1 引言（Introduction）

海洋观测船是搭载科学仪器设备执行海洋探测任务的最常用的一类观测平台，具有自持力强、作业时间长、观测范围广等特点。海洋观测船在风浪作用下产生摆荡，严重影响其搭载的观测仪器的测量精度。虽然船体对设备的运动扰动是6自由度的，然而在很多场景下平移扰动可通过后期处理完成数据校正（如多波束测深）或依靠姿态调节抵消影响（如火炮稳定），因此姿态稳定平台具有较广泛的用途。姿态稳定平台通常由3转动自由度机构构成，固定安装于船舶与仪器之间，通过实时调整主动关节输入变量，大幅提升船载设备的姿态稳定性，是仪器姿态随船变动问题的有效解决方案。

与串联机构相比，并联机构具有高刚度、高动态特性、高功率密度等特点^[1]，非常适于在船上局促空间内搭载测量仪器与设备，并补偿其动态变化的姿态角。在机构构形确定的前提下，运动学参数优化是提升机构运动性能的有效手段^[2]。对于3转动自由度船载并联稳定平台，在开展其运动学参数优化设计时，需要着重考虑如下两方面因素：1) 在机构主尺度已给定的情况下，如何设计得到较大的工作空间，即较大的姿态角调节范围，以提升船载稳定平台在恶劣海况下的作业能力；2) 在主动关节驱动力（驱动功率）受限的情况下，如何改善机构在全工作空间内的力传递性能，以提升稳定平台的负载能力以及对复杂海况的动态响应能力。

并联运动平台工作空间分析与优化的关键在于建立机构尺度参数、关节约束与动平台位姿实现能力之间的映射关系。在早期研究中，学者们多利用几何法计算工作空间。Gosselin^[3]运用圆弧相交法，对3-RPR并联机构进行了工作空间分析。为使求解更快捷，Aboulissane等^[4]提出利用CAD（计算机辅助设计）软件进行工作空间的辅助求解。然而，几何法缺乏通用性，且当约束条件增多时解算困难，因此机构工作空间的数值求解法也被广泛研究。Castelli等^[5]提出了一种基于离散化方法确定工作空间边界、体积和形状指数的算法。与之类似的还有蒙特卡洛法^[6]，将关节空间离散化，并通过正运动学搜索出机构的工作空间。此类方法只需机构运动学正逆解模型，其余工作均可由程序进行迭代求解，流程简便且适用性强。此外还有一些改进的求解法。Bohigas等^[7]提出了分枝剪枝技术，该技术可以确定一般低自由度串联或并联机构的所有工作空间边界点。Rouhani等^[8]考虑多种约束，利用改进的自适应步长法对工作空间作离散化和求解。相比较而言，离散化搜索空间边界的数值法更简便适用，能快速完成工作空间的求解。

船载稳定平台的载荷能力也是其重要运动性能，可用力传递率指标对其作评价。力传递率代表了机构支链驱动力转换为平台输出力/力矩的能力，在很多文献中也称为“可操作性”。张新^[9]将该性能称为“承载力性能”，并采用雅可比矩阵的最小奇异值作为评价指标，而且从数学机理上说明了其合理性。Chen等^[10]提出了一个传递指标来评估并联机械手的力和扭矩传递质量，该指标可被归一化并用于分析精确约束的并联机械手。除分析力与力间的联系外，也有学者直接分析运动与力之间的传递关系，同样可应用于平台载荷能力的评价。刘辛军等^[11]基于传动角概念提出了并联机构运动/力传递率评价指标，为机构的优化设计提供了一种有效的手段。Wu等^[12]使用虚拟传动系数指标对运动/力传递性能进行评价，而Liu等^[13]基于最大虚系数的双重属性定义了一种评价力传递性能的新指标，其优势在于可更精细地识别机构运动学性能。由于稳定平台实际应用过程中载荷不确定，因此在设计阶段考虑力与力间的传递性能更为恰当。上述评价指标均是局部力传递率，随机构位形变化而变化，为评价整个工作空间的性能，需要进一步考虑全域力传递能力指标。刘海涛等^[14]采用局部指标的全域平均值作为整体性能指标；叶伟等^[15]从优质空间考虑，提出了采用优质传递空间与整体传递空间的比值评价整体传力性能的方法。然而后者适用于对某确定的机构进行运动性能分析，对于构形优化而言，前者可以提供全域性能绝对值，因此更为合适。

