0 引　言

减振一直是工程技术领域中具有挑战性和实用性的课题之一。尤其是低频、超低频、宽频带的振动控制已成为前沿问题，吸引了学者们的广泛关注。其中，弹性波超材料作为一种新型的特殊周期结构，具有优异的低频和宽带波衰减特性。近年来，超材料的相关力学性能和结构单元设计研究成为学术界的热点。学者们发现，弹性波在周期性复合介质中传播，会产生弹性波带隙，从而达到阻止某一频带内机械波和声波传播的效果^{[1 − 3]}。

超材料中存在2种产生带隙的机制，即Bragg散射型（BS）和局域共振型（LR）^[4]。前者主要受结构的周期性控制，当入射弹性波的波长接近结构的特征长度（晶格常数）时，它会被结构强烈散射；后者主要由单个散射体的共振特性决定，局域共振超材料可以突破结构特征长度的限制，使用非常小的尺度来控制长波信号，从而为控制较小尺度结构的低频振动提供理论依据。尽管局域共振超材料可以产生较低的带隙，但往往带隙宽度较窄，且复杂的振子结构增加了制造难度和成本，较大的振子还会影响结构的轻量化设计。因此，如何设计具有低频宽带减振特性的超材料是一个值得研究的课题。

周期刚架结构通常由细长的梁/杆组成，具有高刚度/强度、均匀的内力分布和优异的轻量化性能，在空间可折展机构中有着广泛的应用。值得注意的是，此类轻量化杆系结构的工程应用不仅限于空间机构，桁架结构在船舶工程中具有广泛应用^[5]，典型应用场景涵盖多层甲板系统、甲板支撑架构、桅杆结构及压载舱舱壁加强体系^[6]。此类结构在服役过程中诱发的振动能量集中分布于低频域，其低频振动抑制问题构成船舶结构动力学领域的关键技术挑战，在实际工程实现中，为满足空间约束、载荷传递及振动控制等多维度需求，常采用多层铺设的拓扑构型对结构进行优化设计。本文聚焦该攻关方向，旨在通过带隙调控技术拓展此类多层结构的低频振动主动控制策略。在周期刚架结构的动力学建模过程中，通常需要考虑单元的轴向力、扭转力和横向剪切力，以确保模型的准确性。学者们已经提出了多种方法来研究周期刚架结构的带隙特性。Wu等^{[7 - 8]}使用谱元法（SEM）建立了二维和三维周期桁架结构的动力学模型，频响曲线中的低谷清晰地揭示了高频区域的Bragg带隙。Zuo等^[9]使用实验测试方法验证了平面周期刚架结构中振动带隙的存在。基于以上结果，Lu等^[10]设计了功能梯度刚架结构，以实现与传统均质刚架结构相比更宽的带隙，但仍无法突破Bragg带隙只能在高频区域出现的局限性。传递矩阵法（TMM）也是对周期刚架结构动力学建模的经典理论方法，其可以方便地与Bloch定理相结合，求解单胞的色散结构，确定带隙位置^[11]。此外，Phani等^[12]利用Floquet-Bloch原理研究了平面波在无限二维周期晶格中的传播，使用有限元法（FEM）将每个晶胞进行组装，并通过求解波传播的特征值问题获得能带结构。以往学者的研究证明Bragg散射型超材料具有较宽的带隙范围，对弹性波有很好的抑制效果，但若要实现低频带隙，往往需要设计一个大的散射体，这在实际工程结构设计中往往具有较大难度，所以需要引入新的方法降低Bragg带隙频率。

凝聚物理领域针对拓扑绝缘体的声子晶体拓扑性质研究中发现打破空间对称性能导致能带在折叠点打开，这为声学超材料设计提供了新思路。Zhou等^[13]通过设计分段变截面梁得到了连续系统的表面态特征，不仅成功地观察到了能带折叠现象，而且利用能带折叠锥型图确定了模态转换频率对应的转换点。Zhang等^[14]设计了一种三维磁弹性拓扑绝缘体，可以通过调节磁场或预应力来控制拓扑绝缘体的工作频率和波的传播路径。其在调节过程中打破了空间对称性，实现了拓扑相变，进而打开能带折叠点，产生了额外的带隙。在此基础上，Guo等^[15]将该思想引入到复合材料结构设计中，通过调整夹芯梁单胞的杆件截面尺寸，使得具有不同杆件截面半径的单胞交替阵列，获得了一种可以实现低频宽带减振特性的新型声子晶体夹芯梁。然而，目前还没有学者探究能带折叠思想是否适用于周期刚架结构设计，以获得良好的振动带隙特性。

