1 引言（Introduction）

全球发射的航天器数量不断增加，在轨卫星故障检修、燃料加注、组装升级等需求迫切。空间机械臂能在太空极冷、极热、真空等恶劣环境中辅助或代替宇航员完成任务^[1-3]，提高太空作业的安全性和效益。但是，桁架、狭缝、管道等环境具有结构复杂、约束度多、弯曲半径小等特点，其任务开展异常困难。传统离散关节型机械臂的机电部件安装于关节处，其外形尺寸、运动惯量较大，不适于在狭小空间中作业。绳驱冗余机械臂具备体型纤细、曲率连续、自由度多等特点，能灵活地在狭小空间中执行作业任务；此外，机－电分离的设计思想，使电机不暴露在极端环境中，能提高驱动部件的可靠性并降低热控成本，具备在轨应用潜力^[4]。

绳驱机械臂结合了绳索驱动和关节串联式机器人的结构特点，通过绳索远程驱动各关节转动，传动及控制组件集成在机械臂基座的驱动箱中，从而实现控制单元、臂杆等执行机构分离布置，减小了操作臂的体积、质量，同时使电机、电路和传感器免受潮湿、高辐射、极高/低温等恶劣环境影响，被广泛用于医疗手术^[5]、核电设备检测维护^[6-8]、飞行器零部件装配及监测^[6]、灾害搜救^[7-8]等领域。几类比较具有代表性的机器人包括：美国Clemson大学研制的绳驱仿生象鼻型机械臂^[6]，Camarillo等^[7]研制的柔性医疗机器人，英国OC Robotics公司^[8]、新松机器人公司、徐文福^[9]、Tang^[10]等研发的绳驱离散式刚性结构蛇形机械臂，图 1所示为3种绳驱机械臂的样机。

在实际工程应用中，绳驱机械臂仍然存在的共性问题，很大程度地限制了其性能，主要包括：(1) 绳驱连续型机械臂为了实现分段弯曲能力，采用弹簧等柔性材料作为关节支撑，其自身的刚度、负载能力不足；(2) 离散式刚性结构蛇形机械臂需使用大量的独立驱动关节和电机，增加了系统的复杂性以及成本；(3) 绳索在驱动传动过程中的弹性、摩擦等因素，导致迟滞和回差等非线性现象，同时，分段绳驱机械臂各段之间的耦合会导致形变，增加了机械臂的建模和控制难度。

针对绳驱机械臂存在的问题，Liu等^[11]提出了一种绳索主动驱动－被动联动分段结构的空间机械臂，在保证工作空间不变且曲率连续的情况下，该结构能减少驱动器数量，提升绳驱机械臂的刚度和负载能力，然而，驱动绳索拉伸和臂段形变等给绳驱空间机械臂的精确控制带来了困难。为此，本文提出了一种改进的运动学模型。

2 主被动混合驱动绳驱空间机械臂结构及运动学（Structure and kinematics of the hybrid active-passive cable-driven space manipulator） 2.1 机构设计

主被动混合驱动绳驱空间机械臂包括驱动箱和$ N $段臂杆，具备$ 2N $个自由度，驱动箱控制绳索拉伸量主动驱动臂杆运动，如图 2(a)所示；每个臂段包含$ n $个万向节串联的子关节，相邻万向节通过2对8字形联动绳索约束，实现各子关节俯仰－偏航方向等角度运动，如图 2(b)(c) 所示。

图 3所示为主被动混合驱动绳驱空间机械臂，共8自由度，包含4个臂段，每个臂段内包含有4个联动子关节，具体参数见表 1。相比于绳驱离散式刚性结构蛇形机械臂单关节独立驱动形式，主被动混合驱动绳驱机械臂结构减少了驱动电机数量（单关节独立驱动形式电机数目的1/4），同时可保持机械臂曲率连续，保证高刚度和高承载能力。

