0 引　言

遥控水下机器人（Remote Operated Vehicle，ROV）作为海洋勘探与开发的关键装备，在海底资源勘查、管道巡检、科学考察等领域发挥着不可替代的作用。然而，ROV系统具有强非线性、强耦合性等动力学特性，且在工作过程中易受模型参数不确定性、未建模动态以及复杂海洋环境扰动的影响，给高精度轨迹跟踪控制器的设计带来了严峻挑战。

为提升ROV在复杂环境下的控制性能，国内外学者开展了广泛研究，提出了自抗扰控制、模型预测控制、模糊控制、自适应控制及滑模控制等多种方法。其中，滑模控制因其对系统不确定性和外部干扰具有较强的鲁棒性，以及有限时间收敛和动态响应快等优点，受到广泛关注。然而，传统滑模控制在趋近律中引入的符号函数易引发高频抖振，不仅影响控制精度，还可能损坏执行机构。为抑制抖振，现有研究主要从两方面进行改进：一是采用饱和函数等连续函数替代符号函数，如文献[1 − 5]分别通过设计新型趋近律、引入tanh函数或饱和函数以削弱抖振；二是采用高阶滑模方法，如文献[6 − 7,11]中提出的变结构超螺旋算法和文献[8 − 10]中提出的高阶滑模面设计，将不连续控制信号在积分过程中连续化，从而在保持鲁棒性的同时有效抑制抖振。

尽管如此，现有方法仍存在一些不足。例如，文献[1 - 6]中的部分控制策略缺乏对集总扰动的自适应补偿能力，导致系统在动态变化环境中收敛速度较慢；文献[8 − 10]中某些方法虽能实现有限时间稳定，但收敛时间依赖于初始状态，缺乏严格的固定时间收敛保障；此外，文献[11]中部分控制器参数调节复杂，或在实际应用中存在控制奇异、输入饱和等问题。

针对上述问题，本文提出一种基于固定时间扩张状态观测器（FESO）与二阶固定时间自适应多变量超螺旋滑模控制（SFAMSTSMC）相结合的轨迹跟踪控制方法。通过FESO实现对系统集总扰动的精确估计与补偿，结合改进的自适应多变量超螺旋算法动态调整控制增益，在确保系统固定时间收敛的同时，有效抑制控制输入抖振。基于Lyapunov稳定性理论，严格证明了闭环系统所有信号的固定时间有界性及跟踪误差的收敛性能。仿真结果表明，所提方法在控制精度、收敛速度和鲁棒性方面均优于传统PID与现有滑模控制方法。

1 问题描述和模型建立 1.1 引理介绍

引理1^[12]　针对非线性系统：

$ x(t)=g(t,x),x(0)={x}_{0}。$

(1)

式中：$ x\in {R}^{n} $，$ g\in {R}^{+}\times {R}^{n}\rightarrow {R}^{n} $，$ g $为一个非线性函数；$ t\in {R}^{+} $为时间。对于$ \forall \varepsilon \gt 0 $，若$ \exists \delta =\delta (\varepsilon ,{t}_{0}) \gt 0 $，在$ t\geqslant {t}_{0}\geqslant 0 $，初始状态$ \left|\left|x({t}_{0})\right|\right| \lt \delta $时，系统状态满足：$ \left|\left|x(t)\right|\right| \lt \varepsilon $。$ x=0 $为稳定的平衡点；同时，当时间$ t\rightarrow \mathrm{\infty }时，x(t)\rightarrow 0 $，此时称$ x=0 $为全局渐进稳定的。

引理2^[12]　对于广义非线性系统$ \dot{x}(t)=g(t,x) $，假设存在一个连续、正定的函数$ V(t,x) $满足：

$ \dot{V}(t,x)\leqslant -\alpha {V}^{p}(t,x)-\beta {V}^{q}(t,x),\forall t\geqslant 0,x\in {R}^{n}。$

(2)

且在$ x=0 $时$ V(x)=0 $，其中$ \alpha 、\beta 、p、q $为正的常数，$ 0 \lt p \lt 1，q \gt 1 $，那么，该系统是全局固定时间稳定的，并且收敛时间$ T $满足：

$ T\leqslant \frac{1}{a(1-p)}+\frac{1}{\beta (q-1)}。$

(3)

引理3　设$ p \gt 1,q \gt 1,{p}^{-1}+{q}^{-1}=1 $，则$ \forall a,b\geqslant 0 $，必有$ ab\leqslant {a}^{p}/p+{b}^{q}/q $，当$ {a}^{p}={b}^{q} $时，等号成立。

引理4　对于任意n维向量$ a=[{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}] $和$ b=[{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}] $，$ p $和$ q $满足$ {p}^{-1}+{q}^{-1}=1 $，有下列等式成立：

$ \sum\limits_{i=1}^{n}\left| {x}_{i}{y}_{i}\right| \leqslant {\left({\sum\limits_{i=1}^{n}}{{\left| {x}_{i}\right| }^{p}}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\sum\limits_{i=1}^{n}}{{\left| {y}_{i}\right| }^{q}}\right)}^{\frac{1}{q}} 。$

(4)

引理5^[12]　在本文中，对于$ x、r $为实数，则函数$ {\mathrm{sig}}^{r}(x)={\left| x\right| }^{r}{\mathrm{sign}}(x) $。

1.2 ROV数学模型

本文研究对象为卫海ROV（WHROV），参照国际拖拽水池会议（ITTC）和造船和轮机工程学会（SNAME）的公报术语体系，为了能够描述ROV位置、姿态，线速度、角速度，建立了ROV的六自由度运动体系^[13]。固定坐标系，简记为$ \{E\}=\{{x}_{E},{y}_{E},{z}_{E}\} $；运动坐标系，简记为$ \{B\}=\{{x}_{B},{y}_{B},{z}_{B}\} $，如图1所示。

WHROV的非线性动力学模型方程表示为：

$ \left\{\begin{aligned} &\mathbf{\dot{\boldsymbol{\eta }}}=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{\eta })\boldsymbol{V}=\left[\begin{matrix} {\boldsymbol{J}}_{1}(\boldsymbol{\eta }) & {{0}}_{3\times 3}\\ {{0}}_{3\times 3} & {\boldsymbol{J}}_{2}(\boldsymbol{\eta }) \end{matrix} \right]\boldsymbol{V}，\\ &\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{V}}+\boldsymbol{C}(\boldsymbol{V})\boldsymbol{V}+\boldsymbol{D}(\boldsymbol{V})\boldsymbol{V}+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta })={\boldsymbol{\tau }}_{T}+\boldsymbol{d}。\end{aligned}\right. $

(5)

式中：$ \boldsymbol{M}\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 6}={\boldsymbol{M}}_{RB}+{\boldsymbol{M}}_{A} $为包含流体作用引起的刚体质量和附加质量的广义质量矩阵；$ \boldsymbol{C}(\boldsymbol{V})\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 6}= {\boldsymbol{C}}_{RB}(\boldsymbol{V})+{\boldsymbol{C}}_{A}(\boldsymbol{V}) $为水动力科氏力和向心力矩阵；$ \boldsymbol{D}(\boldsymbol{V})\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 6} $为水动力阻尼矩阵；$ \boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta })\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 1} $为浮力和重力产生的恢复力矩向量；$ {\boldsymbol{\tau }}_{T}\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 1} $为ROV六个自由度产生的力和力矩；$ \boldsymbol{d}\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 1} $为对应外界干扰力总和。$ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{\eta }) $为运动坐标系和固定坐标系的坐标转换；$ \boldsymbol{\eta }={[x,y,z,\varphi ,\theta ,\psi ]}^{\mathrm{T}} $为相对于固定坐标系$ \{E\} $的位置，姿态状态变量；$ \boldsymbol{V}= {[u,v,w,p,q,r]}^{\mathrm{T}} $为相对于运动坐标系$ \{B\} $的线速度，角速度状态变量；$ {\boldsymbol{J}}_{1}(\boldsymbol{\eta })、{\boldsymbol{J}}_{2}(\boldsymbol{\eta }) $为$ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{\eta }) $的子转换矩阵表示为：

