1 引言（Introduction）

近年来，使用柔性材料结合欠驱动方法驱动的手爪在物体抓取和操作领域引起了高度关注，成为一个有希望的新方向^[1]。柔性材料的低阻抗特性^[2]使其在不确定性环境中具有很强的适应性。

有许多研究者使用柔性材料设计新型的手爪结构^[3-5]。Deimel和Brock^[6]仿照人类手爪的结构设计了一款通体由柔性材料构成的手爪，手爪可以有效贴合物体表面。Krahn等^[7]设计了一款能够在抓取过程中与物体进行“软接触”的手爪，该手爪利用摩擦力和真空吸力可以完成多样性抓取任务。

柔性材料形变时具有非线性的特点，在分析由柔性材料构成的机构的姿态时，所采用的方法不同于传统刚性关节的分析方法^[8]。Odhner和Dollar提出了一种平滑曲率弯曲模型^[9-10]，该模型将平面上弯曲的柔性结构近似为平滑弯曲的曲线。还有一种常用的方法是将弯曲的柔性材料视为连续定曲率的曲线^[11]。

柔性手爪作为一个新兴的发展中的研究方向，这个领域内还有许多基础工作正在发展，比如手爪运动姿态及接触力的分析。Ciocarlie和Allen^[12]提出了一种有约束的优化框架，使用准静力平衡模型去分析手爪参数与抓取力的关系。Wang等^[13]分析了手爪与物体接触前，手爪关节的耦合运动趋势和手爪抓取力的变化趋势。Liarokapis和Dollar^[1]提出了一种基于机器学习的方法，预测欠驱动柔性手爪与物体接触后的运动趋势。

在选择抓取点时，传统灵巧手爪通常采用型封闭、力封闭或者根据几何约束精确计算抓取点的方法^[14-15]。王宁扬等^[16]将这类方法用于柔性夹持器抓取点选取，此类方法计算复杂度较高，特别是对于形变能力强的柔性夹持器。考虑到柔性手爪对物体的形状有较强的适应性，我们在之前的工作中提出了一种根据物体轮廓变化规律选择抓取位置的方法^[17]，这种方法不需要考虑物体表面精细的局部特征，可以有效降低计算复杂度。

手爪在执行任务时，一般采用经典控制理论，其基本框图如图 1所示^[18]。使用图 1所示的控制方法时，需要对控制过程精确建模，并且依赖精确的信息作为反馈。在本文中，图 1所代表的系统结构被称作基于“精确性思维”的控制系统模型。

当抓取系统中存在柔性材料时，在抓取过程中柔性材料的非线性形变会对尺寸以及受力产生干扰。使用基于“精确性思维”的控制方法时，如果无法精确感知控制过程中的干扰，将会对系统造成破坏。因此，目前抓取柔性物体，对于机器人手爪仍然是十分有挑战性的任务。另外，对于欠驱动手爪以及柔性手爪，在控制过程中难以建立手爪的动力学模型，导致很少有研究者将此类手爪用于柔性物体的抓取任务^[19]。

一些研究者使用基于“精确性思维”的控制方法完成柔性物体抓取任务。Ueda等^[20]假设软物体在与手爪接触时符合赫兹接触模型，在抓取过程中利用模型根据物体形变情况来计算物体受力的变化，为抓取控制提供反馈。文[21-22] 设计了一款特制的流体指尖力传感器，建立豆腐的表面形变与传感器数值之间的对应关系，通过特制传感器的数值预测豆腐表面是否到达“破碎点”，从而抓取特定大小的豆腐。

在实际应用中，底层抓取控制系统的输入信号由上层决策系统输出，如图 2所示。由于大部分机器人工作环境具有非封闭性^[23]，在这类型场景中进行精确感知基本上是不可能的，决策系统无法保证能够精确识别被抓物体在抓取过程中产生的形变，基于“精确性思维”的控制方法并不适用。本文主要研究柔性形变对抓取过程产生干扰的应用\linebreak场景。

利用“融差性思维”，就可以避免对精确性模型的依赖。根据《人工智能伦理导引》中的内容，“融差性思维”有3个基本原理^[23]：

1) “融差模型原理”：采用融差性度量构建问题模型（融差模型），将模型精度控制在问题的融差度之内。

2) “融差行动原理”：基于融差模型上的决策，执行融差行动，引导问题状态向目标状态迁移。

3) “界限融差原理”：通过不同范畴机制的相互替代求解问题。

融差性原理提供了一种新的控制器－执行器一体化设计方法，本文在“融差性思维”的指导下，提出融差控制方法，结合柔性手爪探索“融差抓取方法”的工作原理，并在实际场景中实现融差抓取机制。

