1 引言（Introduction）

随着航空航天技术的发展和太空探索脚步的加快，航天器频繁地进入太空执行任务。太空环境中的高真空、大温差、强辐射等恶劣条件，极易引发航天器故障，降低航天器使用年限。为了提高航天器使用寿命，可采用机械手代替宇航员从事舱外作业，利用多自由度空间机械手进行部件更换、装配和在轨维修等任务^[1-11]。

根据是否做刚性折叠面，可以将折纸分为刚性折纸和非刚性折纸。刚性折纸在折叠/展开过程中，折痕面之间始终保持刚性，只有折痕处发生变形，可以沿着预定的折痕，在不同状态间实现连续运动。Yasudai^[12]在使用刚性折纸条件下，引入Yoshimura折纸设计了移动避难所系统。Onal^[13]等基于管状折纸结构设计了一种爬行机器人，该机器人通过形状记忆合金丝的驱动，使管状折纸结构进行轴向伸缩运动，实现模仿毛毛虫运动模式的爬行运动。此外，Jeong和Lee^[14]提出了一种基于扭曲塔折纸结构的三爪机器人机械手。Li等^[15]通过对折纸的人造肌肉结构进行分析，实现收缩、弯曲和扭转等运动方式。Overvelde^[16]分析了折纸多重自由度3维可转换元材料的力学理论。Silverberg等^[17-18]对折纸结构的自由度产生的双稳定性进行理论分析。Suh等^[19-20]提出了一种Yoshimura折纸结构的折叠新方法，并通过静力分析证实了所提出的折叠方法的有效性。中国科学技术大学陈小平等^[21]研发了一种基于蜂巢气动网络的夹持器，该结构柔软且灵活，表现出良好的相容性；结合蜂巢网络的变形特点，能够抓取形状复杂的物体。

目前折纸机械手存在包络抓取范围偏小、只能对某一相同类型的目标进行抓取的不足。鉴于此，本文提出一种Kresling和Miura折痕混合型三指机械手结构，对Kresling折痕进行几何分析，建立了Kresling折痕参数与应变能之间的关系方程。利用坐标法建立多层Miura单元力矩与指节长宽比之间的关系方程；基于虚功原理建立了混合型单元各参数之间关系的数学模型，确定了机械手的各个参数，采用D-H（Denavit-Hartenberg）坐标法计算出末端点的分布，确定机械手的工作空间；采用力矩平衡方法，以圆柱体和长方体为例，分别对机械手指尖抓取和包络抓取两种情况进行分析，建立了各接触力与各关节角之间关系的理论模型。

2 机械手结构（Manipulator structure）

混合型机械手结构如图 1所示。该结构由上层Miura折痕与下层Kresling折痕组合而成的基本混合层，由该基本混合层沿纵向叠加可以形成单个手指结构，其中Miura折痕构成关节、Kresling折痕构成指段，3根由混合折痕层构成的手指通过组合形成机械手整体结构。通过对Kresling折痕单元长度和Miura折痕弯曲角度进行调整可抓取不同形状、重量、大小的物体从而满足设计要求。

3 几何分析（Geometric analysis） 3.1 基本单元层几何分析 3.1.1 Kresling折痕几何分析

Kresling平面折痕结构和柱状结构如图 2所示，Kresling多边形外接圆半径$ R $为

$ \begin{align} R=\dfrac{a}{2\sin \dfrac{\pi}{n}} \end{align} $

(1)

式中，$ a $是柱状结构中Kresling模块的边长，$ n $是圆柱的边数，$ a=l_{\rm k}/ n $。

上、下平面之间的高度$ H $为

$ \begin{align} H=b\sin \delta \end{align} $

(2)

式中，$ \delta $是线段$ EF $与水平面之间的夹角，$ b $是山峰折痕长度，即

$ \begin{align} b=\sqrt{4R^{2}\sin^{2}\dfrac{2{\pi} -n\theta}{2n}+(b\sin \delta)^{2}} \end{align} $

(3)

式中，$ \theta $为平面$ ACE $和面$ BDF $之间的角度，且$ \theta = $ $ \dfrac{2{\pi}}{n} -2\arcsin\dfrac{ b \cos \delta}{2 R} $。