并联机构的尺度优化设计通常可以转化为以尺度参数为设计变量，以单一或综合性能指标最优为目标，并综合考虑工程约束的优化问题。叶伟等^[15]在设计空间内采用性能图谱法求解出性能较好的区域，但此方法难以精确求出最优参数。为准确地找出最优参数解，较多学者从优化问题中凝练出目标函数，采用最值函数^[16]或遗传算法^[17-18]等来完成综合指标的优化求解。程元皓等^[19]采用改进非支配排序遗传算法完成了多目标优化求解，与普通算法相比，改进后的算法具有更高的求解精度和效率。

本文以3-UPS & S并联船载姿态稳定平台为对象，重点结合应用场景的实际需求，以工作空间和力传递性能为优化目标，采用改进的自适应小生境遗传算法完成对尺度参数的优化设计，并通过与初始构形的性能对比以及样机实验结果，验证了所做优化设计的有效性。

2 机构描述（Mechanism description）

3-UPS & S船载并联稳定平台的结构简图如图 1所示。该机构由与船体固定连接的静平台、搭载观测设备的动平台、与两者相连的3条UPS支链以及中央立柱组成。在此，U、P、S分别表示虎克铰、移动副以及球铰，P表示主动移动副。

机构中的UPS支链一端通过虎克铰与静平台连接，另一端通过球铰与动平台相连；中央立柱一端与静平台固定连接，另一端通过球铰与动平台中心相连。中央立柱限制了动平台的三向平动，通过控制3条UPS支链的伸缩量，即可实现动平台3个转动自由度的运动。

如图 2所示，令点$ A_{i} $和$ B_{i} $（$ i=1, 2, 3 $）分别表示第$ i $条UPS支链中虎克铰和球铰的中心，两者分别构成正三角形$ \triangle A_{1} A_{2} A_{3} $和$ \triangle B_{1} B_{2} B_{3} $。点$ A $表示中央立柱中心轴线与$ \triangle A_{1} A_{2} A_{3} $所在平面的交点，且与$ \triangle A_{1} A_{2} A_{3} $的几何中心重合；点$ B $表示中央立柱上端球铰的中心，且与$ \triangle B_{1} B_{2} B_{3} $的几何中心重合；中央立柱轴线与$ \triangle A_{1} A_{2} A_{3} $所在平面垂直。以点$ A $为原点建立静平台参考坐标系$ A $-$ xyz $，其$ x $轴经过点$ A_{1} $，$ z $轴垂直于$ \triangle A_{1} A_{2} A_{3} $所在平面，$ y $轴满足右手定则。为描述动平台姿态，在动平台参考点$ B $建立连体坐标系$ B $-$ uvw $，其$ u $轴经过点$ B_{1} $，$ w $轴垂直于$ \triangle B_{1} B_{2} B_{3} $所在平面，$ v $轴满足右手定则。铰点$ A_{i} $与$ B_{i} $在其所在平面内的分布角$ \alpha_{i} =2(i-1)\pi / 3 $。

考虑到该船载稳定平台的应用需求，系$ B $-$ uvw $相对于系$ A $-$ xyz $的姿态可采用基于T & T角（倾斜角与扭转角）的姿态矩阵描述为

$ \begin{align*} \boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}(z, \phi)\boldsymbol{R}(y, \theta)\boldsymbol{R} (z, \psi -\phi)= (\boldsymbol{u} \; \; \boldsymbol{v} \; \; \boldsymbol{w} ) \end{align*} $

式中，$ \boldsymbol{R}(\cdot) $表示旋转算子，$ \phi $、$ \theta $、$ \psi $分别表示方位角、倾斜角和扭转角，$ \boldsymbol{u} $、$ \boldsymbol{v} $、$ \boldsymbol{w} $分别表示系$ B $-$ uvw $的3个坐标轴的单位向量。

记静平台、动平台铰点所构成三角形的外接圆半径分别为$ a $和$ b $，中央立柱高度为$ h $，此为机构的关键尺度参数，参数间的相对比例关系将显著影响该船载稳定平台的运动学性能。

3 运动学性能分析（Kinematics performance analysis） 3.1 工作空间

首先研究3-UPS & S机构的工作空间分析方法，为后文的优化设计奠定基础。

3.1.1 约束条件

机构在运动中受到多种约束，可达空间的边界通常是约束条件起作用的点集。

1) 支链杆长约束

支链的长度不能超出杆长允许范围，相应的约束条件可表示为

$ \begin{align} \begin{cases} l_{\min} <l_{i} <l_{\max} \\ l_{\min} =\sqrt{a^{2}+h^{2}}-b \\ l_{\max} =2l_{\min} \end{cases}, \qquad i=1, 2, 3 \end{align} $