主要贡献包括：

1) 针对非封闭的复杂环境，提出了一种不依赖精确感知的融差控制方法，该方法可以用于柔性形变对抓取过程产生干扰的场景。

2) 提出融差抓取的概念，并结合柔性手爪具体分析融差抓取方法的工作原理。

3) 在真实环境下，应用融差抓取方法，在面对材质不同、宽度不同的抓取任务时，使用一个控制量实现成功抓取。

2 融差控制方法简介（Introduction of the Rong-Cha based control method）

自动控制系统在执行任务时，为了实现控制目标，引入抗干扰机制去消除干扰的影响是必不可少的。基于“精确性思维”的控制方法和基于“融差性思维”的控制方法分别采用不同的抗干扰机制，以达成控制目标。

基于精确性思维的控制方法在处理干扰时，假设干扰对系统造成的扰动是可以精确测量的，然后将测量值反馈给控制器。如图 1所示，此时经过设计的控制器在系统中起到了抗干扰的作用，但在实际应用中，系统中的状态往往不可精确测量甚至不可测。例如，在抓豆腐时很难精确测量抓取过程中豆腐的形变。因此，本文基于“融差性思维”，提出融差控制方法，如图 3所示。

融差控制方法的核心为融差控制器和融差执行器两部分。其中，融差执行器的设计应使其具备“融会”能力，如图 3中实线所示的反馈回路。这里“融会”能力指的是，在融差控制器输出的控制量不变的情况下，融差执行器能够不依赖精确感知根据物理规律调整执行器的状态，具备对干扰做出响应的能力，这一过程体现了融差执行器能够对干扰“融会贯通”并做出响应。比如抓取物体过程中，如果物体的尺寸存在感知误差，根据有误差的信息计算出的控制量和执行器状态会存在偏差，具有融会能力的抓取执行器在抓取过程中可以根据抓取物体时受力平衡的约束条件调整执行器的状态，从而在控制系统的输入有偏差时依然可以完成抓取任务。此时，融差执行器的融会能力在系统中起到抗干扰的作用。

在融差控制方法中，图 3中虚线所示的反馈回路不要求一定存在。当融差执行器存在融会能力时，融差执行器在执行任务时，可以调整自身状态，无需改变融差控制器的输出量，此时可以简化融差控制器的设计，在控制时使用简单的控制策略，无需精确感知任务对象的局部细节特征。这样在面对复杂的非封闭场景时，不需要花费大量精力去设计能够精确测量系统状态的传感器。

融差控制的目标是通过设计合理的融差执行器和融差控制器，在面对一大类任务时，不需要知道具体参数，只需要知道这一大类物体的边界条件，就可以用同一个融差控制器的输出，完成一定范围内不同的抓取控制任务，大大降低融差控制器的控制复杂度和设计难度。

3 融差控制方法在柔性手爪上的应用（Application of the Rong-Cha based control method to soft gripper）

之前的工作中^[24-25]已经发现，我们所设计的柔性手爪在抓取物体时有很强的适应性。目前许多关于柔性手爪的研究包括我们之前的工作，都只停留在设计出一款柔性的手爪，简单地用“适应性”这个常识概念去笼统地解释柔性手爪的特性^[26]。本文希望通过对柔性手爪进行深入的数学分析，归纳总结出“适应性”背后的原理，即“融差性”，并给出具体定义。

3.1 抓取过程描述

对于一个抓取执行器，满足成功抓取物体约束的系统状态$ c $构成集合$ C $，使得执行器能够成功抓取物体的控制器控制量$ a $构成集合$ A $。那么在抓取过程中，抓取执行器的状态可以表示为$ c= $ $ Y(M, \delta, a) $，其中$ M $是执行结构的模型，$ \delta $代表环境对执行过程的影响。环境的影响指在确定以及执行控制量$ a $的过程中，感知系统无法感知到的因素，比如抓取过程中没有感知到被抓物体形状的变化也是环境对抓取过程的影响。一个控制量$ a $作用到系统中，经过$ Y $的作用后有一个唯一的抓取执行器状态$ c $与之对应。需要注意的是，对于不同类型的物体，成功抓取物体时的约束是不同的。

在抓取刚性物体时，无需考虑被抓物体可能发生的形变，手爪需要满足的约束较为简单。

定义1  抓取刚性物体时，对于手爪与物体的接触点$ x $，若$ \exists x\in X\ne \varnothing $且$ \sum F_{x} > F_{\rm G} $，则手爪能够成功抓住刚性物体。

其中，$ F_{\rm G} $为手爪能抓起物体的力，$ F_{x} $为手爪在接触点处对物体施加的力。

如果抓取的物体是柔性易变形的物体，在抓取过程中由于手爪对物体表面施加了力，物体表面会发生形变且受力过大时物体将会损坏。此时手爪能够完成任务的要求是：在手爪与物体保持接触的基础上手爪对物体施加的作用力能够抓住且不会抓坏物体。设$ F_{\rm T} $为点接触时不会破坏物体的力的阈值，如果点接触力高于$ F_{\rm T} $，则物体会损坏。

