0 引　言

船舶推进轴系是船舶动力装置的核心部分，其安装对中状态直接影响轴系承载分配和长期可靠运行。在实际安装与运行过程中，由于装配误差、基础沉降、动态载荷不均及航行状态下船体变形等因素的影响，轴承实际位移常偏离预设状态，导致轴承负荷分配异常、振动噪声增强，甚至轴承损坏等问题。因此，精确可靠地识别和预测轴承变位，对保障船舶轴系运行安全、提高推进系统可靠性具有重要的工程意义。

船舶轴系安装及校中状态的传统检测方法包括弹簧测力计法、应变片法和顶举法^[1]。日本船级社使用反推法评估轴承受力并计算轴承的变位值，再调整轴承位移以实现合理负荷分布^[2]。ABS通过收集大量的实船变形测试数据，使用统计学方法预测轴系和船体变形^[3]。张玉龙等^[4]基于灰色系统理论，使用灰色关联度分析法研究实际船体变形与轴承负荷之间的对应关系。耿厚才等^[5]通过应变片测量的实船弯矩和弯矩影响系数，确定不同状态下船体尾部在轴承处的相对变形值。陈昊等^[6]提出了基于弯矩影响系数的轴系状态评估方法，利用应变片测量弯矩反算各轴承的实际变位与负荷，评估轴系安装对中质量。

随着机器学习的发展，神经网络逐渐应用于轴系校中领域。其中BP（Back Propagation）神经网络是一种多层前馈型人工神经网络，采用误差反向传播算法，广泛应用于复杂非线性问题的建模与预测任务。杨小钢等^[7]构建了基于机器学习的多支撑轴系智能装调方法，实现对中间轴承精确变位的预测，提高了校中效率；郑瑞栋等^[8]基于GA-BP 神经网络作为机器学习模型，实现了一种船舶推进轴系中间轴承高度预测及安装状态的计算方法；Deng等^[9]针对轴系实际数据不足的问题，引入了迁移学习融合仿真和实测数据以提高轴承变位计算精度。Magalhães等^[10]比较了多种机器学习算法在轴系校中预测中的性能，结果表明智能算法能够较准确地预测轴系调整效果，在轴系准动态校中方面具有良好应用前景。粒子群优化与BP网络结合形成的PSO-BP算法可以优化网络初始权值，加速收敛并提高预测精度，在工程结构载荷-变形等非线性关系建模中取得了良好效果^[11]。

本文以传递矩阵法为基础，构建轴承对各测点弯矩的影响系数矩阵，用于建立线性反演模型；同时，考虑到实际轴系可能存在的非线性影响因素，进一步引入神经网络模型以构建弯矩和轴承位移间的映射关系。以有限元模型作为数值参照与数据来源，用于对传递矩阵模型的计算结果进行交叉验证，并生成多工况的样本集，用于训练与测试神经网络。

1 轴系仿真模型建立方法 1.1 传递矩阵法

本文基于传递矩阵法，构建轴系单元截面弯矩与轴承变位的对应关系。传递矩阵法将轴系视为由多个结构单元（轴段、轴承、集中质量等）构成的序列系统，通过定义状态向量与传递关系，将多单元系统的整体响应递推计算，其计算效率高，适用于多单元、长轴系结构。在轴系的力学分析中，对于任何一个单元截面均可用如下状态向量描述其力学状态：

$ \boldsymbol{S}\left(x\right)=\left[\begin{matrix} y\left(x\right)\\ \theta \left(x\right)\\ M\left(x\right)\\ Q\left(x\right) \end{matrix}\right]。$

(1)

式中：$ y(x) $为截面挠度；$ \theta (x) $为截面转角；$ M(x) $为弯矩；$ Q(x) $为剪切力。

对任意一轴段长度为$ l $、弹性模量为$ E $、截面惯性矩为$ I $的关系为：

$ M(x)=-EI\cdot {\theta }^{\prime}(x) ，$

(2)

$ Q(x)=-EI\cdot {\theta }^{\prime\prime}(x)。$

(3)

考虑轴段受到等分布自重荷载$ q $，可通过对Euler-Bernoulli梁微分方程求解，得到单元入口与出口状态的映射：

$ {\boldsymbol{S}}_{i+1}={\boldsymbol{Z}}_{i}\cdot {\boldsymbol{S}}_{i}。$

(4)