(1)

式中，$ l_{i} $表示第$ i $条支链的长度，$ l_{\min} $与$ l_{\max} $分别为支链长度的最小值与最大值。$ l_{\max} $则根据推杆样本参数集选定为$ 2l_{\min} $，推杆样品参数集根据各品牌推杆产品的参数汇总而得。

支链杆长由运动学逆解求得，即

$ \begin{align} l_{i} =\left\| \overrightarrow {A_{i} B_{i}} \right\|=\left\| h\boldsymbol{k}+\boldsymbol{Rb}_{i} -\boldsymbol{a}_{i} \right\| \end{align} $

(2)

式中，$ \boldsymbol{k} $表示$ z $轴单位向量，$ \boldsymbol{R} $表示旋转变换矩阵，$ \boldsymbol{a}_{i} $和$ \boldsymbol{b}_{i} $分别表示点$ A_{i} $在系$ A $-$ xyz $中和点$ B_{i} $在系$ B $-$ uvw $中的位置矢量，其具体为

$ \begin{align*} \boldsymbol{a}_{i} = \begin{pmatrix} a\cos \alpha_{i} \\ a\sin \alpha_{i} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}_{i} = \begin{pmatrix} b\cos \alpha_{i} \\ b\sin \alpha_{i} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{k}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*} $

2) 杆间干涉约束

支链与支链、支链与中央立柱之间不能发生接触，约束条件可表示为

$ \begin{align} d_{\min} >2r_{\text{limb}} \end{align} $

(3)

式中，$ d_{\min} $表示两支链轴线段间的最小空间距离，$ r_{\text{limb}} $表示支链结构最小包络圆柱的半径（此处默认3条支链的机械结构相同），本文依据市场上各品牌推杆产品的参数样本选定$ r_{\text{limb}} =h / 16 $。

两支链之间最短距离的计算等价于空间中两线段之间最小距离的求解。依据文^[20]，可计算两支链间的最短距离。

3) 关节转角约束

关节转动幅度不能超过该关节转角的最大允许值。关节转角约束与铰链的实际设计有关，本文依据设计经验选定球铰和虎克铰的最大允许转角均为$ 45^{\circ} $。中央球铰的偏角等于动平台的倾斜角，支链上的球铰和虎克铰的转角可由关节的随动向量与基准向量间的夹角计算得出。

关节基向量的方向与铰链的安装方位有关，合理的铰链安装方位有利于最大程度地发挥铰链的运动能力（偏转范围）。本文在设计支链虎克铰近架轴线的安装方位时，首先依据其他3类约束搜索机构可达工作空间，并同时记录所关注的铰链随动向量的变动范围，最后选取所述范围的“中心方向”作为基准向量，据此设计虎克铰的安装方位。

4) 奇异位形约束

机构处于奇异位形时，其运动可能出现不可控或卡死现象，因此工作空间的选取应当尽量避开奇异位形。雅可比代数法是研究并联机构奇异问题的常用方法^[21]，对于本文所研究机构，雅可比矩阵$ \boldsymbol{J} $是3维方阵，可表示为

$ \begin{align} \boldsymbol{J} =\begin{bmatrix} \left(\boldsymbol{Rb}_{1} \times \hat{\boldsymbol{s}}_{1}\right)^{\rm T} \\ \left(\boldsymbol{Rb}_{2} \times \hat{\boldsymbol{s}}_{2}\right)^{\rm T} \\ \left(\boldsymbol{Rb}_{3} \times \hat{\boldsymbol{s}}_{3}\right)^{\rm T} \end{bmatrix}^{-1} \end{align} $

(4)

式中，$ \hat{\boldsymbol{s}}_{i} $（$ i=1, 2, 3 $）为第$ i $条支链的单位方向向量。

当雅可比矩阵不满秩，即$ | \boldsymbol{J} |=0 $时，当前位形即为机构的奇异位形。实际应用中，通常使用雅可比矩阵的条件数来判断机构是否处于奇异位形，例如，当$ \text{cond}(\boldsymbol{J})\geqslant 10^{4} $时，即认为当前位形为奇异\lk位形。

3.1.2 求解方法

采用数值法搜索求解机构的可达空间。具体地，依序给定某位形，判断其是否满足前述4类约束条件，若满足，则该位形属于可达空间；若不满足，则排除该位形。获得机构的可达空间后，再根据船载稳定平台的转角设计需求，从中筛选出机构的工作空间。