定义2  抓取柔性易变形的物体时，对于手爪与物体的接触点$ x $，若$ \exists x\in X\ne \varnothing $且$ \sum F_{x} > F_{\rm G} $（$ \forall F_{x}<F_{\rm T} $），则手爪能够成功抓取柔性物体。

抓柔性物体时，由于物体表面会发生形变，与抓刚性物体相比，这种形变对于实际抓取过程所产生的干扰是无法忽略的。因此，为了消除干扰对抓取过程的影响，需要在控制系统中引入抗干扰函数来抵消扰动对系统的影响，记为$ \varDelta $。依据“精确性思维”设计抓取机制时，借助反馈信息精心设计的控制器起到抗干扰函数的作用；依据“融差性思维”设计抓取机制时，融差执行器根据抓取约束调整自身状态的融会能力起到了抗干扰函数的作用。此时，抓取过程中平衡方式可以表示为

$ \begin{gather} M(x|\mathit{\boldsymbol{\theta}})-\varDelta (x)-f(x)+\delta (x)=0, \quad x\in X \end{gather} $

(1)

$ \begin{gather} \tau_{i} -\varDelta (f)-F_{x} R_{i} +\delta (f) =0 \end{gather} $

(2)

其中，$ x $是手爪与物体的接触点；$ X $是手爪与物体接触点构成的集合；$ M(x|\mathit{\boldsymbol{\theta}}) $为手爪的包络曲线；$ f(x) $为被抓物体的轮廓；$ F_{x} $为手爪与物体接触点处的受力；$ \tau_{i} $为手爪关节的力矩；$ R_{i} $为接触力在关节处的力臂；在本文中，$ \delta (x) $是在抓取过程中物体表面柔性形变等原因对物体尺寸层面造成的干扰；$ \delta (f) $代表物体表面发生柔性形变导致物体表面受力特性发生改变，进而在手爪和物体之间接触力层面产生的干扰。

在非封闭性的应用环境中，执行器会面对不同类型的抓取任务，例如抓取不同刚度以及尺寸的物体。融差抓取的目的是使用同一个控制量去成功完成不同类型的抓取任务。

定义3  对于不同类型的抓取任务$ k $（$ k=1, \cdots, $ $ n $），满足成功抓取物体约束的系统状态所构成的集合为$ C_{k} $，使得执行机构能够成功抓取的控制量集合为$ A_{k} $。如果$ \cap A_k\ne \varnothing $，$ k=1, \cdots, n $，那么就存在一个控制量$ a $可以完成不同类型的抓取任务，即满足融差抓取的要求。

3.2 基于“精确性思维”的抓取系统设计思路

在“精确性思维”指导下设计抓取系统，面对不同的抓取任务时，首先决策模块需要根据不同的抓取任务的主要约束，计算出抓取执行器的控制量，然后抓取执行系统达到相应的控制量，即一个任务对应一个控制量。

在抓取刚性物体时，通常假设被抓取的物体不会发生形变，控制器主要依据物体的形状和尺寸等信息计算控制量，即抓取执行系统主要依据式(1) 所代表的手爪与物体之间的包络约束条件进行设计。此时，满足要求的控制器起到式(1) 中抗干扰函数$ \varDelta (x) $的作用，去应对系统中可能存在的干扰，如传感器噪声等。

在抓取柔性物体时，由于柔性物体易发生形变，过度的形变会使得物体被破坏，在计算控制量时需要考虑物体的形状、尺寸以及表面受力特性等信息。即抓取执行系统需要依据式(1)(2) 所代表的手爪与物体之间的包络约束条件和受力平衡约束条件进行设计，如力位控制器、阻抗控制器等。同样的，式(1)(2) 中抗干扰函数由控制器实现。

由以上分析可知，基于“精确性思维”设计的抓取系统中，满足要求的控制器起到抗干扰函数的作用，抓取执行器的状态由控制器决定。控制器需要精确的物体模型信息来计算控制量，并且在抓取系统执行过程中，需要感知设备确保执行器达到控制量对应的状态。尤其是在抓取柔性物体时，如果物体信息缺失或者精度不够，会出现计算出的控制量与理想值偏差过大或者抓取执行器的状态与控制量之间偏差过大的情形，从而导致损坏被抓物体。

3.3 柔性手爪抓取模型

在开始分析柔性手爪的抓取模型之前，先对手爪的结构及分析时用到的参数进行介绍。图 4展示了手爪的结构图，其中指骨由3D打印件构成，指骨之间由硅胶片构成柔性弯曲关节，通过连接在驱动电机上的驱动绳为手指弯曲提供动力。

