0 引　言

甚低频频段（Very Low Frequency，VLF）凭借其独特的传播特性和抗干扰能力，在水下、导航、科研及军事等多个领域发挥着重要作用^[1]，目前，甚低频通信广泛应用于舰船传感器网络的信息传输和潜艇通信^[2]。但甚低频频段带宽很窄，导致常用的调制技术无法满足日益增长的通信需求。在此背景下，超窄带（Ultra Narrow Band，UNB）调制技术作为一种新兴的调制方式^[3]，因其极窄的频带占用和高效的频谱利用特性，逐渐受到关注。

多元位置相移键控（M-ary position phase shift keying，MPPSK）作为一种UNB调制技术由Chen等^[4]提出，能够在有限的频谱资源中实现更高的信息传输效率。目前，MPPSK的主流解调算法有基于特殊冲击滤波（Special Impacting Filter，SIF）和匹配滤波器（Matched Filter，MF）的解调算法^{[5 - 7]}，这些算法在高斯白噪声信道下，可以获得良好的性能，但是在非高斯信道中，性能存在较大的损失，甚至会导致通信系统失效。

因此，本文提出一种基于非线性削波-反向传播（Back Propagation，BP）的双隐藏层感知机的解调器，下文使用多层感知机（Multi-Layer Perceptron，MLP）指代双隐藏层感知机。该解调器经过基于alpha稳定分布的脉冲噪声信道模拟数据集训练后，相比于传统算法，在脉冲噪声信道和混合噪声信道中均具有较强的鲁棒性，解决了MPPSK解调传统算法在脉冲噪声信道中几乎失效的问题，提高了低信噪比下解调器的鲁棒性。

本研究的意义在于，为甚低频通信系统在复杂噪声环境下的信号解调提供了一种新的解决方案，提升了超窄带调制解调系统在实际应用中的可靠性和传输效率。

1 信号模型 1.1 超窄带调制信号

扩展的二元相移键控（Extended Binary Phase Shift Keying，EBPSK）调制由经典的二元相移键控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）扩展而来的^[8]。为了扩展传输效率，根据符号决定相位跳变的位置，由此得到了MPPSK。波形定义如下。

${s(t) = \left\{ \begin{aligned} &A\sin(2\text{π} f_c t), 0 \leqslant t \leqslant NT_c, k = 0 ，\\ & \begin{cases} A\sin(2\text{π} f_c t), 0 \leqslant t \leqslant (k-1)NT_c \\ B\sin(2\text{π} f_c t + \theta), (k-1)KT_c \leqslant t \leqslant kKT_c,1 \leqslant k \leqslant M-1。\\ A\sin(2\text{π} f_c t), kKT_c \leqslant t \leqslant NT_c \end{cases} \end{aligned}\right.}$

(1)

式中：f_c为载波频率；T_c为载波周期；K为符号跳变的周期数；N为一个符号占用的总周期数；A、B均为信号幅度，通常选择A=B。对比相同符号率的PSK信号，其功率谱密度高度集中在载波附近，提高了频谱利用率。

1.2 基于α稳定分布的脉冲噪声

在VLF通信系统中，遇到的环境噪声等并不符合高斯白噪声的分布，而呈现典型的脉冲特性^[9]，所以本研究使用脉冲噪声对信道进行建模。α稳定分布模型因为其统计分布的稳定性和代数拖尾性^[10]，被广泛应用于脉冲噪声的描述。

脉冲噪声的幅度和时间都是随机的，可以表示为：

$ {n}_{p}(t)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{+{\infty }}{a}_{i}\delta (t-{\tau }_{i})。$

(2)

式中：以n_p(t)作为脉冲噪声的时域表示，a_i作为脉冲噪声的幅度，δ(t)为冲击函数。

通常使用特征函数$ \varphi\left(w\right) $表示脉冲噪声^[11]：

$ \varphi (w)={{\rm{e}}}^{-\left| \gamma w\right| \alpha }。$

(3)

