2022, Vol. 44
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2. 西北工业大学智能机器人研究中心, 陕西 西安 710072
2. Research Center of Intelligent Robotics, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
遥操作技术充分利用了人的智能和机器人的操作能力，很大程度上延伸了人类在遥远、非结构化及危险环境中的感知和操作能力，是深空探测任务中不可或缺的关键技术[1-5]。典型的空间遥操作系统（space teleoperation system，STS）主要由地面运控中心、地面基站、传输链路、空间基站和操作目标等5部分组成[6]，如图 1所示。主端操作者通过传输链路将指令发送给从端机器人，随后从端执行任务并将交互信息传递给主端，但主从端间的信号传输和处理环节都不可避免地会给系统带来时延。
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图 1 空间遥操作系统框架 Fig.1 The architecture of space teleoperation system |
稳定性、透明性及任务执行效能是评价遥操作系统的3大指标[7]。稳定性是确保遥操作系统顺利执行任务的前提，是指当系统遭受时延、不确定性及外部干扰的影响时，依然能够平稳地执行任务。为了降低时延对系统的负面影响，研究者提出了形式多样的控制策略，并取得了丰硕的成果，诸如无源控制[8]、H
受操作窗口时间限制，遥操作机器人需要在有限时间内完成操作任务。而以上提及的控制策略均未考虑系统能否在有限时间内完成在轨操作任务，因此，适应性存在一定不足。有限时间控制策略具有收敛时间短、鲁棒性强及追踪性能好等优点，在遥操作系统中的应用已有先例。为了获取好的位置追踪效果和更短的收敛时间，Yang等[17]将自适应控制和有限时间理论结合取得了较好的暂态和稳态效果；利用积分滑模，Wang等[18]将反步法与鲁棒控制相结合实现了空间遥操作机器人位置和速度误差的有限时间收敛；Zhang等[19]将神经网络和有限时间理论结合，研究了变时延遥操作系统的输入饱和问题；Zhai等[20]针对非线性变时延遥操作系统，提出一种切换控制策略来实现主从位置的有限时间收敛。为了消解时延给系统带来的影响，Shen等[21]利用多智能体中混合类型的反馈信号，设计了一种自适应非奇异终端滑模控制方法，提升了收敛速度，并取得了较好的追踪效果和力感知能力。然而，混合类型反馈信号的引入给系统的稳定性带来了巨大挑战。
此外，空间机器人在执行任务时不可避免地会遇到各种限制条件，此时任务的执行效能和系统的稳定性将会受到影响。如空间机械臂在执行巡视任务时，在通过狭小的空间时不能与周围的物体发生碰撞，因此为了保证操作的安全性，有必要对机器人的关节角和末端位置加以限制。近些年，针对输出约束问题，研究者做了大量工作，提出了诸如预设性能控制[22]、漏斗法控制[23]和障碍李雅普诺夫函数（barrier Lyapunov function，BLF）[24-25]等策略。总体上，以上控制策略大致分为间接法和直接法两类。间接法是将输出约束问题转化为误差约束问题。在遥操作系统中，Yang等[13]利用BLF限制位置误差，进而达到对位置限制的目的。为了解决约束条件下在人机交互中对操作者运动意图的理解问题，Yu等[26]利用传统的BLF约束位置和速度，实现人机交互的安全性。基于BLF策略，Tee等[24-25]设计自适应控制器分别处理了常值输出约束和时变输出约束问题。然而以上研究均存在被控变量的不直观性和输出约束转换为误差约束的保守性问题。为此，Tee等[27]提出了积分障碍李雅普诺夫函数（integral barrier Lyapunov function，IBLF），并结合反步法直接对输出进行约束，使输出限制在预定的区域内；基于IBLF方法，Tang等[28]针对单输入单输出全状态反馈系统，提出了一种自适应神经网络控制方法确保系统状态不会超出边界；随后，Liu等[29]将上述自适应控制策略扩展到多输入多输出非线性系统，解决了系统的全状态约束问题；He等[30]将IBLF方法成功应用到人机交互场景中，提出了一种基于导纳的人机交互控制策略，将机器人的工作空间约束在限定区域内，实现了人与机器人的安全交互。以上基于IBLF方法的控制策略虽然解决了传统BLF控制方法中存在的保守性限制问题，但是状态限制边界为常值约束。因此，研究非线性系统的时变输出约束问题迫在眉睫。Liu等[31]针对该问题首次提出了基于时变IBLF方法的自适应控制方法，成功解决了未知非线性系统的全状态约束问题；但是，上述方法为渐近收敛，无法满足操作窗口时间约束条件。尽管Wei等[32]提出了一种基于IBLF的有限时间控制方法，成功解决了无人飞船位置和速度约束问题，但是该方法针对的是常值约束问题。
因此，本文以受时延、模型不确定性及未知干扰影响的遥操作系统为研究对象，针对操作窗口时间和操作空间受限问题，提出了一种基于IBLF方法的时变输出约束的自适应有限时间控制方法。本文工作的亮点如下：为确保机器人操作的安全性，此方法直接对输出进行限制，同文[26] 相比，克服了间接法存在的不直观现象和保守型限制问题；同时，此方法实现了主从机器人位置的有限时间同步追踪，同文[31] 相比，该方法具有更快的收敛速度；同文[32] 相比，该方法解决了时变输出约束问题，时变边界约束更具有实际意义。最后，为了验证该策略的有效性和可行性，进行了大量的理论仿真和实验。
2 问题描述和基础理论（Problem description and basic theory） 2.1 遥操作系统的动力学遥操作系统由一对3自由度主从机械臂组成，机械臂在关节空间的动力学有如下形式：
| $ \begin{align} &{{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) {{\ddot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j} +{{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}, {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j}) {{ \dot{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j} +{{{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) +{{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}_{j}^{{\rm f}} ({{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j})+ \\ &\; \; \; \; \; {{\delta}} _{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}, {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j}, t)={{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{j} +{{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{\rm T} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) {{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{j{ν}} \end{align} $ | (1) |
式中：
| $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{{\rm e}} ={{{\mathit{\boldsymbol{B}}}}}_{{\rm e}} {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{{\rm s}} +{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{{\rm e}} {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{{\rm s}} +{{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{{\rm e}} \end{equation} $ | (2) |
式中：
| $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{{\rm e}} ={{\varphi}} ^{\rm T}(t){{\theta }}(t) \end{equation} $ | (3) |
机器人在笛卡儿空间和关节空间的转换关系为
| $ \begin{equation} \begin{cases} {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j} ={{{\mathit{\boldsymbol{h}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) \\ {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{j} ={{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) {{ \dot{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j} \\ {{\ddot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{j} ={{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}}}_{j} ({\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}) {{ \dot{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j} +{{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) {{\ddot{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j} \\ \end{cases} \end{equation} $ | (4) |
式中：