2.2 多层级运动学模型

主被动混合驱动绳驱空间机械臂内存在多层级运动学映射关系，包括电机－绳长运动学、绳长－关节角运动学和关节角－末端位姿运动学，如图 4所示。

2.2.1 关节角－末端位姿正向简化运动学

主被动混合驱动绳驱空间机械臂由4个臂段串联，每个臂段有2个旋转自由度（俯仰和偏航）。由于每个臂段内的子关节为等角度运动，臂段－末端位姿正向运动学可以简化为

$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{CDM}} ({{\mathit{\boldsymbol{\varTheta}}}})&=\mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{s1}} \mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{s2}} \mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{s3}} \mathit{\boldsymbol{T}}_{\rm{s4}} \\ &={{\mathit{\boldsymbol{f}}}}({\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}, \theta_{4}, \theta_{5}, \theta_{6}, \theta_{7}, \theta_{8}}) \end{align} $

(1)

式中$ \mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm s}n} $为臂段$ n $的末端相对于其根部的局部变换矩阵，$ {\mathit{\boldsymbol{\varTheta}}} $为机械臂各臂段转角$ \theta_{1} $~$ \theta_{8} $的列矢量。

对任意臂段$ n $，建立对应的D-H坐标系，如图 5所示，然后得到其D-H参数，如表 2所示。采用经典的D-H方法推导局部齐次变换矩阵$ \mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm s}n} $：

$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm s}n} &= {}^{0}\mathit{\boldsymbol{T}}_{1} {}^{1}\mathit{\boldsymbol{T}}_{2} {}^{2}\mathit{\boldsymbol{T}}_{3} {}^{3}\mathit{\boldsymbol{T}}_{4} {}^{4}\mathit{\boldsymbol{T}}_{5} {}^{5}\mathit{\boldsymbol{T}}_{6} {}^{6}\mathit{\boldsymbol{T}}_{7} {}^{7}\mathit{\boldsymbol{T}}_{8}\\ &=\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm s} (\theta_{2n-1}, \theta_{2n}) \end{align} $

(2)

2.2.2 电机－绳长运动学

图 6为电机－绳索驱动机构图。电机驱动丝杠螺母及动滑轮平移，拉紧或释放绳索，从而改变臂段内绳索长度。

电机角度变量$ \Delta \vartheta $与绳索长度变量$ \Delta l $之间的运动学关系可表示为

$ \begin{align} \Delta l=\Delta \vartheta \cdot S/{\pi} \cdot \lambda \end{align} $

(3)

式中，$ S $为丝杠导程，$ \lambda $为电机减速比。

2.2.3 绳长－关节角运动学

如图 7所示，驱动绳索固定在臂段末端，并穿过关节两端圆盘上的绳孔，控制驱动绳索长度可以调整关节角度。

绳长－关节角的逆运动学为根据关节角度得到绳索长度。对任意臂段$ n $的子关节$ i $（$ i= 1, $ $ 2, $ $ \cdots, $ $ m $）进行分析，$ \overline {H_{1, k1} H_{2, k1}} $、$ \overline {H_{1, k2} H_{2, k2}} $、$ \overline {H_{1, k3} H_{2, k3}} $分别表示3条驱动绳索，关节的2个旋转轴分别为$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, {\rm I}} $和$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, {\rm J}} $，绕两轴的旋转角度分别为$ \psi_{n, i, {\rm I}} $和$ \psi_{n, i, {\rm J}} $。圆盘$ D_{1} $、$ D_{2} $的中心坐标系定义为$ \{I_{n, i}\} $ $ = $ $ O_{n, i, \rm J}X_{n, i, \rm J}Y_{n, i, \rm J}Z_{n, i, \rm J} $，$ \{J_{n, i}\} $ $ = $ $ O_{n, i, \rm I}X_{n, i, \rm I}Y_{n, i, \rm I}Z_{n, i, \rm I} $，坐标系原点$ O $位于圆盘的中心，$ Z_{n, i, \rm I} $和$ Z_{n, i, \rm J} $沿着圆盘的法向量，$ X_{n, i, \rm I} $轴和$ X_{n, i, \rm J} $轴分别平行于$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, {\rm I}} $和$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, {\rm J}} $，$ Y_{n, i, \rm I} $和$ Y_{n, i, \rm J} $由右手法则确定。关节中心坐标系为$ \{U_{n, i}\} $ $ = $ $ O_{n, i, \rm U}X_{n, i, \rm U}Y_{n, i, \rm U}Z_{n, i, \rm U} $，原点$ O_{n, i, \rm U} $为两个旋转轴（即$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, \rm I} $和$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, \rm J} $）的交点，$ X_{n, i, \rm U} $、$ Y_{n, i, \rm U} $轴分别平行于轴$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, \rm I} $和$ {\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_{n, i, \rm J} $，$ Z_{n, i, \rm U} $轴由右手法则确定。

