0 引　言

船舶在海上航行时，受风、浪、流等复杂海洋环境的共同作用，通常会产生六自由度运动^{[1 − 2]}。其中，横摇运动不仅容易导致货物移位或损坏，降低船舶作业效率，还可能引发乘客晕船，进而威胁乘员的健康与安全^[3]。船舶横摇控制是船舶运动控制的重点组成部分^[4]。特别是在遭遇强风浪等极端海况时，船舶的横摇幅度可能显著增大，严重时甚至会导致船舶失去稳性，诱发倾覆等灾难性后果^[5]。因此，深入研究并有效降低船舶横摇幅度，对于提升船舶航行安全性、可靠性和舒适性具有重要意义和实际价值。

船舶横摇控制是保障船舶航行安全与稳性的关键环节，目前已开发出多种减摇设备，包括减摇鳍、减摇舵、减摇水舱和减摇陀螺等。其中，减摇鳍作为主动控制装置，其减摇率高达90%以上^[6]，在船舶工程中得到有效应用。相关学者针对减摇鳍的控制策略开展深入探索，取得了显著进展。Luo等^[7]提出一种基于前馈神经网络的自适应鲁棒控制器，使用鳍对船舶横摇运动进行控制。Xu等^[3]基于减摇鳍和深度强化学习算法，研究了零速船舶的减摇控制方法。通过槽模实验和强制横摇装置，建立了鳍的船舶横摇控制系统模型，并基于深度强化学习算法，提出根据实时横摇信号优化鳍的控制策略。Huang等^[8]通过集成短期运动预测、力估计和鳍角分配，优化主动鳍的攻角，有效降低了船舶纵摇和横摇运动的幅值，数值模拟与实验结果均验证了其在多种海况下的优异稳定性能。

船舶运动控制方法包括比例-积分-微分（Proportion Integral Differential，PID）控制、滑膜控制（Sliding Mode Control，SMC）和模糊控制等^[9]。其中，在处理非线性控制方面问题时，使用反步法设计控制器具有独特优势^[10]，并受到众多研究人员的极大关注。例如，Zhang等^[11]基于反步法设计了一种船舶航向保持控制器，有效降低了船舶在海浪干扰下的航向偏差。Jin等^[12]使用反步法和SMC设计了一种鲁棒的船舶鳍稳定器控制器，有效抑制了六级海况下的横摇运动，显著降低了横摇角振幅。通常，反步法设计的控制器为PD形式，可以使用闭环增益成形算法（Closed-Loop Gain Shaping Algorithm，CGSA）确定其参数^[13]。

然而，船舶在实际航行中其外部环境参数及自身动态特性通常随时间变化，导致初始确定的控制器参数难以维持长期稳定性。因此，可以采用智能优化算法对控制器的参数进行优化从而达到自适应控制的目的。

径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）凭借其出色的非线性识别能力和自适应特性，在船舶运动控制领域的应用尤为突出^{[14 − 16]}。Sun等^[6]针对传统鳍式减摇装置实际减摇效果低于理论设计的问题，提出一种新型升力反馈控制系统，并结合RBFNN对系统不确定性进行在线估计。李荣辉等^[17]提出一种基于欧拉迭代的模型预测控制算法，用于解决欠驱动船舶路径跟踪问题，结合MMG模型和RBFNN补偿风流干扰，有效处理舵角约束，实现精确路径跟踪。

针对船舶航行中的横摇运动，本文提出使用RBFNN优化反步法设计的控制律，用于实现高效的自适应鳍减摇控制。以经过归一化处理的船舶横摇角度和横摇角速度作为RBFNN的输入，动态调节控制器的参数，从而实现对船舶横摇运动的实时自适应控制。为验证所提控制器的减摇性能，本文在随机波条件下进行仿真分析，以验证其控制效果与鲁棒性。

1 船舶横摇运动

在船舶减横摇控制研究中，为降低数学建模的复杂性并提高计算效率，常将六自由度模型简化为仅考虑横摇的单自由度模型^[18]。单自由度模型通常以横摇角及其角速度为核心变量，通过简化的动力学方程描述船舶在波浪作用下的横摇响应，计算式为：