| $ \begin{align} &{{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) \ddot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j} + {{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{{\rm x}j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}, {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j}) {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{j} +{ {{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{{\rm x}j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) +{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{{\rm x}j}^{{\rm f}} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}, {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j})+ \\ &{{\delta}} _{{\rm x}j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}, {{ \dot{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}, t)={{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{{\rm x}j} +{{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{jν} \end{align} $ | (5) |
为了简化起见，
| $ \begin{equation} \!\!\!\!\begin{cases} {{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j} =({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T}{{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T} \\ {{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{{\rm x}j} =({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T}({{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{j} -{{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T}{{\dot{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}){{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}) ({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T} \\ {{{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{{\rm x}j} =({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T}{{{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{j} \\ {{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{{\rm x}j}^{{\rm f}} =({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T}{ {{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}_{j}^{{\rm f}} \\ {{\delta}} _{{\rm x}j} =({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T}{ {\delta}} _{j} \\ {{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{{\rm x}j} =({{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}}_{j}^{-1}) ^{\rm T}{{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{j} \\ \end{cases}\!\!\!\!\!\!\!\! \end{equation} $ | (6) |
属性1：惯量矩阵
属性2：
假设1：
假设2：未知干扰
假设3：时变时延包含两部分且有上界，形式为
神经网络主要用来处理模型的不确定性，它包含输入层、隐含层和输出层，其形式为[30]
| $ \begin{equation} {{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{i} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}})={{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{i}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{i} ({ {{\mathit{\boldsymbol{X}}}}}), \; \; i=1, 2, \cdots, o \end{equation} $ | (7) |
式中：
| $ \begin{equation} s_{k} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}})=\exp \left(-\frac{\left\| {{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}-{{{\mathit{\boldsymbol{c}}}}}_{k} } \right\|^{2}}{b_{k}^{2}}\right) \end{equation} $ | (8) |
式中
| $ \begin{equation} {{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{i} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}})={{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{i}^{\ast {\rm T}} {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{i} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}})+{\varepsilon}_{i} \end{equation} $ | (9) |
假设4：参考信号
引理1[37]：对于非线性系统
| $ \begin{align*} \left\{\!\lim\limits_{t\to T_{{\rm reach}}} {{\varsigma }}\Big|V({{\varsigma}}) \leqslant \min \left\{{\frac{\varXi }{(1\!-\!{\rlap{--} \lambda}) \iota_{1}}, \left({\frac{\varXi }{(1\!-\!{\rlap{--} \lambda}) \iota_{2}}} \right)^{\frac{1}{\xi}}} \right\} \!\right\} \end{align*} $ |
式中
| $ \begin{align*} T_{{\rm reach}} &\leqslant \max \left\{t_{0} +\frac{1}{{\rlap{--} \lambda} \iota_{1} (1-\xi) }\ln \frac{{\rlap{--} \lambda} \iota_{1} V^{1-\xi} ({{\varsigma}} _{0}) +\iota_{2}} {\iota_{2}}, \right. \\ &\qquad\quad\; \; \left.t_{0} +\frac{1}{\iota_{1} (1-\xi) }\ln \frac{\iota_{1} V^{1-\xi }({{\varsigma}} _{0}) +{\rlap{--} \lambda} \iota_{2} }{{\rlap{--} \lambda} \iota_{2}} \right\} \end{align*} $ |
式中
基于IBLF时变输出约束的空间遥操作系统控制框架如图 2所示。主端的位置信号
|
图 2 空间遥操作系统控制框架 Fig.2 Control framework of the space teleoperation system |
为了避免力信号在网络通道直接传输，本文采用神经网络对环境力进行建模，则式(3) 可重写为
| $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{{\rm e}} ={{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{{\rm e}}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{{\rm e}} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_{{\rm e}}) \end{equation} $ | (10) |
式中：
| $ \begin{equation} {{\dot{{ \hat{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}}}_{{\rm e}} =-k_{{\rm e}} {{\varGamma }}_{{\rm e}} {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{{\rm e}} ({{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{{\rm e}}^{\rm T} { { \hat{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{{\rm e}} -{{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{\rm e}^{\rm T}) \end{equation} $ | (11) |
式中：
证明：定义李雅普诺夫函数
| $ \begin{equation} V_{{\rm e}} =\frac{1}{2}{\rm tr}({{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{{\rm e}}^{\rm T} {{\varGamma}} _{{\rm e}}^{-1} {{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{{\rm e}}) \end{equation} $ | (12) |