式中：γ为分散系数，对应于高斯分布中的方差；α为特征指数。

由此推导出其概率密度函数（Probability Density Function，PDF）为：

$ {f}_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\text{π} }\int\varphi (w){{\rm{e}}}^{jwt}{\mathrm{d}}t。$

(4)

式中：α取值范围为（1，2），当α=2时，退化为高斯分布，当α=1时，退化为柯西分布。从概率可得，α越小，脉冲噪声出现的频率和幅度都会越大，所以α越小，信道条件越恶劣，对通信系统的影响也会越大。

2 基于BP-MLP的解调器

甚低频无线通信系统如图1所示。甚低频通信系统主要的损失来自于天线的窄带滤波效应和信道的噪声干扰。

为了使无线信号能够在极窄的有限带宽信道中传输，并且为了保证不对其他相邻频段信号产生干扰，在发射天线前会使用窄带滤波器对信号带宽进行进一步压缩，该频带压缩会引入码间串扰（Inter-Symbol InTerference, ISI）。

由于ISI导致接收端信号特征难以提取，传统算法通常使用SIF对信号进行滤波，放大相位跳变位置信息，但在非高斯信道下，该方法存在很大的性能损失；对于脉冲噪声导致的信号幅度畸变，通常使用置零或者限幅法对信号进行处理，但会引入非线性干扰。基于以上2个问题，本文提出了基于数据预处理-多隐藏层的神经网络的解调算法，如图2所示。

2.1 数据预处理

训练数据的预处理是基于神经网络的解调算法的重要步骤，在基于高斯噪声信道的神经网络解调算法中，通常使用归一化对数据进行预处理。

然而在脉冲噪声信道中，直接对数据进行归一化并不适用，因为脉冲噪声极值在归一化后会抑制正常的信号幅度，考虑到脉冲噪声中可能出现极端幅值，若直接输入至网络训练，则会导致训练模型泛化性能下降。所以，本文提出在数据预处理中使用非线性削波结合归一化的操作，使得信号和噪声特征得以有效的保留，让MLP模型可以有效的训练。

发送端的信号经过窄带天线和噪声信道后，可以被描述为：

$ {s}_{r}(t)=s(t)\otimes h(t)+{n}_{p}(t)。$

(5)

式中：s_r(t)为接收端信号；s(t)为原始的发送端信号；h(t)为线性系统的冲击响应，在本文中，用窄带滤波器模拟窄带天线对信号的影响，h(t)为窄带滤波器的冲击响应；n_p(t)为加性噪声，在本文中，根据仿真信道环境不同，n_p(t)为脉冲噪声或者脉冲噪声与高斯白噪声的混合噪声。

对接收端经过模数转换后的信号用s_r(n)表示，非线性削波算法表示如下：

$ s_{\mathrm{clipper}}(n) = \left\{\begin{aligned} &-C, s_r(n) \leqslant -C ，\\ &s_r(n), |s_r(n)| \leqslant C ，\\ &C, s_r(n) \gt C。\end{aligned}\right.$

(6)

式中：C为削波门限，由相对削波门限C_ratio和信号功率的平均值决定：

$ C={C}_{{\rm{ratio}}}\times \overline{{s}_{r}(n)} 。$

(7)

考虑到数据预处理和发射端窄带滤波天线引入的非线性干扰，后续需要在MLP中引入非线性激活函数对非线性干扰拟合，才能有效地消除噪声。

2.2 基于BP-MLP的解调器原理

本文提出了使用基于2层隐藏层的BP神经网络，通过双曲正切激活函数（hyperbolic tangent sigmoid，tan-sigmoid）引入非线性，能够很好地解决传统算法在脉冲噪声信道下几乎失效的问题，同时具有较强的鲁棒性，在不同的脉冲噪声和混合噪声下可以稳定解调。

隐藏层节点的激活函数使用tan-sigmoid函数，相比于原始的Log-sigmoid函数，其值域扩展为（−1，1），可以包含更多的信息量，同时，sigmoid函数可以在FPGA中采用查找表的方式实现^[12]，便于实际场景应用。其数学表达式为：

$ f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}。$

(8)

推导其导数为：

$ f'(x)=\frac{4}{(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})^2}=\frac{1}{\cosh^2(x)}。$