表 1介绍了手爪的固有参数以及在分析过程中会用到的符号及其含义。其中$ i $的取值范围为1~3，且越靠近指根处越小、越靠近指尖处越大。

根据是否与物体接触，可以将整个抓取过程分为2个阶段：第1个阶段是手爪与物体接触前，在这个阶段指尖接触力$ F $为0；第2个阶段是手爪与物体接触后，在这个阶段手爪指尖接触力不为0。图 5为分析手爪时依据的示意图。

假设柔性关节在弯曲时可视作定曲率圆弧，根据手爪的几何构造，可以得到拉力$ T $在第$ i $个柔性关节中心处的力臂为

$ \begin{align} r_{i} =\frac{L_{i}} {\theta_{i}} \left(1-\cos \frac{\theta_{i}} {2}\right)+\left(\frac{D_{i}} {2}+d\right)\cos \frac{\theta_{i}} {2} \end{align} $

(3)

然后，根据弹性力学可以算出第$ i $个柔性关节的理论刚度为

$ \begin{align} k_{i} =\frac{EI_{i}} {L_{i}} \end{align} $

(4)

柔性关节的横截面为矩形，所以第$ i $个柔性关节的转动惯量为

$ \begin{align} I_{i} =\frac{W_{i} D_{i}^{3}} {12} \end{align} $

(5)

根据式(4)(5) 可以看出，柔性关节的理论刚度只与柔性关节的本征参数有关。

选取柔性关节的中心点为受力平衡的参考点，根据受力平衡方程，可以得到：

$ \begin{align} Tr_{i} =k_{i} \theta_{i} \end{align} $

(6)

根据式(6) 可以看出，在抓取过程中随着$ T $的变化，关节角度会同时发生变化，如果已知驱动绳上的拉力$ T $，就可以预测出手爪每个柔性关节的弯曲角度。需要注意的是，对于每个关节，式(6) 所表示的受力平衡都要成立，由于绳子上的拉力是相同的，所以每个柔性关节的弯曲角度在满足受力平衡时都是一一对应的，对照于物理世界则是手爪在运动时会发生耦合运动。

根据手爪的运动学模型，假设要抓取的物体宽度为$ D $，那么手爪与物体保持接触时满足以下约束：

$ \begin{align} & \frac{D-D_{0}} {2} \\ =& \begin{bmatrix} -\dfrac{L_{1}} {\theta_{1}} \\[7pt] \dfrac{L_{1}} {\theta_{1}} -\dfrac{L_{2}} {\theta_{2}} +\dfrac{D_{2} -D_{1}} {2} \\[7pt] \dfrac{L_{2}} {\theta_{2}} -\dfrac{L_{3}} {\theta_{3}} +\dfrac{D_{3} -D_{2}} {2} \\[7pt] \dfrac{L_{3}} {\theta_{3}} -\dfrac{D_{3}} {2}-H \end{bmatrix}^{\rm T} \begin{bmatrix} \sin z_{0} \\ \sin z_{1} \\ \sin z_{2} \\ \sin z_{3} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \dfrac{B}{2} \\ B \\ B \\ \dfrac{B}{2} \end{bmatrix}^{\rm T}\begin{bmatrix} \cos z_{0} \\ \cos z_{1} \\ \cos z_{2} \\ \cos z_{3} \end{bmatrix} \end{align} $

(7)

其中，$ z_{i} =\sum\limits_{k=0}^i {\theta_{i}} $，代表第$ i $个指骨与图 5中$ X $轴的夹角。

手爪与物体接触后，接触力$ F $不为0，此时在柔性关节中心处的平衡方程变为

$ \begin{align} T r_{i} -F R_{i} =k_{i} \theta_{i} \end{align} $

(8)

其中$ R_{i} $为接触力$ F $在柔性关节中心点处的力臂，根据手爪的构形有：

$ \begin{align} \begin{cases} R_{3} =\dfrac{B}{2}\sin z_{3} +\dfrac{L_{3}} {\theta_{3}} \left(\cos \left(z_{2} +\dfrac{\theta_{3}} {2}\right)-\cos z_{3}\right) \\ R_{2} =\dfrac{B}{2}\sin z_{3} +\dfrac{L_{3}} {\theta_{3}} \left(\cos z_{2} -\cos z_{3}\right)+B\sin z_{2} - \\ \phantom{R_{2} = } \dfrac{D_{3} -D_{2}} {2}\cos z_{2} +\dfrac{L_{2}} {\theta_{2}} \left(\cos \left(z_{1} +\dfrac{\theta_{2}} {2}\right)-\cos z_{2}\right) \\ R_{1} =\dfrac{B}{2}\sin z_{3} +\dfrac{L_{3}} {\theta_{3}} \left(\cos z_{2} -\cos z_{3}\right)+B\sin z_{2} - \\ \phantom{R_{1} = } \dfrac{D_{3} -D_{2}} {2}\cos z_{2} +\dfrac{L_{2}} {\theta_{2}} \left(\cos z_{1} -\cos z_{2}\right)+B\sin z_{1} - \\ \phantom{R_{1} = } \dfrac{D_{2} -D_{1}}{2}\cos z_{1} +\dfrac{L_{1}} {\theta_{1}} \left(\cos \left(z_{0} +\dfrac{\theta_{1}} {2}\right)-\cos z_{1}\right) \end{cases} \end{align} $