对
| $ \begin{equation} \dot{{V}}_{{\rm e}} ={\rm tr}({{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{{\rm e}}^{\rm T} {{\varGamma}} _{{\rm e}}^{-1} {{\dot{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}}}_{{\rm e}} )=-k_{{\rm e}} {\rm tr}({{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{{\rm e}}^{\rm T} { {{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{{\rm e}} {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{\rm e}^{\rm T} {{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}})\leqslant 0 \end{equation} $ | (13) |
根据式(8) 中高斯基函数的定义，可知
将式(11) 中的虚拟环境估计参数
| $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{{\rm e}} ={{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{{\rm e}}^{\rm T} (t-T_{{\rm b}} (t)){{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}_{{\rm m}} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_{{\rm m}}) \end{equation} $ | (14) |
式中：
利用
| $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm r}} \ddot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{{\rm m}}^{{\rm r}} +{{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{{\rm r}} \dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{{\rm m}}^{{\rm r}} +{{{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{{\rm r}} =\Im_{1} {{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{{\rm h}} -\Im_{2} {{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{{\rm e}} \end{equation} $ | (15) |
式中：
主端的位置信号
| $ \begin{equation} \begin{cases} {{\dot{{\zeta}}}} _{1} ={{\zeta}} _{2} +c_{1}^{\prime} c_{2}^{\prime} ({{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{{\rm md\ast y}} (t)-{{\zeta}} _{1}) \\ {{\dot{{\zeta}}}} _{2} =c_{1}^{\prime2} c_{3}^{\prime} ({{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{{\rm md\ast y}} (t)-{{\zeta}} _{1}) \\ \end{cases} \end{equation} $ | (16) |
式中：
定义变量：
| $ \begin{equation} \begin{cases} {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{\eta 1} ={{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 2} \\ {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{\eta 2} ={{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j}^{-1} ({{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{{\rm x}j} +{{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{jν} -{{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{{\rm x}j} {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{\eta 2} -\\ \quad {{{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{{\rm x}j} - {{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{{\rm x}j}^{{\rm f}} -{{\delta}}_{{\rm x}j}) \\ \end{cases} \end{equation} $ | (17) |
定义误差变量
| $ \begin{equation} \begin{cases} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} ={{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1} -{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} ={{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 2} -{{\alpha}} _{j1} \\ \end{cases} \end{equation} $ | (18) |
式中：
控制目标：通过设计控制器
虚拟控制量
| $ \begin{align} {{\alpha}} _{j1} &=-\frac{k_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{2\xi_{j} -1} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2\xi_{j} -2} (t)}{ ({{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1} }^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} )^{\xi_{j} -1}}+ \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} }{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{j}^{{\rm r}} \varpi_{j1} +\\ &\quad\; \frac{\dot{{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} -\frac{ {{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} }{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}\dot{{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)\gamma_{j1} -{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \end{align} $ | (19) |
| $ \begin{align} {{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{{\rm x}j} &=-({{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T}) ^{+}\frac{{ {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} - ({{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T}) ^{+}k_{j2} ({{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} { {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j2}} )^{\xi_{j}} -\\ &\quad\; {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j2} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} - {{\hat{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}({{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_{j}) -{{\hat{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \tanh \frac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}} {b_{j}} -{{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{jν} \end{align} $ | (20) |
式(19)(20) 中，变量
| $ \begin{equation} {{\mathit{\boldsymbol{z}}}}^{\rm T}({{\mathit{\boldsymbol{z}}}}^{\rm T})^{+}= \begin{cases} 0, &{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}=\left[{0, 0, \cdots, 0} \right]^{\rm T} \\ 1, &{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}\ne \left[{0, 0, \cdots, 0} \right]^{\rm T} \\ \end{cases} \end{equation} $ | (21) |