其中，轴段、轴承和集中质量单元的传递矩阵表达式为：

$ {\boldsymbol{Z}}_{i}=\left[\begin{matrix} 1 & l & \displaystyle\frac{{l}^{2}}{2EI} & \displaystyle\frac{{l}^{3}}{6EI} & -\displaystyle\frac{q{l}^{4}}{24EI}\\ 0 & 1 & \displaystyle\frac{l}{EI} & \displaystyle\frac{{l}^{2}}{2EI} & -\displaystyle\frac{q{l}^{3}}{6EI}\\ 0 & 0 & 1 & l & -\displaystyle\frac{q{l}^{2}}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -ql\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right], $

(5)

$ {\boldsymbol{Z}}_{\text{bear}}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ -k & 0 & 0 & 1 & k\cdot \delta \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right], $

(6)

$ {\boldsymbol{Z}}_{\text{mass}}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -P\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]。$

(7)

式中：$ k $为轴承刚度；$ \delta $为该处预设变位；$ P $为外部集中载荷。对于一个包含$ n $个结构单元的轴系，构造各单元传递矩阵$ {\boldsymbol{Z}}_{i} $，总传递矩阵为：

$ \boldsymbol{T}={\boldsymbol{Z}}_{n}\cdot {\boldsymbol{Z}}_{n-1}\cdots {\boldsymbol{Z}}_{1} 。$

(8)

通过设定尾端边界$ y=0 $、$ \theta =0 $，则可由系统右端状态$ {\boldsymbol{S}}_{n} $解出初始状态$ {\boldsymbol{S}}_{j} $，进而利用单元递推求解所有截面状态。

1.2 有限元方法与计算结果对比

为验证传递矩阵数值计算模型的合理性，以某8 800TEU集装箱船的推进轴系等比缩放实验台为研究对象，基于Ansys构建了有限元计算模型，在相同条件下对计算结果进行对比分析。仿真模型使用 SOLID185单元，轴体划分为27个轴段单元，以弹簧的方式代替轴承支撑，设定尾端自由，电机端固支，进行离散求解，轴系简化后模型如图1所示。

对模型施加全局重力加速度$ g=9.8\;{\mathrm{m/{s}^{2} }}$，设置所有的轴承初始高度为0，有限元法与传递矩阵法轴承负荷在直线状态下的计算结果对比如表1所示。分别计算1号中间轴承位移$ \delta $为0、0. 5、1 mm时的截面弯矩，结果如图2所示。由计算结果可见，在相同条件下，两者计算结果误差在3%以内，后续研究中使用有限元模型，提取各测点截面弯矩值，以模拟实船轴系的弯矩测量值。

2 基于弯矩影响系数的轴承变位计算方法 2.1 弯矩影响数矩阵

基于上述方法，进一步构造轴承对测点截面弯矩的影响系数矩阵，以计算轴承变位。在轴承位移的反演问题中，关注的是若干测点处的弯矩响应值，设轴系在理想直线校中状态下，各轴承初始变位为0，则对任意测点单元$ m $，第$ n $个轴承对其弯矩的影响可由式(1)的状态向量中提取得到：

$ \boldsymbol{M}_{{mn}}^{0}=\left[\begin{matrix} M_{11}^{0} & M_{12}^{0} & \cdots & M_{1n}^{0}\\ M_{21}^{0} & M_{22}^{0} & \cdots & M_{2n}^{0}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ M_{\text{m1}}^{0} & M_{m2}^{0} & \cdots & M_{mn}^{0} \end{matrix} \right]。$

(9)

通过对不同轴承单位变位输入下的响应求差，即可构造弯矩影响数矩阵：

$ { \boldsymbol{A}={\boldsymbol{M}}_{{j}}\left({\delta }_{{j}}= 1\;\text{mm}\right)-{\boldsymbol{M}}_{0}\left(\delta =0\right)=\left[\begin{matrix} {a}_{11} & \cdots & {a}_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {a}_{m1} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix} \right]。} $

(10)

式中：$ {a}_{mn} $为第$ n $为个轴承位移变化单位长度时，第$ m $个单元截面弯矩相对于直线状态下的变化值，即第$ n $列反映了第$ n $个轴承对不同截面的弯矩影响系数。当获得了轴系在某状态下，$ m $个截面处的实际测量弯$ {{{\boldsymbol{M}}^{\bf{meas}}}} $时，以直线状态弯矩$ {{\boldsymbol{M}^{\left(\mathbf{0}\right)}}} $为参考，得到弯矩变化量：