考虑到船载稳定平台的应用场景及机构可达空间关于扭转角的对称性，设定搜索范围为扭转角$ \psi \in [0^{\circ}, 180^{\circ}] $，倾斜角$ \theta \in [0^{\circ}, 90^{\circ}] $，方位角$ \phi \in [0^{\circ}, 360^{\circ}] $。机构的搜索空间在圆柱坐标系中以T & T角的方式来表达，扭转角$ \psi $为高度，方位角$ \phi $为极角，倾斜角$ \theta $为极径，如图 3(a)所示。同时为后文中绘图方便，图中还示出一组直角坐标系$ x_{1} y_{1} z_{1} $，仅用于绘图展示，与机构上的坐标系没有关联。将圆柱形搜索空间沿纵轴划分为若干间距为$ \Delta \psi $的圆形（如图 3(b)所示），在每个圆形范围内采用遍历搜索的方法获得该平面内的可达空间边界，光滑连接各层可达空间边界，即可得到机构的可达空间。

求得机构可达空间后，需根据船载稳定平台的姿态角设计指标进一步确定其工作空间。在5级海况内，各类舰船的摇摆幅度（RPY角）通常不超过$ 20^{\circ} $^[22]，所对应T & T角的倾斜角$ \theta $不超过$ 28^{\circ} $，故本文选择$ \theta =30^{\circ} $作为工作空间的边界条件，据此在可达空间内确定工作空间的范围。

为综合考量动平台三向转角的取值范围，选用工作空间的体积作为评价指标。依据上述定义，工作空间为圆柱体，且体积可表示为

$ \begin{align} V=\pi \theta_{\rm d}^{2} ( \psi_{\max} -\psi_{\min}) \end{align} $

(5)

式中，$ \theta_{\rm d} $为工作空间的半径，即边界倾斜角；$ \psi_{\max} $、$ \psi_{\min} $分别为工作空间的顶部和底部对应的扭转角。

3.2 力传递率

本文定义的力传递率反映了支链驱动力转化为动平台输出力的能力。支链驱动功率一定时，力传递率高表明平台具有更强的负载与动态响应能力。

力传递率有局部与全域之分，其中局部力传递率（LTI）受机构的尺寸比例和位形的共同影响。定义支链输入力矢量$ \boldsymbol{F}_{\text{in}} $与动平台输出力矢量$ \boldsymbol{F} $有如下关系：

$ \begin{align} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{GF}_{\text{in}} \end{align} $

(6)

其中，$ \boldsymbol{G} $为力雅可比矩阵的逆矩阵，其与前述速度雅可比矩阵$ \boldsymbol{J} $之间存在如下关系：

$ \begin{align} \boldsymbol{G}=\boldsymbol{J}^{\rm -T} \end{align} $

(7)

局部力传递率评价指标$ \eta $的定义为：在单位支链输入力$ \boldsymbol{F}_{\text{in}} $作用下动平台输出力$ \boldsymbol{F} $各分量绝对值的最小值，以保障其性能下限，求解方法为

$ \begin{align} \eta =| {F_{i}} |_{\min} =\sqrt{\lambda_{\min} ({{\boldsymbol{G}}^{\rm T}{\boldsymbol{G}}})} \end{align} $

(8)

式中，$ \lambda_{\min} ( \boldsymbol{G}^{\rm T} \boldsymbol{G}) $表示矩阵$ \boldsymbol{G}^{\rm T} \boldsymbol{G} $的最小特征值。

局部力传递率随稳定平台位形变化，为对机构的力传递率做出整体性评价，定义全域力传递率（GTI）为局部力传递率的全域平均值：

$ \begin{align} \overline{\eta} =\int \eta {\rm d} V /V \end{align} $

(9)