$ \begin{split}& ({I}_{xx}+{J}_{xx})\ddot{\varphi }+{\delta }_{N}\dot{\varphi }+{\delta }_{W}\dot{\varphi }\left| \dot{\varphi }\right| + \\ &\qquad \Delta GM\varphi\left[1-\left(\frac{\varphi }{{\varphi }_{v}}\right)^{2}\right]={M}_{c}+{M}_{W}，\end{split} $

(1)

$ {I}_{xx}+{J}_{xx}=\frac{\Delta{B}^{2}}{g}{\left(0.3085+\frac{0.0227B}{d}-\frac{0.00043L}{100}\right)}^{2}，$

(2)

$ {\delta }_{N}=2{n}_{1}\sqrt{\Delta GM({I}_{xx}+{J}_{xx})}/\text{π}，$

(3)

$ {\delta }_{W}=3{n}_{2}({I}_{xx}+{J}_{xx})/4 ，$

(4)

$ {M}_{c}=-\rho {v}^{2}{A}_{f}{l}_{f}C_{L}^{a}({a}_{f}+GM+\dot{\varphi }{l}_{f}/v) 。$

(5)

式中：$ \varphi $为船舶的横摇角度；$ {I}_{xx} $和$ {J}_{xx} $分别为惯性矩和相对于垂直轴重心的附加惯性矩；$ {\delta }_{N} $和$ {\delta }_{W} $均为横摇运动的阻尼系数；$ \Delta $为船舶排水量；$ GM $为初稳性高度；$ {\varphi }_{v} $为船舶进水角；$ {M}_{c} $为由鳍稳定器引起的控制力矩；$ {M}_{W} $为作用在船舶上的波浪力矩；$ L $为船舶两柱间长；$ B $为船舶宽度；$ d $为船舶吃水；$ g $为重力加速度；$ {n}_{1} $和$ {n}_{2} $均为检验系数；$ \rho $为水的密度；$ v $为船速；$ {A}_{f} $为减摇鳍面积；$ {l}_{f} $为减摇鳍的作用力臂；$ C_{L}^{a} $为减摇鳍升力系数斜率；$ {a}_{f} $为减摇鳍的旋转角度；$ {a}_{e} $为有效波角。有：

$ \ddot{\varphi }={a}_{1}\varphi +{a}_{2}{\varphi }^{3}+{a}_{3}\dot{\varphi }+{a}_{4}\dot{\varphi }\left| \dot{\varphi }\right| +b{a}_{f}+{f}_{w} 。$

(6)

式中：$ {a}_{1} = -\displaystyle\frac{\Delta GM}{{I}_{xx}+{J}_{xx}} $, $ {a}_{2}=\displaystyle\frac{\Delta GM}{\varphi _{v}^{2}({I}_{xx}+{J}_{xx})} $, $ {a}_{3} = - \displaystyle\frac{{\delta }_{N}}{{I}_{xx}+{J}_{xx}}- \displaystyle\frac{\rho {v}^{2}{A}_{f}l_{f}^{2}C_{L}^{a}}{({I}_{xx}+{J}_{xx})v} $, $ {a}_{4}=-\displaystyle\frac{{\delta }_{W}}{{I}_{xx}+{J}_{xx}} $, $ b=-\displaystyle\frac{\rho {v}^{2}{A}_{f}{l}_{f}C_{L}^{a}}{{I}_{xx}+{J}_{xx}} $, $ {f}_{w} $为海浪干扰。

2 控制系统设计 2.1 控制器设计

定义状态变量$ {x}_{1}=\varphi $,$ {x}_{2}=\dot{\varphi } $，则式(6)的状态空间方程为：

$ \left\{\begin{aligned} &{\dot{x}}_{1}={x}_{2}，\\ &{\dot{x}}_{2}=f({x}_{1},{x}_{2})+bu+w。\end{aligned}\right.$

(7)