若Kresling折痕能实现完全折叠，则要求Kresling折痕必须满足

$ \begin{align} \dfrac{b\cos \delta}{2R} \leqslant 1 \end{align} $

(4)

将式(1) 代入式(4)，可得

$ \begin{align} \dfrac{b}{a}\leqslant \frac{1}{\sin \dfrac{\pi}{n}\cos \delta} \end{align} $

(5)

根据几何关系可得

$ \begin{align} \dfrac{c}{a}=\sqrt{I_{1}^{2} +\arcsin (I_{1} \cos \delta \dfrac{b}{a})/I_{1} +I_{2}^{2}} \end{align} $

(6)

式中，$ I_{1} =\sin \dfrac{\pi}{n} $，$ I_{2} =\dfrac{b\sin \delta}{a} $。

取$ n= $ 6和$ b/a =1 $，对Kresling折痕进行分析，Kresling折痕线性应变能定义为

$ \begin{align} \omega =W/E=\dfrac{1}{2}(c/c_{0} -1)^{2} \end{align} $

(7)

式中，$ c_{0} $表示在$ \delta = 0 $条件下，山谷折痕与边长的初始值比值即$ c/a $，$ E $为杨氏模量。

不同条件下折痕$ b $与边长$ a $的比值$ b/a $、角度$ \delta $与应变能$ W $三者的关系如图 3所示。由图 3可知，在$ b/a $相同的条件下，随着角度$ \delta $的增大，应变能$ W $先减小后增大；在角度$ \delta $相同的条件下，应变能$ W $随着$ b/a $的增大而增大。

Kresling折痕运动的平面高度差$ \Delta H $为

$ \begin{align} \Delta H=h_{0} -H=b-b\sin \delta \end{align} $

(8)

式中，$ \theta_{0} $为初始条件下上、下平面间的初始夹角，初始高度$ h_{0} $为上、下平面间角度$ \theta =0 $时的高度差。

柱状结构旋转$ \theta $所储存的应变能$ W $为

$ \begin{align} W=\dfrac{1}{2}nk(b_{1} -b_{0})^{2}+\dfrac{1}{2}nk(c_{1} -c_{0})^{2} \end{align} $

(9)

式中，$ k $表示折纸的弹性系数，为计算方便，设$ k= $ 1进行讨论。$ b_{1} $、$ c_{1} $分别为Kresling结构在旋转任意角度后线段$ EF $、线段$ DE $的长度，$ \theta_{0} $为Kresling结构上、下平面间的初始夹角。$ \beta_{0} $为$ CD $与$ DF $之间的夹角，$ \varphi $为$ CD $与$ CF $之间的夹角，

$ \begin{align*} b_{1}&= \sqrt{(b - \Delta H)^{2}+ 2 R^{2}(\theta +{\pi} / n - \theta_{0})} \\ c_{1}&= \sqrt{( b - \Delta H)^{2}+ 2 R^{2}(\theta - {\pi} / n+\theta_{0})} \end{align*} $

由式(9) 可以得到旋转高度$ H $、角度$ \theta $与应变能$ W $之间的关系，如图 4所示。当$ \theta $一定时，随着$ H $的增大，$ W $先减小后增大。当旋转高度$ H \in ( $0 mm$ , $ 10 mm$ ) $时，随着$ \theta $的增大，$ W $先增大后减小再增大。旋转高度$ H \geqslant $ 10 mm时，$ W $随着$ \theta $的增大而增大。

3.1.2 Miura结构几何分析

Miura平面折痕图如图 5所示。图中红色虚线表示山谷折痕，黑色实线表示山峰折痕，平面Miura折痕为矩形单元，$ AB $长度为$ a_{0} $，$ BC $长度为$ b_{0} $。山峰之间的夹角为$ \beta_{1} $，Miura折痕的2条对角线形成的夹角定义为Miura最小单元角$ \varphi _{0} $。

由图 5可知$ DB $与$ AB $之间的夹角$ \alpha $与长度$ l_{AO} $关系为

$ \begin{align} l_{AO} =\sqrt{a_{0}^{2} +{b_{0}^{2}} /4-a_{0} b_{0} \cos \alpha} \end{align} $