式中，$ \overline{\eta} $表示全域平均力传递率，$ V $表示工作空间的体积。

3.3 计算实例

根据文^[23]，将机构的初始参数比例关系确定为$ a:b:h=0.76:0.56:1.68 $，遵循上述计算流程，求解该构形的工作空间和力传递率。

3.3.1 工作空间

求解得到实例构形下稳定平台的工作空间体积$ V=2.40\times 10^{5} $ deg$ ^{3} $，具体如图 4所示。

外围蓝色区域为机构的可达空间，内部绿色圆柱区域为满足工程需求的工作空间。扭转角$ \psi \in [0^{\circ}, 30^{\circ}) $时，由于奇异位形和关节转角的约束，可达空间边界对应的最大倾斜角$ \theta $由$ 20^{\circ} $逐渐变化至$ 30^{\circ} $左右；扭转角$ \psi \in [30^{\circ}, 115^{\circ}] $时，关节转角约束起主要作用，可达空间近似为鼓形，并在$ \psi =70^{\circ} $附近有最大半径，此处即对应了关节的最优安装方向，也是稳定平台实际使用时的扭转角零点；扭转角$ \psi \in (115^{\circ}, 180^{\circ}] $时，由于关节转角约束与杆长约束的共同作用，可达空间边界对应的最大倾斜角$ \theta $由$ 30^{\circ} $逐渐变化至$ 0^{\circ} $，可达空间近似为三棱锥形状。在当前可达空间内，使倾斜角$ \theta $达到$ 30^{\circ} $的扭转角$ \psi $的取值范围约为$ [30^{\circ}, 115^{\circ}] $。此时，该船载稳定平台可补偿约$ \pm 42.5^{\circ} $的艏摇运动。

3.3.2 力传递率

在工作空间范围内，3-UPS & S机构的局部力传递率指标$ \eta $的分布情况如图 5所示。

由图 5可知，在机构零位对应的扭转角下，力传递性能最好；在扭转角$ \psi $相同的情况下，在倾斜角$ \theta $较小的区域，局部力传递率较高。全工作空间内，局部力传递率的最大值为0.39，最小值为0.19，全域力传递率为0.34。总体来看，该初始构形的力传递性能有一定的提升空间，有必要通过机构尺度参数优化寻找性能更佳的构形。

4 机构尺寸优化（Dimensional optimization of the mechanism）

以工作空间与力传递率综合性能最优为目标构建机构尺度参数优化问题，并采用遗传算法实现优化问题的求解。

4.1 基于性能驱动的优化问题构建 4.1.1 参数设计空间

如前所述，稳定平台尺度参数优化的对象是静平台半径$ a $、动平台半径$ b $以及动平台高度$ h $三个几何参数。为计算的方便性和分析的普适性，首先对机构的3个待优化尺度参数作无量纲化处理，得到对应的无量纲参数$ r_{1}, r_{2}, r_{3} $，后续分析皆在此基础上展开，转化公式如下：

$ \begin{align} r_{1} =\dfrac{b}{D}, \quad r_{2} =\dfrac{a}{D}, \quad r_{3} =\dfrac{h}{D}, \quad D=\dfrac{a+b+h}{3} \end{align} $

(10)

考虑到机构的动态特性以及实际使用需求，动平台半径应小于静平台，即$ r_{1} <r_{2} $。综上，机构的参数设计空间可表示为

$ \begin{align} \varOmega =\, & \big\{(r_{1}, r_{2}, r_{3})\big|r_{1} +r_{2} +r_{3} =3; \\ & \; \; 0<r_{1}, r_{2}, r_{3} <3;r_{1} -r_{2} <0\big\} \end{align} $

(11)

4.1.2 优化目标

依据船载姿态稳定平台的工程需求，以机构工作空间性能与力传递性能的综合最优为目标开展尺寸优化。针对该多目标优化问题，首先对两类指标进行归一化处理，定义如下：

$ \begin{align} \begin{cases} g_{1} (\boldsymbol{r})=\dfrac{V(\boldsymbol{r})-V_{\min}} {V_{\max} -V_{\min}} \\[6pt] g_{2} (\boldsymbol{r})=\dfrac{\overline{\eta} (\boldsymbol{r})-\overline{\eta}_{\min}} {\overline{\eta}_{\max} -\overline{\eta}_{\min}} \end{cases} \end{align} $

(12)

式中，$ {\boldsymbol{r}} $为设计参数向量，$ V_{\max} $、$ V_{\min} $、$ \overline{\eta}_{\max} $、$ \overline{\eta}_{\min} $分别是两指标在设计空间内满足上述约束条件的最大、最小值。

为满足船载设备姿态稳定的应用场景需求，根据5级海况下各型船舶的摇摆幅度^[22]，稳定平台的倾斜角与扭转角应满足

$ \begin{align} \theta \geqslant 30^{\circ} \; \;\text{ 且 }\;\; | \psi |\geqslant 20^{\circ} \end{align} $

(13)

即工作空间体积应满足

$ \begin{align} V\geqslant \pi \times 30^{2}\times 40=3.6\times 10^{4}\pi (\deg^{3}) \end{align} $