从坐标系$ \{U_{n, i}\} $到坐标系$ \{I_{n, i}\} $和$ \{J_{n, i}\} $的距离$ O_{n, i, \rm I} O_{n, i, \rm U} =O_{n, i, \rm U} O_{n, i, \rm J} = d $，即在关节角$ \psi_{n, i, \rm I} $和$ \psi_{n, i, \rm J} $均为0时驱动绳索长度为2$ d $。绳孔在圆盘上的分布半径为$ \rho $，并定义绳孔圆心连线$ \overline{OH_{1, k}} $与$ X $轴的夹角为$ \beta_{n, k} $（$ \beta_{n, k} \in[0, {2{\pi}}] $）。建立坐标系$ \{I_{n, i}\} $到$ \{J_{n, i}\} $的齐次变换矩阵，可得关节转角$ ({\psi_{n, i, \rm I}}, \psi_{n, i, \rm J}) $与绳索长度$ l_{n, i, k} $的运动学关系如下：

$ \begin{align} l_{n, i, k} =\, &f_{n, i, k} ({\psi_{n, i{\rm, I}}, \psi_{n, i, {\rm J}}}) \\ =\, &((ds_{\psi_{n, i{\rm, J}}} +\rho c_{\psi_{n, i{\rm, J}}} c_{\beta_{n, k}} -\rho c_{\beta_{n, k}})^{2}+ \\ &(\rho c_{\beta_{n, k}} s_{\psi_{n, i{\rm, I}}} s_{\psi_{n, i{\rm, J}}} +\rho c_{\psi_{n, i{\rm, I}}} s_{\beta_{n, k}} -ds_{\psi_{n, i{\rm, I}}} c_{\psi_{n, i{\rm, J}}} - \\ &\rho s_{\beta_{n, k}})^{2}+ (\rho s_{\psi_{n, i{\rm, I}}} s_{\beta_{n, k}} -\rho c_{\beta_{n, k}} c_{\psi_{n, i{\rm, I}}} s_{\psi_{n, i{\rm, J}}} + \\ & dc_{\psi_{n, i{\rm, I}}} c_{\psi_{n, i{\rm, J}}} +d)^{2})^{1/2} \end{align} $

(4)

式中：

$ \begin{align*} c_{\psi_{n, i{\rm, I}}} & =\cos \psi_{n, i{\rm, I}}, s_{\psi_{n, i{\rm, I}}} =\sin \psi_{n, i{\rm, I}}\\ c_{\psi_{n, i{\rm, J}}} & =\cos \psi_{n, i{\rm, J}}, s_{\psi_{n, i{\rm, J}}} =\sin \psi_{n, i{\rm, J}} \\ s_{\beta_{n, k}} & =\sin \beta_{n, k}, c_{\beta_{n, k}} =\cos \beta_{n, k} \end{align*} $

进一步地，单根驱动绳索在臂段$ n $的关节内总长度可表示为

$ \begin{align} f_{n, k} ({\theta_{2n-1}, \theta_{2n}})=\sum\limits_{i=1}^m {f_{n, i, k} ({\psi_{n, i{\rm, I}}, \psi_{n, i, {\rm J}}})} \end{align} $

(5)

式中，$ m $表示绳驱机械臂一个臂段的子关节数量，$ \theta_{2n-1} $、$ \theta_{2n} $是臂段关节的角度。

$ \begin{align} \begin{bmatrix} {\theta_{2n-1}} \\ {\theta_{2n}} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {(-1)^{i+1}\psi_{n, i{\rm, I}}} \\ {\psi_{n, i{\rm, J}}} \end{bmatrix}, 1\leqslant i\leqslant m \end{align} $

(6)