(10)

式中，$ b_{0} $为$ BC $的长度，$ a_{0} $为$ AB $的长度。

3.1.3 单个Miura单元建模

输入角度$ \theta_{\rm M} $为山谷折痕与垂直轴$ Z $之间的夹角，$ \beta_{\rm m} $、$ \beta_{\rm v} $为山峰折线折痕角和山谷折线折痕角。将山谷折线角度赋为正值，将山峰折线角度赋为负值。Miura折痕形状如图 6所示。

不同的输入角度对应不同的Miura折痕单元山峰、山谷折痕的位置状态，山峰折线折痕角$ \beta_{\rm m} $和山谷折线折痕角$ \beta_{\rm v} $可用式(11) 表达。

$ \begin{align} \begin{cases} \beta_{\rm m} =\arccos (2\cos c-1)-{\pi} \\ \beta_{\rm v} =2(\angle CAB+\angle EAB-{\pi} /2) \end{cases} \end{align} $

(11)

式中，$ c= \arccos(\cos ^{2}\theta_{\rm M} $)，$ \angle CAB =\angle CBA = \arcsin\dfrac{\sin \theta_{\rm M}}{\sin c} $，$ \angle EAB =\angle EBA = \arccos \dfrac{\sin c}{\cos c+1} $。

$ \begin{align} \beta_{\rm v} = \begin{cases} 2(\arcsin \chi_{11} +\arccos \chi_{12})-{\pi}, \\[-5pt] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_{\rm v}\in (0 ^{\circ} , 90 ^{\circ})\\ 2(\arccos (\csc c-\cot c)-\arcsin \chi_{11} -{\pi} /2), \\[-5pt] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_{\rm v}\in (90 ^{\circ} , 135 ^{\circ}) \end{cases} \end{align} $

(12)

式中，$ \chi_{11} ={\sin \theta_{\rm M}} /{\sin c} $，$ \chi_{12} ={\sin c}/({\cos c+1}) $。

输入的角度$ \theta_{\rm M} $与山峰折线折痕角$ \beta_{\rm m} $、山谷折线折痕角$ \beta_{\rm v} $的关系如图 7所示。

由图 7可知，山峰折线折痕角$ \beta_{\rm m} $和山谷折线折痕角$ \beta_{\rm v} $都随着输入角度$ \theta_{\rm M} $的增大而增大。

3.1.4 多层Miura单元建模

对多层Miura折痕单元建立坐标系，如图 8所示。$ R_{\rm m} $为Miura单元半径，$ \alpha_{1} $为绕$ X $轴旋转的角度，$ \varphi _{1} $为绕$ Y $轴旋转的角度，$ d_{\rm m} $为线段$ BC $的长度。

在垂直于水平面的方向施加压力$ F $，分析指节长宽比$ \lambda $、转角$ \alpha_{1} $与等效转动力矩$ M_{\rm T} $之间的关系。令指节长宽比$ \lambda =d_{\rm m}/ l_{AB} $，由几何关系可得：

$ \begin{align} M_{\rm T} =Fd\frac{\sin \dfrac{{\pi} -\alpha_{1}}{2}}{\sqrt{\lambda^{2}+2\lambda \cos \dfrac{{\pi} -\alpha_{1}}{2}+1}} \end{align} $

(13)

取$ F= $ 1 N，$ d= $ 20 mm，由式(13) 可得$ M_{\rm T} $与指节长宽比$ \lambda $、绕$ X $轴转角$ \alpha_{1} $之间的关系，如图 9所示。当$ 0<\lambda <1 $时，$ M_{\rm T} $在$ \alpha_{1} \in (0, {\pi}) $范围内单调递增；当$ \alpha_{1}={\pi} -2\arccos(- d_{\rm m}/ \lambda) $时，$ M_{\rm T} $取最大值$ M_{\rm T\max}=F d $。当$ \lambda \geqslant 1 $时，$ M_{\rm T} $在$ \alpha_{1} \in $ $ (0, {\pi} - $ $ 2 \arccos $ $ (-1/ \lambda)) $范围内单调递增，在$ \alpha_{1} \in $ $ ({\pi} $ $ - 2\arccos $ $ (-1/ \lambda) , {\pi}) $范围内单调递减。当$ \alpha_{1}= $ $ \arccos $ $ (- \lambda) $时，$ M_{\rm T} $取最大值$ M_{\rm T\max}=F d / \lambda $。