(9)

通过tan-sigmoid函数的导数可以看出, 其在输入值为0附近时，梯度更大，具备更好的收敛表现。

隐藏层神经元的输入为：

$ ne{t}_{j}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{{N}_{net}}{w}_{ij}\times {x}_{i}+{b}_{j}。$

(10)

式中：x_i为上一隐藏层或输入层的输出；w_ij为第i个神经元向第j个神经元传递的权重；b_j为第j个神经元的偏置。由此可得隐藏层神经元的输出为：

$ f(ne{t}_{j}) = f\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{{N}_{net}}{w}_{ij} \times {x}_{i} + {b}_{j} \right) = \frac{\sinh \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{{N}_{net}}{w}_{ij} \times {x}_{i} + {b}_{j}\right)}{\cosh \left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{{N}_{net}}{w}_{ij} \times {x}_{i} + {b}_{j}\right)}。$

(11)

BP神经网络通过链式法则计算损失函数相对于每个权重w_ij的梯度。本文选取缩放共轭梯度算法（Scaled Conjugate Gradient, SCG）对权重进行优化，步骤如下：

步骤1　初始化网络和权重；

步骤2　计算当前迭代梯度g_k，更新平均梯度；

步骤3　生成新的搜索方向d_k；

步骤4　执行一维搜索，找到最佳步长α_k；

步骤5　更新权重参数w_k+1;

步骤6　重复步骤2～步骤5，直到收敛或者达到最大迭代次数。

其中，定义损失函数为L(y)，可得第k次的梯度：

$ {g}_{k}=\nabla L({w}_{k}) 。$

(12)

搜索方向d_k和下一次的权重表示如下：

$ {d}_{k}=-\overline{{g}_{k}}+{\beta }_{k}\times {d}_{k-1}，$

(13)

$ {w}_{k+1}={w}_{k}+{\alpha }_{k}{d}_{k}。$

(14)

3 仿真与分析

为了验证本文提出的算法，在Matlab平台进行仿真。

研究使用带宽为50 Hz的巴特沃斯（Butterworth）滤波器对发射天线进行建模。设计带通滤波器参数如下：发射中心频率f_c=20 kHz，3 dB截止频率分别为f₁=19.95 kHz，f₂=20.05 kHz。

设置MPPSK的符号速率R_s=50 Hz，得到MPPSK经过窄带带通滤波器前后的频谱对比如图3所示。可以看出，由于该带通滤波器通带很窄，所以在中心频率附近就开始急速衰落，导致调制信号的旁瓣和部分主瓣衰落，造成严重的ISI。为了解决这个问题，传统算法会在接收端使用特殊的滤波器进行ISI的抑制与符号特征的放大。

文献[5]中所提出的基于冲击滤波器的解调算法是目前常用的一种解调方式，在高斯白噪声信道下具有良好的解调效果，可以有效地对抗窄带天线带来的码间串扰，在下文和仿真中以传统算法指代。

MPPSK的调制参数配置如表1所示。

由于脉冲噪声的二阶矩不具备闭式表达，所以传统的基于方差的信噪比公式并不适用。当α<2时，基于α稳定分布的脉冲噪声功率为：

$ {S}_{0}=\gamma {C}_{g}{}^{1/\alpha -1}。$

(15)

其中，C_g为常数，有

$ {C}_{g}=\exp ({C}_{e})=1.78。$

(16)

使用几何信噪比来计算脉冲噪声在信道中的强度，可得修正E_s/N₀为：

$ \frac{{E}_{{s}}}{{N}_{0}}=\frac{{T}_{s}{f}_{s}}{2}\cdot \frac{{P}_{s}}{2{C}_{g}{S}_{0}{}^{2}}。$

(17)