设计如下的更新律：
| $ \begin{equation} \begin{cases} {{\dot{{\hat{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}}}_{j} ={{\varLambda}} _{j} ({{ {{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}({{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_{j}) {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} -\chi_{j} { {\hat{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}} ) \\[5pt] {{\dot{{\hat{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}}}} _{j} ={{\varLambda}} _{\beta, j} \left({(\tanh \dfrac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}} {b_{j}}) {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} -\chi_{\beta, j} {{\hat{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}} \right) \\ \end{cases} \end{equation} $ | (22) |
式中，
对误差变量
| $ \begin{equation} {{\dot{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}}_{j1} ={{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{\eta 1} -{{\dot{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}} ={{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} +{{\alpha}} _{j1} -{{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{j}^{{\rm r}} \end{equation} $ | (23) |
为了确保系统输出满足控制目标，选取积分障碍李雅普诺夫函数
| $ \begin{equation} V_{j1} =\int_0^{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} {\frac{{{\sigma}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)- ({{{\sigma }}+{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}}} {\rm d}{{\sigma}} \end{equation} $ | (24) |
由于
| $ \begin{align} \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{\rm T}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}&\leqslant\!V_{j1}\\ &\leqslant\!{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{2} \int_0^1 {\frac{\mu {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-\left({\mu {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} +{\rm{sgn}}({{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j1}) X_{j} (t)} \right)^{2}}{\rm d}} \mu \end{align} $ | (25) |
式中，令
| $ \begin{align} \dot{{V}}_{j1} &=\frac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} {{\dot{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}}_{j1}+\\ &\quad\; {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}}}_{j}^{{\rm r}} \int_0^{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} {\frac{\partial} {\partial {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}}} \frac{{{\sigma}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)- ({{ {\sigma}} +{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}}{\rm d}{{\sigma}}+\\ &\quad\; \dot{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)\int_0^{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} {\frac{\partial} {\partial {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}} \frac{{{\sigma }}{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)- ({{{\sigma}} +{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}}{\rm d}{{\sigma }} \end{align} $ | (26) |
式(26) 中，
| $ \begin{align*} &\int_0^{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} {\frac{\partial} {\partial {{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}}} \frac{{{\sigma}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)- ({{{\sigma}} +{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}}{\rm d}{{\sigma}} \notag\\ =&{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j1} \left({\frac{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} -\varpi_{j1}} \right)\\ &\int_0^{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} {\frac{\partial} {\partial {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}} \frac{{{\sigma}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1} }^{2} (t)- ({{{\sigma}} +{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}}{\rm d}{{\sigma}}\notag\\ =&{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \left( {\frac{-{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} -\gamma_{j1}} \right) \end{align*} $ |
其中，
| $ \begin{align*} \varpi_{j1} &=\frac{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}{2{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} \ln \frac{ \left({{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)+{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}} \right)\left( {{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} \right)}{ \left({{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}} \right) \left({{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)+{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} \right)}\\ \gamma_{j1}&=\frac{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} \ln {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2} }{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-({{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}) ^{2}}} +\\ &\quad\; \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} {2{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} \ln {\frac{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-({{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}} )^{2}}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}}} +\frac{-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} \end{align*} $ |