(9)

式(7)(8) 即为柔性手爪在抓取物体过程中需满足的物体尺寸约束和受力约束。

3.4 融差抓取方法分析

本节讨论在融差抓取方法中抗干扰函数的原理及其特点。

为了更好地适应被抓物体的表面形状以及增大抓取时手爪与物体的接触面积，在手爪的指骨表面附加一层具有弹簧形变性质的柔性材料。结合式(1)(2)，考虑到环境的干扰，针对所设计的手爪，可以将式(7)(8) 写为

$ \begin{gather} M(x|\mathit{\boldsymbol{\theta}})-\frac{F_{x}}{k^{1}}-f(x)+\delta (x) =0 \end{gather} $

(10)

$ \begin{gather} \tau_{i} -k^{2}\theta_{i} -F_{x} R_{i} +{\delta} (f) =0 \end{gather} $

(11)

其中，$ k^{1}, k^{2} $分别为手指表面柔性材料的刚度以及关节柔性材料的刚度。$ \dfrac{F_{x}}{k^{1}} $以及$ k^{2}\theta_{i} $起到抗干扰函数的作用，其中$ \Big|\dfrac{F_{x}}{k^{1}}\Big|\leqslant H $，$ H $是手指表面柔性材料的厚度。这两项只与手爪的本征参数$ k^{1}, k^{2} $有关，在控制系统中不依赖反馈。在抓取过程中，如果出现了干扰$ \delta (\cdot) $，由于无法感知，所以无法通过反馈的方式消除干扰，但干扰终究会对手爪与物体的平衡状态产生影响，此时基于手爪本征参数的抗干扰函数即可产生作用。

相比于传统精确控制需要精确测量系统状态，然后设计控制器，这种抗干扰方式不依赖精确测量，只要满足约束：

$ \begin{align} [\min \delta (*), \max \delta (*)]\subset [\min \varDelta (*), \max \varDelta (*) ] \end{align} $

(12)

则抗干扰函数就能抵消环境对控制过程的干扰。在非封闭的复杂应用环境中，虽然无法对干扰进行精确建模，但获得干扰的上、下界是可行的。即融差抓取方法在面对一大类抓取任务时，不需要知道物体的具体参数，只需要知道这一大类物体的边界条件。接下来讨论手爪中的抗干扰函数如何发挥作用。

首先考虑物体表面一个点集$ X_{0} $和点$ x_{1} $，假设手爪与物体在点集$ X_{0} $的所有点以及点$ x_{1} $处都有接触，且手指表面没有柔性材料，有以下方程成立：

$ \begin{align} \begin{cases} M(X_{0} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(X_{0})=0 \\ M(x_{1} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(x_{1})=0 \end{cases} \end{align} $

(13)

假设在$ x_{1} $点有干扰$ \delta (x_{1}) $，那么同一组关节角度$ \mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0} $无法同时满足式(13)，即手爪不能保证同时接触。在方程中引入一个抗干扰函数$ \varDelta (x)= \dfrac{F}{k^{1}}> $ $ \delta (x_{1}) $，式(13) 变为

$ \begin{align} \begin{cases} M(X_{0} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(X_{0})-\varDelta (X_{0})=0 \\ M(x_{1} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(x_{1})-\varDelta (x_{1})+\delta (x_{1})=0 \end{cases} \end{align} $

(14)

此时，在抗干扰函数的作用下，手爪与物体在点集$ X_{0} $和点$ x_{1} $处都可以有接触，即在干扰存在的情况下，也能够保证手爪在抓取物体的过程中接触面积不减小。

另外，假设手爪与物体在点集$ X_{0} $的所有点处都有接触，而在$ x_{1} $点处手爪与物体没有接触，且手指表面没有柔性材料，此时有以下方程成立：

$ \begin{align} \begin{cases} M(X_{0} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(X_{0})=0 \\ M(x_{1} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(x_{1})\ne 0 \end{cases} \end{align} $

(15)

此时，令$ \delta (x_{1})=f^{0}(x_{0})-f^{0}(x_{1}) $，其中$ x_{0} \in X_{0} $。则不等式可以改写为$ M(x_{1} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(x_{0})+\delta (x_{1})\ne 0 $，引入抗干扰函数$ \varDelta (x)=\dfrac{F}{k^{1}}>\delta (x_{1}) $，可以使得$ M(x_{1} |\mathit{\boldsymbol{\theta}}^{0})-f^{0}(x_{0})-\varDelta (x)+\delta (x_{1})=0 $成立。此时，在抗干扰函数$ \varDelta (x) $的作用下，手爪与物体在点集$ X_{0} $的所有点以及点$ x_{1} $处都可以有接触。即手爪表面柔性材料可以在抓取过程中增大手爪与物体的接触面积。根据式(10) 可以求得$ \dfrac{\partial F}{\partial f(x)}=k^{1} $，在实际应用中可以选择刚度较小的表面柔性材料，以提高手爪适应物体形状的灵敏性。