$ \left\{\begin{aligned} &{\boldsymbol{J}}_{1}(\boldsymbol{\eta })=\left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & -\cos\varphi \cos\psi +\sin\varphi \sin\theta \cos\psi & \cos\varphi \sin\theta \cos\psi +\sin\varphi \\ \cos\theta \sin\psi & \cos\varphi \cos\psi +\sin\varphi \sin\theta \sin\psi & \cos\varphi \sin\theta \sin\psi -\sin\varphi \cos\psi \\ -\sin\theta & \sin\varphi \cos\theta & \cos\varphi \cos\theta \end{matrix} \right]，\\ &{\boldsymbol{J}}_{2}(\boldsymbol{\eta })=\left[\begin{matrix} 1 & \sin\varphi \tan\theta & \cos\varphi \tan\theta \\ 0 & \cos\varphi & -\sin\varphi \\ 0 & \sin\varphi /\cos\theta & \cos\varphi /\cos\theta \end{matrix} \right]。\end{aligned}\right. $

(6)

式中：为了避免奇异值则：$ \varphi ,\theta \in (-\text{π} /2,\text{π} /2) $，$ \psi \in (-\text{π} ,\text{π} ) $。

$ \begin{split}\boldsymbol{M}&={\mathrm{diag}}[m-{X}_{\dot{u}},m-{Y}_{\dot{v}},m-{Z}_{\dot{w}}，\\ & {I}_{x}-{K}_{\dot{p}},{I}_{y}-{M}_{\dot{q}},{I}_{z}-{N}_{\dot{r}}]。\end{split} $

(7)

式中：$ m $为ROV的质量；$ {I}_{x}、{I}_{y}、{I}_{z} $为ROV绕$ x、y、z $轴的转动惯量；$ {X}_{\dot{u}}、{Y}_{\dot{v}}、{Z}_{\dot{w}}、{K}_{\dot{p}}、{M}_{\dot{q}}、{N}_{\dot{r}} $为ROV的附加质量和惯性。

$ {\begin{cases} \boldsymbol{C}(V)=\left[\begin{matrix} {0}_{3\times 3} & {\boldsymbol{C}}_{1}{}_{2}\\ {\boldsymbol{C}}_{2}{}_{1} & {\boldsymbol{C}}_{2}{}_{2} \end{matrix} \right]，\\ {\boldsymbol{C}}_{1}{}_{2}={\boldsymbol{C}}_{2}{}_{1}=\left[\begin{matrix} 0 & (m-{Z}_{\dot{w}})w & ({Y}_{\dot{v}}-m)v\\ ({Z}_{\dot{w}}-m)w & 0 & (m-{X}_{\dot{u}})u\\ (m-{Y}_{\dot{v}})v & ({X}_{\dot{u}}-m)u & 0 \end{matrix} \right]，\\ {\boldsymbol{C}}_{2}{}_{2}=\left[\begin{matrix} 0 & ({I}_{z}-{N}_{\dot{r}})r & ({M}_{\dot{q}}-{I}_{y})q\\ ({N}_{\dot{r}}-{I}_{z})r & 0 & ({I}_{x}-{K}_{\dot{p}})p\\ ({I}_{y}-{M}_{\dot{q}})q & ({K}_{\dot{p}}-{I}_{x})p & 0 \end{matrix} \right]。\end{cases}}$

(8)

$ \begin{split}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{V})&={\mathrm{diag}}[{X}_{u}+{X}_{\left| u\right| u}\left| u\right| ,{Y}_{v}+{Y}_{\left| v\right| v}\left| v\right| ，\\ & {Z}_{w}+{Z}_{\left| w\right| w}\left| w\right| ,{K}_{p}+{K}_{\left| p\right| p}\left| p\right| ，\\ & {M}_{q}+{M}_{\left| q\right| q}\left| q\right| ,{N}_{r}+{N}_{\left| r\right| r}\left| r\right| ]。\end{split} $

(9)

式中：$ {X}_{u}、{Y}_{v}、{Z}_{w}、{K}_{p}、{M}_{q}、{N}_{r} $为一阶阻尼项；$ {X}_{\left| u\right| u}、{Y}_{\left| v\right| v}、{Z}_{\left| w\right| w}、{K}_{\left| p\right| p}、{M}_{\left| q\right| q}、{N}_{\left| r\right| r} $为二阶阻尼项。

$ \begin{split}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta })=&[(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{B})\sin (\theta )，\\ & -(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{B})\cos (\theta )\sin (\varphi )，\\ & -(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{B})\cos (\theta )\cos (\varphi )，\\ & {y}_{B}\boldsymbol{B}\cos (\theta )\cos (\varphi )-{z}_{B}\boldsymbol{B}\cos (\theta )\sin (\varphi )，\\ & -{x}_{B}\boldsymbol{B}\cos (\theta )\cos (\varphi )-{z}_{B}\boldsymbol{B}\sin (\theta )，\\ & {x}_{B}\boldsymbol{B}\cos (\theta )\sin (\varphi )-{y}_{B}\boldsymbol{B}\sin (\theta ){]}^{\mathrm{{T}}}。\end{split} $

(10)

式中：$ \boldsymbol{G} $为ROV的重力；$ \boldsymbol{B} $为ROV的浮力；$ \{{x}_{B},{y}_{B},{z}_{B}\} $为WHROV浮心在$ \{B\} $系中的坐标。

由于复杂的水环境和建模误差的存在，无法保证水动力系数的准确性，因此，考虑了模型参数的不确定性和外部干扰对系统的影响，根据式(5)中的子式改写为以下动态误差模型：

$ \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}\dot{\boldsymbol{V}}}+\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}(\boldsymbol{V})\boldsymbol{V}+\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}(\boldsymbol{V})\boldsymbol{V}+\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}(\boldsymbol{\eta })={\boldsymbol{\tau }}_{T}+{\boldsymbol{\tau }}_{d}。$

(11)

式中：$ \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}、\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}、\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{V}}}、\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}} $分别为ROV的数学模型的标称值；$ {\boldsymbol{\tau }}_{d} $为集总扰动。其中：

$ \begin{cases} \boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}，\\ \boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{C}(\boldsymbol{V})=\boldsymbol{C}(\boldsymbol{V})-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}(\boldsymbol{V})，\\ \boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{V})=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{V})-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}(\boldsymbol{V})，\\ \boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta })=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{\eta })-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}(\boldsymbol{\eta })，\\ {\boldsymbol{\tau }}_{d}=-\boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{V}}-\boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{C}(\boldsymbol{V})\boldsymbol{V}-\boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{D}(\boldsymbol{V})\boldsymbol{V}，\\ -\boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{g}+\boldsymbol{d}。\end{cases} $

(12)

式中：$ \boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{M},\boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{C},\boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{D},\boldsymbol{\mathit{\Delta }}\boldsymbol{g} $分别为模型实际值和标称值之间的差值。