式中：$ f({x}_{1},{x}_{2})\;=\;{a}_{1}\varphi +{a}_{2}{\varphi }^{3}+{a}_{3}\dot{\varphi }+{a}_{4}\dot{\varphi }\left| \dot{\varphi }\right| $，$ u\;=\;{a}_{f} $，$ w={f}_{w} $。

本文采用反步法设计鳍减摇控制系统，步骤为：

步骤1　设计虚拟控制量

将$ {x}_{2} $视为虚拟控制量$ \alpha $，目标是使$ {x}_{1}\rightarrow 0 $，定义误差：$ {z}_{1}={x}_{1}-{x}_{1d} $，期望$ {x}_{1d}=0 $，即$ {z}_{1}={x}_{1} $。构造Lyapunov 函数：

$ {V}_{1}=\frac{1}{2}z_{1}^{2} 。$

(8)

对$ {V}_{\text{1}} $进行求导：

$ {\dot{V}}_{1}={z}_{1}{\dot{z}}_{1}={z}_{1}{x}_{2}。$

(9)

为了使$ {\dot{V}}_{1} = {k}_{1}z_{1}^{2},\;{k}_{1}>\text{0} $，设计虚拟控制量$ \alpha = -{k}_{1}{z}_{1} $，则$ \;{\dot{V}}_{\text{1}}=-{k}_{1}z_{1}^{2}＜0 $。

步骤2　设计实际控制律

定义第2个误差$ {z}_{2}={x}_{2}-\alpha $，则：

$ {\dot{z}}_{1}={z}_{2}+\alpha 。$

(10)

代入状态方程，有：

$ {\dot{z}}_{2}={\dot{x}}_{2}-\dot{\alpha }=f({x}_{1},{x}_{2})+bu+w-\dot{\alpha }。$

(11)

构造第2个Lyapunov函数：

$ {V}_{2}={V}_{1}+\frac{1}{2}z_{2}^{2}。$

(12)

对$ {V}_{\text{2}} $进行求导：

$ {\dot{V}}_{2}={\dot{V}}_{1}+{z}_{2}{\dot{z}}_{2} ，$

(13)

$ {\dot{V}}_{2}={z}_{1}({z}_{2}+\alpha )+{z}_{2}\left[f({x}_{1},{x}_{2})+bu+w-\dot{\alpha }\right]。$

(14)

为使$ {\dot{V}}_{2}\leqslant 0 $，设计$ {\dot{z}}_{2}=-{x}_{1}-{k}_{2}{z}_{2},\;{k}_{2}＞\text{0} $，则：

$ f({x}_{1},{x}_{2})+bu+w-\dot{\alpha }=-{x}_{1}-{k}_{2}{z}_{2}。$

(15)

重新计算$ {\dot{V}}_{2} $，得：

$ {\dot{V}}_{2}={z}_{1}({z}_{2}+\alpha )+{z}_{2}(-{x}_{1}-{k}_{2}{z}_{2})=-{k}_{1}x_{1}^{2}-{k}_{2}z_{2}^{2}\leqslant 0。$

(16)

由于$ {k}_{1}＞0 $，$ {k}_{2}＞\text{0} $，$ {\dot{V}}_{2}\leqslant \text{0} $，且仅当$ {x}_{1}=0 $，$ {z}_{2}=0 $时$ {\dot{V}}_{2}\text{=0} $。

故得出控制律$ u $为：

$ u=\frac{1}{b}[-f({x}_{1},{x}_{2})-w-(1+{k}_{1}{k}_{2}){x}_{1}-({k}_{1}+{k}_{2}){x}_{2}] 。$

(17)

控制律的本质是通过PD型控制器$ {u}_{{\rm{PD}}} $来补偿系统的线性或非线性并稳定控制回路：

$ u=-\frac{1}{b}[f({x}_{1},{x}_{2})+w+{u}_{{\rm{PD}}}]。$

(18)