根据文[31] 可得
| $ \begin{align} \lim\limits_{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \to 0} \varpi_{j1} &=\frac{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-({{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}) ^{2}} \end{align} $ | (27) |
| $ \begin{align} \lim\limits_{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \to 0} \gamma_{j1} &=\frac{({{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}) ^{2}-3{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-({{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}) ^{2}} \end{align} $ | (28) |
将式(19)(27)(28) 代入式(26) 可得：
| $ \begin{align} \dot{{V}}_{j1}&=-\frac{k_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{2\xi_{j}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2\xi_{j}} (t)}{ ({{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{ {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} )^{\xi_{j}}} -\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j1} { {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j1}^{2} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} +\\ &\quad\; \frac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1} }^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} \end{align} $ | (29) |
选取李雅普诺夫函数
| $ \begin{equation} V_{j2} =\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} \end{equation} $ | (30) |
对
| $ \begin{align} \dot{{V}}_{j2}&=\frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}}}_{{\rm x}j} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} +{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j} \dot{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j2} \\ & = {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} ({{{\mathit{\boldsymbol{u}}}}}_{{\rm x}j} +{{{\mathit{\boldsymbol{F}}}}}_{jν} -{{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{{\rm x}j} {{\alpha}} _{j1} -\\ &\quad\; {{{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{{\rm x}j} -{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{{\rm x}j}^{{\rm f}} -{{\dot{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j} {{\alpha}} _{j1} -{{\delta}} _{{\rm x}j}) \end{align} $ | (31) |
式中：
将式(20) 代入式(31) 可得：
| $ \begin{align} \dot{{V}}_{j2} &=-\frac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} k_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{k_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} -k_{j2} \left({{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}} \right)^{\xi_{j}} -{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j2} { {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j2} -\\ &\quad\; {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} \left({{{\delta}} _{{\rm x}j} +{{\hat{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \tanh \frac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} }{b_{j}} -{{\varepsilon}} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_{j}) } \right) \end{align} $ | (32) |
式中，
考虑到
| $ \begin{equation} V_{j3} =\frac{1}{2}{\rm tr}({{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}^{\rm T} {{\varLambda}} _{j}^{-1} {{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}) +\frac{1}{2}{\rm tr}({ { \tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}^{\rm T} {{\varLambda}} _{\beta, j}^{-1} {{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}) \end{equation} $ | (33) |
对
| $ \begin{align} \dot{{V}}_{j3} &={\rm tr}\:({{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}^{\rm T} {{\varLambda}} _{j}^{-1} {{\dot{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}}}_{j}) +{\rm tr}\:({{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}^{\rm T} {{\varLambda}} _{\beta, j}^{-1} { { \dot{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}}}} _{j}) \\ &={\rm tr}\: ({{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}^{\rm T} ({{{\mathit{\boldsymbol{S}}}}}({{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_{j}) {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} -\chi_{j} {{\hat{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}) })+ \\ &\quad\; {\rm tr}\: \left({{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}^{\rm T} \left((\tanh \frac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}} {b_{j}}){{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} -\chi _{\beta, j} {{\hat{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}\right)\right) \end{align} $ | (34) |
设计总的李雅普诺夫函数：
| $ \begin{equation} V_{j} =V_{j1} +V_{j2} +V_{j3} \end{equation} $ | (35) |
对
| $ \begin{align} &{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} ({{\varepsilon}} ({{\mathit{\boldsymbol{X}}}}_{j} )-{{\delta}} _{{\rm x}j}) =\sum\limits_{i=1}^n {{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2i}} \beta _{j, i} \leqslant \lambda_{\beta j} \sum\limits_{i=1}^n {\|{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2i}} \| \end{align} $ | (36) |
| $ \begin{align} &0\leqslant |x|-x\tanh \frac{x}{b}\leqslant 0.2785b, \quad \forall b>0, \; \; x\in {\rm R} \end{align} $ | (37) |