将式(11)的动态误差模型转换为惯性坐标系，WHROV固定坐标系下的误差动力学模型^[14]表示为：

$ {{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }\boldsymbol{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}}_{\eta }(\boldsymbol{V},\boldsymbol{\eta })\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}}_{\eta }(\boldsymbol{V},\boldsymbol{\eta })\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}}_{\eta }(\boldsymbol{\eta })= {\boldsymbol{\tau }}_{\eta }+{\boldsymbol{\tau }}_{d\eta }(\boldsymbol{V},\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{V}}},\boldsymbol{\eta })。}$

(13)

其中：

$ \begin{cases} {\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }={\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}{\boldsymbol{J}}^{-1}，\\ {\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}}_{\eta }={\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}(\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}{\boldsymbol{J}}^{-1}\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{J}}}){J}^{-1}，\\ {\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}}_{\eta }={\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}{\boldsymbol{J}}^{-1}，\\ {\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}}_{\eta }={\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}，\\ {\boldsymbol{\tau }}_{\eta }={\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{\tau }}_{\boldsymbol{T}},{\boldsymbol{\tau }}_{d\eta }={\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{\tau }}_{d}。\end{cases}$

(14)

假设1　外部未知时变扰动是有界的，并且满足Lipschitz条件，这意味着$ \left| \boldsymbol{d}\right| \lt \boldsymbol{L},\left| \mathbf{\dot{\boldsymbol{d}}}\right| \lt \boldsymbol{l} $，其中$ \boldsymbol{L} $和$ \boldsymbol{l} $为正常实数向量。

假设2　本文给出的ROV所跟踪的轨迹$ {\boldsymbol{\eta }}_{d}= $ $ [{x}_{d},\cdots ,{\psi }_{d}{]}^{{\mathrm{T}}} $皆为实变函数，光滑可导且有界。$ {\mathbf{\dot{\boldsymbol{\eta }}}}_{\boldsymbol{d}}、{\mathbf{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{\boldsymbol{d}} $分别为$ {\boldsymbol{\eta }}_{\boldsymbol{d}} $的一阶导数和二阶导数。

2 控制器设计和稳定性分析

基于上述的式(5)和式(13)，本文设计了一种基于固定时间非线性扩展状态观测器的自适应多变量超螺旋二阶滑模控制算法。用于WHROV的轨迹跟踪。本文设计了一种固定时间扩展状态观测器（Fixed-Time Extended State Observer，FESO），估计速度并干扰补偿控制器。同时，设计了二阶固定时间自适应多变量超螺旋滑模控制（Second-Order Fixed-Time Adaptive Multivariable Super-Twisting Sliding Mode Control，SFAMSTSMC），从根源上消除了滑模控制的抖动现象，控制输出平稳。该控制框架如图2所示。

图2展示了从期望轨迹输入到ROV本体控制的完整流程。图中，期望轨迹生成模块输出$ {\boldsymbol{\eta }}_{d}、{\mathbf{\dot{\boldsymbol{\eta }}}}_{d}、{\mathbf{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{d} $，与传感器（惯导系统和多普勒测速仪）反馈的$ \boldsymbol{\eta }、\boldsymbol{V} $在误差计算模块中作差得到误差$ e、\dot{e} $。误差用于构建二阶固定时间非奇异终端滑模面（SFSMS），同时，FESO模块利用系统输入$ {\boldsymbol{\tau }}_{\eta } $和输出$ \boldsymbol{\eta }、\boldsymbol{V} $估计集总扰动$ {\mathbf{\hat{\boldsymbol{\tau }}}}_{d} $。SFAMSTSMC控制器根据滑模面$ {\boldsymbol{S}}_{2} $和扰动估计$ \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{d}}} $计算广义控制力$ {\boldsymbol{\tau }}_{\eta } $。推力分配模块将$ {\boldsymbol{\tau }}_{\eta } $分配到8个推进器，产生推力$ \boldsymbol{U} $驱动ROV本体。在实际控制中，可采用标称模型和扰动估计的方式，降低对精确模型的依赖，最终控制目标为实现位置和姿态对期望轨迹的精确跟踪。

2.1 FESO设计与稳定性分析

虽然滑模控制适用于非线性系统，有良好的鲁棒性，并且对未知干扰表现良好，但是在没有观测器的情况下，其轨迹跟踪性能较差。FESO利用已知数学模型和固定时间理论，输入输出量对动态系统中不可以直接观测的状态变量进行估计从而进行更精准的控制。因此定义$ {\boldsymbol{Z}}_{1}、{\boldsymbol{Z}}_{2} $作为估计$ \boldsymbol{V} $和$ {\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}^{-1}{\boldsymbol{\tau }}_{d} $的值，FESO设计如下：

$ \begin{cases} {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{Z}}}}_{1}={\boldsymbol{Z}}_{2}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}^{-1}({\boldsymbol{\tau }}_{T}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}\boldsymbol{V}}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}\boldsymbol{V}}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}})+\\ {m}_{1}{\mathrm{sig}}^{{{\alpha }_{1}}}({\boldsymbol{e}}_{1})+{m}_{1}{}_{f}{\mathrm{sig}}^{{{\beta }_{1}}}({\boldsymbol{e}}_{1})+{n}_{1}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{e}}_{1})\\ {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{Z}}}}_{2}={m}_{2}{\mathrm{sig}}^{{{\alpha }_{2}}}({\boldsymbol{e}}_{1})+{m}_{2f}{\mathrm{sig}}^{{{\beta }_{2}}}({\boldsymbol{e}}_{1})+\\ {n}_{2}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{e}}_{1})。\end{cases}$

(15)

式中：$ {m}_{1}、{m}_{2}、{m}_{1}{}_{f}、{m}_{2}{}_{f}、{n}_{1}、{n}_{2} $分别为正常数；$ {\alpha }_{1}\in (0,1) $，$ {\beta }_{1} \gt 1 $，其中$ {\alpha }_{2}=2{\alpha }_{1}-1，{\beta }_{2}=2{\beta }_{1}-1 $。定义$ {\boldsymbol{e}}_{1}=\boldsymbol{V}-{\boldsymbol{Z}}_{1} $为速度误差估计，$ {\boldsymbol{e}}_{2}={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}^{-1}{\boldsymbol{\tau }}_{d}-{\boldsymbol{Z}}_{2} $为$ {\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}^{-1}{\boldsymbol{\tau }}_{d} $的估计误差。

估计误差系统可以表示如下：

$ \begin{cases} {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}}_{1}={\boldsymbol{e}}_{2}-{m}_{1}{\mathrm{si{g}}}^{{{\alpha }_{1}}}({\boldsymbol{e}}_{1})-{m}_{1f}{\mathrm{si{g}}}^{{{\beta }_{1}}}({\boldsymbol{e}}_{1})，\\ {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}}_{2}=-{m}_{2}{\mathrm{si{g}}}^{{{\alpha }_{2}}}({\boldsymbol{e}}_{1})-{m}_{2}{}_{f}{\mathrm{si{g}}}^{{{\beta }_{2}}}({\boldsymbol{e}}_{1})。\end{cases} $

(16)

对于满足假设1的条件，若FESO的增益参数满足$ {k}_{1} \gt 0，{k}_{2} \gt 0 $，建立如下Lyapunov函数为：

$ {\boldsymbol{V}}_{1}=\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{{T}}}{\boldsymbol{e}}_{1}+\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{{T}}}{\boldsymbol{e}}_{2} 。$

(17)