当$ \alpha_{1} \in (\Delta \alpha_{1}, \Delta \alpha_{2}) $时，$ F $所做的功$ W_{ F 1} $为

$ \begin{align} W_{F{1}} =Fd(\varsigma_{1} -\varsigma_{2})/\lambda \end{align} $

(14)

式中，$ \vartheta_{1} ={({{\pi} -\Delta \alpha_{1}})}/2 $，$ \vartheta_{2} ={({{\pi} -\Delta \alpha_{2}})}/2 $，$ \varsigma_{1} =\sqrt{\lambda^{2}+{2}\lambda \cos \vartheta_{2} +1} $，$ \varsigma_{2} =\sqrt{\lambda^{2}+2\lambda \cos \vartheta_{1} +1} $。

平均力矩$ \bar{M}_{ F 1} $及$ W_{ F 1} $为

$ \begin{align} \begin{cases} \bar{M}_{F{1}} =Fd({\varsigma_{1} +\varsigma_{2}})/({\lambda \Delta \alpha_{2} -\lambda \Delta \alpha_{1}}) \\ W_{F{1}} =\bar{M}_{F{1}} ({\Delta \alpha_{2} -\Delta \alpha_{1}}) \end{cases} \end{align} $

(15)

当$ \alpha_{1} \in (0, {\pi}) $时，根据式(15) 得到

$ \begin{align} W_{F{1}} = \begin{cases} 2Fd/\lambda, & \lambda \geqslant 1 \\ 2Fd, & 0<\lambda <1 \end{cases} \end{align} $

(16)

由式(16) 可知，在关节宽度$ d $一定时，如果$ 0<\lambda <1 $，则压力$ F $在$ \alpha_{1} \in (0, {\pi}) $内所做的功$ W_{ F 1} $与指节长宽比$ \lambda $无关；如果$ \lambda \geqslant 0 $，则$ W_{ F 1} $在$ \alpha_{1} \in (0, {\pi}) $内单调递增。$ W_{ F 1}/M_{F\max} $与$ \lambda $的关系曲线如图 10所示。若$ W_{ F 1}/M_{F\max} \geqslant 10{\%} $，则$ \lambda \geqslant 1.36 $；在设计时，设计关节单元的运动范围为$ \alpha_{1} \geqslant 15 ^{\circ} $，故机械手指的运动范围为$ \alpha_{1} \in (15 ^{\circ} , 90 ^{\circ}) $。

3.2 Kresling与Miura混合单元几何分析

建立混合型手指单元的坐标系，如图 11所示。每层Miura单元之间的夹角为$ \varphi $，线段$ DE $的长度为$ l $，线段$ DF $的长度为$ b_{\rm m} $，上、下平面之间的夹角为$ \theta_{\rm K} $，线段$ C_{\rm K}B_{\rm M} $与线段$ C_{\rm K}B_{\rm K} $间的角度为$ \beta $。

线段长度$ l_{B_{\rm M} C_{\rm K}} $与角度$ \beta $之间的关系为

$ \begin{align} {\rm d}l_{B_{\rm M} C_{\rm K}} =-\frac{ab\sin \beta} {\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos \beta} {\rm d}\beta} \end{align} $

(17)

假设在垂直于水平面的外力$ F $作用下混合型单元会产生旋转，根据虚功原理可得

$ \begin{align} {\rm d}Fb_{ F} {\rm d}\beta =k_{\rm T} {\rm d}l_{B_{\rm M} C_{\rm K}} \end{align} $

(18)

式中，$ k_{\rm T} $为折纸刚度，$ b_{ F} $为$ l_{B_{\rm M} C_{\rm K}} $初始长度。

令$ k_{ F}= {\rm d} F /{\rm d} \beta $，将式(17) 代入式(18) 可得

$ \begin{align} \frac{k_{ F} b_{ F}} {k_{\rm T}} =\frac{ab\sin^{2}\beta} {1+a^{2}b^{2}-2ab\cos \beta} \end{align} $