$ \Delta \boldsymbol{M}={\boldsymbol{M}}^{meas}-{\boldsymbol{M}}^{(0)}=\left[\begin{array}{c} M_{1}^{\text{meas}}-M_{1}^{(0)}\\ M_{2}^{\text{meas}}-M_{2}^{(0)}\\ \vdots \\ M_{{m}}^{\rm{meas}}-M_{m}^{(0)} \end{array}\right]。$

(11)

利用弯矩影响数矩阵，则可列出线性方程组，求解当前状态下轴承的实际变位情况：

$ \left[\begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n}\\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} \end{matrix} \right]\cdot \left[\begin{array}{c} {x}_{1}\\ {x}_{2}\\ \vdots \\ {x}_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \Delta {M}_{1}\\ \Delta {M}_{2}\\ \vdots \\ \Delta {M}_{{m}} \end{array}\right]。$

(12)

式中：$ \Delta {M}_{m} $为第$ m $个测点截面处的弯矩变化值；$ {x}_{n} $为第$ n $个轴承的实际变位值。若当前待求解轴承数为$ n $，则测点截面数量$ m\geqslant n $即可满足要求，且当$ m> n $时，此时可使用最小二乘法求解该超定方程组：

$ \underset{\boldsymbol{x}}{\min }\left|\left|\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{x}-\Delta \boldsymbol{M}\right|\right|_{2}^{2}，$

(13)

$ \boldsymbol{x}={({{\boldsymbol{A}}^{\mathbf{T}}}\boldsymbol{A})}^{\mathbf{-1}}{\boldsymbol{A}}^{\mathbf{T}}\Delta \boldsymbol{M} 。$

(14)

2.2 弯矩影响系数法的计算验证

基于上述方法，利用1.2节中所创建的有限元计算模型，将各轴承的初始位移输入到模型中，计算并提取轴系上各测点截面的弯矩值。需要注意的是，测量截面的选取会直接影响到系数矩阵的秩和条件数，进而影响到求解的稳定性和准确性。在实际构造过程中，某些测点的组合会导致系数矩阵的某些行或列出现高度线性相关的情况。其中，列相关体现了某些轴承的影响模式高度相似，即对测点的影响程度相似；行相关体现了某些测点的响应随不同轴承位移的变化高度相似，即这些测点没有提供额外信息。如图3所示，为各轴承的弯矩影响系数曲线，可以看到截面弯矩在每2个轴承之间均呈线性关系，而轴承变位带来的影响主要集中在轴承前后局部区域，远离轴承处响应则迅速衰减，因此测点应尽量避开响应趋零区。

为进一步验证测点位置对系数矩阵的影响，本文构造了多组测点组合，给定各轴承初始位移，使用有限元模型提取各测点位置的弯矩值，作为实测弯矩，通过传递矩阵法推导出相应的影响系数矩阵，计算结果如表2和表3所示。

由表2可知，不同测点组合对预测性能的影响显著，A组和E组的条件数远高于其他组别，说明系数矩阵严重病态，存在严重的列相关或行相关问题；B组和D组虽然整体误差有降低，但由于部分测点过于集中，导致条件数依然偏大；C组的预测结果最为接近真实位移，且条件数最低，说明该测点组合能够有效反映各轴承的弯矩响应特征。需要注意的是，在工程实践中轴系弯矩通常使用电阻应变片布设测量，但布片位置会受到实际环境的限制，难以完全按照理论最优布点方案实施，而测量误差也会在不良的测点组合中被放大，严重影响结果的可靠性。此外，基于传递矩阵法推导的弯矩影响系数在理论上建立于轴系结构简化假设和线性弹性力学模型之上。该方法在静态或准静态工况下能够较为准确地反映轴系受力特性，但在船舶实际运行中，轴系状态常受到多种复杂因素的影响，例如轴承刚度的非线性变化、船体变形、螺旋桨激励引起的周期性动力载荷，以及船体弹性振动的耦合效应等。这些动态和非线性因素难以在传递矩阵计算过程中完整建模和提前量化，从而导致基于影响系数矩阵的预测方法在复杂工况下精度下降。