求导可得：

$ \begin{split}{\dot{V}}_{1}&={\boldsymbol{e}}_{1}^{\mathrm{{T}}}{{\dot{\boldsymbol{e}}}}_{1}+{\boldsymbol{e}}_{2}^{\mathrm{{T}}}{{\dot{\boldsymbol{e}}}}_{2}={\boldsymbol{e}}_{1}^{\mathrm{{T}}}({\boldsymbol{e}}_{2}-{m}_{1}{\mathrm{sig}}^{{{\alpha }_{1}}}({\boldsymbol{e}}_{1})-\\ & {m}_{1f}{\mathrm{sig}}^{{{\beta }_{1}}}({\boldsymbol{e}}_{1}))+{\boldsymbol{e}}_{2}^{\mathrm{{T}}}(-{m}_{2}{\mathrm{sig}}^{{{\alpha }_{2}}}({\boldsymbol{e}}_{1})-\\ & {m}_{2}{f}{\mathrm{sig}}^{{{\beta }_{2}}}({\boldsymbol{e}}_{1}))。\end{split} $

(18)

利用引理3和引理4可得：

$ \begin{split}& {\dot{V}}_{1}\leqslant \left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{2}\right|\right|-{m}_{1}{\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\alpha }_{1}}+1}-{m}_{1f}{\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\beta }_{1}}+1}\\ & -{m}_{2}\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{2}\right|\right|{\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\alpha }_{2}}}-{m}_{2}{}_{f}\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{2}\right|\right|{\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\beta }_{2}}}。\end{split} $

(19)

通过选择足够大的$ {m}_{1}、{m}_{2}、{m}_{1}{}_{f}、{m}_{2}{}_{f} $的值，可确保负项主导，从而得：

$ \begin{split} {\dot{V}}_{1}&\leqslant -{C}_{1}({\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\alpha }_{1}}+1}+{\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\beta }_{1}}+1}+\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{2}\right|\right|{\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\alpha }_{2}}}+\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{2}\right|\right|{\left|\left|{\boldsymbol{e}}_{1}\right|\right|}^{{{\beta }_{2}}}) \leqslant\\ & -{C}_{2}\left({V}_{1}{}^{\frac{{\alpha }_{1}+1}{2}}+{V}_{1}{}^{\frac{{\beta }_{1}+1}{2}}\right)。\end{split} $

(20)

式中：$ {C}_{1}\gt0，{C}_{2} \gt 0 $。

根据引理1、引理2得知，FESO是在固定时间内收敛到0，满足全局固定时间稳定性。

2.2 SFAMSTSMC设计和稳定性分析

二阶滑模控制器通常在更高的滑模面上进行设计，解决了抖振与控制精度，鲁棒性之间的矛盾，超螺旋控制算法从根本上生成连续的控制信号，从而在保持对匹配外界扰动和参数不确定性绝对鲁棒性的同时，几乎完全消除了抖振。基于上述FESO，本文设计了一种鲁棒性强，收敛性高的二阶固定时间非奇异终端滑模面。

本文的控制目标为使WHROV实际轨迹$ \boldsymbol{\eta } $，跟踪期望轨迹的$ {\boldsymbol{\eta }}_{d} $及其一阶、二阶导数$ {\mathbf{\dot{\boldsymbol{\eta }}}}_{d}、{\mathbf{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{d} $作为已知输入引入控制律中。

定义系统误差为：

$ \boldsymbol{e}=\boldsymbol{\eta }-{\boldsymbol{\eta }}_{d}。$

(21)

并选取如下的二阶非奇异终端滑模面$ {\boldsymbol{S}}_{2} $为：

$ \begin{cases} {\boldsymbol{S}}_{1}=\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}+{\boldsymbol{K}}_{1}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{1}}}(\boldsymbol{e})+{K}_{2}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{1}}}(\boldsymbol{e})，\\ {\boldsymbol{S}}_{2}={\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{S}}}}_{1}+{\boldsymbol{K}}_{3}{\boldsymbol{S}}_{1}+{\boldsymbol{K}}_{4}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1}) +{\boldsymbol{K}}_{5}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1})。\end{cases}$

(22)

式中：$ {\boldsymbol{K}}_{1},{\boldsymbol{K}}_{2},{\boldsymbol{K}}_{3},{\boldsymbol{K}}_{4},{\boldsymbol{K}}_{5}\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 6} $为正定对角矩阵，$ 0 \lt {a}_{1},{a}_{2} \lt 1 $，$ {b}_{1},{b}_{2} \gt 1 $，$ \boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}} $为$ \boldsymbol{e} $的一阶导数。其中滑模面$ {\boldsymbol{S}}_{1} $引入双幂次终端滑模面的优点：1）确保了系统状态在远离平衡点时由$ {b}_{1} $项主导快速趋近，在接近平衡点时由$ {a}_{1} $项主导精确收敛，实现了全程最优收敛速度。2）对于纯终端滑模面$ {\boldsymbol{S}}_{1}=\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}+{\boldsymbol{K}}_{1}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{1}}}(\boldsymbol{e}) $，在控制律求导时会产生$ {\mathrm{sig}}^{{^{({{a}_{{{}_{1}}}}-1)}}}(\boldsymbol{e}) $项，当$ \boldsymbol{e}=0且\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}\neq 0 $时出现奇异性，而双幂次组合避免了单纯分数幂次带来的奇异问题，$ {\boldsymbol{K}}_{2}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{1}}}(\boldsymbol{e}) $的存在确保控制的连续性；滑模面$ {\boldsymbol{S}}_{2} $本质是$ {\boldsymbol{S}}_{1} $的动态扩展，能够有效估计并补偿系统的集总扰动，再结合AMST算法，形成扰动观测-补偿一体化的机制，$ {\boldsymbol{S}}_{2} $结构上依然采用双幂次结构，这种递归收敛结构形成了严格的稳定性链。

当$ {\boldsymbol{S}}_{1}\neq 0 $时，对上式$ {\boldsymbol{S}}_{1} $进行求导可得：

$ {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{S}}}}_{1}=\boldsymbol{\ddot{\boldsymbol{e}}}+\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}({a}_{1}{\boldsymbol{K}}_{1}{\mathrm{sig}}^{({{a}_{1}}-1)}(\boldsymbol{e})+{b}_{1}{\boldsymbol{K}}_{2}{\mathrm{sig}}^{({{b}_{1}}-1)}(\boldsymbol{e}))。$

(23)

式中：$ \boldsymbol{\ddot{\boldsymbol{e}}} $分别为$ \boldsymbol{e} $的二阶导数。再由式(13)进行变形可得：

$ \boldsymbol{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }{}^{-1}({\boldsymbol{\tau }}_{\eta }+{\boldsymbol{\tau }}_{d\eta }-{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}}_{\eta }\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}-{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}}_{\eta }\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}-{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}}_{\boldsymbol{\eta }}) 。$

(24)

由此，FESO-SFAMSTSMC控制律可以设计为：

$ {\boldsymbol{\tau }}_{\eta }={\boldsymbol{\tau }}_{eq}+{\boldsymbol{\tau }}_{sw}。$

(25)

式中：$ {\boldsymbol{\tau }}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{w}} $为切换控制律；$ {\boldsymbol{\tau }}_{\boldsymbol{e}\boldsymbol{q}} $为等效控制律可以补偿被控系统，并直接导出动态项，可得：

$ \begin{split}{\boldsymbol{\tau }}_{eq}&={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }({\boldsymbol{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{d}-{a}_{1}{\boldsymbol{K}}_{1}{\mathrm{sig}}^{({{a}_{1}}-1)}(\boldsymbol{e})\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}-\\ & {b}_{1}{\boldsymbol{K}}_{2}{\mathrm{sig}}^{({{b}_{1}}-1)}(\boldsymbol{e})\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}-{\boldsymbol{K}}_{3}{\boldsymbol{S}}_{1}-{\boldsymbol{K}}_{4}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1})-\\ & {\boldsymbol{K}}_{5}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1})-{\boldsymbol{Z}}_{2}+{\boldsymbol{F}}_{\eta })。\end{split}$