绳长－关节角的正运动学为给定臂段绳索长度求解子关节的角度。根据绳长－关节角的逆运动学分析可知，任意臂段$ n $的3根驱动绳索满足式(7) 方程组：

$ \begin{align} \begin{cases} {l_{n, 3n-2} =f_{n, 3n-2} ({\theta_{2n-1}, \theta_{2n}})} \\ {l_{n, 3n-1} =f_{n, 3n-1} ({\theta_{2n-1}, \theta_{2n}})} \\ {l_{n, 3n} =f_{n, 3n} ({\theta_{2n-1}, \theta_{2n}})} \end{cases} \end{align} $

(7)

3个绳长求解2个未知量不能通过解析式的方式求解，本文采用数值的迭代法求解。

$ \begin{align} [{dl_{n, 3n-2}} {dl_{n, 3n-1}} {dl_{n, 3n}} ]^{\rm T}={\mathit{\boldsymbol{J}}}_{\rm d} [{d\theta_{2n-1}} {d\theta_{2n}} ]^{\rm T} \end{align} $

(8)

式中：

$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm d}= \begin{bmatrix} {\dfrac{\partial f_{n, 3n-2}} {\partial \theta_{2n-1}}} & {\dfrac{\partial f_{n, 3n-2}} {\partial \theta_{2n}}}& {\dfrac{\partial f_{n, 3n-1}} {\partial \theta_{2n-1}}} \\[9pt] {\dfrac{\partial f_{n, 3n-1}} {\partial \theta_{2n}}} & {\dfrac{\partial f_{n, 3n}} {\partial \theta_{2n-1}}} & {\dfrac{\partial f_{n, 3n}} {\partial \theta_{2n}}} \end{bmatrix}^{\rm T} \end{align} $

(9)

根据式(8)(9)，关节角度增量可由驱动绳索的长度增量求解：

$ \begin{align} \begin{bmatrix} {\Delta \theta_{2n-1}} \\ {\Delta \theta_{2n}} \end{bmatrix}=\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm d}^{+} \begin{bmatrix} {\Delta l_{n, 3n-2}} \\ {\Delta l_{n, 3n-1}} \\ {\Delta l_{n, 3n}} \end{bmatrix} \end{align} $

(10)

式中$ \mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm d}^{+} $是雅可比矩阵$ \mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm d} $的伪逆。利用数值迭代法求解臂段$ n $的关节角度的流程如图 8所示。

2.2.4 绳长－关节角逆运动学耦合分析

臂段内绳索长度的变化量存在耦合。驱动绳索从驱动箱中引出并穿过各个臂段，固定在被控臂段的末端。因此，所穿过的臂段运动状态变化，将影响经过该臂段处的驱动绳索的长度，进一步影响其余多个臂段的运动。

任意臂段$ n $（$ 1<n\leqslant N $）的绳长变化可视为其自身主动运动所需的绳长变化和其他所有臂段运动耦合下的绳长变化的叠加。对于有$ M $个子关节的臂段，其驱动绳索长度$ l_{3n-2} $、$ l_{3n-1} $和$ l_{3n} $的变化量为

$ \begin{align} \begin{cases} {\Delta l_{3n-2} =\sum\limits_{i=1}^n {f_{i, 3n-2} (\theta_{2i-1}, \theta_{2i})} -2nMd} \\[9pt] {\Delta l_{3n-1} =\sum\limits_{i=1}^n {f_{i, 3n-1} (\theta_{2i-1}, \theta_{2i})} -2nMd} \\[9pt] {\Delta l_{{3n}} =\sum\limits_{i=1}^n {f_{i, 3n} (\theta_{2i-1}, \theta_{2i})} -2nMd} \end{cases} \end{align} $

(11)

图 8所示的数值迭代法可根据当前臂段$ n $的对应绳索长度$ l_{{\rm d}n} $计算出该臂段的角度$ ({\theta_{2n-1}, \theta_{2n}}) $。该角度可以作为已知条件，计算下一臂段$ m $驱动绳索的耦合长度$ l_{{\rm c}m} $。则臂段$ m $的对应绳索长度$ l_{{\rm d}m} $为

$ \begin{align} l_{{\rm d}m} =l_{m} -l_{{\rm c}m} \end{align} $

(12)