因此，本文将打破结构空间对称性产生额外带隙的思想引入周期桁架结构中，试图解决Bragg散射型超材料难以产生低频宽带带隙这一困难。本文设计了一种新型声子晶体刚架结构，将预变形桁架结构引入传统的X型周期刚架结构，实现低频振动带隙的拓宽。利用有限元数值仿真计算了该结构的色散结构，并通过谱元法建立理论模型进行频响分析，验证有限元模型的正确性。最后，研究了杆件倾角和截面半径等参数对振动带隙的影响。

1 新型声子晶体刚架结构色散分析

传统的X型周期刚架结构由若干单胞周期阵列组成，基于声子晶体理论，这种周期性刚架结构具有Bragg散射特性，这意味着它将阻止弹性波在特定频率范围内的传播。然而，由于结构尺寸的限制，难以实现低频宽带振动带隙，这对刚架结构在日益复杂的激励环境中的应用提出了挑战。因此，为了拓宽周期刚架结构在低频范围内的带隙，本文提出一种新型声子晶体刚架结构。如图1所示，该结构的单胞由一个X型刚架和一个预变形刚架组成，进而沿着轴向周期阵列组成整体结构。

本文的研究基础是将X型桁架结构以一定角度弯折作为对称性破缺的影响因素来实现额外带隙的产生。图2(a)是构成传统X型周期刚架结构的2个相同单胞，其中每个X型桁架结构由6根杆组成，而横杆长度为斜杆长度的$ \sqrt{2} $倍。图2(b)是本文所提新型声子晶体刚架结构的单胞，该单胞由X型桁架和预变形桁架结构组合而成。值得一提的是，新型声子晶体刚架结构预变形部分斜杆长度与X型周期刚架结构不同，而其余参数均相同。其中单胞长度L=1 m，倾角α=15°，杆的圆截面半径r=0.03 m，杨氏模量E=210×10⁹ GPa，材料密度ρ=7800 kg/m³，泊松比ν=0.3。

在有限元软件Comsol中施加Bloch-Floquet周期边界条件，从0到π/a扫描Bloch波矢量q^* 以获得能带结构，其中a是晶格常数。此外，应该说明波矢q^*在以下所有能带结构中归一化为0～1。通过Bloch定理可以得到无限长刚架结构的能带结构。如图3(b)所示，得到新型声子晶体刚架结构的能带结构，注意到在1500 Hz以内产生了3个带隙。具体频率范围分别为558.77～755.38 Hz、853.41～933.54 Hz、1085.31～1121.79 Hz。作为对比，同样计算了X型刚架结构单胞的能带结构，如图3(a)所示。不难发现，X型结构在1500 Hz以内只有一个带隙，具体频率范围约为854.51～1130.55 Hz。基于能带结构计算结果，传统X型结构在该频段范围内只产生一个带隙，并出现2个能带折叠点，而新型声子晶体刚架结构会在前者所产生带隙的基础上额外产生2个新的带隙，即将2个能带折叠点打开，并且带隙整体会向低频区域移动，此现象与Guo等^[15]通过设计声子晶体夹芯梁结构得到的结论相一致。事实上，杆件弯折会降低结构的等效刚度，导致刚架结构的整体固有频率降低。因此，原生带隙频率降低且变窄符合Bragg散射型声子晶体的特点。

2 振动透射率分析

为了验证新型声子晶体刚架结构的带隙特性，分别用谱元法和有限元法来计算结构的振动透射率曲线。

新型声子晶体刚架结构的单胞可以简化为如图4所示。利用谱元法进行动力学模型，通过节点力与节点位移之间的关系，可以得到结构精确的频域解。

轴向振动杆的偏微分运动方程为：

$ EA\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial {x}^{2}}-\rho A\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial {t}^{2}}=0 。$

(1)

式中：u(x, t)为轴向位移；E为材料的杨氏模量；ρ为杆的密度。式(1)的通解可假设为：

$ u(x,t)=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}{U}_{Rn}(x,{\omega }_{n}){{\mathrm{e}}}^{i{{\omega }_{n}}t}。$

(2)

式中：U_Rn(x,ω_n)为轴向位移的频谱分量；ω_n为杆件的圆频率。

将式(2)代入式(1)，每一个离散频率ω_n的特征值问题可以表示为：

$ {U}_{R}(x)={B}_{1}{{\mathrm{e}}}^{-i{{k}_{L}}x}+{B}_{2}{{\mathrm{e}}}^{i{{k}_{L}}x} 。$

(3)

式中：$ k_L=\omega\sqrt{\rho/E} $为波矢数，B₁和B₂均与频率有关，由杆的节点位移决定。

用U_R1和U_R2表示杆件两端节点的位移，可表示为：

$ {\boldsymbol{d}}_{R}={\left[\begin{array}{cc} {U}_{R1} & {U}_{R2} \end{array}\right]}^{\mathrm{{T}}}={\left[\begin{array}{cc} {U}_{R}(0) & {U}_{R}(L) \end{array}\right]}^{\mathrm{{T}}}。$