(19)

旋转角度$ \theta_{\rm K} $、边长比$ b/a $与单元刚度比$ k_{ F}b_{ F}/ k_{\rm T} $的关系如图 12所示。单元刚度比随着边长比$ b/a $的增加有先增加后降低的趋势，而随着上、下平面间角度$ \theta_{\rm K} $的增加有降低的趋势。

假设Miura折痕间的夹角$ \varphi $变化均相同，根据几何关系可以得出弯曲角度$ \alpha_{1} $为

$ \begin{align} \alpha_{1} =nb_{\rm m} \cdot \sin (\varphi /2)\cdot \varphi {\pi} /(90d) \end{align} $

(20)

Miura单元层数为$ n $，当$ n $不变时，弯曲角度$ \alpha_{1} $随着$ \varphi $增大而增大；当$ \varphi $不变时，$ \alpha_{1} $随$ n $增大而增大。取$ b_{\rm m}=4 $ mm可以得到最大弯曲角度值为$ \alpha_{1\max}= 18 ^{\circ} $，故$ \alpha_{1} \in (15 ^{\circ} , 18 ^{\circ}) $。根据机器人技术的基本特性数据，每个手指关节的转动角应该在0~90$ ^{\circ} $范围以内。因此，Miura折痕的数目至少为5层，最小单元角$ \varphi $与弯曲角度$ \alpha_{1} $、层数$ n $之间的关系如图 13所示。

3.3 机械手工作空间分析

该研究中提出的机械手结构是由Kresling和Miura单元组成，如图 14所示。Kresling折痕构成的指段可以简化看作杆件，简化后的杆件长度分别对应指段长度$ l_{i} $（$ i= 1, 2, \cdots, m $）。第$ i $个Miura结构的弯曲角度为$ \alpha_{i} $。

上、下平面必须保持平行，则绕$ Z $轴旋转时会出现线性位移$ \varepsilon_{\rm d} $，即

$ \begin{align} \begin{cases} \varepsilon_{\rm d} =l_{i} -\dfrac{2al_{i} {\pi} -a^{2}l_{i} \varepsilon_{\theta}} {2a{\pi} } \\[5pt] \phi_{i}^{\max} =2\arcsin \dfrac{l_{i} -\varepsilon_{\rm d}} {4R} \\[5pt] d_{i} =l_{i} -2R\sin \dfrac{\phi_{i}} {2} \end{cases} \end{align} $

(21)

由D-H变换矩阵得机械手工作空间为

$ \begin{align} {\rm rot} (x, \varphi_{i} )& = \begin{bmatrix} {c_{1}} & {-s_{1}} & 0 & 0 \\ {s_{1}} & {c_{1}} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} $

(22)

$ \begin{align} {\rm rot} (y, a_{i} )& = \begin{bmatrix} {c_{1}} & 0 & {-s_{1}} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ {-s_{1}} & 0 & {c_{1}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} $

(23)

$ \begin{align} \mathit{\boldsymbol{P}} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & {d_{i} s_{i} c_{i} f_{i} /2} \\ 0 & 1 & 0 & {d_{i} s_{i} s_{i} f_{i} /2} \\ 0 & 0 & 1 & {d_{i} c_{i} f_{i} /2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} $

(24)

$ \begin{align} (x, y, z)&=\prod\limits_{i=1}^m {{\mathit{\boldsymbol{D}}}_{i}} {\mathit{\boldsymbol{\kappa}}} \end{align} $

(25)

式中，$ i= 1, 2, \cdots, m $，代表第$ i $个Kresling结构，$ c_{i} $代表$ \cos \theta_i $，$ s_{i} $代表$ \sin \theta_i $，$ d_{i} $为混合型单元上、下平面间的距离，$ \varepsilon_{\theta} $表示纸张厚度在旋转时产生的微小位移，$ \phi_{i}^{\max} $表示受$ \varepsilon_{\rm d} $影响产生的最大微小角度，$ \kappa =[0, 0, l_{i} , 0] ^{\rm T} $，$ \mathit{\boldsymbol{D}}_{i}= P \times {\rm rot} ( x, \varphi _{i} ) \times {\rm rot} ( y, \alpha_{i}) $。