(26)

式中：$ {\boldsymbol{F}}_{\eta }={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }{}^{-1}({\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}}_{\eta }\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}}_{\eta }\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}}_{\eta }) $。

为了保证$ {\boldsymbol{S}}_{2} $在固定时间内趋于稳定，并消除控制抖振的产生，本文基于文献[13]设计固定时间多变量超螺旋滑模算法为：

$ \begin{cases} {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{x}}}}_{1}=-{\boldsymbol{\lambda }}_{1}{\left| {\boldsymbol{S}}_{2}\right| }^{\frac{1}{2}}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{S}}_{2})-{\boldsymbol{\lambda }}_{2}{\boldsymbol{S}}_{2}{\left| {\boldsymbol{S}}_{2}\right| }^{p-1}+{\boldsymbol{x}}_{2}，\\ {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{x}}}}_{2}=-{\boldsymbol{\lambda }}_{3}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{S}}_{2})-{\boldsymbol{\lambda }}_{4}{\boldsymbol{x}}_{2}+\boldsymbol{\mu }(t)。\end{cases} $

(27)

式中：$ {\boldsymbol{x}}_{1}={\boldsymbol{S}}_{2}，{\boldsymbol{x}}_{2}=\boldsymbol{\delta }+\boldsymbol{\kappa }(t) $由上述假设1可知，$ {\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\tau }}}}_{d}= {\boldsymbol{\tau }}_{d}- \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}{\boldsymbol{Z}}_{\boldsymbol{2}} $，$ {\mathbf{\tilde{\boldsymbol{\tau }}}}_{\boldsymbol{d}} $有界，$ \boldsymbol{\mu }(t)=\mathbf{\dot{\boldsymbol{\kappa }}}(t) $且$ \left| \boldsymbol{\mu }(t)\right| \lt \boldsymbol{{\Delta }} $，$ \boldsymbol{{\Delta }} $为很小的正常矢量。$ {\boldsymbol{\lambda }}_{1}、{\boldsymbol{\lambda }}_{2}、{\boldsymbol{\lambda }}_{3}、{\boldsymbol{\lambda }}_{4}\in {R}^{6\times 1} \gt {{0}}_{6\times 1} $为自适应增益，定义如下：

$ \begin{cases} {\mathbf{\dot{\boldsymbol{\lambda }}}}_{1}=\begin{cases} {\boldsymbol{\chi }}_{1}\left(\dfrac{{\boldsymbol{\chi }}_{2}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}{\mathrm{sign}}(\left| {\boldsymbol{S}}_{2}\right| -{\boldsymbol{\chi }}_{3}),{\boldsymbol{\lambda }}_{1} \gt {\boldsymbol{k}}_{\boldsymbol{m}}，\\ {\boldsymbol{\chi }}_{1}\left(\dfrac{{\boldsymbol{\chi }}_{2}}{2}\right)^{\frac{1}{2}},{\boldsymbol{\lambda }}_{1}\leqslant {\boldsymbol{k}}_{\boldsymbol{m}}。\end{cases} \\ {\boldsymbol{\lambda }}_{2}={\varepsilon }_{2}{\boldsymbol{\lambda }}_{1}，\\ {\boldsymbol{\lambda }}_{3}={\varepsilon }_{3}{\boldsymbol{\lambda }}_{1}，\\ {\boldsymbol{\lambda }}_{4}={\varepsilon }_{4}{\boldsymbol{\lambda }}_{3}。\end{cases}$

(28)

式中：$ {\varepsilon }_{2}、{\varepsilon }_{3}、{\varepsilon }_{4} \gt 0，{\boldsymbol{\chi }}_{1}、{\boldsymbol{\chi }}_{2}、{\boldsymbol{\chi }}_{3}、{\boldsymbol{k}}_{m}\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 1} \gt {{0}}_{6\times 1} $，$ {\boldsymbol{\chi }}_{1}、{\boldsymbol{\chi }}_{2} $的变化对$ {\boldsymbol{\lambda }}_{1} $是显著的，当这2个参数设置太低时，控制增益会出现缓慢的变化，使得自适应增益不那么明显；同理过高的设置会导致在工程应用中控制输入的剧烈抖动，导致控制系统的不稳定；减少$ {\boldsymbol{\chi }}_{3} $可以提高控制精度，若设置太低会导致自适应增益不断增加；$ {\boldsymbol{k}}_{m} $则保证控制增益始终为正；$ {\varepsilon }_{2}、{\varepsilon }_{3}、{\varepsilon }_{4} $可以调整小偏差的收敛速度。

构建如下的$ {\boldsymbol{\tau }}_{sw} $来解决干扰估计误差，驱使系统的状态轨迹在固定时间内到达$ {\boldsymbol{S}}_{2} $：

$ \begin{split}{\boldsymbol{\tau }}_{sw}&={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }{x}_{1}={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }(-{\boldsymbol{\lambda }}_{1}{\left| {\boldsymbol{S}}_{2}\right| }^{\frac{1}{2}}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{S}}_{2})-\\ & {\boldsymbol{\lambda }}_{2}{\boldsymbol{S}}_{2}{\left| {\boldsymbol{S}}_{2}\right| }^{p-1}-\int_{0}^{t}{\boldsymbol{\lambda }}_{3}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{S}}_{2}){\mathrm{d}}{\boldsymbol{S}}_{2}-\\ & \int_{0}^{t}{\boldsymbol{\lambda }}_{4}{\boldsymbol{x}}_{2}({\boldsymbol{S}}_{2}){\mathrm{d}}{\boldsymbol{S}}_{2}+\int_{0}^{t}\boldsymbol{\mu }(t){\mathrm{d}}t)。\end{split} $

(29)

对上述提出的FESO-SFAMSTSMC控制系统进行稳定性分析，

证明如下：存在固定时间上界$ {T}_{\max } \lt \mathrm{\infty } $，使得对于任意初始条件$ \boldsymbol{\eta }(0) $，有$ \left|\left|\boldsymbol{\eta }(t)\right|\right|=0 $，$ \forall t\geqslant {T}_{\max } $。

1）根据滑模控制的特点，证明系统状态到达滑模面上，此时$ {\boldsymbol{S}}_{2}\neq {0} $，考虑如下二阶滑模的Lyapunov函数为：

$ {\boldsymbol{V}}_{2}=\frac{1}{2}\boldsymbol{S}_{2}^{\mathrm{{T}}}{\boldsymbol{S}}_{2}+\frac{1}{2}\boldsymbol{x}_{2}^{\mathrm{{T}}}{\boldsymbol{x}}_{2}。$

(30)

对时间求导并由系统动力学和控制律可得：

$ \begin{split}{\dot{V}}_{2}&=\boldsymbol{S}_{2}^{\mathrm{{T}}}{\mathbf{\dot{\boldsymbol{S}}}}_{2}+\boldsymbol{x}_{2}^{\mathrm{{T}}}{\mathbf{\dot{\boldsymbol{x}}}}_{2}=\boldsymbol{S}_{2}^{\mathrm{{T}}}(-{\boldsymbol{\lambda }}_{1}{\left| {\boldsymbol{S}}_{2}\right| }^{\frac{1}{2}}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{S}}_{2})\\ & -{\boldsymbol{\lambda }}_{2}{\boldsymbol{S}}_{2}{\left| {\boldsymbol{S}}_{2}\right| }^{p-1}+{\boldsymbol{x}}_{2})+\boldsymbol{x}_{2}^{\mathrm{{T}}}(-{\boldsymbol{\lambda }}_{3}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{S}}_{2})\\ & -{\boldsymbol{\lambda }}_{4}{\boldsymbol{x}}_{2}+\boldsymbol{\mu }(t))\leqslant -{\boldsymbol{\lambda }}_{1\min }{\left|\left|{\boldsymbol{S}}_{2}\right|\right|}^{\frac{3}{2}}-{\boldsymbol{\lambda }}_{2\min }{\left|\left|{\boldsymbol{S}}_{2}\right|\right|}^{p+1}\\ &=-{2}^{\frac{3}{4}}{\lambda }_{1\min }V_{2}^{\frac{3}{4}}-{2}^{\frac{p+1}{2}}{\lambda }_{2\min }{V}_{2}{}^{\frac{p+1}{2}}。\end{split} $