式中：T_s为一个符号持续时间；f_S表示采样频率。后续仿真中，无多余说明的情况下E_s/N₀即表示修正E_s/N₀。

数据预处理中非线性削波的门限会影响神经网络解调器的解调能力。如果门限设置过大，会导致归一化后信号功率太小，神经网络无法有效的学习到信号的特征；如果门限设置太小，则会过多的滤除脉冲噪声的特性，神经网络无法有效的拟合脉冲噪声。因为实际场景中信道的信噪比情况通常是未知的，仅有大致范围可供参考，为贴合实际场景，使用预期最差的信道环境对随机生成的训练数据进行加噪，即使用E_s/N₀为−4 dB的数据集进行训练。

仿真关键参数如表2所示。

对所构建的基于多隐藏层网络的解调器进行仿真，在E_s/N₀<0时，使用数量级为10⁵的符号集进行仿真，在E_s/N₀>0时，使用数量级为10⁸的符号集进行仿真，该数量级可以保证[10⁻¹,10⁻⁵]区间内误码曲线可靠。

在不同的脉冲噪声信道条件下，同一门限设置也会有不同的表现。如图4所示，在α=1.5的脉冲噪声信道，传统算法在[−4 dB,6 dB]的低信噪比区间，解调几乎失效，而本文提出的基于多隐藏层BP网络的解调算法，无论削波门限的选择如何，在低信噪比下都具有较强的鲁棒性。在α=1.5的信道条件，当E_s/N₀<0 dB时，3种门限误码表现基本相同；当E_s/N₀>0 dB时，选择相对削波门限为1.5则优势更为明显，在误符号率为10⁻³时，选择C=1.5优于C=1.1的解调器0.5 dB，优于C=1.3的解调器0.75 dB。而相对门限C=1.5优于更小的2个相对门限也证明了神经网络需要一些带有脉冲噪声特征数据点训练，才能更好地拟合非线性的干扰。

考虑到削波门限和神经网络学习的耦合性，较低的门限会减少脉冲噪声的干扰，但对噪声及非线性干扰的学习收益则会降低；太高的门限则无法有效学习信号特征。对于C=1.3的解调器，其耦合性在α=1.5的信道条件较差，噪声和信号都无法达到很好的学习收益，所以误码曲线在E_s/N₀>0 dB时的下降相比于其他2个门限选择较为缓慢。

所以预处理中相对门限的选择并不是越小越好，如果要最优化解调性能，需要根据信道条件和削波门限与学习机的耦合性进行选择。

在α=1.2的脉冲噪声信道，信道的脉冲特性更强，信道条件更为恶劣，但相比于传统算法，本文提出的解调算法依然能保持误码曲线的下降，如图5所示。α=1.2时，选择相对门限为1.1在[−4 dB,6 dB]的信噪比区间一直优于其他2种门限选择。因为在α=1.2时，拖尾效应更加明显，脉冲噪声随机性更高，也经常会出现极端幅值，更低的削波门限可以有效地滤除脉冲噪声，而神经网络对强随机性的学习收益较低，需要更大量的数据和更复杂的网络结构。而本文提出的非线性削波和BP-MLP结合的解调方法，则可以直接使用更低的削波门限，就可以收获更好的性能，无需复杂化网络结构，可以有效节省算力。

为了证明本文提出的解调方法在不同的噪声信道都具备鲁棒性，如图6所示，在脉冲噪声和高斯白噪声的混合信道中，仅经过含有α=1.2、E_s/N₀=−4dB的脉冲噪声训练数据集训练的解调网络，在不同特征指数的脉冲噪声和高斯白噪声的混合噪声信道下，依然具有良好的鲁棒性，当误符号率为2×10⁻²附近，基于非线性削波-MLP的算法优于传统算法8 dB。

4 结　语

通过分析甚低频通信系统的特性和环境噪声，提出了使用非线性削波结合神经网络算法的解调器，经过训练的网络参数，选取了α=1.2、α=1.5两种脉冲噪声环境和混合噪声环境，在不同的脉冲噪声环境和混合噪声环境均具备较高的鲁棒性。同时，由于选取的非线性激活函数可以在FPGA中利用查找表实现，在实现中，可以直接量化使用仿真训练好的网络参数，基于现有的FPGA等嵌入式通信平台即可实现，无需替换GPU或专门的智能算法芯片。对低信噪比下的超窄带信号的解调具有一定的参考价值。