机械手工作空间如图 15所示。图中点表示机械手末端所到达的位置，越密集表明抓取物体越容易；点较疏的地方则需要通过特定姿态才能实现抓取。从整体来看，该机械手指抓取的范围较广。

3.4 三指机械手抓取动力学分析 3.4.1 指尖抓取动力学分析

在机械手执行抓取任务时，需要考虑抓取的稳定性，下面对机械手进行指尖抓取和手指包络抓取的稳定性分析。机械手的3根手指的结构完全相同，因此这里以单根手指为例进行抓取分析，机械手指尖抓取物体的情形如图 16所示，$ \alpha_{i} $（$ i= 1, 2, 3 $）为Miura折痕的夹角，$ l_{1} $表示手指第1指节的长度，$ \phi _{i{\rm A}} $（$ i =1, 2, 3 $）为指尖平面与目标物体接触点切面的夹角，$ d_{\rm{oj}} $为指尖平面与目标物体的接触点和末关节轴线之间的距离，$ L $表示相邻2根手指的根部间距。

3.4.2 指尖抓取圆柱体时的动力学分析

折纸机械手抓取半径为$ r_{1} $的圆柱体时，根据机械手的尺寸得到半径$ r_{1} $为

$ \begin{align} r_{1} =\, & l_{1} \cos \phi_{123 {\rm A}} -d_{\rm{oj}} +(d_{\rm{oj}} -l_{1} \sin \phi_{1 {\rm A}})\sin \phi_{1{23 {\rm A}}}+ \\ & l_{1} \cos \phi_{23{\rm A}} +\phi_{2{\rm A}} +l_{1} \cos \phi_{1{\rm A}} +L \end{align} $

(26)

3.4.3 指尖抓取长方体时的动力学分析

若抓取物块为长度为$ h $的长方体，则

$ \begin{align} h=\, & 2l_{1} \cos \varUpsilon_{11} +2(d-l_{1} \sin \phi_{1\rm A})\sin \varUpsilon_{11} + \\ & 2l_{1} \cos \varUpsilon_{12} +2l_{1} \cos \phi_{1\rm A} +\frac{3}{2}L-2d_{\rm{oj}} \end{align} $

(27)

式中，$ \varUpsilon_{11}= \phi _{3{\rm A}2{\rm A}} + \phi _{2{\rm A}1{\rm A}} + \phi _{1{\rm A}} $，$ \varUpsilon_{12}= \phi _{3{\rm A}2{\rm A}} + \phi _{1{\rm A}} $，$ \phi _{3{\rm A}2{\rm A}} $表示手指根部相对于中指节的转动角度，$ \phi _{2{\rm A}1{\rm A}} $表示手指中部相对于手指指尖的转动角度，$ \phi _{123{\rm A}}= \phi _{1{\rm A}} + \phi _{2{\rm A}}+\phi _{3{\rm A}} $，$ \phi _{23{\rm A}} = \phi _{2{\rm A}} + \phi _{3{\rm A}} $。

由受力平衡可得单个手指受力$ F_{1} $为

$ \begin{align} F_{1} =\frac{T_{1} \sin \phi_{3{\rm A}}} {r_{1} \cos \phi_{1{\rm A}} +l_{1} (\cos \phi_{2{\rm A}} +\cos \phi_{3\rm A})} \end{align} $

(28)

式中，$ F_{1} $为指尖输出力矩，方向与接触点弧面垂直，$ T_{1} $为驱动电机的输入转矩。

3.4.4 包络抓取长方体时的动力学分析

手指包络抓取长方体的几何模型如图 17所示，由几何关系可以推导出如下角度关系：

$ \begin{align} \begin{cases} \tan \alpha_{1} =\dfrac{a}{\mu_{1} -\psi_{1}} \\[5pt] \tan \zeta_{12} =\dfrac{a-l_{1} \sin \alpha_{1}} {l_{1} \cos \alpha_{1} -\mu_{2} +\psi_{1}} \\[5pt] \tan \zeta_{13} =\dfrac{a+b_{0}} {l_{1} \cos \alpha_{1} -\mu_{3} +\psi_{1}} \end{cases} \end{align} $