(14)

在机构尺度参数设计空间内采用遗传算法分别求解出2个优化指标的最值，同时考虑式(15) 对工作空间体积的约束，因此有

$ \begin{align} \begin{cases} V_{\min} =1.13\times 10^{5}\:\text{deg}^{3} \\ V_{\max} =4.52\times 10^{5}\:\text{deg}^{3} \end{cases}, \quad \begin{cases} \overline{\eta}_{\min} =0.25 \\ \overline{\eta}_{\max} =0.495 \end{cases} \end{align} $

(15)

综上，基于性能驱动的船载姿态稳定平台的尺寸优化问题可描述为

$ \begin{align} \min \; \; &g(\boldsymbol{r})=1-w_{1} g_{1} (\boldsymbol{r})-w_{2} g_{2} (\boldsymbol{r}) \\ \text{s.t. }& \begin{cases} w_{1} +w_{2} =1 \\ 0<w_{1}, w_{2} <1 \\ \boldsymbol{r}\in \varOmega \end{cases} \end{align} $

(16)

式中，$ g(\boldsymbol{r}) $为综合优化目标，$ w_{1} $与$ w_{2} $分别为工作空间体积与全域力传递率性能函数的权值，其取值需依据具体设计需求给定，此处不妨认为两指标同等重要，故选择权重$ w_{1} =w_{2} =0.5 $。

4.2 优化问题求解

采用改进的遗传算法对稳定平台构形优化问题进行求解。对于构形优化问题，获得全局最优值是第一要义，因普通遗传算法容易陷入局部最优解，因此本文采用小生境遗传算法，同时结合精英种群技术和自适应遗传参数调整，保证全局寻优并加快收敛速度。小生境遗传算法的优势在于保留个体多样性，避免陷入局部最优，具体手段是衡量个体相似度，并对过于相似的个体施加惩罚，降低其生存概率。

为进一步提高优化算法的性能，提出了一种新的遗传参数自适应调节律，使得交叉、变异参数依据适应度和进化代数作自适应调节，调节原则是：适应度高的个体交叉概率大，以遗传优势基因；使适应度低的个体变异概率高，以求改良基因，适应度优秀的个体也增加变异概率，以避免陷入局部最优；交叉、变异概率的限定值随进化代数作微调。具体公式如下：

$ \begin{align} p_{{\rm c}i} & = \begin{cases} p_{{\rm cn}} +(p_{{\rm cx}} -p_{{\rm cn}}) \left(\dfrac{n}{N}+\dfrac{f_{i}} {\overline{f}}-\dfrac{nf_{i}} {N\overline{f}}\right), & f_{i} \leqslant \overline{f} \\ p_{{\rm cx}}, & f_{i} >\overline{f} \end{cases} \end{align} $

(17)

$ \begin{align} p_{{\rm m}i} & = \begin{cases} p_{{\rm mn}} +(p_{{\rm mx}} -p_{{\rm mn}})\left(1-\dfrac{n}{N}\right)\dfrac{f_{i} -\overline{f}}{f_{\max} -\overline{f}}, & f_{i} \geqslant \overline{f} \\ p_{{\rm mx}} -(p_{{\rm mx}} -p_{{\rm mn}})\dfrac{n}{N}, & f_{i} <\overline{f} \end{cases} \end{align} $

(18)

式中，$ p_{{\rm c}i} $为第$ i $个个体的交叉概率，$ p_{{\rm cx}} $、$ p_{{\rm cn}} $为交叉概率的最大、最小值，$ p_{{\rm m}i} $为第$ i $个个体的变异概率，$ p_{{\rm mx}} $、$ p_{{\rm mn}} $为变异概率的最大、最小值，$ f_{i} $为第$ i $个个体的适应度值，$ \overline{f} $为种群的适应度均值，$ N $为种群的最大进化代数，$ n $为当前进化代数。

考虑计算时间成本，取种群规模为100，精英种群规模为10，采用实数编码，交叉概率最值分别取为0.6、0.9，变异概率最值分别取为0.005、0.01，小生境半径取为0.052，最大进化代数为100。经迭代计算，算法逐渐收敛到最佳结果（如图 6所示），目标函数值为0.3287。

另采用精英遗传算法^[24]求解此问题，与之相比，本文所用小生境遗传算法从原理上兼顾了保留最优基因和保持种群多样性，因此可以更好地逼近全局最优解，求解精度更高。优化所得船载稳定平台的最佳综合性能指标为0.6713，该性能指标所对应的最佳几何尺度参数为$ a:b:h=0.85:0.63:1.52 $。

