，样机游动效果较差，该负重能力为后期样机集成化设计提供了可能。

样机2个运动周期（4 s）的游动过程如图 26所示，驱动频率为0.5 Hz，样机的平均运动速度可以达到81.14 mm/s，表现出了优异的游动性能。然而，样机还存在以下不足：首先，样机只能进行带缆绳游动，拖动的气管在一定程度上会干扰样机的游动；其次，由于自身质量较轻，在喷水推进的过程中，受惯性力的作用，会出现前后俯仰的运动状态，后期需要对样机的重心进行优化，提高游动的稳定性；最后，样机还不能实现完全的潜游状态，在后续工作中，需要对上侧腔体结构进行改进，避免腔体内部压力对双稳态驱动装置跳变产生影响。

试验初期发现，上侧腔体如果出现漏水现象，双稳态推进装置仍可以正常跳变，随着上侧腔体内部水体积的增加，样机的游动速度会受到影响，速度逐渐减小。试验中为了保证样机的游动性能，需要保证样机上侧腔体的密封性，避免水进入上侧腔体。

本文在样机设计中只应用了一个双稳态驱动装置，在后期的应用拓展中，可以将多个双稳态驱动装置进行模块化组合，为水下仿生样机的设计打开新的思路。根据时间的先后顺序，对近年水下仿生机器人进行了综合性能对比，结果如表 5所示。仿生机器人的驱动方式对其游动速度有很大的影响，随着智能材料的发展，水下仿生机器人的运动方式趋向于多样化，如喷水推进、胸鳍摆动、尾鳍摆动和脚蹼游动等。本文利用气动双稳态驱动装置优异的驱动性能，保证了样机在水中较好的游动性能，未来将根据不同应用场景进行新的改进和拓展。

本次样机设计使用气动双稳态驱动装置，软基板两侧连接的气腔可以保证结构的对称性，气腔膨胀需要的气量较少，换气成本低，响应迅速，驱动装置控制简单。现有的气动软体机器人多采用硅胶注模气动网格等形式^[1]，充放气形成弯曲形变，这类制作会增加生产成本，硅胶固化过程难以统一。本文的驱动装置在其跳变过程中可以产生稳定的驱动力，也为水下仿生机器人的研究提供了一种稳定、低成本的驱动方式，在水下环境中具有实际应用意义。

6 结论（Conclusion）

本文通过将双稳态驱动装置与乌贼喷水前进的运动方式相结合，设计出一种气动双稳态驱动的仿乌贼结构喷水推进软体机器人。通过实际测试，驱动器可以满足样机的喷水前进运动方式，通过理论、仿真与试验分析得出以下结论：

(1) 建立了双稳态驱动装置的理论模型，进一步得出双稳态装置系统能量与临界跳变力呈正相关关系。

(2) 试验测试了双稳态驱动装置的跳变过程，分析了材料选型对于驱动装置性能的影响。使用ABAQUS软件对驱动装置弯曲角随气压变化的关系进行仿真，仿真与试验结果基本一致，验证了驱动装置的弯曲性能，得出双稳态驱动装置的稳定跳变可以向外输出稳定的驱动力。

(3) 对样机进行游动试验测试，试验表明双稳态装置具有优异的驱动性能，样机平均运动速度可以达到8.7 cm/s（0.58 BL/s），表现出良好的游动性能，且样机自身有一定的负重能力。

(4) 采用的气动双稳态驱动装置为水下仿生机器人的设计提供了新的驱动方式。后续工作将会对其进行模块化设计，应用到新的仿生驱动中，同时对样机进行改进，提升样机游动稳定性，将供气模块和供电模块集成到样机内部，实现脱缆绳自主游动。