(4)

可以得到：

$ {U}_{R}(x)={N}_{R1}{U}_{R1}\text+{N}_{R2}{U}_{R2}。$

(5)

式中：N_R1(x,ω)=csc(k_LL)sin(K_L(L-x)和N_R2(x,ω)= csc(k_LL)sin(k_Lx)均为形函数，且与频率有关。

类似地，杆单元两端的节点力可以用矩阵形式表示为：

$ {\boldsymbol{f}}_{c}(\omega )={\left[\begin{array}{cc} {N}_{R1} & {N}_{R2} \end{array}\right]}^{\mathrm{{T}}}={\left[\begin{array}{cc} {N}_{R}(0) & {N}_{R}(L) \end{array}\right]}^{\mathrm{{T}}}。$

(6)

根据节点力和节点位移的关系S_R(ω)d_R=f_c(ω)可以得到杆单元的刚度矩阵：

$ {\mathbf{S}}_{R}(\omega )=\frac{EA{k}_{L}}{\sin ({k}_{L}L)}\left[\begin{matrix} \cos ({k}_{L}L) & -1\\ -1 & \cos ({k}_{L}L) \end{matrix} \right] 。$

(7)

同理，通过谱表示法也可以推导出梁单元的对应关系。Timoshenko梁的横向位移和转角可以表示为：

$ {w}_{B}(x,t)=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}{W}_{n}(x,{\omega }_{n}){{\mathrm{e}}}^{i{{\omega }_{n}}t} ，$

(8)

$ {\theta }_{B}(x,t)=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}{\mathit{\Theta }}_{n}(x,{\omega }_{n}){{\mathrm{e}}}^{i{{\omega }_{n}}t}。$

(9)

Timoshenko梁单元的偏微分振动方程为：

$ \kappa AG\left(\frac{\partial \theta (x,t)}{\partial x}-\frac{{\partial }^{2}{w}_{B}(x,t)}{\partial {x}^{2}}\right)=\rho A\frac{{\partial }^{2}{w}_{B}((x,t)}{\partial {t}^{2}} ，$

(10)

$ EI\frac{{\partial }^{2}\theta (x,t)}{\partial {x}^{2}} + \kappa GA\left(\frac{\partial {w}_{B}(x,t)}{\partial x} - \theta (x,t)\right) = \rho I\frac{{\partial }^{2}\theta (x,t)}{\partial {t}^{2}}。$

(11)

式中：κ为截面形状参数；G为剪切模量；A为截面面积；I为截面的截面惯性矩。

假设W(x)=Re^−ikx和ϴ(x)=γRe^−ikx，式(10)和式(11)的通解可表示为：

$ W(x,\omega )={R}_{1}{{\mathrm{e}}}^{-i{{k}_{t}}x}+{R}_{2}{{\mathrm{e}}}^{i{{k}_{t}}x}+{R}_{3}{{\mathrm{e}}}^{-i{{k}_{e}}x}+{R}_{4}{{\mathrm{e}}}^{i{{k}_{e}}x}，$

(12)

$ \mathit{\Theta }(x,\omega )={\gamma }_{1}{R}_{1}{{\mathrm{e}}}^{-i{{k}_{t}}x}+{\gamma }_{2}{R}_{2}{{\mathrm{e}}}^{i{{k}_{t}}x}+{\gamma }_{3}{R}_{3}{{\mathrm{e}}}^{-i{{k}_{e}}x}+ {\gamma }_{4}{R}_{4}{{\mathrm{e}}}^{i{{k}_{e}}x}。$

(13)

式中：R和k均为取决于ω的系数。

梁两端的节点位移和转角分别写为：

$ {\boldsymbol{d}}_{B}=\left[\begin{array}{c} {W}_{1}\\ {\mathit{\Theta }}_{1}\\ {W}_{2}\\ {\mathit{\Theta }}_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} W(0)\\ \mathit{\Theta }(0)\\ W(L)\\ \mathit{\Theta }(L) \end{array}\right]。$

(14)

类似地，剪力和弯矩表示为：

$ Q=\kappa GA\left(\frac{\partial W}{\partial x}-\mathit{\Theta }\right)，$

(15)

$ M=EI\frac{\partial \mathit{\Theta }}{\partial x}。$

(16)

梁的节点力可以表示为：

$ {\boldsymbol{f}}_{B}=\left[\begin{array}{c} {Q}_{1}\\ {M}_{1}\\ {Q}_{2}\\ {M}_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -Q(0)\\ -M(0)\\ Q(L)\\ M(L) \end{array}\right]。$