(29)

式中，$ b_{0} $为物体外侧面与基关节中点线之间的距离，$ l_{2} $为手指第2指节的长度，$ \alpha_{i} $（$ i= 1, 2, 3 $）为左侧手指第$ i $指节的转角，$ \zeta_{12}={\pi} - \alpha_{1}- \alpha_{2} $，$ \zeta_{13} ={\pi} - \alpha_{1} - \alpha_{2}-\alpha_{3} $，$ \mu_{1} =\dfrac{h_{0}} {2\sin \alpha_{1}} $，$ \mu_{2} =\dfrac{h_{0}} {2\sin \zeta_{12}} $，$ \mu_{3} =\dfrac{h_{0}} {2\sin \zeta_{13}} $，$ \psi_{1} =\dfrac{b_{0} -h}{2} $。

若抓取长度$ h \in ( $40 mm$ , $ 55 mm$ ) $的长方体，利用Matlab软件求解各个角度范围，得出长度不同的物体与关节角度之间的关系，如图 18所示。包络抓取长方体时，第1指节转动角度$ \alpha_{1}\in (72.2 ^{\circ} , 82.6 ^{\circ}) $，第2指节转动角度$ \alpha_{2}\in (74.1 ^{\circ} , 87.1 ^{\circ}) $，第3指节转动角度$ \alpha_{3}\in (70.8 ^{\circ} , 84.5 ^{\circ}) $。手指各个关节的转角范围都在手指转角$ \alpha_{i}\in (0 ^{\circ} , 90 ^{\circ}) $的可行域内，故能实现对长方体的包络抓取。

3.4.5 包络抓取圆柱体时的动力学分析

机械手抓取圆柱体时的情形如图 19所示。$ F_{i} $为第$ i $个手指关节所受的合力，$ \Delta \theta_{i} $为第$ i $个指节的虚转角。

根据机械手的尺寸，可以得出

$ \begin{align} \begin{cases} \tan \alpha_{1} =\dfrac{a}{\mu_{1} -{b_{0}} /2+r/\sin \alpha_{1}} \\[8pt] \varTheta_{12} =\dfrac{l_{1} \sin \alpha_{1} -a-\omega} {\xi -\mu_{2} -\chi} \\[8pt] \varTheta_{123} =-\dfrac{(a+\omega)(2P-rQ)}{\psi -h_{0}} \end{cases} \end{align} $

(30)

式中，$ \varTheta_{12}= \tan( \alpha_{1}+\alpha_{2} ) $，$ \varTheta_{123}= \tan( \alpha_{1}+\alpha_{2}+ \alpha_{3} ) $，$ \xi =b_{0} /2 + l_{1} \cos \alpha_{1} $，$ \chi =r \sin \zeta_{12} $，$ P= \sin \zeta_{13} $，$ \psi =r \cos \zeta_{12} $，$ \omega = r \sin( \alpha_{1}+\alpha_{2} - {\pi} /2) $，$ Q= \cos ( \alpha_{1}+ $ $ \alpha_{2}+\alpha_{3} - {\pi} /2) $。

不同半径的圆柱体与关节角度之间的关系如图 20所示。由图可知，第1指节的转动角度$ \alpha_{1}\in $ $ (72.5 ^{\circ} , 85.7 ^{\circ}) $，第2指节为$ \alpha_{2}\in $ $ (72.1 ^{\circ} , 86.6 ^{\circ}) $，第3指节为$ \alpha_{3}\in $ $ (70.6 ^{\circ} , 80.8 ^{\circ}) $。手指各个关节的转角范围都在手指转角$ \alpha_{i}\in (0 ^{\circ} , 90 ^{\circ}) $可行域内，故能够实现对圆柱体的包络抓取。

根据虚功原理，各外力在所有方向上的代数和为0，即

$ \begin{align} \delta W=\sum _{i=1}^n {F_{i}} \delta r_{i} =0 \end{align} $

(31)