图中$ \| \Delta l_{(j)}\| $表示绳长期望值$ l_{\rm d} $和迭代变量$ l_{(j)} $差值的二范数。

从第1大段的驱动绳开始，通过式(10) 计算第1大段的关节角，第2段驱动绳的长度减去第1段驱动绳的长度后，继续求解第2段的关节角，依次迭代，直到计算出各段的关节角度，流程图如图 9所示。

3 考虑迟滞及变形的逆运动学算法（Inverse kinematics algorithm considering hysteresis and deformation）

结合国内外对绳驱机器人的研究^[12-17]，绳驱机械臂多层级运动学模型大多基于理想几何模型，没有考虑驱动绳索的弹性、绳索与关节绳孔的摩擦力导致迟滞变形等因素。驱动末段臂杆弯曲所需的力矩，也将作用于靠近机械臂基座的臂杆，使之产生形变，耦合影响机械臂的运动学模型精度。减小驱动绳索迟滞效应和变形带来的模型误差的方式主要有以下几种：驱动绳索迟滞模型参数辨识，可改进绳长－关节角运动学模型^[12-13]；离线学习方法，通过外部测量机械臂位置，建立末端位姿－绳长逆运动学模型^[14-15]；在关节角空间增加间隙、添加变形补偿系数等方法，可实现理论模型与实测数据的结合^[16-17]。

基于理想绳长－关节角运动学模型，定义第$ n $、$ m $段（$ n<m $）关节对应的驱动绳索迟滞变形量分别为$ l_{{\rm h}n} $和$ l_{{\rm h}m} $，对应的关节角误差为$ \Delta \theta_{{\rm h}n} $和$ \Delta \theta_{{\rm h}m} $，第$ n $段误差对$ m $段绳长耦合导致的关节角误差为$ \Delta \theta_{{\rm c}m} $。根据整臂绳长－关节角逆运动学可得：

$ \begin{align} \Delta \theta_{{\rm h}n} =J_{{\rm d}n}^{+} \cdot l_{{\rm h}n} \end{align} $

(13)

考虑到驱动机械臂第$ m $段需克服摩擦力矩$ \tau_{{\rm f}m} $，反作用力矩$ -\tau_{{\rm f}m} $将导致靠近基座的臂段$ n $产生形变$ \Delta \theta_{{\rm{de}}n} $。$ \Delta \theta_{{\rm{de}}n} $与第$ n $段和第$ m $段臂杆的运动方向相关，用$ \dot{\theta}_{m} $表示第$ m $段关节角速度，$ \theta_{n} $为第$ n $段关节角度。若第$ m $段速度方向与第$ n $段关节弯曲方向一致，即$ \dot{\theta}_{m} \cdot \theta_{n} >0 $，则$ \Delta \theta_{{\rm{de}}n} $为正；反之，$ \Delta \theta_{{\rm{de}}n} $为负。

$ \begin{align} \Delta \theta_{{\rm{de}}n} ={\rm{sgn}}(\dot{\theta}_{m} \cdot \theta_{n})\cdot \tau_{{\rm f} m} / k_{n} \end{align} $

(14)

式中，$ k_{n} $为第$ n $段的等效刚度^[18]。

综合考虑驱动绳索迟滞$ l_{{\rm h}n} $和力矩$ -\tau_{{\rm f}m} $导致的变形量对第$ n $段的影响及第$ n $段、第$ m $段之间的绳索耦合可得：

$ \begin{align} \Delta \theta_{m} & = \Delta \theta_{{\rm c}m} +\Delta \theta_{{\rm h}m} \\ & = J_{{\rm d}m}^{+} \cdot (l_{{\rm h}n} +J_{{\rm d}n} \cdot \Delta \theta_{{\rm{de}}n})+J_{{\rm d}m}^{+} \cdot l_{{\rm h}m} \end{align} $

(15)

根据以上分析，考虑迟滞及变形的逆运动学算法主要步骤如下：

(1) 给定期望关节角序列$ {\mathit{\boldsymbol{\varTheta}}}_{\rm d} $。

(2) 根据关节角序列计算期望驱动绳索长度$ l_{\rm d} $。

(3) 更新考虑迟滞的驱动绳索长度$ l=l_{\rm d} +l_{\rm h} $。

(4) 计算摩擦力矩$ \tau_{{\rm f}m} $造成的臂段$ n $变形量$ \Delta \theta_{{\rm{de}}n} $。

(5) 从第1段开始，计算考虑绳索迟滞及变形后的臂段角度，第$ n $段角度修正为$ \theta_{n} =\theta_{{\rm d}n} +\Delta \theta_{{\rm h}n} +\Delta \theta_{{\rm{de}}n} $。