4.3 最优构形与实例构形的性能对比

对优化算法得到的最优构形与前述实例中采用的构形进行性能对比，检验优化方法是否有效。

图 7为优化所得最佳构形的工作空间。相对于实例构形（图中虚线轮廓所示），最佳构形的可达空间略有收缩。在倾斜角$ 30^{\circ} $的约束下，机构工作空间中扭转角的范围减小了$ 5^{\circ} $，工作空间体积由$ 2.40\times 10^{5} $ deg$ ^{3} $下降到了$ 2.26\times 10^{5} $ deg$ ^{3} $，虽稍有收缩，但幅度很小，且满足设计需求。最佳构形工作空间（或可达空间）变小的主要原因在于动、静平台的尺寸有所增加，以至于提高了对球铰关节转角范围的需求，因此在相同的转角约束下可实现的运动范围会稍有减小。

图 8为最佳构形与实例构形的力传递性能对比情况。由前述分析可知，初始构形的局部力传递率最高不到0.4，全域力传递率为0.34。与之相比，优化后的最佳构形的局部力传递率最高可达0.495，全域力传递率达到0.46，力传递性能提升明显。综合来看，优化所得最优构形在工作空间体积方面虽稍有减小，但机构的力传递性能有了显著的提高，综合性能更好。意味着优化所得的船载稳定平台基本保持了原有的舰船姿态角补偿范围，并且在同等驱动能力下可大幅度提高稳定平台的载荷能力与动态姿态角补偿能力。

5 实验（Experiment）

以上述优化结果为基础，设计并制造了船载稳定平台的实验样机，如图 9所示。

其关键尺度参数分别为：静平面半径$ a $为158 mm，动平面半径$ b $为117 mm，中央立柱高$ h $为282 mm，遵从上述最佳几何比例。采用电动缸作为3条支链的驱动装置，其伺服电机带有编码器，通过编码器数据可计算出支链的长度，再由运动学正解可得动平面相对于静平面的姿态。实验将从动平台的转动范围以及载重情况下的运动能力两方面验证所设计样机的运动学性能，进而表明前述优化设计的有效性。

5.1 动平台转动范围实验

为验证机构工作空间，控制动平台在工作空间内运动，重点验证其能否到达所设计工作空间的边界点位，例如：指定某扭转角$ \psi $，使动平台向各个方位角$ \phi_{i} $探索对应的最大倾斜角$ \theta_{i\max} $，由前述内容可知平台的倾斜角可达$ 30^{\circ} $，若样机实际倾斜角可达此值，则可认为设计结果正确。

样机的实验结果如图 10所示，图中红色曲线为在理论工作空间中挑选的各层边界，蓝色圆圈为实验样机的实际运动点位。图中，样机的扭转角运动范围达到$ \pm 40^{\circ} $，且在对应的扭转角下，在各个方位角下的倾斜角均可达到$ 30^{\circ} $，即均可达到工作空间的边界点位，验证了设计结果的正确性。

图 11展示了样机的几种极限位形。观察到影响样机工作空间大小的约束因素有电缸行程、关节转角极限值等。其中关节转角极限是限制机构工作空间的主要因素，而电缸行程严格意义上并不属于约束因素，因为它是根据平台在工作空间运动所需的杆长范围而选定的。奇异位形也不会影响到样机运动，因为求解工作空间时已经避开了位形奇异点。

5.2 载重时运动性能实验

稳定平台设计额定载荷为20 kg，由3台50 W伺服电机驱动，电机额定扭矩0.15 N$ \cdot $m，考虑动平台、支链自重以及传动效率，在前述最佳构形运动学性能下，稳定平台应当具备绕$ x $轴30$ ^{\circ} $/s$ ^{2} $的角加速度，可实现幅值$ 20^{\circ} $、周期4 s的正弦轨迹跟踪。实验装置如图 12所示，动平台上负载质量为20 kg。控制器输入$ x $轴转角正弦指令，并令$ y $、$ z $轴转角保持零位状态。基于伺服电机编码器数据通过正解计算动平台实时姿态并与指令曲线作对比，结果如图 13所示，其中$ \alpha $、$ \beta $、$ \gamma $分别表示动平台绕静平台$ x $、$ y $、$ z $轴的转角，$ \alpha_{\rm err} $、$ \beta_{\rm err} $、$ \gamma_{\rm err} $分别为3项转角的误差值。由图 13可见，指令曲线与实际轨迹几乎重合，动平台能够较好地跟踪指令轨迹；$ x $轴转角跟踪误差在$ 0.5^{\circ} $以内，且误差主要成分是因使用较传统的PID控制算法而造成的控制误差。