| $ \begin{align} &\!\!\!\!\begin{cases} {-\chi_{j} {\rm tr}({{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}^{\rm T} {{\hat{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}} )\leqslant -\frac{\chi_{j}} {2}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}\|_{F}^{2} +\frac{\chi_{j}} {2}\|{{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}\|_{F}^{2}} \\[6pt] {-\chi_{\beta, j} {\rm tr}({{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}^{{\rm T}} {{\hat{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}} )\leqslant -\frac{\chi_{\beta, j} }{2}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} \|_{F}^{2} +\frac{\chi_{\beta, j} }{2}\|{{\beta}} \|_{F}^{2}} \\ \end{cases}\!\!\!\! \end{align} $ | (38) |
可得
| $ \begin{align} \dot{{V}}_{j} &\leqslant -\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{2} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} -\frac{k_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{2\xi_{j}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2\xi_{j}} (t)}{ ({{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-{ {{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} )^{\xi_{j}}}-\\ &\quad\; {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j2} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} -k_{j2} ({{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}} )^{\xi_{j}} +0.2785n\lambda_{\rm\beta m} b_{\rm m} + \\ &\quad\; \chi_{j} \bigg(-\frac{1}{4}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}^{2} -\frac{1}{4} ({\|{{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F} -\sqrt{\|{{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}}} )^{2} +\\ &\quad\; \frac{1}{4}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F} -\frac{1}{2}\|{ { \tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}^{\frac{3}{2}} +\frac{1}{2}\|{{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}^{2}\bigg)+\\ &\quad\; \chi_{\beta, j} \Bigg(-\frac{1}{4}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|_{F}^{2} -\frac{1}{4} ({\|{{\beta}} _{j} \|_{F} -\sqrt{\|{ {\beta}} _{j} \|_{F}}} )^{2}+\\ &\quad\; \frac{1}{4}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|_{F} -\frac{1}{2}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|_{F}^{\frac{3}{2}} +\frac{1}{2}\|{{\beta}} _{j} \|_{F}^{2}\Bigg) \end{align} $ | (39) |
据文[27] 中的研究，如下不等式成立：
| $ \begin{equation} -\dfrac{k_{j1} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{2} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}}^{2} (t)-{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{\eta 1}^{2}} \leqslant -k_{j1} \int_0^{{ {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}}_{j1}} \dfrac{{{\sigma}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)- ({{{\sigma}} +{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}} {\rm d}{{\sigma}} \end{equation} $ | (40) |
再利用以下杨氏不等式：
| $ \begin{equation} \begin{cases} {\dfrac{1}{4}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F} \leqslant \frac{1}{8}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}^{2} +\frac{1}{8}} \\[6pt] {\dfrac{1}{4}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|_{F} \leqslant \frac{1}{8}\|{ { \tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|_{F}^{2} +\frac{1}{8}} \\ \end{cases} \end{equation} $ | (41) |
将式(40)(41) 代入式(39) 可得：
| $ \begin{align} \dot{{V}}_{j}&\leqslant -{{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j1} \int_0^{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} {\frac{{{\sigma}} {{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{{\rm 1}}} ^{2} (t)\!-\!({{{\sigma}}\!+\!{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}}} {\rm d}{{\sigma}}\! +\!0.2785n\lambda_{\beta j} b_{j}- \\ &\quad\; k_{j1} \left({\int_0^{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} {\frac{{{\sigma }}{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)}{{{\mathit{\boldsymbol{k}}}}_{{\rm c}_{1}} ^{2} (t)-( {{{\sigma}} +{{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}}_{j}^{{\rm r}}} )^{2}}} {\rm d}{ {\sigma}}} \right)^{\xi_{j}} -\\ &\quad\; \frac{\chi_{\beta, j}} {8}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|_{F}^{2} -{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j2} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} -k_{j2} \left({{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}^{\rm T} {{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}} \right)^{\xi_{j}} - \\ &\quad\; \frac{\chi_{j}} {8}\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}^{2}-\frac{\chi_{j}} {2} ({\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}^{2} } )^{\frac{3}{4}}-\frac{\chi_{\beta, j}} {2} ({\|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|_{F}^{2}} )^{\frac{3}{4}}+ \\ &\quad\; \chi_{j} \left({\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\left\|{{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \right\|_{F}^{2}} \right)+\chi_{\beta, j} \left( {\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\|{{\beta}} _{j} \|_{F}^{2}} \right) \\ &\leqslant -\iota_{j3}^{1} V_{j3} -\iota_{j3}^{2} V_{j3}^{\xi_{j}} +\varXi _{j3} \end{align} $ | (42) |