(31)

式中：$ {\lambda }_{1\min }=\min ({\boldsymbol{\lambda }}_{1}-\boldsymbol{L})，{\lambda }_{2\min }=\min ({\boldsymbol{\lambda }}_{2}) $，选择$ {\boldsymbol{\lambda }}_{3},{\boldsymbol{\lambda }}_{4} $足够大，使得$ {\boldsymbol{\lambda }}_{3} \gt \left| {\boldsymbol{x}}_{2}\right| 、{\boldsymbol{\lambda }}_{4} \gt \left| {\boldsymbol{x}}_{2}\right| $，$ \boldsymbol{\mu }(t) $的数值较小，可以忽略不计。

2）同样的，一旦$ {\boldsymbol{S}}_{2}=0 $，系统进入滑动模态，此时：

$ {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{S}}}}_{1}={\boldsymbol{K}}_{3}{\boldsymbol{S}}_{1}+{\boldsymbol{K}}_{4}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1})+{\boldsymbol{K}}_{5}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1})。$

(32)

考虑此时Lyapunov函数为：

$ {V}_{3}=\frac{1}{2}\boldsymbol{S}_{1}^{\mathrm{{T}}}{\boldsymbol{S}}_{1}。$

(33)

求导可得：

$ \begin{split}{\dot{V}}_{3}&=\boldsymbol{S}_{1}^{T}{\mathbf{\dot{\boldsymbol{S}}}}_{1}=-\boldsymbol{S}_{1}^{T}({\boldsymbol{K}}_{3}{\boldsymbol{S}}_{1}+{\boldsymbol{K}}_{4}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1})+\\ & {\boldsymbol{K}}_{5}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{2}}}({\boldsymbol{S}}_{1}))\leqslant -{\boldsymbol{K}}_{3\min }{\left|\left|{\boldsymbol{S}}_{1}\right|\right|}^{2}-\\ & {\boldsymbol{K}}_{4\min }{\left|\left|{\boldsymbol{S}}_{1}\right|\right|}^{({{a}_{2}}+1)}-{\boldsymbol{K}}_{5\min }{\left|\left|{\boldsymbol{S}}_{1}\right|\right|}^{({{b}_{2}}+1)}\leqslant\\ & -{2}^{\frac{{a}_{2}+1}{2}}{K}_{5\min }V_{3}^{\frac{{a}_{2}+1}{2}}-{2}^{\frac{{b}_{2}+1}{2}}{K}_{6\min }V_{3}^{\frac{{b}_{2}+1}{2}}。\end{split} $

(34)

式中：$ {K}_{4\min }、{K}_{5\min }、{K}_{6}{}_{\min } $为$ {\boldsymbol{K}}_{4}、{\boldsymbol{K}}_{5}、{\boldsymbol{K}}_{6} $的最小特征值。

3）最终收敛阶段，一旦$ {\boldsymbol{S}}_{1}={0} $，则：

$ \boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}=-{\boldsymbol{K}}_{1}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{1}}}(\boldsymbol{e})-{\boldsymbol{K}}_{2}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{1}}}(\boldsymbol{e})。$

(35)

考虑Lyapunov函数为：

$ {V}_{4}=\frac{1}{2}{\boldsymbol{e}}^\text{T}\boldsymbol{e} 。$

(36)

求导可得：

$ \begin{aligned}{\dot{V}}_{4}&={\boldsymbol{e}}^\text{T}\mathbf{\dot{\boldsymbol{e}}}=-{\boldsymbol{e}}^\text{T}({\boldsymbol{K}}_{1}{\mathrm{sig}}^{{{a}_{1}}}(\boldsymbol{e})+{\boldsymbol{K}}_{2}{\mathrm{sig}}^{{{b}_{1}}}(\boldsymbol{e})) \leqslant\\ & -{\boldsymbol{K}}_{1\min }{\left|\left|\boldsymbol{e}\right|\right|}^{({{a}_{1}}+1)}-{K}_{2\min }{\left|\left|\boldsymbol{e}\right|\right|}^{({{b}_{1}}+1)}=\\ &-{2}^{\frac{{a}_{1}+1}{2}}{K}_{1\min }V_{4}^{\frac{{a}_{1}+1}{2}}-{2}^{\frac{{b}_{1}+1}{2}}{K}_{2\min }V_{4}^{\frac{{b}_{1}+1}{2}}。\end{aligned} $

(37)

式中，$ {K}_{1\min }、{K}_{2\min } $为$ {\boldsymbol{K}}_{1}、{\boldsymbol{K}}_{2} $的最小特征值。

选取Lyapunov函数验证整个控制系统的稳定性：

$ V={V}_{1}+{V}_{2}+{V}_{3}+{V}_{4}。$

(38)

对上式求导可得，根据引理2和式(21)、式(34)，式(36)，式(38)，式(40)可得：

$ \begin{aligned}\dot{V}&={\dot{V}}_{1}+{\dot{V}}_{2}+{\dot{V}}_{3}+{\dot{V}}_{4}\leqslant\\ & -{C}_{2}\left({V}_{1}{}^{\frac{{\alpha }_{1}+1}{2}}+{V}_{1}{}^{\frac{{\beta }_{1}+1}{2}}\right)-\\ & {2}^{\frac{3}{4}}{\lambda }_{1\min }V_{2}^{\frac{3}{4}}-{2}^{\frac{p+1}{2}}{\lambda }_{2\min }{V}_{2}{}^{\frac{p+1}{2}}-\\ & {2}^{\frac{{a}_{2}+1}{2}}{K}_{5\min }V_{3}^{\frac{{a}_{2}+1}{2}}-{2}^{\frac{{b}_{2}+1}{2}}{K}_{6\min }V_{3}^{\frac{{b}_{2}+1}{2}}-\\ & {2}^{\frac{{a}_{1}+1}{2}}{K}_{1\min }V_{4}^{\frac{{a}_{1}+1}{2}}-{2}^{\frac{{b}_{1}+1}{2}}{K}_{2\min }V_{4}^{\frac{{b}_{1}+1}{2}}\leqslant\\ & -{2}^{{{\mu }_{1}}}{V}^{\frac{{l}_{1}}{2}}-{2}^{{{\mu }_{2}}}{V}^{\frac{{l}_{2}}{2}}。\end{aligned} $

(39)

其中：

$ \begin{cases} {\mu }_{1}=\min \left(-{C}_{2},-{2}^{\frac{3}{4}}{\lambda }_{1\min },-{2}^{\frac{{a}_{2}+1}{2}}{K}_{5\min },-{2}^{\frac{{a}_{1}+1}{2}}{K}_{1\min }\right)，\\ {\mu }_{2}=\min \left(-{C}_{2},-{2}^{\frac{p+1}{2}}{\lambda }_{2\min },-{2}^{\frac{{b}_{2}+1}{2}}{K}_{6\min },-{2}^{\frac{{b}_{1}+1}{2}}{K}_{2\min }\right),\\ {l}_{1}=\min \left({\alpha }_{1}+1,\dfrac{3}{2},{a}_{2}+1,{a}_{1}+1\right)，\\ {l}_{2}=\min ({\beta }_{1}+1,p+1,{b}_{2}+1,{b}_{1}+1)。\end{cases} $