(17)

然后可以得到端点位移与力之间的关系：

$ {\boldsymbol{S}}_{B}(\omega ){\boldsymbol{d}}_{B}={\boldsymbol{f}}_{B}。$

(18)

式中：S_B(ω)为Timoshenko梁单元的刚度矩阵。

随后，S_R(ω)和S_B(ω)组装成单胞结构刚度矩阵。利用有限元矩阵组装方法，可以得到各单胞结构在全局坐标系下的刚度矩阵。进而可得新型声子晶体刚架结构的节点位移与节点力的关系为：

$ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{S}(\omega )\boldsymbol{U}。$

(19)

式中：S(ω)为新型声子晶体刚架结构的总刚度矩阵；F和U分别为结构整体的节点力和位移。求解式(19)，可进行结构振动透射率计算。

同时，本文利用Comsol中的梁物理场计算刚架结构的振动透射率，其对应的有限元模型如图5所示。在悬臂梁固支端施加简谐激励，分别拾取自由端和固支端位移的变化，并将两者的比值取对数，得到透射率曲线。定义频响透射率Γ为：

$ {\bf{\Gamma}} {\text{=log}}_{10}\frac{{d}_{\mathrm{free}}}{{d}_{\mathrm{clamped}}} 。$

(20)

式中：d_clamped和d_free分别为固支端点和自由端点在z方向的位移。

通过谱元法和有限元法分别对新型声子晶体刚架结构的透射率进行计算，结果如图6所示。可以发现二者结果吻合较好，证明了建模和分析过程的正确性。值得一提的是，由于进行色散分析和频响分析时使用的物理场不同，所以色散结果与透射率结果存在一定的误差，尤其在高频区域较为明显，但整体带隙趋势一致，而且有限元仿真的网格划分影响了计算结果的精度，仿真中完整网格包含了160个边单元，网格数相对较少导致高频结果精度变差，但是计算速度也会因计算量的减小而变快，仿真中的网格数量是权衡计算结果之后选择的合适数量。图7中结构模态显示外激励频率位于带隙内（f=700 Hz）的振动经过几个周期后被抑制，证明了结构振动抑制效果。

3 数值讨论

通过打开能带折叠点，新型声子晶体刚架结构已经可以产生比X型周期刚架结构频率更低的带隙和更多的带隙。为了满足各种设计要求，有必要对其几何参数进行分析。因此，进一步研究倾斜角度α的变化对带隙的影响。随着α从0变大，结构的透射率计算结果如图8所示。

可知，随着α从0增加，新型声子晶体刚架结构的带隙整体向低频移动，这是由于折叠角度的增加降低了梁结构的刚度，因此固有频率逐渐向低频移动。此外，可以发现3个带隙全部得到了拓宽，说明预变形桁架结构与X型桁架结构的差异越大，越容易产生宽频带隙。其中，α=0时，实际上等同于传统的X型周期刚架结构，即没有产生额外的带隙。

此外，还研究了杆的截面半径r变化对结构带隙特性的影响。取r在0.055～0.065 m范围内变化，计算结构带隙结果。如图9所示，图中3个区域代表了1500 Hz频率范围内新型声子晶体刚架结构的3个带隙。可以看出，随着r逐渐变大，3个带隙均向着高频移动，因为杆的半径变大也使得结构的整体刚度提高。同时第二带隙即原生带隙变宽，而第一、第三带隙有逐渐变窄的趋势。

4 结　语

新型声子晶体刚架结构通过将部分梁单元折弯，与传统的X型刚架结构区别开来。通过分析色散关系，发现并解释了能带折叠现象。本文提出的结构可以打破空间对称性，进而在色散结构中打开能带折叠点，产生新的带隙。通过谱元法和有限元法计算振动透射率验证了其带隙特性，并在此基础上，讨论了杆件折弯角α和截面半径r对带隙特性的影响。研究结果总结如下：

1）通过分析X型周期刚架结构和新型声子晶体刚架结构的色散关系，发现前者会产生1个带隙和2个能带折叠点，而后者产生3个带隙。说明可以通过结构设计打破空间对称性来打开能带折叠点从而产生额外带隙，实现宽频减振，且带隙频率更低。

2）分别利用谱元法和有限元法计算了新型声子晶体刚架结构的振动透射率，二者结果吻合良好，证明了建模和分析过程的有效性。

3）随着α逐渐增大，结构整体的刚度减小，3个带隙均向低频移动，且得到了一定的拓宽；反之，随着r逐渐增大，3个带隙均向高频区域移动。

总体而言，本文工作可为周期刚架结构实现低频宽带振动抑制提供一种设计思路。