3.5 融差抓取系统设计

本节介绍设计融差执行器时选择手爪本征参数的思路和依据。最后，通过一个理论实验，展示融差抓取方法在面对不同抓取任务时的工作方式。

在设计融差抓取系统时，首先根据任务获得干扰的上、下界，机器人手爪（即融差执行器）的融会能力需要满足式(12) 的约束以保证系统的有效性。这样，在缺乏精确感知时，融差执行器的融会能力可以根据抓取过程的受力平衡约束，调整自身状态完成抓取任务，从而有利于降低融差抓取系统中融差控制器的设计难度和成本，在无法实现精确感知的非结构化场景中完成抓取任务。

当融差执行器的实现结构和原理不同时，其硬件性能会有差别，比如抓取范围、最大抓取力以及抓取力随驱动量的变化趋势等。此时，不同融差抓取系统之间只存在抓取物体的适用范围不同，原理上并无差别。

为了达到更好的融差抓取效果，即融差执行器使用同一个控制量去成功完成更大范围内不同类型的抓取任务，在设计手爪时，希望手爪与物体的接触力能够较为缓慢地变化，这样能够扩大完成任务时驱动量的集合。考察手爪接触力的变化趋势，根据式(6) 可以求得接触力对于驱动拉力的导数：

$ \begin{align} \dfrac{\partial F}{\partial T}\sim f(r_{i} (\theta), R_{i} (\theta)) \end{align} $

(16)

图 6展示了接触力对于驱动拉力的导数在各个关节处随关节弯曲角度的变化趋势。从图 6(a)(b) 可以看出，在关节1和关节2处接触力对于驱动拉力的导数随着角度呈抛物线变化，在工作空间内存在极小值，而在关节3处，接触力对于驱动拉力的导数随着角度的增大而增大。由于接触力只存在于手爪与物体接触后，在面对一类任务时，可以根据式(6)(7) 通过调整手爪关节的参数，保证手爪在与物体接触时，各关节处接触力对于驱动拉力的导数处于极小值附近，可以使得接触力变化较为缓慢。当物体表面容易形变时，可以增大融差抓取方法抓取物体的尺寸范围。

下面以一个假想的理论抓取实验来说明融差抓取的工作方式。假设被抓取的物体在抓取过程中不会变形，且接触点的受力在0.8~1.2 N时，手爪可以抓取且不会损坏物体。

图 7展示了抓取不同宽度的物体时接触力与驱动位移之间的关系，图中与$ y $轴垂直的红色直线构成的区域表示能够成功抓取物体的受力范围，即可满足成功抓取物体约束的系统状态构成集合$ C $。图 7中与$ x $轴垂直的区域即为满足成功抓取物体约束时驱动量对应的区域$ A_{k} $（$ k=1, 2, 3 $）。从图中看可以看到$ \cap A_{k} \ne \varnothing $，且绿色直线$ x= $ 4.2 mm位于交集空间内。这代表在抓取宽度为34 mm、44 mm和54 mm的物体时，融差控制器可以只输出一个相同的控制量即$ x= $ 4.2 mm，就将物体抓起且不会产生损坏。在实际应用时，这能有效降低控制复杂度。

4 欠驱动手爪分析对比（Analysis and comparison of the underactuated gripper）

欠驱动手爪在抓取物体时对物体的形状也有一定的适应能力，图 8展示了一个三关节的刚性欠驱动手爪的受力示意图。刚性手爪与柔性手爪的最大不同之处在于欠驱动手爪在弯曲时，关节之间是绕某一固定点进行旋转，而柔性手爪是整个关节发生弯曲。

欠驱动手爪表面也使用柔性材料时，手爪在抓取物体时的物体尺寸约束和受力约束与式(10)(11) 的形式相同，只是手爪关节处的运动方式不同，手爪关节的形变方式不同，导致拉力力臂和接触力力臂的计算方式不同。参照文[13] 中的方法，可以求得欠驱动手爪抓取物体时接触力对于驱动拉力的导数。

图 9展示了三关节欠驱动手爪的接触力对于驱动拉力的导数在各个关节处随关节弯曲角度的变化趋势。从图 9可以看出，对于欠驱动手爪，在每个关节处，接触力对于驱动力的导数都随着角度的增大而增大，与柔性手爪接触力对于驱动力的导数在各个关节处的变化趋势不同。造成这种差异的最主要的原因在于，欠驱动手爪与柔性手爪抓取物体过程中关节弯曲的方式不同，相比较而言柔性手爪有更强的形变能力。