2.2 控制参数确定

根据CGSA^[19]，当系统的闭环传函频谱的关门斜率取−20 dB/dec时的控制器设计，补灵敏度函数T的奇异值曲线可近似构造为最大奇异值为1的一阶惯性系统的频谱曲线，即$ T=1/({T}_{1}s+1) $。通过被控对象G及闭环系统的带宽频率$ 1/{T}_{1} $，可推导出基于CGSA的控制器C：

$ C=\frac{1}{G{T}_{1}s}。$

(19)

式中：G为被控对象的传递函数，忽略式(6)中的非线性项，可得：

$ G(s)=\frac{b}{{s}^{2}-{a}_{3}s-{a}_{1}}。$

(20)

将式(20)代入式(19)即可得到PID控制器。

$ C=-\frac{{a}_{3}}{b{T}_{1}}-\frac{{a}_{1}}{b{T}_{1}s}\text+\frac{s}{b{T}_{1}}={K}_{P}+{K}_{I}\frac{1}{s}+{K}_{D}s。$

(21)

式中：$ {K}_{P}=-\displaystyle\frac{{a}_{3}}{b{T}_{1}} $，$ {K}_{I}=-\displaystyle\frac{{a}_{1}}{b{T}_{1}} $，$ {K}_{D}=\displaystyle\frac{1}{b{T}_{1}} $。

控制律已经保证了稳态误差为0。因此，可以忽略积分项$ {K}_{I}\displaystyle\frac{1}{s} $，仅保留PD控制器：

$ {U}_{{\rm{PD}}}={K}_{P}+{K}_{D}s=-\frac{{a}_{3}}{bT}+\frac{1}{bT}s 。$

(22)

2.3 控制参数优化

RBFNN是一种以径向基函数作为隐含层激活函数的3层前馈神经网络，因其结构简单、对非线性关系的强适应性以及高效的局部逼近能力^{[20 − 21]}，在控制优化、时间序列预测等领域展现出优越性能。本文采用RBFNN自适应优化PD控制器的参数（$ {K}_{P} $和$ {K}_{D} $），以提升船舶在复杂波浪干扰下的减摇控制。本文采用高斯函数作为径向基函数，计算式为：

$ \phi (x,c)=\exp \left(-\frac{{\left|\left|x-c\right|\right|}^{2}}{2{\sigma }^{2}}\right)。$

(23)

式中：$ c $为神经元的中心；$ \sigma $为网络的扩展参数；$ x $为输入数据点。

使用最小二乘算法对RBFNN的权重进行优化^[22]，以适应船舶非线性动态和时变波浪干扰的影响。在权重优化过程中，最小二乘法用于根据实时控制误差动态更新神经网络权重，其更新公式如式(24)所示。利用优化后的权重矩阵，RBFNN根据当前横摇角度和角速度的输入状态，生成适合当前工况的参数值，以提升减摇控制的鲁棒性和精度，如式(25)所示。

$ W={({\phi _{{\rm{test}}}^{{\rm{T}}}}{{\phi }_{{\rm{test}}}})}^{-1}\phi _{{\rm{test}}}^{{\rm{T}}}\widehat{Y}，$

(24)

$ \widehat{Y}={\phi }_{{\rm{test}}}W 。$

(25)

式中：$ W $为神经网络的权重；$ {\phi }_{{\rm{test}}} $为设计矩阵；$ \widehat{Y} $为输出值。

本文使用RBFNN优化基于反步法推导获得的PD型控制器的参数$ {K}_{P} $和$ {K}_{D} $，用于船舶鳍减摇控制。将经过归一化处理的船舶横摇角度$ {x}_{1}{}^{+} $和横摇角速度$ {x}_{2}{}^{+} $作为网络输入，RBFNN动态调整PD控制器的参数，提升系统对复杂海况的适应性，确保高效非线性映射。本文所提的船舶鳍减摇控制系统如图1所示。

3 数值模拟

为验证本文所提RBFNN-PD控制器的减摇控制性能，模拟在随机波环境下进行船舶鳍减摇控制仿真试验。以一艘集装箱船为例进行船舶鳍减摇控制。在设计航速下，采用四阶Runge-Kutta法对船舶横摇响应状态进行分析。集装箱船的相关参数如表1所示^[23]。