3 基于神经网络的轴承变位预测方法 3.1 BP神经网络

BP 神经网络是一种前馈型多层人工神经网络，通常由输入层、一个或多个隐藏层和输出层组成。其特点在于采用误差反向传播算法进行训练，具有良好的非线性映射能力和自学习、自适应能力，适合解决复杂的非线性回归问题。

设输入层有$ n $个神经元，隐藏层有$ h $个神经元，输出层有$ m $个神经元。对输入样本$ \boldsymbol{x}=[{x}_{1},{x}_{2}{,\ldots ,x}_{n}{]}^{\text{T}} $，BP 网络的前向传播可分两步，隐藏层输出计算和输出层输出计算：

$ {z}_{j}=f\left(\sum\limits_{i=1}^{n}w_{ji}^{(1)}{x}_{i}+b_{j}^{(1)}\right),j=1,2,\ldots ,h ，$

(15)

$ {y}_{k}=f\left(\sum\limits_{j=1}^{h}w_{kj}^{(2)}+b_{k}^{(2)}\right),k=1,2,\ldots ,m。$

(16)

式中：$ w_{ji}^{\left(1\right)} $为输入层到隐藏层的权重；$ b_{j}^{\left(1\right)} $为隐藏层偏置；$ f $为隐藏层激活函数；$ w_{kj}^{(2)} $为隐藏层到输出层的权重；$ b_{k}^{(2)} $为输出层偏置；$ f $为输出层激活函数。

设期望输出为$ \widehat{\boldsymbol{y}}=[{{{\widehat{y}}_{1}},{{\widehat{y}}_{2}},\ldots ,{{\widehat{y}}_{m}}]}^\text{T} $，误差函数采用均方误差：

$ E=\frac{1}{{m}}\sum\limits_{k=1}^{m}{\left({y}_{k}-{\hat{y}}_{k}\right)}^{2}。$

(17)

3.2 PSO-BP方法

粒子群优化（Partical Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智能的全局优化算法，受鸟群捕食行为启发提出。其核心思想是通过群体中个体间的信息共享和协同搜索，动态调整个体位置以寻找最优解。每个粒子代表一个候选解，其状态由位置$ {\boldsymbol{x}}_{i} $和速度$ {\boldsymbol{v}}_{i} $表示。粒子的位置与速度更新规则为：

$ v_{i}^{(t+1)}=w\cdot v_{i}^{(t)}+{c}_{1}\cdot {r}_{1}\cdot ({p}_{i}-x_{i}^{(t)})+{c}_{2}\cdot {r}_{2}\cdot (g-x_{i}^{(t)})，$

(18)

$ x_{i}^{(t+1)}=x_{i}^{(t)}+v_{i}^{(t+1)}。$

(19)

式中：$ x_{i}^{\left(t\right)} $为第$ i $个粒子在第$ t $代的位置；$ v_{i}^{\left(t\right)} $为粒子速度；$ p_{i}^{} $为粒子的历史最优位置；$ g $为全局最优位置；$ w $为惯性权重；$ c $为学习因子；$ r\in (0{,}1) $为随机系数。

对于BP 网络存在初始权重敏感性的问题：BP 网络通常采用随机初始化权值和阈值，这种方式可能导致网络陷入局部最优解。通过引入PSO算法优化 BP 神经网络的初始权值和阈值，从整体搜索空间中筛选出更具代表性的初始解，避免BP网络在初始阶段陷入差解，从而提升网络的收敛精度与稳定性，PSO-BP 方法的整体流程如图4所示。

3.2.1 神经网络结构设计及参数设定

神经网络的输入设定为多个测点的弯矩值，输出为各支承轴承处的变位值，并通过PSO算法优化BP网络的初始参数，具体参数设置如下：

1）BP网络的参数设定：采用3层前馈神经网络结构，选择logsig函数作为隐藏层激活函数，purelin函数为输出层激活函数，设定trainbr函数（Bayesian Regularization Backpropagation）为BP网络的训练函数，在训练过程中自适应调整学习率，神经网络的目标MSE设定为0.0001，最小梯度为10⁻⁶，回合数为500。通常神经网络的输入层神经元个数$ n $、输出层神经元个数$ m $取决于实际轴系的情况及计算需求，隐藏层神经元个数可按照经验公式$ h=\sqrt{m+n}+k $，$ k $为1～10的整数^{[12 - 16]}，本文中设定$ n= $5，$ m= $4，$ h= $10，网络结构如图5所示。