式中，
| $ \begin{align*} &\iota_{j3}^{1} =\min \Bigg\{\lambda_{\min} ({{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j1} ), \frac{2\lambda_{\min} ({{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j2}) }{\lambda_{\max} ({{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j}) }, \\ & \quad \frac{\chi_{j}} {4\lambda_{\max} ({{{\varLambda}} _{j}^{-1}} )}, \frac{\chi_{\beta, j}} {4\lambda_{\max} ({{{\varLambda}} _{\beta, j}^{-1}} )} \Bigg\}\\ &\iota_{j3}^{2}=\min \left\{{k_{j1}, \frac{(2)^{\xi_{j}} k_{j2} }{(\lambda^{\ast}) ^{\xi_{j}}}, \frac{2^{^{{-1}/4}}\chi_{j}} {\lambda _{\max} ^{3/4} ({{\varLambda}} _{j}^{-1}) }, \frac{2^{{-1}/4}\chi _{\beta, j}} {\lambda_{\max}^{3/4} ({{\varLambda}} _{\beta, j}^{-1} )}}\right\} \\ &\varXi_{j3} =\chi_{j} \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\|{{{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|_{F}^{2} \right)+\chi_{\beta, j} \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\|{{\beta}} _{j} \|_{F}^{2}\right) +\\ & \quad 0.2785n\lambda_{\beta j} b_{j} \end{align*} $ |
定理1：针对非线性遥操作系统式(5)，如果初始条件满足
| $ \begin{align*} &{ \varDelta}_{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}} =\{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \in {\rm R}^{3\times 1}\Big| \|{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \|\leqslant \sqrt{2\varXi_{j}} \}\\ &{ \varDelta}_{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2}} =\Big\{{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} \in {\rm R}^{3\times 1}\Big| \|{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j2} \|\leqslant \sqrt{{2\varXi_{j} }/{\lambda_{\min} ({{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{{\rm x}j}) }} \Big\}\\ &{ \varDelta}_{{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j}} =\Big\{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}_{j} \in {\rm R}^{l\times n}\Big| \|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{W}}}}}_{j} \|\leq \sqrt{{2\varXi_{j}}/{\lambda_{\min} ({{\varLambda}} _{j}^{-1}) }} \Big\}\\ &{ \varDelta}_{{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j}} =\Big\{{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \in {\rm R}^{l\times n}\Big| \|{{\tilde{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}}} _{j} \|\leqslant \sqrt{{2\varXi_{j}}/{\lambda_{\min} ({ {\varLambda}} _{\beta, j}^{-1}) }} \Big\} \end{align*} $ |
证明：根据不等式(25) 可得：
| $ \begin{align*} \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{\rm T}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \leqslant V_{j1} \end{align*} $ |
据引理1可得，当
| $ \begin{align*} V_{j} \leqslant \min \left\{{\frac{\varXi_{j3}} {(1-{\rlap{--} \lambda} )\iota_{j3}^{1}}, \left({\frac{\varXi_{j3} }{(1-{\rlap{--} \lambda}) \iota_{j3}^{2}}} \right)^{\frac{1}{\xi_{j}}}} \right\} \end{align*} $ |
再根据式(30)(33) 可得：
| $ \begin{align*} \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1}^{\rm T}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{j1} \leqslant V_{jh} \leqslant \min \left\{{\frac{\varXi _{j3}} {(1-{\rlap{--} \lambda}) \iota_{j3}^{1}}, \left( {\frac{\varXi_{j3}} {(1-{\rlap{--} \lambda}) \iota_{j3}^{2}}} \right)^{\frac{1}{\xi_{j}}}} \right\} \end{align*} $ |
式中
| $ \begin{align*} \varXi_{j}=\min \{{{\varXi_{j3}}/({(1-{\rlap{--} \lambda} )\iota_{j3}^{1}}), ({{\varXi_{j3}}/({(1-\varXi_{j3}) \iota_{j3}^{2}})} )^{1/{\xi_{j}}}}\} \end{align*} $ |
则定理1得证。
注1：在从端，利用神经网络对环境参数进行估计；在主端，利用环境估计参数重建从端的环境力，从而实现主端的操作者对从端的环境力感知。
注2：针对非线性遥操作系统式(5)，本文所提出的控制方法同文[31]（时变约束）和文[30]（常值约束）方法中
为了从理论仿真角度验证算法的有效性，本研究采用一对3自由度的Phantom Omni机器人作为研究对象，其动力学参数设置见表 1，数学模型为[40]
| $ \begin{align*} {{{\mathit{\boldsymbol{M}}}}}_{j} &= \begin{bmatrix} {m_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & {m_{22}} & {m_{23}} \\ 0 & {m_{32}} & {m_{33}} \\ \end{bmatrix}, \; \; {{{\mathit{\boldsymbol{g}}}}}_{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ {\theta_{5} gc_{2} +\theta_{6} gc_{23}} \\ {\theta_{6} gc_{23}} \\ \end{bmatrix}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{C}}}}}_{j} &= \begin{bmatrix} {-a_{1} \dot{{q}}_{2}} & {-a_{1} \dot{{q}}_{1}} & {-a_{2} \dot{{q}}_{1}} \\ {a_{1} \dot{{q}}_{1}} & {-a_{3} \dot{{q}}_{3}} & {-a_{3} (\dot{{q}}_{2} +\dot{{q}}_{3}) } \\ {-a_{2} \dot{{q}}_{1}} & {a_{3} \dot{{q}}_{2}} & 0 \\ \end{bmatrix} \end{align*} $ |
|
表 1 Phantom Omni装置的动力学参数 Tab. 1 Dynamic parameters of the Phantom Omni device |
式中：
| $ \begin{align*} &m_{11} =\theta_{1} +\theta_{2} c_{2}^{2} +\theta_{3} c_{23}^{2} +2\theta _{4} c_{2} c_{23}\\ &m_{22} =\theta_{2} +\theta_{3} +2\theta_{4} c_{3}, \; \; m_{23} =m_{32} =\theta_{3} +\theta_{4} c_{3}\\ &m_{33} =\theta_{3}, \; \; c_{2\times 23} =\cos (2q_{2} +q_{3}) \\ &a_{1} =\theta_{2} c_{2} s_{2} +\theta_{3} c_{23} s_{23} +\theta_{4} c_{2\times 23}\\ &a_{2} =\theta_{3} c_{23} s_{23} +\theta_{3} c_{2} s_{23} \\ &a_{3} =\theta_{4} s_{3}, \; \; s_{2} =\sin q_{2}, \; \; c_{2} =\cos q_{2}, \; \; s_{3} =\sin q_{3}\\ &c_{3} =\cos q_{3}, \; \; s_{23} =\sin (q_{2} +q_{3}), \; \; c_{23} =\cos (q_{2} +q_{3}) \end{align*} $ |