同时测量了绕$ y $、$ z $轴转角与$ x $轴转角的耦合误差，其幅值均在$ 0.01^{\circ} $以内，印证了机构设计与加工的精确度。注意到绕$ y $、$ z $轴转角误差幅值差别较大，这是由于在该实验轨迹下支链长度误差向绕$ z $轴转角映射的幅度更大，具体分析如下：对于样机尺寸，给定绕$ x $轴转角指令轨迹为幅值$ 20^{\circ} $、周期4 s的正弦曲线，绕$ y $、$ z $轴的转角保持零位状态，假定3条支链的跟踪误差分别恒为0、0.1 mm、0.1 mm，对绕$ y $、$ z $轴转角的位姿误差进行理论计算，其曲线如图 14所示。由图 14可知，$ z $轴转角误差大于$ y $轴，且幅值约为其4倍，这与实验结果相对应。其本质是机构雅可比矩阵把支链长度误差向绕$ y $、$ z $转角映射的能力不同。

6 指标权重的影响（The effect of indicator weights）

上文针对权重相等的情况开展了构形优化，为进一步揭示权重赋值对优化结果的影响，本节逐渐改变权值，并分别开展构形优化工作。

当权重$ w_{1} $由0至1逐渐变化时，最优加权总指标$ g $以及相应的子指标$ g_{1} $、$ g_{2} $随权值的变化情况如图 15(a)所示。随着工作空间指标权重$ w_{1} $不断增大，最优构形的加权总指标$ g $呈现出"V"字形走向，于$ w_{1} =0.4 $附近取得极小值；工作空间指标$ g_{1} $不断增大，呈现出S形曲线；力传递性能指标$ g_{2} $则呈递减趋势变化。注意到，在力传递性能权重$ w_{2} $较大时，所得最优构形对应的力传递性能很强，但工作空间则相对较小，反之亦然。这说明，权重的调整对最优构形的确定具有较大影响；在多目标优化中过分偏重某一性能，可能导致其他性能过弱（机构优化过程中约束条件的存在可以保证即便是次优尺度参数也能满足设计需求）；若追求综合性能，可考虑使各指标权重相对均衡。此外，当权重$ w_{1} $或$ w_{2} $取值为0时，对应指标对优化问题无贡献，故图中未展示其值。

图 15(b)展示了最佳构形比例随权重取值的变化情况，为使构形间具有可比性，各构形均已作归一化处理。随着工作空间权重$ w_{1} $的增大，机构倾向于更细长的构形，原因在于细长构形对支链伸缩范围和关节偏转能力要求更低，故具备相对更大的工作空间；而随着力传递性能权重$ w_{2} $的增大，所得最优构形的高度降低，动、静平台半径增大，力传递性能相对更好。关注机构外形的必要性在于实际设计中，除了对机构性能的要求外，通常还需考虑其占地面积或体积大小等其他约束，故本文所提构形优化策略仅在设计阶段提供初始参考，而更深入具体的优化设计还需结合其他方法，或有待进一步研究。

7 结论（Conclusion）

针对船载稳定平台的尺度参数优化问题，以3-UPS & S并联机构为对象，考虑各类约束，利用数值搜索法完成了工作空间的求解；基于力雅可比矩阵逆矩阵的最小奇异值定义力传递率；以工作空间体积和全域力传递率的加权和为综合优化目标，采用小生境自适应遗传算法优化得到了稳定平台的最佳尺度参数。与初始构形相比，最佳构形在全域力传递率方面提升了35%，综合运动学性能得到增强。制作样机并完成相关实验，结果表明样机实际运动能力与理论优化性能匹配，验证了所做优化设计的有效性。最后探究了指标权重取值对最优构形的影响，工作空间权重增大使得最佳构形更窄更高；力传递率权重增加使得机构更宽更矮；权重取值均衡时，最佳构形各方面性能适中，综合性能占优。

研究过程中重点结合了实际场景中的应用需求，设定了设计流程中的各类约束，并且在优化算法中提出了遗传参数自适应调整律，以求获得全局最优解并提高计算效率。为进一步提高该船载稳定平台的运动性能，未来应当改进其运动控制算法，提高稳定精度和鲁棒性。