因此，跟踪误差$ e $能在固定时间$ T $内收敛到零满足下式：

$ {T}_{\max }\leqslant \frac{2}{{\mu }_{1}(2-{l}_{1})}+\frac{2}{{\mu }_{2}({l}_{2}-2)}。$

(40)

对于ROV控制系统在满足假设1、假设2下，基于FESO-SFAMSTSMC可以实现ROV的固定时间轨迹跟踪控制，保证闭环系统中所有信号都是严格固定时间稳定的。

3 仿真验证分析

为了验证上述控制系统的有效性，本文实验基于数值仿真分析，仿真采用Matlab 2024b中进行，求解器ode3（Bogacki-Shampine），仿真时间80 s，采样时间为0.01 s。WHROV的模型详细数据如表1所示，水动力参数参考文献[16]。

其中WHROV有8个呈矢量分布（水平、竖直各4个）推进器，为实现6自由度运动提供了基础，推进器布置如图3所示。

根据图3所示的WHROV推进器布置方案，8个推进器中4个水平布置、4个垂直布置，水平推进器安装角度为45°固定值，参考文献[15]中的基于伪逆法的推力分解公式可以得出对应WHROV所受到的推力和推力矩可写为$ {\boldsymbol{\tau }}_{T}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{U} $，其中推力控制矩阵$ \boldsymbol{B} $为：

$ {\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} {\sqrt{2}}/{2} & {\sqrt{2}}/{2} & {-\sqrt{2}}/{2} & {-\sqrt{2}}/{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ {-\sqrt{2}}/{2} & {\sqrt{2}}/{2} & {\sqrt{2}}/{2} & -{\sqrt{2}}/{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & {{W}}/{2} & {-{W}}/{2} & -{{W}}/{2} & {{W}}/{2}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & {{H}}/{2} & {{H}}/{2} & {-{H}}/{2} & {-{H}}/{2}\\ -{{L}}/{2} & {{L}}/{2} & -{{L}}/{2} & {{L}}/{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 。}$

式中：W为水平推力与重心间的作用距离；H为垂直推力与$ {x}_{B} $轴的作用距离；L为垂直推力与$ {y}_{B} $轴的作用距离。并对每个推进器的推力输出都受到上下限的限制，即有关系式为：

$ {\boldsymbol{U}}_{sat}=sat(\boldsymbol{U})=\begin{cases} {\boldsymbol{U}}_{\max },\boldsymbol{U} \gt {\boldsymbol{U}}_{\max }，\\ \boldsymbol{U},{\boldsymbol{U}}_{\min }\leqslant \boldsymbol{U}\leqslant {\boldsymbol{U}}_{\max }，\\ {\boldsymbol{U}}_{\min },\boldsymbol{U} \lt {\boldsymbol{U}}_{\min }。\end{cases}$

(41)

式中：$ {\boldsymbol{U}}_{\min } $为推进器输出推力的最小值；$ {\boldsymbol{U}}_{\max } $为推机器输出推力的最大值。其中$ {U}_{\min ,i}=-130\;{\mathrm{N}} $，$ {U}_{\max ,i}=130\;{\mathrm{N}} $。

由于推进器电机控制模型很难建立，通常采用一阶惯性环节替代电机控制模型^[16]，可以得到传递函数为：

$ G(s)=\frac{0.3}{1.86s+1}。$

(42)

式(5)中$ {\boldsymbol{d}} $对应外界干扰力总和，对于ROV来说主要干扰来自于脐带缆力$ {d}_{1} $和水中波浪干扰$ {d}_{2} $, $ {d}_{1} $和${d}_{2} $设置为：

$ \begin{cases} {d}_{1}{}_{x}=-2.59-3.042x-0.131{y}^{2}-\\ 0.225{z}^{2}-28.47z，\\ {d}_{1}{}_{y}=-8.213y，\\ {d}_{1}{}_{z}=-1.24-0.068{x}^{2}+4.749x-\\ 0.112{y}^{2}-0.693{z}^{2}-33.253z，\\ {d}_{1\varphi }=0.2z{d}_{1y}-0.2y{d}_{1z}，\\ {d}_{1\theta }=0.2x{d}_{1}{}_{z}-0.2z{d}_{1}{}_{x}，\\ {d}_{1\psi }=0.2y{d}_{1}{}_{x}-0.2x{d}_{1}{}_{y}。\end{cases}$

(43)

式中：$ {d}_{1}={[{{d}_{1}}{{}_{x}},{{d}_{1}}{{}_{y}},{{d}_{1}}{{}_{z}},{{d}_{1\varphi }},{{d}_{1\theta }},{{d}_{1\psi }}]}^{\mathrm{{T} }}$。考虑波浪对ROV的影响，本文采用文献[17]中的一阶马尔可夫过程来描述ROV所受到的水下波浪干扰：

$ \begin{cases} \boldsymbol{\dot{\boldsymbol{b}}}=-\boldsymbol{T}_{b}^{-1}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{\xi }\boldsymbol{n}，\\ {\boldsymbol{d}}_{2}={\boldsymbol{J}}^{{\mathrm{T}}}\boldsymbol{b}。\end{cases}$

(44)

式中：$ {\boldsymbol{T}}_{b}\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 6} $为设计的时间常数对角矩阵；$ \boldsymbol{n}\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 1} $为零均值高斯白噪声向量；$ \boldsymbol{\xi }\in {\boldsymbol{R}}^{6\times 6} $为$ n $的幅度矩阵；$ \boldsymbol{b} $为固定坐标系下的水下波浪干扰向量；$ \boldsymbol{b}(0)= {[0,0,0,0,0,0]}^{{\mathrm{T}}} $。

在WHROV实际工作中，经常出现如下工况：ROV下潜至某一深度，开始进行特定区域的巡航作业。通常期望轨迹通过操作员预先给定，作为控制系统的已知时变指令。其中$ {\varphi }_{d},{\psi }_{d} $设为0，表示ROV在巡航过程中保持水平姿态，符合水下作业场景，设定期望轨迹$ {\boldsymbol{\eta }}_{d} $为：

$ \begin{aligned}{x}_{d}(t)&=\begin{cases} 0,0\leqslant t \lt 10，\\ 0.4(t-10),10\leqslant t \lt 20，\\ \sin (0.05\text{π} (t-20))+4,20\leqslant t \lt 40，\\ -0.4(t-40)+4,40\leqslant t \lt 50，\\ -\sin (0.05\text{π} (t-50)),50\leqslant t \lt 70，\\ 0.4(t-70),70\leqslant t\leqslant 80。\end{cases} \\ {y}_{d}(t)&=\begin{cases} 1,0\leqslant t \lt 20，\\ -\cos (0.05\text{π} (t-20))+2,20\leqslant t \lt 40，\\ 3,40\leqslant t \lt 50，\\ -\cos (0.05\text{π} (t-50))+4,50\leqslant t \lt 70，\\ 5,70\leqslant t\leqslant 80。\end{cases} \\ {z}_{d}(t)&=\begin{cases} -0.4t-1,0\leqslant t \lt 10，\\ -5,10\leqslant t\leqslant 80。\end{cases} \\ {\varphi }_{d}(t)&=0,{\theta }_{d}(t)=0,\\ {\psi }_{d}(t)&=\begin{cases} 0,0\leqslant t \lt 20，\\ 0.05\text{π} (t-20),20\leqslant t \lt 40，\\ \text{π} ,40\leqslant t \lt 50，\\ \text{π} -0.05\text{π} (t-50),50\leqslant t \lt 70，\\ 0,70\leqslant t\leqslant 80。\end{cases} \end{aligned} $