滤波器参数为：
| $ \begin{align*} &T_{{\rm f}} =0.5+0.001\sin (18t)+0.01\sin (16t)+\\ &\quad\quad0.015\sin (13t)s \\ &T_{{\rm b}} =0.35+0.008\sin (17t)+0.012\sin(12t)s\\ &{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}_{j}^{{\rm f}} ({{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j}) =0.3\left({\tanh (0.6{\rm d}{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}_{j}) -\tanh (0.1{\rm d}{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}_{j}) } \right)+\\ & \quad 0.2\tanh (0.4{\rm d}{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}_{j})+0.1{\rm d}{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}_{j}\\ &{{\delta}} _{j} ({{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}_{j}, {{\dot{{{\mathit{\boldsymbol{q}}}}}}}_{j}, t)=\big[0.1q_{j1} dq_{j1} \sin t, \\ &\; 0.1q_{j2} dq_{j2} \sin t, \; 0.1q_{j3} dq_{j3} \sin t\big] \end{align*} $ |
分别为摩擦力和外部扰动，后续理论仿真环节将依据此模型展开。
4.2 理论仿真在仿真阶段，设定操作力
| $ \begin{align*} k_{j1} &=0.45, \; k_{j2} =2.85, \; b_{j}=20, \; \; \chi_{j} =\chi_{\beta, j} =0.001\\ {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j1} &={\rm diag\:}(5, 5, 5), \; {{{\mathit{\boldsymbol{K}}}}}_{j2} ={\rm diag\:}(5, 5, 5), \; \xi_{j} =0.595\\ {{\varLambda}} _{\beta, j} &={\rm diag\:}(350, 400, 450), \; \; {{\varGamma }}_{{\rm e}} ={\rm diag\:}(50, 50, 50) \end{align*} $ |
在从端，利用神经网络估计环境参数并将其传递到主端。假设从端能很好地跟踪主端的位置信息，因此，利用虚拟的环境参数和主端的运动信息可实现对环境力的重建。真实环境力和重建环境力轨迹如图 3所示，其重建效果良好，但是二者轨迹存在一定的相位差，这是由于从端的环境参数需要经
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图 3 环境力重建和时变时延 Fig.3 Environment force reconstruction and time-varying delay |
主从端机器人对参考轨迹的追踪效果见图 4和图 5，图 6为主从机器人相对于参考轨迹的跟踪误差，图 7为控制输入。由图 4~图 6可得：基于时变输出的有限时间控制器可以保证主从机器人对参考轨迹的有限时间追踪，其轨迹不会超出设定边界，追踪误差收敛在较小的域内，同时控制输入大小符合机器人的实际输出。在仿真初级阶段，从端的跟踪效果较主端差，这是因为在
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图 4 仿真过程中x-y轴上的追踪效果 Fig.4 Tracking effect in the x-y axes during the simulation |
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图 5 仿真过程中z轴和3D空间的追踪效果 Fig.5 Tracking effect in the z axis and 3D space during the simulation |
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图 6 仿真过程中x-y-z轴上的追踪误差 Fig.6 Tracking deviation in the x-y-z axes during the simulation |
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图 7 仿真过程中本文方法的控制输入 Fig.7 Control input of the proposed method during the simulation |
为验证本文控制器的可行性并凸显其优点，将此方法和其他研究成果进行对比，见表 2。表 2中，文[30] 和文[31] 均采用直接法来处理约束问题，但文[31] 针对的是时变约束问题；对比文[26] 和文[32] 的方法，文[32] 采用直接法来处理约束问题，且收敛速度较文[26] 方法要快。本研究选取文[31] 和文[32] 的方法进行理论仿真对比。同时，为确保理论仿真结果的有效性，分别从2种情形分析：其一，在各种控制力矩相当的情况下，对比控制精度和收敛速度；其二，在控制精度及收敛速度相当的情况下，对比各控制器的力矩大小。在仿真阶段以上2种情形下机器人的初始位置和速度均相同，各种不确定性及外部干扰均相同。
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表 2 方法对比 Tab. 2 The comparison of methods |
情形1：文[31] 方法的主要控制参数为：
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图 9 文[31] 方法在z轴和3D空间的追踪效果 Fig.9 Tracking effect in the z axis and 3D space by the method in literature [31] |
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图 11 文[32] 方法在z轴和3D空间的追踪效果 Fig.11 Tracking effect in the z axis and 3D space by the method in literature [32] |
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图 12 文[31] 方法在x-y-z轴上的追踪误差 Fig.12 Tracking deviation in the x-y-z axes by the method in literature [31] |
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图 13 文[32] 方法在x-y-z轴上的追踪误差 Fig.13 Tracking deviation in the x-y-z axes by the method in literature [32] |
由图 6和图 12可得，与文[31] 方法相比，本文方法可确保主从端机器人在
情形2：以本文控制精度为标准，文[31] 所采用方法的主要控制参数为：
由图 14可得，在稳态误差相当的情况下，在系统稳定后，文[31] 方法的控制输入较为平滑且稳定在
综合以上2种情形，本文方法较文[31] 和文[32] 的方法在稳态误差和收敛速度上均有一定程度的提升，即该方法在理论上具有一定的有效性。
4.3 实验结果为了进一步验证该算法的可靠性，本研究利用2台Phantom Omni机器人搭建简易的地面遥操作实验平台，如图 16所示。主从机器人通过局域网连接，其采样频率均为1000 Hz, 采取Matlab软件中的可视化仿真工具Simulink和C语言联合编程的思想，具体思路如下：利用C语言调用机器人的应用程序接口（application programming interface，API）获取位置和速度等信息，在Simulink中搭建控制器，然后将控制器的输出施加在机器人关节角上，驱动其追踪参考轨迹，实验结果见图 17~图 20。由于Phantom Omni机器人末端没有力传感器，所以本文研究采取半实物仿真，即在Simulink中构建虚拟环境力，
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图 16 遥操作系统实验平台 Fig.16 Experimental platform of the teleoperation system |
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图 17 本文方法在x-y轴的追踪效果 Fig.17 Tracking effect in the x-y axes by the proposed method |
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图 18 本文方法在z轴和3D空间的追踪效果 Fig.18 Tracking effect in the z axis and 3D space by the proposed method |
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图 19 本文方法在x-y-z轴上的追踪误差 Fig.19 Tracking deviation in the x-y-z axes by the proposed method |
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图 20 本文方法的控制输入 Fig.20 Control input of the proposed method |
从图 17和图 18中可看出，在
针对空间遥操作系统中存在的操作时间和操作空间约束问题，本文提出了一种基于IBLF时变输出约束的有限时间控制方法，实现了主从端位置的有限时间同步追踪，且保证了系统的输出不会超出时变边界。本文研究与传统的BLF方法相比，更加直观，与常值约束相比，更加贴合实际。但是，本研究也存在一定的不足：其一，实验平台较真实的空间遥操作系统有一定差距；其二，由于时延的存在，主端无法实时感受到从端和环境之间的交互力。针对以上不足，未来的工作将尽可能地模拟空间微重力环境，研发空间飘浮基座的从端遥操作子系统，进一步验证该控制算法；同时，也将利用Unity3D平台构建从端的虚拟视景，进一步提高遥操作系统的可操作性和透明性。
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