为验证本文所提减摇控制系统的性能，并真实模拟海洋环境中的外部扰动，采用Pierson-Moskowitz谱模拟船舶在随机波浪中进行减摇控制仿真。其中，设置波高为3.5 m，船舶与波浪遭遇角为30°，航速设定为7.71 m/s。设置RBFNN的神经元为8，中心均匀分布在[−0.5,0.5]，宽度为0.5；取$ {T}_{1}=\text{1/3} $^[24]。船舶初始横摇角度设定为10°，仿真进行300 s。减摇鳍的输出角度饱和值限制在±20°，以模拟实际工程约束。图2为横摇角度的变化曲线和减摇鳍的输出角度轨迹。图3为参数$ {K}_{P} $和$ {K}_{D} $的变化过程。

根据图2可以看出，船舶在随机波浪扰动激励作用下并且未采取减摇控制措施时表现出显著的横摇运动。然而，当引入RBFNN-PD控制器进行主动减摇控制后，船舶的横摇运动被显著抑制，最大横摇角度被有效降低至较低水平。体现出RBFNN-PD控制器对船舶横摇运动的良好控制性能。图3进一步展示了RBFNN-PD在运行过程中关键参数的动态优化过程。具体而言，控制器通过RBFNN的自适应调整，能够快速收敛至适应外部波浪扰动的参数值。这一快速响应的参数优化过程确保了控制器能够实时适应波浪环境的变化，从而高效地实现减摇控制的目的。图3曲线清晰地反映了参数调整的稳定性和高效性，表明RBFNN的智能优化能力可显著提升控制器的性能，展现出良好的自适应性。

为验证本文所提RBFNN-PD控制器的有效性，使用基于反步法推导及CGSA确定参数的PD型控制器和具有非线性适应性的SMC^[12]，与本文所提的控制器进行船舶减摇仿真对比。图4为各控制器进行减摇控制的横摇角度与鳍角变化对比曲线，表2给出了相关的减摇指标数值对比。

通过图4可知，RBFNN-PD比PD和SMC能够较快地减小横摇角度至0°附近，并且启动减摇后整体减摇效果均比PD和SMC显著。表2数据表明，RBFNN-PD展现出较高的减摇率，在随机波浪环境进行300 s的仿真中，RBFNN-PD、PD和SMC的减摇率分别为94.08%、93.05%和92.03%。RBFNN-PD控制器展现出良好的减摇性能，能够根据外部波浪干扰自适应调整参数进行减摇控制，对比未使用RBFNN优化而基于反步法推导的PD控制器，其减摇率提高了1.03%。在未使用减摇控制时，平均横摇角度为5.6970°，而使用RBFNN-PD进行减摇控制时，平均横摇角度降低至0.1165°，这一大幅度的角度减小不仅反映了控制器对横摇运动的强抑制能力，还进一步证明了其在提高船舶抗风浪能力、保障航行安全方面的应用潜力。

仿真结果表明，本文所提的RBFNN-PD控制器不仅能够根据外部波浪环境自适应调整控制器的参数，相较于传统控制方法，RBFNN-PD控制器展现出更快的动态响应和更高的控制精确度。该控制器展现出优异的稳定性和鲁棒性，能够有效抵御外部扰动，确保系统的可靠运行。

4 结　语

本文提出一种基于RBFNN优化PD控制律的自适应控制方法。通过反步法设计获得PD型控制器，并使用闭环增益成形算法确定初始PD参数值；引入RBFNN对PD控制律的参数进行优化，以实现自适应控制。其中，将经过归一化处理的船舶横摇角度和横摇角速度作为RBFNN的输入，实时输出优化参数。在随机波条件下，验证了所设计控制器的减摇效果。仿真结果表明，本文所提的控制器融合了神经网络的智能优化能力与反步法的非线性控制能力，显著提升了减摇控制性能，减摇率大于94%，展现出高效且自适应的控制特性。未来，将进一步探讨该控制器在极端海况下的适用性与鲁棒性，并扩展至多自由度模型的控制应用。