对比图 6和图 9可以看出，选择合适的参数可以使得柔性手爪接触物体时，$ \theta_{1} $和$ \theta_{2} $处的$ \dfrac{\partial F}{\partial T} $取得极小值。此时柔性手爪在接触物体时接触力对于驱动力的导数取得最小值，这样可以使得柔性手爪以更轻柔的力贴合物体，且在抓取物体时理论上能够取得范围更大的融差抓取效果。

5 融差抓取机制的实现和应用（Realization and application of the Rong-Cha based grasping mechanism）

本节首先通过实验的方式展示融差抓取方法的实现和应用，并对比不同结构手爪在使用融差抓取方法时表现的差异。然后展示了在桌面抓取应用中，柔性手爪使用融差抓取方式抓取生活物品的效果。

实验中用到的柔性手爪3D打印件指骨间的柔性硅胶关节的长度$ L_{i} $（$ i=1, 2, 3 $）为8 mm，柔性关节的宽度$ W_{i} $（$ i=1, 2, 3 $）为18 mm，3个柔性关节的厚度分别为$ D_{1} =5 $ mm，$ D_{2} =6 $ mm，$ D_{3} =8 $ mm。在手指骨表面增加2 mm厚的硅胶作为手爪表面的柔性材料。实验中用到的欠驱动手爪关节处由扭簧链接，每个手爪关节的尺寸与柔性手爪每个关节的尺寸相同，同样在手指骨表面增加2 mm厚的硅胶作为手爪表面的柔性材料。

5.1 不同手爪融差抓取效果的对比与分析

首先，进行物体横截面相同但宽度和材质不同的融差抓取实验。在实验中，2个手爪的驱动量为驱动绳的位移，设置为8 mm的固定量。被抓物体如图 10所示。其中，软、硬物体的横截面尺寸都为15 mm$ \times $15 mm，嫩豆腐的宽度范围为5~50 mm，尼龙材料的宽度范围为5~60 mm。

图 11展示了使用柔性手爪，用同一个控制量去抓不同宽度的嫩豆腐和硬质长方体的结果。从图 11(a)可以看到，在抓取过程中，豆腐由于受到外力的作用有一定的变形，驱动绳的位移设置为8 mm时，手爪可以抓住且不会抓坏5~45 mm宽的豆腐，在抓取宽度为50 mm的豆腐时，所设置的驱动量与理想抓取的驱动量相差太大，使得施加在豆腐表面的压力过大，导致50 mm宽的豆腐被抓破。图 11(b)是抓取硬质长方体的结果，可以看到，手爪可以成功抓取5~60 mm宽的硬质长方体，在抓取尺寸较宽的长方体时，虽然设置的驱动量与理想抓取的驱动量相差较大，但依然可以成功抓取物体且手爪结构不会受到损坏。从图 11通过对比可以发现，相比于刚性物体，柔性物体的表面压力存在承受上限，导致融差抓取柔性物体的尺寸范围比抓取刚性物体的尺寸范围小。

图 12展示了使用弹簧关节欠驱动手爪以同一个控制量去抓不同宽度的嫩豆腐和硬质长方体的结果。从图 12(a)可以看出，弹簧关节的欠驱动手爪可以抓住且不会抓坏20~40 mm宽的豆腐。从图 12(b)可以看到手爪成功抓取了5~60 mm宽的硬质长方体。

相比于柔性手爪，在抓取柔性物体时，弹簧欠驱动手爪的融差抓取范围较小。这是由于，弹簧关节的手爪接触力对拉力的导数随着角度增大一直在增大。当抓取较小尺寸的物体时，手爪关节角度较大，接触力相对于拉力的导数比较大，导致对物体施加的接触力随拉力增长较快；而柔性手爪接触力对拉力的导数随着角度增大存在极小值，可以使得柔性手爪对物体施加的接触力随拉力平缓增长。在抓取较大尺寸的豆腐时，所设置的驱动量与理想抓取的驱动量相差太大，使得施加在豆腐表面的压力过大，导致45 mm宽和50 mm宽的豆腐被抓破。这说明欠驱动手爪的结构也满足融差执行器的要求，可以在抓取时使用融差抓取的方式，只是在抓取柔性物体时其融差抓取的适用范围比柔性手爪要小。

实验中，面对不同的抓取任务，可以将其看作是有干扰存在时的固定尺寸物体的抓取任务，即物体尺寸无法被精确感知。且在抓取嫩豆腐的过程中，物体产生了难以测量的形变。从本节实验结果可以看出，2种手爪使用融差抓取方法抓取物体时，依然可以使用简单的控制策略且不借助反馈信息在一定尺寸范围内成功完成抓取任务。其原因在于，抓取过程中存在干扰时，由于融差执行器的融会能力，融差执行器的状态不仅仅只取决于控制量，还与干扰有关。在二者的共同作用下手爪与物体交互时，会依据式(10) 所示的平衡条件合理配置各个关节的弯曲角度$ \mathit{\boldsymbol{\theta}} $。