式中，$ \delta W $示为手指各关节整体虚功，$ F_{i} $为第$ i $个手指关节受到的合力，$ \delta r_{i} $为第$ i $个手指关节受力时所产生的微小位移变化。

因为$ \Delta \theta_{1} $、$ \Delta \theta_{2} $和$ \Delta \theta_{3} $线性无关，因此式(31) 在关节基坐标系下可改写为

$ \begin{align} & k_{1} {\Delta} \theta_{1} F_{1} +k_{1} {\Delta} \theta_{1} F_{2} -l_{1} {\Delta} \theta_{1} F_{2} \cos \alpha_{2} + \\ & \;\;\;\;k_{3} {\Delta} \theta_{3} F_{3} -l_{2} {\Delta} \theta_{2} F_{3} \cos (\alpha_{3} -\alpha_{2}) - \\ &\;\;\;\; l_{1} {\Delta} \theta_{1} F_{3} \cos \alpha_{2} +\delta_{\rm s} F_{\rm s} =0 \end{align} $

(32)

$ \begin{align} & \begin{cases} k_{1} F_{1} -l_{1} \cos \alpha_{2} (F_{2} -F_{3})+\dfrac{l_{2} NF_{\rm s}} {\sin \alpha_{1}} =0 \\[5pt] k_{2} F_{2} -l_{2} NF_{\rm s} -\dfrac{l_{2} NF_{\rm s}} {\sin \alpha_{1}} =0 \\[5pt] k_{3} F_{3} -\dfrac{k_{3} NF_{\rm s}} {\sin \alpha_{1}} =0 \end{cases} \end{align} $

(33)

根据式(33) 可得各接触点的压力为

$ \begin{align} \begin{cases} F_{1} =\dfrac{l_{1} \cos \alpha_{1} (1-Nl_{2} +k_{2})-k_{2} l_{2}} {k_{1} k_{2} \sin \alpha_{1}} NF_{\rm s} \\[5pt] F_{2} =\dfrac{(1-N)l_{2}} {k_{2} \sin \alpha_{1}} NF_{\rm s} \\[8pt] F_{3} =\dfrac{-NF_{\rm s}} {\sin \alpha_{1}} \end{cases} \end{align} $

(34)

式中，$ N= \cos( \alpha_{2} - \alpha_{3}) $，$ \delta_{xi} $为沿基关节坐标系$ X $轴方向的位移分量，$ \delta_{yi} $为沿基关节坐标系$ Y $轴方向的位移分量，$ \delta_{zi} $为沿基关节坐标系$ Z $轴方向的位移分量。$ k_{i} $为第$ i $指关节与目标物体的接触点和第$ i $关节之间的距离，$ F_{i} $为第$ i $关节在接触点处对目标物体施加的力，$ \alpha_{i} $表示第$ i $个关节的角度，$ \delta_{\rm s} $为输入力的虚位移，$ F_{\rm s} $为驱动电机的输入力。

设驱动器输入的力$ F_{\rm s}= $ 10 N，各个关节的接触力$ F_{i} $与关节1的角度$ \alpha_1 $如图 21所示。

当$ N= \cos( \alpha_{2} - \alpha_{3}) $不变时，$ F_{1} $随着$ \alpha_{1} $增大而增大；当$ \alpha_{1} $不变时，$ F_{1} $随$ N= \cos( \alpha_{2} - \alpha_{3}) $增大而增大。第2个手指关节接触力$ F_{2} $先增大后减小，接触力$ F_{3} $随着$ N= \cos( \alpha_{2} - \alpha_{3}) $增大而增大。当$ N= $ 0.5时，$ F_{2\max}= $ 46 N。

4 结论（Conclusion）

(1) 提出一种折痕混合型三指机械手，通过对Kresling折痕与Miura折痕开展几何分析，确定了以Kresling折痕为手指指段、以Miura折痕作为手指关节的折纸机械手。

(2) 通过建立混合型单元，确定了采用1层Kresling折痕作为手指的指段，采用5层Miura折痕作为手指的关节，利用D-H法确定了机械手的抓取空间。

(3) 分析了机械手在包络抓取长方体与圆柱体对象时各接触点的压力与关节角度之间的关系，对比发现各接触点的压力随着关节角度的增大而增大。