2）PSO算法的参数设定：为保证优化效果与计算效率之间的平衡，所采用的PSO算法参数设定如表4所示。

权重维度与神经网络结构相关，计算公式为：

$ \dim =H\cdot I+H\cdot O+H+O。$

(20)

式中：$ I $为输入层维度；$ O $为输出层维度；$ H $为隐藏层维度。粒子向量在每一轮迭代中被映射为网络结构的权重矩阵与偏置向量，构造对应的神经网络实例进行前向传播，并计算适应度。

3.2.2 神经网络训练效果

本文采用1.2节的有限元仿真模型获取训练所需的数据样本。为提高训练效率的同时保证预测模型的精度，针对每个轴承的变位$ x $，设定其高度变化范围为$ \pm $15 mm，采用拉丁超立方采样法，在轴承变位空间内均匀采样，这里选择测点组合为2.2节中的D组，每一个数据点下包含4个轴承变位和5个测点弯矩，共获取样本点3000个，部分样本数据如表5所示。

为提高网络训练初始点的质量，避免神经网络陷入局部极小，在训练前采用PSO算法对神经网络进行优化。PSO 的适应度函数为预测输出与真实变位之间的均方误差，每次迭代均记录全局最优粒子的损失值，结果如图6(a)所示，适应度计算公式如式(21)所示，在约 30 次迭代后 MSE 收敛至稳定值，优化后的初始权值可提高 BP 网络的收敛速度。

$ F=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}{\left({\hat{y}}_{i}-{y}_{i}\right)}^{2}。$

(21)

式中：$ N $为样本数；$ {\widehat{\boldsymbol{y}}}_{i} $为网络预测值；$ {\boldsymbol{y}}_{i} $为真实值。粒子群通过式(18)、式(19)的位置和速度迭代公式更新参数向量，以最小化适应度$ F $。

经过PSO初始化后，将数据样本划分为训练集（70%）和测试集（30%），BP 网络以最优权值启动训练，图6(b)为神经网络训练过程中，损失函数随迭代次数的变化趋势，损失函数同样采用均方误差：

$ L=\frac{1}{N}{\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{m}\left({\hat{y}}_{i,j}-{y}_{i,j}\right)^{2}}。$

(22)

式中：$ {\widehat{\boldsymbol{y}}}_{i,j} $和$ {\boldsymbol{y}}_{i,j} $分别为第$ i $个样本第$ j $个轴承位移的预测值和真实值。

模型训练完成后，为验证神经网络对实际测量误差的容错能力，在测试集样本中对弯矩值随机进行加噪，噪声采用均值为0、标准差为$ \sigma =\alpha \cdot {M}_{\max} $的高斯白噪声，其中$ \alpha $取5%和10%，$ {M}_{\max} $为样本中测点弯矩的最大绝对值。2种方法的预测结果如表6所示。可知，在无噪声条件下，2种方法的预测精度相似，此时影响预测结果的主要因素是测点组合情况以及输入的测量弯矩的准确度。在加入噪声后，基于弯矩影响系数方法的误差急剧上升。神经网络模型由于具备非线性表达能力及隐含的正则化特性，在低噪声环境下仍能维持相对较低的误差，具有一定的容错性。

4 结　语

针对船舶推进轴系在实际运行中的轴承位移变化情况，分别利用弯矩影响系数与PSO-BP神经网络预测轴承变位。基于影响系数可以由弯矩变化值直接得到轴承的实际位移状态，但在测点布置不合理时或存在测量误差等影响因素下会降低预测结果的可靠性，并且该方法依赖于数值计算模型对真实轴系状态的映射能力。对此提出了基于粒子群优化的BP神经网络预测模型，神经网络通过从样本数据中直接学习输入值与输出值之间的关系，无需明确构建复杂的物理模型即可捕捉弯矩和轴承位移间的映射关系。数值实验结果表明，PSO-BP神经网络相比弯矩影响系数方法在低噪声的条件下相对具有一定的优势。本研究主要验证了该方法在理想化仿真环境下的有效性和可行性，所引入的噪声主要为高斯分布的均匀随机扰动，用于模拟测量误差。实际工程应用中仍需在样本中融入实船测得的弯矩与位移的对照数据，评估该方法在实际轴系结构中与非线性影响因素下的适用性。