与此同时，由于$ \mathit{\boldsymbol{\theta}} $的改变会影响式(11) 中的受力状态，对于不同结构的手爪，其关节角度$ \mathit{\boldsymbol{\theta}} $的改变对于式(11) 接触力的影响不尽相同。在抓取表面受力阈值$ F_{\rm T} $较大的物体时，物体不易被破坏，不同结构的手爪都可以有较大尺寸的融差抓取范围。而当抓取表面受力阈值$ F_{\rm T} $较小的物体时，接触力随着拉力变化较为平缓的手爪结构，在使用融差抓取方法时可以有更大尺寸的融差抓取范围，如图 11、图 12的实验结果所示。

5.2 融差抓取在桌面抓取中的应用

接下来展示在桌面抓取应用中，柔性手爪使用融差抓取方式抓取生活物品的效果。

在本实验中，柔性手爪被固定在型号为KINOVA Mico的机械臂末端，在实际应用中通过固定在手臂末端的彩色摄像头识别物体的大小和位置。本实验中一共有4个被抓取物体：最大直径为50 mm的装满水的一次性纸杯、最大直径为45 mm的饮料瓶、宽度为30 mm的嫩豆腐以及宽度为35 mm的纸盒。其中，一次性纸杯和嫩豆腐为柔性物体，饮料瓶和纸盒为硬质物体。手爪采用一种简单的控制策略，根据手爪能够抓取的最大物体尺寸与摄像头识别的被抓物体的最大尺寸等比例映射，计算出手爪的驱动量，即手爪驱动量的计算不依赖于物体精确的模型信息和物体材质的先验信息，且手爪抓取过程中不需要反馈信息。

图 13展示了柔性手爪采用融差方法在桌面应用中抓取物品的实验结果，从图中可以看到，即便在计算手爪控制量时的策略较为简单，且抓取过程中不考虑物体的形状以及物体的材质，融差抓取方式依然可以成功完成不同的抓取任务，且不会破坏柔性物体，如不会抓坏嫩豆腐且一次性纸杯不会发生较大形变导致杯中的水溢出。

如果使用基于“精确性思维”的控制方法抓取图 13中的4种物体，则对于一次性纸杯和豆腐这类柔性物体，除了需要精确感知物体的尺寸信息外，系统还需要已知物体的材质，否则会因为计算出的控制量与理想控制量之间的偏差过大，损坏被抓物体。

通过实验可以看到，本文提出的融差抓取方法满足“融差性思维”的基本原理，适用于具有融会能力的抓取执行器，可以简化其控制器的设计，有利于机器人抓取技术在“非封闭”环境中的应用。

6 结论（Conclusion）

针对不能实现精确感知的非结构场景，依据“融差性思维”，提出了一种不依赖精确感知的融差控制方法。首先，对融差控制方法的原理进行介绍，针对抓取任务，结合柔性手爪具体分析融差抓取方法的工作原理。在面对不同的抓取任务时，为了成功控制目标物体，在控制系统中引入抗干扰机制去消除干扰的影响是必不可少的。基于“精确性思维”的控制系统通常是依赖反馈测量通过设计控制器来消除干扰，这种方式依赖精确测量。基于“融差性思维”的控制系统是利用手爪的本征参数作用于手爪与物体的平衡状态来消除干扰的影响，在无法精确测量系统状态时依旧可以工作，融差抓取方法在面对一大类抓取任务时，不需要知道物体的具体参数，只需要知道这一大类物体的边界条件。分析发现，融差控制方法也适用于欠驱动手爪，但由于欠驱动结构的局限性，相对于柔性手爪而言，刚性欠驱动手爪的接触力增长更快，在抓取柔性物体时易损坏物体。通过实验的方式展示了融差抓取方法的工作效果，从实验结果可以看出，融差抓取方法在控制量不变的情况下，面对不同宽度、不同材质的物体，也能抓住且不损坏一定宽度围内的物体，且适用于不同结构、具有融会能力的抓取执行器。相比较而言，抓取刚性物体时，不同结构手爪在融差抓取方法下成功抓取的尺寸范围都更大；抓取柔性物体时，柔性手爪在融差抓取方法下成功抓取的尺寸范围比弹簧关节的欠驱动手爪的抓取范围更大。最后，展示了柔性手爪使用融差抓取方式在桌面应用中抓取物品的实验结果。

本文的工作主要是提出融差抓取方法的相关概念并通过实验的方式展示其工作原理。在接下来的工作中，将沿着理论分析和证明的方向研究融差抓取方法。