(6) 根据$ \theta_{n} $重新计算各段驱动绳索的耦合长度，定义第$ m $段驱动绳在第$ n $段内的耦合量为$ l_{{\rm c}m} $，则考虑迟滞及耦合影响后$ m $段对应的驱动绳长更新为$ l_{m} =l_{\rm d} +l_{{\rm h}m} +l_{{\rm c}m} $。

(7) 通过绳长－关节角运动学更新各段关节角度，直到求解到最后一段。

4 仿真与试验（Simulation and experiments） 4.1 驱动绳索迟滞量测试

主被动混合驱动绳驱机械臂共含有$ N $个子关节，驱动绳索经过2$ N $个绳孔，可将臂杆内的驱动绳简化成经过若干个绳孔模块的模型，搭建图 10所示的驱动绳索迟滞量测试系统。

绳索迟滞量测试系统包含电机驱动模块、绳孔模块、控制器模块和力传感器、角度编码器等采集模块，将这些模块按照如图 10所示间距布置在光学平台上。系统输入为电机驱动丝杆滑块产生的位移，输出为编码器采集的绳索位移。

试验选用的钢丝绳索和绳驱空间机械臂驱动绳直径一致，为1.2 mm；绳索长度为2877 mm。绳孔模块为钛合金材质，绳孔大小为1.4 mm，与机械臂关节材质及绳孔大小相同。采用速度位置模式控制电机输出正弦脉冲，幅值为50 mm，往复运动3次。

绳索迟滞量测试系统采集的电机输入量与绳索输出量试验数据如图 11所示。绳索输出存在滞后现象，特别是在启动和转向时，存在一段绳索速度为0的黏滞区间。在绳驱机械臂的控制转向过程中，滞后现象会导致机械臂无响应；只有当驱动绳索输入量大于迟滞量之后，机械臂才开始运动。图 12所示为20 N、50 N、100 N负载下的绳索输出与电机输入量对比，试验数据显示，预紧力增大时迟滞量也会相应呈线性增大。预紧力为100 N时，长度为2877 mm、直径为1.2 mm的钢丝绳索在启动和变向时的黏滞区间为$ [0, 3.4 $ mm$ ] $。

4.2 两段机械臂运动仿真 4.2.1 仿真参数设置

机械臂改进运动学模型仿真参数设置如表 3和图 13所示，设定机械臂段数为2段共4个自由度，在平面内运动；臂杆半径为45 mm，长度为1110 mm。第1段和第2段驱动绳索长度为780 mm和1290 mm（包含驱动箱内部分270 mm），驱动绳直径为1.2 mm。

在给定的期望轨迹平面内运动，两段机械臂初始关节角为$ [0^{\circ}, 0^{\circ}, 0^{\circ}, 0^{\circ}] $，匀速运动至关节角$ [0^{\circ}, $ $ 6^{\circ}, 0^{\circ}, 6^{\circ}] $，再反向运动直至返回初始位置，期望关节角对应的驱动绳索长度变化量如图 14所示，驱动绳索在臂杆圆周上的分布位置差异导致各驱动绳索的变化量和速度不同。

仿真模型中简化摩擦力矩$ \tau_{{\rm f}m} $造成的臂段变形量$ \Delta \theta_{{\rm{de}}n} $为与$ \theta_{n} $成比例相关，系数为$ \eta =0.1 $，则：

$ \begin{equation} \Delta \theta_{{\rm{de}}n} =\eta \cdot \theta_{n} \end{equation} $

(16)

$ \eta $满足：

$ \begin{equation} \begin{cases} \eta <0, & \dot{\theta}_{m} \cdot \theta_{n} <0 \\ \eta =0, & \dot{\theta}_{m} =0 \\ \eta >0, & \dot{\theta}_{m} \cdot \theta_{n} >0 \end{cases} \end{equation} $

(17)