(45)

为了验证FESO-SFAMSTSMC控制方法的有效性，选择下述传统PID法和文献[10]SNTISMC控制方法进行对比。其中PID法对WHROV的控制力为：

$ \begin{split}{\boldsymbol{\tau }}_{\eta \text{,PID}}&={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }({\boldsymbol{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{d}-({k}_{p}\boldsymbol{e}+{k}_{i}\int_{0}^{t}\boldsymbol{e}(\varepsilon ){\mathrm{d}}\varepsilon +{k}_{d}\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}})+\\ & \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}_{\eta }^{-1}({\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}}}_{\eta }\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}}_{\eta }\mathbf{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}}_{\eta }-{\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}{\boldsymbol{Z}}_{2}))。\end{split} $

(46)

SNTISMC对WHROV的控制力为：

$ \left\{\begin{aligned} &{\boldsymbol{S}}_{1}=\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}+{c}_{1}\boldsymbol{e}，\\ &{\boldsymbol{S}}_{2}={\boldsymbol{S}}_{1}+\int_{0}^{t}{c}_{2}{\boldsymbol{S}}_{1}(\varepsilon )+{c}_{3}{\mathrm{sig}}^{(m/n)}({\boldsymbol{S}}_{1}(\varepsilon )){\mathrm{d}}\varepsilon ，\\ &{\boldsymbol{\tau }}_{T,SNTISMC}={\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}_{\eta }({\boldsymbol{\ddot{\boldsymbol{\eta }}}}_{d}-{c}_{1}\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{e}}}-{c}_{2}{\boldsymbol{S}}_{1}-\\ &{c}_{3}{\mathrm{sig}}^{(m/n)}({\boldsymbol{S}}_{1})-{k}_{1}{\boldsymbol{S}}_{2}-{k}_{2}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{S}}_{2})+\\ & \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}_{\eta }^{-1}({\boldsymbol{\hat{C}}}_{\eta }\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}}}_{\boldsymbol{\eta }}\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{\eta }}}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}}}_{\eta }-{\boldsymbol{J}}^{-{\mathrm{T}}}\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}{\boldsymbol{Z}}_{2}))。\end{aligned} \right.$

(47)

同时为了证明FESO的有效性，选择文献[18]的FTESO进行比较，FTESO设计为：

$ \begin{cases} {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{Z}}}}_{1}={\boldsymbol{Z}}_{2}+{\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{M}}}}^{-1}({\boldsymbol{\tau }}_{T}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{C}}\boldsymbol{V}}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{D}}\boldsymbol{V}}-\boldsymbol{\hat{\boldsymbol{g}}})+\\ {m}_{1}{\mathrm{sig}}^{{{\alpha }_{1}}}({\boldsymbol{e}}_{1})+{n}_{1}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{e}}_{1})，\\ {\boldsymbol{\dot{\boldsymbol{Z}}}}_{2}={m}_{2}{\mathrm{sig}}^{{{\alpha }_{2}}}({\boldsymbol{e}}_{1})+{n}_{2}{\mathrm{sign}}({\boldsymbol{e}}_{1})。\end{cases}$

(48)

WHROV的初始位置和速度为：

$ \begin{aligned}\boldsymbol{\eta }(0)&=[0.5\;{\mathrm{m}},0.3\;{\mathrm{m}},0\;{\mathrm{m}},0.1{\mathrm{rad}},0.2{\mathrm{rad}},0.2{\mathrm{rad}}]^{{\mathrm{T}}};\\ \boldsymbol{V}(0)&=[0\;{\mathrm{m/s}},0\;{\mathrm{m/s}},0\;{\mathrm{m/s}},0{\mathrm{rad/s}},0{\mathrm{rad/s}},0{\mathrm{rad/s}}]^{\mathrm{{T}}} \end{aligned} $

模型不确定性取20％。各个控制器参数详见表2和表3，其中$ i=1\sim 6 $：

仿真结果如图4～图8所示。图4所示为3种控制方法都可以完成对期望轨迹的跟踪，但收敛速度，控制精度略有不同。可以看出，FESO-SFAMSTSMC控制方法收敛速度最快，几乎没有超调量的产生，而 SNTISMC控制方法收敛速度慢，但控制精度高；PID控制方法在最初的跟踪期望轨迹中产生过大的超调量，控制精度最低。图5更为直观地看出FESO-SFAMSTSMC控制方法的轨迹跟踪误差最小，PID轨迹跟踪误差最大，尤其是在$ \varphi 、\theta $方向上的自稳定控制中尤为明显。FESO-SFAMSTSMC和SNTISMC对$ {\boldsymbol{\tau }}_{d} $的敏感性更低，更加说明了二阶滑模控制精度和鲁棒性优于PID控制方法。图6所示为FESO和FTESO对$ {\boldsymbol{\tau }}_{d} $估计结果，表明了FESO在模型内部不确定和外部扰动变化下保证了高估计精度。图7所示为自适应增益根据$ {\boldsymbol{\tau }}_{d} $的变化动态调整AMST增益值，有效地在模型内部不确定和外部扰动变化下，自适应参数增益值达到稳态值。图8所示为FESO-SFAMSTSMC控制方法下的水平和竖直推进器推力在限幅−130～130 N之间输出值十分稳定，无抖振产生。综上所述验证了FESO-SFAMSTSMC是一种响应时间快，控制精度高，鲁棒性强的控制方法，适合于WHROV这种强耦合，强非线性的系统。

为了更精准定量分析控制效果，定义的误差小于0.01 N，跟踪误差$ e $的误差小于0.005 m（rad）为收敛时间，并取IAE（Integral Absolute Error）和ITAE（Integral Timeweighted Absolute Error）进行指标对比分析^[19]。其中IAE值越小，表示系统整体跟踪性能越好；ITAE值越小，表示系统快速性和稳态性能都较好。同时，为了简化图表，IAE，ITAE和收敛时间采用各个通道相加的形式进行总体比较。表4展示了FESO从IAE，ITAE和收敛时间3个方面优于FTESO，具有更好估计和补偿能力；表5展示了FESO-SFAMSTSMC相较于PID控制方法的具有更好稳定性，又相较于SNTISMC控制方法的更快的收敛速度和轨迹跟踪曲线；综合性能更强，应用价值大。

4 结　语

针对WHROV运动控制存在外界干扰和模型不确定性的系统特点，引入固定时间扩张状态观测器（FESO），实现对集总扰动的精准估计，并给予设计的新型二阶滑模面并与改进自适应多变量超螺旋算法相结合的控制器（FESO-SFAMSTSMC），利用Lyapunov函数和固定时间理论证明了控制系统跟踪误差固定时间收敛为0。将本文设计的控制器和传统PID控制器和文献[10]中SNTISMC进行仿真初步对比，进一步，通过IAE，ITAE和收敛时间三大性能指标进行定量对比，对比结果表明设计的FESO-SFAMSTSMC控制器较其他两种方法有鲁棒性高，控制精度高，收敛速度快的特点，同时，在完成轨迹跟踪任务，FESO-SFAMSTSMC得到了明显抑制抖振，在今后的研究中还将通过水池和海试来进一步验证本文控制器的实用性。