4.2.2 仿真结果与分析

基于改进运动学模型的绳驱机械臂的关节角度输出如图 15所示。正向运动时，关节角1和关节角2始终小于期望角度且存在滞后；在转换方向时，两组关节角在一段时间内无变化，表明驱动绳索迟滞变形造成了关节角输出的滞后。

图 16和图 17为基于改进运动学模型的绳驱机械臂的构形及末端轨迹仿真。仿真结果显示，1110 mm长的绳驱机械臂在期望关节角为6$ ^{\circ} $时，末端误差达到36.17 mm，且机械臂去程和回程的轨迹不重合，其原因为臂段2的驱动力矩造成的臂段1变形。在100 s和140 s时末端位置数据（机械臂去程、回程的期望关节角均为$ [0^{\circ}, 4.8^{\circ}, 0^{\circ}, 4.8^{\circ}] $，改进运动学仿真去程、回程关节角分别为$ [0^{\circ}, 4.61^{\circ}, $ $ 0^{\circ}, 4.63^{\circ}] $和$ [0^{\circ}, 4.99^{\circ}, 0^{\circ}, 5.14^{\circ}] $），去程、回程末端位置分别为$ [1043 $ mm$ , 990 $mm$ ] $和$ [- $742.2 mm, $ -792.6 $ mm$ ] $，去程、回程与期望末端位置的差异分别为30.68 mm和42.71 mm，去程、回程轨迹之间的末端位置差异达73.13 mm。

4.3 两段机械臂运动试验

为测试机械臂的性能，模拟在空间微重力环境运动，在气浮平台上搭建了绳驱空间机械臂运动试验系统。试验系统由绳驱机械臂（包含2个臂段，共12个子关节）、OptiTrack运动捕捉系统、API激光跟踪仪、驱动箱、大理石平台、气足、电源及控制器等组成，如图 18所示。

绳驱空间机械臂的每节臂杆的两端均安装了靶球，运动捕捉系统可实时采集靶球的3维坐标，从而计算出每个关节和整臂的弯曲角度变化。图 19所示为绳驱空间机械臂运动测试的整臂关节弯曲角度实测值、规划值和改进运动学仿真值的对比。绳驱空间机械臂样机整臂关节角的运动规划值最大值为72$ ^{\circ} $，3组实测数据最大值的平均值为69.05$ ^{\circ} $，改进运动学仿真得到的整臂关节角最大值为70.02$ ^{\circ} $；机械臂运动到最大规划位置时，改进运动学仿真臂形与实测臂形之间末端位置绝对误差为10.7 mm，期望臂形与实测臂形之间末端位置绝对误差为25.94 mm。相较于无补偿模型，改进运动学模型的误差减小了61.4{%}；采用机器学习和视觉辅助综合预测的补偿模型，补偿效果优于本文方案，如表 4所示，本文方案后续可结合视觉测量和机器学习方法进一步改进。

5 结论（Conclusion）

首先，本文在主被动混合驱动绳驱空间机械臂“驱动绳索长度－关节角度－末端位姿”的多重耦合运动学模型基础上，进一步考虑绳索迟滞效应、运动方向切换和联动段变形3种因素耦合影响，改进了驱动绳索－关节角空间的映射模型。其次，设计了绳索试验平台，测定20 N、50 N、100 N负载下驱动绳索的迟滞量；然后，采用改进运动学模型对同一轨迹往、返过程进行仿真，结果复现了联动段变形导致的往返轨迹不重合的试验现象；最后，将仿真数据与样机（绳驱空间机械臂样机总长为1110 mm）实测数据对比，结果表明，相较于理想模型，考虑迟滞及变形的改进运动学模型末端绝对定位误差可减小15.2 mm。试验结果证明了考虑迟滞及变形的改进运动学模型能有效减小误差。

未来将研究：(1) 考虑绳驱空间机械臂精度的环境影响因素，如温度等；建立更精确的迟滞模型，改进运动学模型中的补偿系数，减小模型与实际臂形的误差；(2) 分析联动关节的动力学特性，进一步考虑外力负载作用下的补偿模型；(3) 根据仿真与试验结果，分析主要影响因素占比，改进并优化联动臂结构设计，使绳驱空间机械臂具有更优的综合性能，更好地应用于在轨服务。